Nejmenší hodnota funkce f x. Největší a nejmenší hodnota funkce. Schéma pro nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce $f(x)$ na segmentu $$

07.08.2020

Obrázky níže ukazují, kde může funkce dosáhnout své nejmenší a největší hodnoty. Na levém obrázku jsou nejmenší a největší hodnoty fixovány v bodech lokálního minima a maxima funkce. Na pravém obrázku - na koncích segmentu.

Pokud je funkce y = F(X) spojitě na intervalu [ A, b], pak dosáhne na tento segment nejméně a nejvyšší hodnoty . To se, jak již bylo zmíněno, může stát buď v extrémní body nebo na koncích segmentu. Proto najít nejméně a největší hodnoty funkce , spojité na segmentu [ A, b], musíte vypočítat jeho hodnoty ve všech kritické body a na koncích segmentu a poté vyberte nejmenší a největší z nich.

Nechť je například potřeba určit maximální hodnotu funkce F(X) na segmentu [ A, b]. Chcete-li to provést, najděte všechny jeho kritické body ležící na [ A, b] .

kritický bod se nazývá bod, ve kterém funkce definována a ji derivát je buď nula, nebo neexistuje. Poté byste měli vypočítat hodnoty funkce v kritických bodech. A nakonec je třeba porovnat hodnoty funkce v kritických bodech a na koncích segmentu ( F(A) a F(b)). Největší z těchto čísel bude největší hodnota funkce na segmentu [A, b] .

Problém najít nejmenší hodnoty funkce .

Společně hledáme nejmenší a největší hodnoty funkce

Příklad 1. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu [-1, 2] .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce. Přirovnejte derivaci k nule () a získejte dva kritické body: a . K nalezení nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu stačí vypočítat její hodnoty na koncích segmentu a v bodě , protože bod nepatří do segmentu [-1, 2]. Tyto funkční hodnoty jsou následující: , , . Z toho vyplývá, že nejmenší funkční hodnota(označeno červeně na grafu níže), rovné -7, je dosaženo na pravém konci segmentu - v bodě , a největší(na grafu také červená), je v kritickém bodě rovna 9,-.

Je-li funkce spojitá v určitém intervalu a tento interval není segmentem (ale je např. intervalem; rozdíl mezi intervalem a segmentem: hraniční body intervalu se do intervalu nezahrnují, ale hraniční body segmentu jsou zahrnuty v segmentu), pak mezi hodnotami funkce nemusí být nejmenší a největší. Takže například funkce znázorněná na obrázku níže je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá největší hodnotu.

Pro jakýkoli interval (uzavřený, otevřený nebo nekonečný) však platí následující vlastnost spojitých funkcí.

Pro samokontrolu během výpočtů můžete použít online kalkulačka derivátů .

Příklad 4. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu [-1, 3] .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce jako derivaci kvocientu:

Derivaci srovnáme s nulou, což nám dává jeden kritický bod: . Patří do intervalu [-1, 3] . Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Porovnejme tyto hodnoty. Závěr: rovná se -5/13, v bodě a největší hodnotu v bodě rovna 1.

Pokračujeme ve společném hledání nejmenší a největší hodnoty funkce

Jsou učitelé, kteří na téma hledání nejmenší a největší hodnoty funkce nedávají studentům příklady složitější, než jsou právě uvažované, tedy takové, ve kterých je funkcí polynom nebo zlomek, čitatel a jejichž jmenovatelem jsou polynomy. Ale nebudeme se omezovat na takové příklady, protože mezi učiteli jsou milovníci toho, aby studenti přemýšleli v plném rozsahu (tabulka derivátů). Proto bude použit logaritmus a goniometrická funkce.

Příklad 8. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce jako derivát produktu :

Derivaci srovnáme s nulou, což dává jeden kritický bod: . Patří do segmentu. Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Výsledek všech akcí: funkce dosáhne své minimální hodnoty, rovno 0, v bodě a v bodě a největší hodnotu rovná E² , v bodě .

Pro samokontrolu během výpočtů můžete použít online kalkulačka derivátů .

Příklad 9. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce:

Přirovnejte derivaci k nule:

Jediný kritický bod patří segmentu. Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Závěr: funkce dosáhne své minimální hodnoty, rovno , v bodě a největší hodnotu, rovno , v bodě .

