Vectores en el examen de matemáticas. Acciones sobre vectores. Vectores para tontos. Acciones con vectores. Coordenadas vectoriales. Los problemas más simples con vectores Fórmulas de teoría de vectores

15.11.2020

Definición estándar: "Un vector es un segmento de línea dirigido". Este suele ser el límite del conocimiento de vectores de un graduado. ¿Quién necesita algún tipo de "segmentos dirigidos"?

Pero, de hecho, ¿qué son los vectores y por qué lo son?
Pronóstico del tiempo. "Viento noroeste, velocidad 18 metros por segundo". De acuerdo, la dirección del viento (de dónde sopla) y el módulo (es decir, el valor absoluto) de su velocidad también importan.

Las cantidades que no tienen dirección se llaman escalares. La masa, el trabajo, la carga eléctrica no se dirigen a ninguna parte. Se caracterizan solo por un valor numérico: "cuántos kilogramos" o "cuántos julios".

Las cantidades físicas que no solo tienen un valor absoluto, sino también una dirección se llaman cantidades vectoriales.

Velocidad, fuerza, aceleración - vectores. Para ellos, es importante "cuánto" y es importante "dónde". Por ejemplo, la aceleración de caída libre está dirigida hacia la superficie de la Tierra y su valor es de 9,8 m/s 2 . El momento, la fuerza del campo eléctrico, la inducción del campo magnético también son cantidades vectoriales.

Recuerdas que las cantidades físicas se denotan con letras, latinas o griegas. La flecha sobre la letra indica que la cantidad es un vector:

Aquí hay otro ejemplo.
El carro se mueve de A a B. El resultado final es su movimiento del punto A al punto B, es decir, movimiento por un vector .

Ahora está claro por qué un vector es un segmento dirigido. Presta atención, el final del vector es donde está la flecha. Longitud vectorial se llama la longitud de este segmento. designado: o

Hasta ahora, hemos estado trabajando con cantidades escalares, de acuerdo con las reglas de la aritmética y el álgebra elemental. Los vectores son un nuevo concepto. Esta es otra clase de objetos matemáticos. Tienen sus propias reglas.

Érase una vez, ni siquiera sabíamos de números. El conocimiento de ellos comenzó en los grados de primaria. Resultó que los números se pueden comparar entre sí, sumar, restar, multiplicar y dividir. Aprendimos que hay un número uno y un número cero.
Ahora conocemos los vectores.

Los conceptos de "mayor que" y "menor que" no existen para los vectores; después de todo, sus direcciones pueden ser diferentes. Solo puedes comparar las longitudes de los vectores.

Pero el concepto de igualdad de vectores sí lo es.
Igual son vectores que tienen la misma longitud y la misma dirección. Esto significa que el vector se puede mover paralelo a sí mismo a cualquier punto del plano.
único se llama un vector cuya longitud es 1 . Cero: un vector cuya longitud es igual a cero, es decir, su comienzo coincide con el final.

Es más conveniente trabajar con vectores en un sistema de coordenadas rectangulares, en el que dibujamos gráficos de funciones. Cada punto en el sistema de coordenadas corresponde a dos números: sus coordenadas x e y, abscisa y ordenada.
El vector también viene dado por dos coordenadas:

Aquí, las coordenadas del vector se escriben entre paréntesis, en x y en y.
Son fáciles de encontrar: la coordenada del final del vector menos la coordenada de su comienzo.

Si se dan las coordenadas del vector, su longitud se encuentra mediante la fórmula

Suma de vectores

Hay dos formas de sumar vectores.

una . regla del paralelogramo Para sumar los vectores y , colocamos los orígenes de ambos en el mismo punto. Completamos el paralelogramo y dibujamos la diagonal del paralelogramo desde el mismo punto. Esta será la suma de los vectores y .

¿Recuerdas la fábula del cisne, el cáncer y el lucio? Se esforzaron mucho, pero nunca movieron el carro. Después de todo, la suma vectorial de las fuerzas aplicadas por ellos al carro era igual a cero.

2. La segunda forma de sumar vectores es la regla del triángulo. Tomemos los mismos vectores y . Agregamos el comienzo del segundo al final del primer vector. Ahora conectemos el comienzo del primero y el final del segundo. Esta es la suma de los vectores y .

Por la misma regla, puede agregar varios vectores. Los adjuntamos uno por uno y luego conectamos el comienzo del primero con el final del último.

