1 rectas perpendiculares. Perpendicularidad de líneas - condiciones de perpendicularidad. Recopilación y uso de información personal
El artículo trata el tema de las líneas perpendiculares en el plano y el espacio tridimensional. Analizaremos en detalle la definición de líneas perpendiculares y sus designaciones con los ejemplos dados. Considere las condiciones para aplicar la condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de dos líneas y considere en detalle con un ejemplo.
El ángulo entre líneas que se cruzan en el espacio puede ser correcto. Entonces se dice que las rectas dadas son perpendiculares. Cuando el ángulo entre las líneas oblicuas es una línea recta, entonces las líneas también son perpendiculares. De esto se deduce que las líneas perpendiculares en el plano se cortan, y las líneas perpendiculares del espacio pueden cruzarse y sesgarse.
Es decir, los conceptos "líneas a y b son perpendiculares" y "líneas b y a son perpendiculares" se consideran iguales. De ahí viene el concepto de rectas mutuamente perpendiculares. Resumiendo lo anterior, considere la definición.
Definición 1
Dos líneas se llaman perpendiculares si el ángulo en su intersección es de 90 grados.
La perpendicularidad se denota con "⊥", y la notación se convierte en a ⊥ b, lo que significa que la línea a es perpendicular a la línea b.
Por ejemplo, las líneas perpendiculares en el plano pueden ser los lados de un cuadrado con un vértice común. En el espacio tridimensional, las rectas O x , O z , O y son perpendiculares por pares: O x y O z , O x y O y , O y y O z .
Perpendicularidad de líneas - condiciones de perpendicularidad
Necesita conocer las propiedades de la perpendicularidad, ya que la mayoría de los problemas se reducen a verificar su solución posterior. Hay casos cuando sobre la perpendicularidad en cuestión aún en la condición de la cesión o cuando sea necesario hacer uso de la prueba. Para probar la perpendicularidad, es suficiente que el ángulo entre las líneas sea recto.
Para determinar su perpendicularidad con las ecuaciones conocidas de un sistema de coordenadas rectangulares, es necesario aplicar la condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de las líneas. Veamos la redacción.
Teorema 1
Para que las rectas ayb sean perpendiculares es necesario y suficiente que el vector director de la recta tenga perpendicularidad con respecto al vector director de la recta dada b.
La prueba en sí se basa en la definición del vector director de la línea y en la definición de la perpendicularidad de las líneas.
Prueba 1
Supongamos que se introduce un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares O x y con ecuaciones dadas de una línea recta en el plano, que determinan las líneas a y b. Denotemos los vectores directores de las rectas a y b como a → y b → . De la ecuación de las rectas a y b, una condición necesaria y suficiente es la perpendicularidad de los vectores a → y b → . Esto es posible solo cuando el producto escalar de los vectores a → = (a x , a y) y b → = (b x , b y) es igual a cero, y la notación es a → , b → = a x b x + a y b y = 0 . Obtenemos que la condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de las líneas a y bloqueadas en un sistema de coordenadas rectangulares O x y en el plano es a → , b → = a x b x + a y b y = 0 , donde a → = (a x , a y) y b → = b x , b y son los vectores directores de las rectas a y b .
La condición es aplicable cuando es necesario encontrar las coordenadas de los vectores directores o en presencia de ecuaciones canónicas o paramétricas de rectas en el plano de las rectas a y b dadas.
Ejemplo 1
Tres puntos A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) están dados en un sistema de coordenadas rectangular O x y. Determina si las líneas A B y A C son perpendiculares o no.
Solución
Las rectas A B y A C tienen vectores directores A B → y A C → respectivamente. Primero, calculemos A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Obtenemos que los vectores A B → y A C → son perpendiculares por la propiedad del producto escalar de vectores igual a cero.
UN segundo → , UN C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Es obvio que se cumple la condición necesaria y suficiente, lo que significa que A B y A C son perpendiculares.
Responder: las lineas son perpendiculares
Ejemplo 2
Determina si las líneas dadas x - 1 2 = y - 7 3 y x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ son perpendiculares o no.
Solución
a → = (2 , 3) es el vector director de la recta dada x - 1 2 = y - 7 3 ,
b → = (1 , - 2) es el vector director de la recta x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ .
Procedamos al cálculo del producto escalar de los vectores a → y b → . La expresión se escribirá:
un → , segundo → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
El resultado del producto no es igual a cero, podemos concluir que los vectores no son perpendiculares, lo que significa que las rectas tampoco son perpendiculares.