V aplikovaných extrémních úlohách je hledání nejmenších (největších) funkčních hodnot zpravidla redukováno na hledání minima (maxima). Větší praktický zájem však nemají samotná minima nebo maxima, ale hodnoty argumentu, při kterých se jich dosahuje. Při řešení aplikovaných problémů vzniká další obtíž - sestavení funkcí, které popisují uvažovaný jev nebo proces.

Příklad 10 Nádrž o objemu 4, která má tvar kvádru se čtvercovou základnou a je nahoře otevřená, musí být pocínována. Jaké by měly být rozměry nádrže, aby byla pokryta co nejmenším množstvím materiálu?

Řešení. Nechat X- základní strana h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, PROTI- jeho objem. Plocha nádrže je vyjádřena vzorcem, tj. je funkcí dvou proměnných. Vyjádřit S jako funkce jedné proměnné používáme skutečnost, že , odkud . Dosazení nalezeného výrazu h do vzorce pro S:

Prozkoumejme tuto funkci pro extrém. Je definován a diferencovatelný všude v ]0, +∞[ , a

Srovnáme derivaci s nulou () a najdeme kritický bod. Navíc v , derivace neexistuje, ale tato hodnota není zahrnuta v oblasti definice, a proto nemůže být extrémním bodem. Takže, - jediný kritický bod. Zkontrolujme to na přítomnost extrému pomocí druhého dostatečného znaku. Pojďme najít druhou derivaci. Když je druhá derivace větší než nula (). To znamená, že když funkce dosáhne minima . Protože tohle minimum - jediný extrém této funkce, je to její nejmenší hodnota. Takže strana základny nádrže by měla být rovna 2 m a její výška.

Pro samokontrolu během výpočtů můžete použít

Někdy jsou v úlohách B15 "špatné" funkce, pro které je obtížné najít derivaci. Dříve to bylo pouze na sondách, ale nyní jsou tyto úkoly tak běžné, že je již nelze při přípravě na tuto zkoušku ignorovat.

V tomto případě fungují další triky, z nichž jeden je - monotónní.

Funkce f (x) se nazývá monotónně rostoucí na úsečce, pokud pro libovolné body x 1 a x 2 této úsečky platí následující:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkce f (x) se na úsečce nazývá monotónně klesající, pokud pro libovolné body x 1 a x 2 této úsečky platí následující:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Jinými slovy, pro rostoucí funkci platí, že čím větší je x, tím větší je f(x). U klesající funkce platí opak: čím více x, tím více méně f(x).

Například logaritmus monotónně roste, pokud základ a > 1, a monotónně klesá, pokud 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetická druhá mocnina (a nejen druhá odmocnina) roste monotónně v celé oblasti definice:

Exponenciální funkce se chová podobně jako logaritmus: roste pro a > 1 a klesá pro 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Nakonec stupně se záporným exponentem. Můžete je napsat jako zlomek. Mají bod zlomu, kde je narušena monotónnost.

Všechny tyto funkce se nikdy nenacházejí v jejich čisté formě. Přidávají se k nim polynomy, zlomky a další nesmysly, kvůli kterým je obtížné derivaci vypočítat. Co se stane v tomto případě - nyní budeme analyzovat.

Souřadnice vrcholů paraboly

Nejčastěji je argument funkce nahrazen čtvercový trojčlen tvaru y = ax 2 + bx + c . Jeho graf je standardní parabola, která nás zajímá:

Větve paraboly - mohou jít nahoru (pro a > 0) nebo dolů (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Vrchol paraboly je krajní bod kvadratické funkce, ve kterém tato funkce nabývá nejmenší (pro a > 0) nebo největší (a< 0) значение.

Největší zájem je vrchol paraboly, jehož úsečka se vypočítá podle vzorce:

Našli jsme tedy krajní bod kvadratické funkce. Ale pokud je původní funkce monotónní, bude pro ni bod x 0 také extrémním bodem. Proto formulujeme klíčové pravidlo:

Extrémní body čtvercového trinomu a komplexní funkce, do které vstupuje, se shodují. Proto můžete hledat x 0 pro čtvercový trojčlen a na funkci zapomenout.