Imagina que vas del punto A al punto B, de B a C, de C a D, luego a E y luego a F. El resultado final de estas acciones es un movimiento de A a F.

Al sumar vectores y obtenemos:

resta de vectores

El vector está dirigido en dirección opuesta al vector . Las longitudes de los vectores y son iguales.

Ahora está claro qué es la resta de vectores. La diferencia de los vectores y es la suma del vector y el vector .

Multiplicar un vector por un número

Multiplicar un vector por un número k da como resultado un vector cuya longitud es k veces diferente de la longitud . Es codireccional con el vector si k es mayor que cero, y de dirección opuesta si k es menor que cero.

Producto escalar de vectores

Los vectores se pueden multiplicar no solo por números, sino también entre sí.

El producto escalar de vectores es el producto de las longitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos.

Preste atención: multiplicamos dos vectores y obtuvimos un escalar, es decir, un número. Por ejemplo, en física. Trabajo mecánico es igual al producto escalar de dos vectores - fuerza y desplazamiento:

Si los vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero.
Y así se expresa el producto escalar en función de las coordenadas de los vectores y:

A partir de la fórmula del producto escalar, puedes encontrar el ángulo entre los vectores:

Esta fórmula es especialmente conveniente en estereometría. Por ejemplo, en el problema 14 examen de perfil en matemáticas, necesitas encontrar el ángulo entre líneas que se cruzan o entre una línea y un plano. El problema 14 a menudo se resuelve varias veces más rápido que el clásico.

En el currículo escolar de matemáticas solo se estudia el producto escalar de vectores.
Resulta que, además del escalar, también existe un producto vectorial, cuando como resultado de multiplicar dos vectores se obtiene un vector. Quien aprueba el examen de física, sabe qué es la fuerza de Lorentz y la fuerza de Ampère. Las fórmulas para encontrar estas fuerzas incluyen exactamente productos vectoriales.

Los vectores son una herramienta matemática muy útil. Se convencerá de esto en el primer curso.

DEFINICIÓN

Vector(del lat. " vector"-" rodamiento") - un segmento dirigido de una línea recta en el espacio o en un plano.

Gráficamente, un vector se representa como un segmento de línea recta dirigido de cierta longitud. El vector cuyo comienzo está en el punto y el final en el punto se denota como (Fig. 1). Además, un vector se puede indicar con una sola letra minúscula, por ejemplo, .

Si se da un sistema de coordenadas en el espacio, entonces el vector se puede especificar de forma única mediante un conjunto de sus coordenadas. Es decir, se entiende por vector un objeto que tiene un valor (longitud), dirección y punto de aplicación (el inicio del vector).

Los inicios del cálculo vectorial aparecieron en obras en 1831 en las obras matemático alemán, mecánico, físico, astrónomo y topógrafo Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Los trabajos sobre operaciones con vectores fueron publicados por el matemático, mecánico y físico teórico irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) como parte de su cálculo de cuaterniones. El científico propuso el término "vector" y describió algunas operaciones sobre vectores. El cálculo vectorial obtuvo su mayor desarrollo gracias al trabajo sobre electromagnetismo del físico, matemático y mecánico británico James Clerk Maxwell (1831-1879). En la década de 1880, se publicó el libro "Elementos del análisis vectorial" del físico, físicoquímico, matemático y mecánico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903). El análisis vectorial moderno fue descrito en 1903 por el científico, ingeniero, matemático y físico inglés autodidacta Oliver Heaviside (1850-1925).

DEFINICIÓN

Longitud o módulo vectorial es la longitud del segmento dirigido que define el vector. Designado como .

Tipos básicos de vectores

vector cero se llama vector cuyo punto inicial y punto final son iguales. La longitud del vector nulo es cero.

Los vectores que son paralelos a la misma recta o están sobre la misma recta se llaman colineal(Figura 2).

codireccional si sus direcciones son las mismas.

En la Figura 2, estos son los vectores y . La codirección de los vectores se denota de la siguiente manera: .

Dos vectores colineales se llaman direcciones opuestas si sus direcciones son opuestas.

En la figura 3, estos son los vectores y . Designacion: .

1. ¿Qué es un vector?