Responder: las rectas no son perpendiculares
La condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de las líneas a y b se aplica para el espacio tridimensional, escrita como a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z = 0 , donde a → = (a x , a y , a z) y b → = (b x , b y , b z) son los vectores directores de las rectas a y b .
Ejemplo 3
Verifique la perpendicularidad de las líneas en un sistema de coordenadas rectangulares del espacio tridimensional, dado por las ecuaciones x 2 \u003d y - 1 \u003d z + 1 0 y x \u003d λ y \u003d 1 + 2 λ z = 4 λ
Solución
Los denominadores de las ecuaciones canónicas de las rectas se consideran las coordenadas del vector director de la recta. Las coordenadas del vector de dirección de la ecuación paramétrica son los coeficientes. De ello se deduce que a → = (2 , - 1 , 0) yb → = (1 , 2 , 4) son los vectores directores de las rectas dadas. Para identificar su perpendicularidad, encontramos el producto escalar de vectores.
La expresión se convierte en a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0 .
Los vectores son perpendiculares porque el producto es cero. Se cumple la condición necesaria y suficiente, lo que significa que las rectas también son perpendiculares.
Responder: las lineas son perpendiculares
La comprobación de la perpendicularidad puede realizarse sobre la base de otras condiciones necesarias y suficientes para la perpendicularidad.
Teorema 2
Las rectas ayb en el plano se consideran perpendiculares cuando el vector normal de la recta a es perpendicular al vector b, esta es la condición necesaria y suficiente.
Prueba 2
Esta condición es aplicable cuando las ecuaciones de las rectas dan un rápido hallazgo de las coordenadas de los vectores normales de las rectas dadas. Es decir, si hay una ecuación general de una línea recta de la forma A x + B y + C \u003d 0, una ecuación de una línea recta en segmentos de la forma x a + y b \u003d 1, una ecuación de una recta línea con una pendiente de la forma y \u003d k x + b, se pueden encontrar las coordenadas de los vectores.
Ejemplo 4
Averigüe si las líneas 3 x - y + 2 = 0 y x 3 2 + y 1 2 = 1 son perpendiculares.
Solución
Con base en sus ecuaciones, es necesario encontrar las coordenadas de los vectores normales de las líneas rectas. Obtenemos que n α → = (3 , - 1) es un vector normal para la recta 3 x - y + 2 = 0 .
Simplifiquemos la ecuación x 3 2 + y 1 2 = 1 a la forma 2 3 x + 2 y - 1 = 0 . Ahora son claramente visibles las coordenadas del vector normal, que escribimos de esta forma n b → = 2 3 , 2 .
Los vectores n a → = (3 , - 1) y n b → = 2 3 , 2 serán perpendiculares, ya que su producto escalar eventualmente dará un valor igual a 0 . Obtenemos n a → , n b → = 3 2 3 + (- 1) 2 = 0 .
Se cumplió la condición necesaria y suficiente.
Responder: las lineas son perpendiculares
Cuando la línea a en el plano se define usando la ecuación de la pendiente y = k 1 x + b 1 , y la línea b - y = k 2 x + b 2 , se sigue que los vectores normales tendrán coordenadas (k 1 , - 1) y (k 2 , - 1) . La propia condición de perpendicularidad se reduce a k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1 .
Ejemplo 5
Averigüe si las líneas y = - 3 7 x y y = 7 3 x - 1 2 son perpendiculares.
Solución
La recta y = - 3 7 x tiene una pendiente igual a - 3 7 , y la recta y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 .
El producto de los coeficientes de pendiente da el valor - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, es decir, las rectas son perpendiculares.
Responder: las rectas dadas son perpendiculares.
Hay otra condición que se usa para determinar la perpendicularidad de las líneas en el plano.
Teorema 3
Para que las rectas ayb sean perpendiculares en el plano, condición necesaria y suficiente es la colinealidad del vector director de una de las rectas con el vector normal de la segunda recta.
Prueba 3
La condición es aplicable cuando es posible encontrar el vector director de una recta y las coordenadas del vector normal de la otra. En otras palabras, una recta viene dada por una ecuación canónica o paramétrica, y la otra ecuación general una línea recta, una ecuación en segmentos o una ecuación de una línea recta con una pendiente.
Ejemplo 6
Determina si las líneas dadas x - y - 1 = 0 y x 0 = y - 4 2 son perpendiculares.
Solución
Obtenemos que el vector normal de la recta x - y - 1 = 0 tiene coordenadas n a → = (1 , - 1) , y b → = (0 , 2) es el vector director de la recta x 0 = y - 4 2 .