Z výše uvedené úvahy zůstává nejasné, jaký druh bodu získáme: maximum nebo minimum. Úkoly jsou však speciálně navrženy tak, aby to nevadilo. Posuďte sami:

Ve stavu problému není žádný segment. Proto není nutné počítat f(a) a f(b). Zbývá vzít v úvahu pouze extrémní body;
Takový bod ale existuje jen jeden – jde o vrchol paraboly x 0, jejíž souřadnice jsou vypočítány doslova ústně a bez jakýchkoli derivací.

Řešení problému je tedy značně zjednodušeno a zredukováno na pouhé dva kroky:

Napište rovnici paraboly y = ax 2 + bx + c a najděte její vrchol pomocí vzorce: x 0 = −b /2a;
Najděte hodnotu původní funkce v tomto bodě: f (x 0). Pokud neexistují žádné další podmínky, bude to odpověď.

Na první pohled se tento algoritmus a jeho zdůvodnění může zdát komplikovaný. Záměrně nezveřejňuji schéma „holého“ řešení, protože bezmyšlenkovité uplatňování takových pravidel je plné chyb.

Zvažte skutečné úkoly ze zkušební zkoušky z matematiky – zde je tato technika nejčastější. Zároveň se postaráme o to, aby se tímto způsobem mnohé problémy B15 staly téměř verbálními.

Pod kořenem je kvadratická funkce y \u003d x 2 + 6x + 13. Graf této funkce je parabola s větvemi nahoru, protože koeficient a \u003d 1\u003e 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Protože větve paraboly směřují nahoru, v bodě x 0 \u003d −3 nabývá funkce y \u003d x 2 + 6x + 13 nejmenší hodnotu.

Kořen je monotónně rostoucí, takže x 0 je minimální bod celé funkce. My máme:

Úkol. Najděte nejmenší hodnotu funkce:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmem je opět kvadratická funkce: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s větvemi nahoru, protože a = 1 > 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Takže v bodě x 0 = −1 nabývá kvadratická funkce nejmenší hodnotu. Ale funkce y = log 2 x je monotónní, takže:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponent je kvadratická funkce y = 1 − 4x − x 2 . Přepišme to do normálního tvaru: y = −x 2 − 4x + 1.

Je zřejmé, že grafem této funkce je parabola, která se větví dolů (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Původní funkce je exponenciální, je monotónní, takže největší hodnota bude v nalezeném bodě x 0 = −2:

Pozorný čtenář si jistě všimne, že jsme nezapsali oblast přípustných hodnot kořene a logaritmu. To však nebylo nutné: uvnitř jsou funkce, jejichž hodnoty jsou vždy kladné.

Důsledky z rozsahu funkce

Někdy k vyřešení problému B15 nestačí jen najít vrchol paraboly. Požadovaná hodnota může ležet na konci segmentu, ale ne v extrémním bodě. Pokud úkol vůbec neurčuje segment, podívejte se na toleranční rozmezí původní funkce. A to:

Znovu pozor: nula může být pod kořenem, ale nikdy ne v logaritmu nebo jmenovateli zlomku. Podívejme se, jak to funguje na konkrétních příkladech:

Úkol. Najděte největší hodnotu funkce:

Pod kořenem je opět kvadratická funkce: y \u003d 3 - 2x - x 2. Jeho graf je parabola, ale větví se dolů, protože a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Vypíšeme oblast přípustných hodnot (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; jeden]

Nyní najděte vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Bod x 0 = −1 patří do segmentu ODZ - a to je dobře. Nyní uvažujeme hodnotu funkce v bodě x 0 a také na koncích ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Dostali jsme tedy čísla 2 a 0. Jsme požádáni, abychom našli největší - toto je číslo 2.

Úkol. Najděte nejmenší hodnotu funkce:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Uvnitř logaritmu je kvadratická funkce y \u003d 6x - x 2 - 5. Toto je parabola s větvemi dolů, ale v logaritmu nemohou být záporná čísla, takže vypíšeme ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Pozor: nerovnost je přísná, takže konce nepatří do ODZ. Tím se logaritmus liší od kořene, kde nám konce segmentu docela vyhovují.