2. Suma de vectores.

3. Igualdad de vectores.

4. Producto escalar de dos vectores y sus propiedades.

5. Propiedades de las operaciones sobre vectores.

6. Demostraciones y resolución de problemas.

Uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas modernas es el vector y su generalización: el tensor. La evolución del concepto de vector se llevó a cabo debido al amplio uso de este concepto en varios campos de las matemáticas, la mecánica, así como en la tecnología.

El final del pasado y el comienzo del presente siglo estuvieron marcados por el amplio desarrollo del cálculo vectorial y sus aplicaciones. Se crearon el álgebra vectorial y el análisis vectorial, una teoría general del espacio vectorial. Estas teorías se utilizaron en la construcción de la relatividad especial y general, que juegan un papel extremadamente importante en física moderna.

Según sea necesario nuevo programa en matemáticas, el concepto de vector se ha convertido en uno de los conceptos principales del curso de matemáticas escolares.

¿Qué es un vector? Curiosamente, la respuesta a esta pregunta presenta ciertas dificultades. Existen varios enfoques para la definición del concepto de vector; Además, incluso si nos limitamos al enfoque geométrico elemental del concepto de vector, que es el más interesante para nosotros aquí, incluso entonces habrá diferentes puntos de vista sobre este concepto. Por supuesto, cualquiera que sea la definición que tomemos, un vector -desde un punto de vista geométrico elemental- es un objeto geométrico caracterizado por una dirección (es decir, una línea recta especificada hasta el paralelismo y una dirección sobre ella) y una longitud. una definición es demasiado general, no provocando representaciones geométricas específicas. De acuerdo con esta definición general, una traslación paralela puede considerarse un vector. De hecho, uno podría aceptar tal definición: "Un vector es cualquier traslación paralela". Esta definición es lógicamente impecable, y sobre su base se puede construir toda la teoría de acciones sobre vectores y se pueden desarrollar aplicaciones de esta teoría. Sin embargo, esta definición, a pesar de su completa concreción, tampoco puede satisfacernos aquí, ya que la idea de un vector como una transformación geométrica nos parece insuficientemente clara y alejada de las ideas físicas sobre cantidades vectoriales.

Asi que, vector llamado la familia de todos los segmentos paralelos entre sí, igualmente dirigidos y que tienen la misma longitud (Fig. 1).

El vector se representa en los dibujos como un segmento con una flecha (es decir, no se representa toda la familia de segmentos, que es un vector, sino solo uno de estos segmentos). Las letras latinas en negrita se utilizan para designar vectores en libros y artículos. a B C y así sucesivamente, y en cuadernos y en la pizarra: letras latinas con un guión en la parte superior , La misma letra, pero sin negrita, pero clara (y en el cuaderno y en la pizarra, la misma letra sin guión) denota la longitud del vector. La longitud a veces también se indica mediante líneas verticales, como el módulo (valor absoluto) del número. Por lo tanto, la longitud del vector a denotado por a o yo a I, y en texto escrito a mano, la longitud del vector a denotado por a o yo a I. En relación con la representación de vectores en forma de segmentos (Fig. 2), debe recordarse que los extremos del segmento que representa el vector son desiguales: un extremo del segmento al otro.

Distingue entre el principio y el final de un vector (más precisamente, un segmento que representa un vector).

Muy a menudo, el concepto de vector recibe otra definición: un segmento dirigido se llama vector. En este caso, los vectores (es decir, los segmentos dirigidos) que tienen la misma longitud y la misma dirección (Fig. 3) se consideran iguales.

Se dice que los vectores están igualmente dirigidos si sus semirrectas están igualmente dirigidas.

Suma de vectores.

Todo lo anterior todavía no hace que el concepto de vector sea lo suficientemente significativo y útil. El concepto de vector adquiere más contenido y una rica posibilidad de aplicaciones cuando introducimos una especie de "aritmética geométrica": la aritmética de vectores, que nos permite sumar vectores, restarlos y realizar otras operaciones con ellos. Notamos a este respecto que, después de todo, el concepto de número se vuelve interesante solo con la introducción de operaciones aritméticas, y no en sí mismo.

La suma de vectores a y en con coordenadas un 1, un 2 y un 1, un 2 llamado vector Con con coordenadas un 1 + en 1, un 2 + en 2, aquellos. a(un 1; un 2) + en(en 1 ;en 2) = Con(un 1 + en 1; un 2 + en 2).