Esto muestra que los vectores n a → = (1, - 1) yb → = (0, 2) no son colineales, porque la condición de colinealidad no se cumple. No existe un número t tal que la igualdad n a → = t · b → se cumpla. De ahí la conclusión de que las rectas no son perpendiculares.
Responder: las rectas no son perpendiculares
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La perpendicularidad es la relación entre varios objetos en el espacio euclidiano: líneas, planos, vectores, subespacios, etc. En este material, veremos más de cerca las líneas perpendiculares y los rasgos característicos relacionados con ellas. Dos líneas pueden llamarse perpendiculares (o mutuamente perpendiculares) si los cuatro ángulos formados por su intersección son exactamente noventa grados.
Hay ciertas propiedades de las líneas perpendiculares realizadas en un plano:
Construcción de rectas perpendiculares
Las líneas perpendiculares se construyen en un plano usando un cuadrado. Cualquier dibujante debe tener en cuenta que una característica importante de todo cuadrado es que necesariamente tiene un ángulo recto. Para crear dos líneas perpendiculares, necesitamos hacer coincidir uno de los dos lados. ángulo recto nuestro
dibujar un cuadrado con una línea recta dada y dibujar una segunda línea recta a lo largo del segundo lado de este ángulo recto. Esto creará dos líneas perpendiculares.
espacio tridimensional
Un hecho interesante es que se pueden realizar líneas perpendiculares y, en este caso, dos líneas se llamarán así si son paralelas, respectivamente, a otras dos líneas que se encuentran en el mismo plano y también perpendiculares en él. Además, si solo dos líneas rectas pueden ser perpendiculares en un plano, entonces en el espacio tridimensional ya hay tres. Además, el número de líneas (o planos) perpendiculares se puede aumentar aún más.
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Una línea recta (segmento de línea) se indica con dos letras mayúsculas del alfabeto latino o una letra minúscula. El punto se indica solo con una letra latina mayúscula.
Las líneas no pueden intersecarse, intersecarse o coincidir. Las líneas que se cortan tienen un solo punto en común, las líneas que no se cortan no tienen ningún punto en común y las líneas que coinciden tienen todos los puntos en común.
Definición. Dos rectas que se cortan en ángulo recto se llaman perpendiculares. La perpendicularidad de las líneas rectas (o sus segmentos) se denota con el signo de perpendicularidad "⊥".
Por ejemplo:
Su AB y CD(Fig. 1) se intersecan en el punto O y ∠ COA = ∠WOS = ∠AOD = ∠DBO= 90°, entonces AB ⊥ CD.
si un AB ⊥ CD(Fig. 2) y se cortan en el punto A, entonces ∠ A B C = ∠ABD= 90°
Propiedades de las rectas perpendiculares
1. A través de un punto PERO(Fig. 3) solo se puede dibujar una línea perpendicular AB a una línea recta CD; otras rectas que pasan por el punto PERO y cruzando CD, se llaman líneas oblicuas (Fig. 3, líneas rectas AE y FA).
2. Desde un punto A puedes dejar caer una perpendicular a una línea recta CD; longitud de la perpendicular (longitud del segmento AB) extraído del punto PERO directamente CD, es la distancia más corta de A antes de CD(Fig. 3).
Dos rectas se llaman perpendiculares si se cortan en ángulo recto.
La línea a se cruza con la línea b en un ángulo recto en el punto A. Puedes desplazarte usando el ícono perpendicular: a ⊥ b. Se lee así: la línea a es perpendicular a la línea b.
Cabe señalar que un ángulo adyacente y un ángulo vertical con un ángulo recto también son ángulos rectos.
A través de cada punto de una línea, se puede dibujar una línea perpendicular a él, y solo una.
Prueba.
Sea b una recta dada y el punto A pertenece a esta recta. Tomemos un rayo b1 en la línea b con el punto inicial en A. Dejemos de lado el ángulo (a1b1) igual a 90° del rayo b1. Por definición, la línea que contiene el rayo a1 será perpendicular a la línea b.
Supongamos que hay otra línea perpendicular a la línea by que pasa por el punto A. Tómese en esta línea un rayo c1 que emana del punto A y se encuentra en el mismo semiplano que el rayo a1. Entonces ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Pero según el axioma 8, en este semiplano sólo se puede apartar un ángulo igual a 90º. Por lo tanto, es imposible trazar otra línea perpendicular a la línea b a través del punto A en el semiplano dado. El teorema ha sido probado. 
Una perpendicular a una recta dada es un segmento de recta perpendicular a una recta dada que tiene uno de sus extremos en el punto de intersección. Este extremo del segmento se llama base de la perpendicular. AB es la perpendicular a la línea a. El punto A es la base de la perpendicular.