Hledám vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Vrchol paraboly zapadá podél ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ale protože nás konce segmentu nezajímají, uvažujeme hodnotu funkce pouze v bodě x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

V úloze B14 z USE v matematice potřebujete najít nejmenší nebo největší hodnotu funkce jedné proměnné. Jde o poměrně triviální problém z matematické analýzy a právě z tohoto důvodu by se každý absolvent střední školy mohl a měl naučit, jak jej normálně řešit. Pojďme si rozebrat pár příkladů, které školáci řešili na diagnostické práci z matematiky, která se konala v Moskvě 7. prosince 2011.

V závislosti na intervalu, ve kterém chcete najít maximální nebo minimální hodnotu funkce, se k řešení tohoto problému použije jeden z následujících standardních algoritmů.

I. Algoritmus pro nalezení největší nebo nejmenší hodnoty funkce na segmentu:

Najděte derivaci funkce.
Vyberte z bodů podezřelých z extrému ty, které patří do daného segmentu a oboru funkce.
Vypočítejte hodnoty funkcí(ne derivát!) v těchto bodech.
Mezi získanými hodnotami vyberte největší nebo nejmenší, bude to požadovaná.

Příklad 1 Najděte nejmenší hodnotu funkce
y = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 v segmentu .

Řešení: jednáme podle algoritmu pro nalezení nejmenší hodnoty funkce na segmentu:

Rozsah funkce není omezen: D(y) = R.
Derivace funkce je: y' = 3X 2 – 36X+ 81. Rozsah derivace funkce také není omezen: D(y') = R.
Nuly derivátu: y' = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, takže X 2 – 12X+ 27 = 0, odkud X= 3 a X= 9, náš interval zahrnuje pouze X= 9 (jeden bod podezřelý pro extrém).
Hodnotu funkce najdeme v bodě podezřelém z extrému a na okrajích intervalu. Pro usnadnění výpočtů uvádíme funkci ve tvaru: y = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
- y(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
- y(9) = 9 (9-9)2 +23 = 23;
- y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Takže ze získaných hodnot je nejmenší 23. Odpověď: 23.

II. Algoritmus pro nalezení největší nebo nejmenší hodnoty funkce:

Najděte rozsah funkce.
Najděte derivaci funkce.
Určete body, které jsou podezřelé z extrému (ty body, ve kterých derivace funkce mizí, a body, ve kterých neexistuje žádná oboustranná konečná derivace).
Označte tyto body a definiční obor funkce na číselné ose a určete znaménka derivát(ne funkce!) na výsledných intervalech.
Definujte hodnoty funkcí(ne derivace!) v minimálních bodech (těch bodech, ve kterých se znaménko derivace mění z mínus na plus), nejmenší z těchto hodnot bude nejmenší hodnota funkce. Pokud nejsou žádné minimální body, pak funkce nemá minimální hodnotu.
Definujte hodnoty funkcí(ne derivace!) v maximálních bodech (těch bodech, ve kterých se znaménko derivace mění z plus na mínus), největší z těchto hodnot bude největší hodnota funkce. Pokud nejsou žádné maximální body, pak funkce nemá maximální hodnotu.

Příklad 2 Najděte největší hodnotu funkce.

S touto službou můžete najít největší a nejmenší hodnotu funkce jedna proměnná f(x) s návrhem řešení ve Wordu. Je-li tedy dána funkce f(x,y), je nutné najít extrém funkce dvou proměnných . Můžete také najít intervaly zvýšení a snížení funkce.

Pravidla zadávání funkcí:

Nutná podmínka pro extrém funkce jedné proměnné

Rovnice f" 0 (x *) = 0 je nutná podmínka extrém funkce jedné proměnné, tzn. v bodě x * musí první derivace funkce zmizet. Vybírá stacionární body x c, ve kterých se funkce nezvyšuje ani nesnižuje.

Postačující podmínka pro extrém funkce jedné proměnné

Nechť f 0 (x) je dvakrát diferencovatelné vzhledem k x patřícímu do množiny D . Pokud je v bodě x * splněna podmínka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potom bod x * je bod lokálního (globálního) minima funkce.

Pokud je v bodě x * splněna podmínka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ten bod x * je lokální (globální) maximum.

Příklad #1. Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce: na segmentu .
Řešení.