Consecuencia:

Para probar la conmutatividad de la suma de vectores en el plano, necesitamos considerar un ejemplo. a y en - vectores (Fig. 5).

Dejar

1. Construimos un paralelogramo OASV: AM II OB, VN II OA.

Para probar la asociatividad, apartamos de un punto arbitrario O el vector AO = un, desde el punto A vector AB = en y de punto a - vector sol = s. Entonces tenemos: AB + BC = CA.
de donde se sigue la igualdad un + (en + con) = (a + b)+ pág. Tenga en cuenta que la prueba anterior no utiliza el dibujo en absoluto. Esto es típico (con cierta habilidad) para resolver problemas usando vectores. Consideremos ahora el caso cuando los vectores a y en dirigida en direcciones opuestas y longitudes iguales; tales vectores se llaman opuestos. Nuestra regla de la suma de vectores nos lleva al hecho de que la suma de dos vectores opuestos es un "vector" que tiene longitud cero y no tiene dirección; este “vector” está representado por un “segmento de longitud cero”, es decir punto. Pero este también es un vector, que se llama cero y se denota con el símbolo 0.

Igualdad de vectores.

Se dice que dos vectores son iguales si se combinan mediante una traslación paralela. Esto significa que hay una traslación paralela que traslada el principio y el final de un vector al principio y al final de otro vector, respectivamente.

De esta definición la igualdad de vectores implica que diferentes vectores son igualmente dirigidos e iguales en valor absoluto.

Y viceversa: si los vectores son igualmente dirigidos e iguales en valor absoluto, entonces son iguales.

De hecho, sean los vectores AB y DE D - vectores idénticamente dirigidos, iguales en valor absoluto (Fig. 6). Una transferencia paralela que lleva del punto C al punto A combina la semirrecta CD con la semirrecta AB, ya que están igualmente dirigidas. Y como los segmentos AB y CD son iguales, entonces el punto D está alineado con el punto B, es decir, la transferencia paralela traslada el vector CD al vector AB. Entonces los vectores AB y DE D son iguales, lo cual debía probarse.

También habrá tareas para solución independiente a la que se puede ver las respuestas.

concepto vectorial

Antes de aprender todo acerca de los vectores y las operaciones con ellos, sintoniza para resolver un problema simple. Hay un vector de su empresa y un vector de sus habilidades innovadoras. El vector del espíritu empresarial lo lleva a la Meta 1, y el vector de habilidades innovadoras, a la Meta 2. Las reglas del juego son tales que no puede moverse en las direcciones de estos dos vectores a la vez y lograr dos metas a la vez. Los vectores interactúan o, hablando matemáticamente, se realiza alguna operación sobre los vectores. El resultado de esta operación es el vector "Resultado", que lo lleva a la Meta 3.

Ahora dime: ¿el resultado de qué operación en los vectores "Empresa" y "Habilidades innovadoras" es el vector "Resultado"? Si no puede decirlo de inmediato, no se desanime. A medida que estudie esta lección, podrá responder a esta pregunta.

Como hemos visto anteriormente, el vector necesariamente viene de algún punto A en línea recta hasta algún punto B. En consecuencia, cada vector no solo tiene un valor numérico (longitud), sino también una dirección física y geométrica. De aquí se deriva la primera y más simple definición de un vector. Entonces, un vector es un segmento dirigido que va desde un punto A al punto B. Está marcado así:

Y para empezar diferente operaciones vectoriales , necesitamos familiarizarnos con una definición más de un vector.

Un vector es una especie de representación de un punto al que se llega desde algún punto de partida. Por ejemplo, un vector tridimensional generalmente se escribe como (x, y, z) . En pocas palabras, estos números representan qué tan lejos tienes que ir en tres direcciones diferentes para llegar al punto.

Sea dado un vector. Donde X = 3 (la mano derecha apunta a la derecha) y = 1 (mano izquierda apunta hacia adelante) z = 5 (debajo del punto hay una escalera que sube). A partir de estos datos, encontrarás el punto caminando 3 metros en la dirección que te indica la mano derecha, luego 1 metro en la dirección que te indica la mano izquierda, luego te espera una escalera y, subiendo 5 metros, finalmente encontrarás usted mismo en el punto final.

Todos los demás términos son refinamientos de la explicación presentada anteriormente, necesarios para varias operaciones con vectores, es decir, para resolver problemas prácticos. Repasemos estas definiciones más rigurosas, deteniéndonos en problemas vectoriales típicos.