Kritický bod je jedna x 1 = 2 (f'(x)=0). Tento bod patří do segmentu . (Bod x=0 není kritický, protože 0∉).
Vypočítáme hodnoty funkce na koncích segmentu a v kritickém bodě.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpověď: f min = 5 / 2 pro x=2; f max = 9 při x = 1

Příklad č. 2. Pomocí derivací vyšších řádů najděte extrém funkce y=x-2sin(x) .
Řešení.
Najděte derivaci funkce: y’=1-2cos(x) . Najděte kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Najdeme y''=2sin(x), vypočteme , takže x= π / 3 +2πk, k∈Z jsou minimální body funkce; , takže x=- π / 3 +2πk, k∈Z jsou maximální body funkce.

Příklad #3. Vyšetřte extremní funkci v okolí bodu x=0.
Řešení. Zde je potřeba najít extrémy funkce. Pokud je extrém x=0 , zjistěte jeho typ (minimum nebo maximum). Pokud mezi nalezenými body není x = 0, pak vypočítejte hodnotu funkce f(x=0).
Je třeba si uvědomit, že když derivace na každé straně daného bodu nemění své znaménko, nejsou možné situace vyčerpány ani pro diferencovatelné funkce: může se stát, že pro libovolně malé okolí na jedné straně bodu x 0 resp. na obou stranách derivace mění znaménko. V těchto bodech je třeba použít jiné metody ke studiu funkcí do extrému.

Příklad #4. Rozdělte číslo 49 na dva členy, jejichž součin bude největší.
Řešení. Nechť x je první člen. Potom (49-x) je druhý člen.
Produkt bude maximální: x (49-x) → max

V červenci 2020 zahajuje NASA expedici na Mars. Kosmická loď doručí na Mars elektronický nosič se jmény všech registrovaných členů expedice.

Pokud tento příspěvek vyřešil váš problém nebo se vám jen líbil, sdílejte odkaz na něj se svými přáteli na sociálních sítích.

Jednu z těchto možností kódu je třeba zkopírovat a vložit do kódu vaší webové stránky, nejlépe mezi značky a nebo hned za značkou . Podle první možnosti se MathJax načítá rychleji a méně zpomaluje stránku. Ale druhá možnost automaticky sleduje a načítá nejnovější verze MathJax. Pokud vložíte první kód, bude nutné jej pravidelně aktualizovat. Pokud vložíte druhý kód, stránky se budou načítat pomaleji, ale nebudete muset neustále sledovat aktualizace MathJax.

Nejjednodušší způsob připojení MathJax je v Bloggeru nebo WordPressu: do ovládacího panelu webu přidejte widget určený pro vložení kódu JavaScript třetí strany, zkopírujte do něj první nebo druhou verzi načítacího kódu uvedeného výše a umístěte widget blíže. na začátek šablony (mimochodem, není to vůbec nutné, protože skript MathJax se načítá asynchronně). To je vše. Nyní se naučte syntaxi značek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a jste připraveni vkládat matematické vzorce do svých webových stránek.

Další Silvestr... mrazivé počasí a sněhové vločky na okenní tabuli... To vše mě přimělo znovu napsat o... fraktálech a o tom, co o nich Wolfram Alpha ví. Při této příležitosti je zajímavý článek, ve kterém jsou příklady dvourozměrných fraktálových struktur. Zde budeme uvažovat o složitějších příkladech trojrozměrných fraktálů.

Fraktál lze vizuálně znázornit (popsat) jako geometrický obrazec nebo těleso (to znamená, že oba jsou souborem, v tomto případě souborem bodů), jehož detaily mají stejný tvar jako samotný původní obrazec. To znamená, že jde o sebepodobnou strukturu, jejíž detaily při zvětšení uvidíme stejný tvar jako bez zvětšení. Kdežto v případě obvyklého geometrický obrazec(ne fraktál), při přiblížení uvidíme detaily, které mají jednodušší tvar než samotná původní figura. Například při dostatečně velkém zvětšení vypadá část elipsy jako úsečka. To se u fraktálů neděje: s jakýmkoli jejich nárůstem opět uvidíme stejný složitý tvar, který se s každým nárůstem bude znovu a znovu opakovat.

Benoit Mandelbrot, zakladatel vědy o fraktálech, ve svém článku Fraktály a umění pro vědu napsal: "Fraktály jsou geometrické tvary, které jsou stejně složité ve svých detailech jako ve své celkové formě. To znamená, pokud část fraktálu bude zvětšit na velikost celku, bude vypadat jako celek, nebo přesně, nebo možná s mírnou deformací.