Ejemplos físicos Las cantidades vectoriales pueden ser el desplazamiento de un punto material que se mueve en el espacio, la velocidad y la aceleración de este punto, así como la fuerza que actúa sobre él.

vector geométrico representado en el espacio bidimensional y tridimensional en la forma segmento dirigido. Este es un segmento que tiene un principio y un final.

si un A es el comienzo del vector, y B es su final, entonces el vector se denota con el símbolo o una sola letra minúscula . En la figura, el final del vector está indicado por una flecha (Fig. 1)

Longitud(o módulo) de un vector geométrico es la longitud del segmento que lo genera

Los dos vectores se llaman igual , si pueden combinarse (cuando las direcciones coinciden) por traslación paralela, es decir si son paralelos, apuntan en la misma dirección y tienen longitudes iguales.

En física, a menudo se considera Vectores de pin, dada por el punto de aplicación, la longitud y la dirección. Si el punto de aplicación del vector no importa, entonces se puede transferir manteniendo la longitud y la dirección a cualquier punto del espacio. En este caso, el vector se llama libre. Estamos de acuerdo en considerar sólo vectores gratis.

Operaciones lineales sobre vectores geométricos

Multiplicar un vector por un número

Producto vectorial por número Un vector se denomina vector obtenido a partir de un vector estirando (en ) o encogiendo (en ) veces, y la dirección del vector se conserva si , y se invierte si . (Figura 2)

De la definición se deduce que los vectores y = siempre están ubicados en una línea o líneas paralelas. Tales vectores se llaman colineal. (También puede decir que estos vectores son paralelos, pero en álgebra vectorial se acostumbra decir "colineales".) Lo contrario también es cierto: si los vectores y son colineales, entonces están relacionados por la relación

Por tanto, la igualdad (1) expresa la condición de colinealidad de dos vectores.

Suma y resta de vectores

Al agregar vectores, debe saber que suma vectores y se llama vector a un vector cuyo principio coincide con el principio del vector, y el final coincide con el final del vector, siempre que el principio del vector esté unido al final del vector. (Fig. 3)

Esta definición se puede distribuir sobre cualquier número finito de vectores. Deje en el espacio dado norte vectores gratis. Al sumar varios vectores, su suma se toma como vector de cierre, cuyo comienzo coincide con el comienzo del primer vector y el final con el final del último vector. Es decir, si el principio del vector está unido al final del vector, y el principio del vector al final del vector, etc. y, finalmente, al final del vector: el comienzo del vector, luego la suma de estos vectores es el vector de cierre , cuyo inicio coincide con el inicio del primer vector , y cuyo final coincide con el final del último vector . (Figura 4)

Los términos se denominan componentes del vector y la regla formulada es regla poligonal. Este polígono puede no ser plano.

Cuando un vector se multiplica por el número -1, se obtiene el vector opuesto. Los vectores y tienen la misma longitud y direcciones opuestas. Su suma da vector nulo, cuya longitud es cero. La dirección del vector nulo no está definida.

En álgebra vectorial, no hay necesidad de considerar la operación de resta por separado: restar un vector de un vector significa agregar el vector opuesto al vector, es decir

Ejemplo 1 Simplifica la expresión:

es decir, los vectores se pueden sumar y multiplicar por números de la misma manera que los polinomios (en particular, también problemas para simplificar expresiones). Por lo general, la necesidad de simplificar expresiones linealmente similares con vectores surge antes de calcular los productos de vectores.

Ejemplo 2 Los vectores y sirven como diagonales del paralelogramo ABCD (Fig. 4a). Expresar en términos de y los vectores , y , que son los lados de este paralelogramo.

Solución. El punto de intersección de las diagonales de un paralelogramo biseca cada diagonal. Las longitudes de los vectores requeridas en la condición del problema se encuentran como la mitad de las sumas de los vectores que forman un triángulo con los deseados, o como la mitad de las diferencias (dependiendo de la dirección del vector que sirve como diagonal), o, como en este último caso, la mitad de la suma tomada con un signo menos. El resultado son los vectores requeridos en la condición del problema:

Hay muchas razones para creer que ahora respondió correctamente la pregunta sobre los vectores "Empresa" y "Habilidades innovadoras" al comienzo de esta lección. Respuesta correcta: estos vectores están sujetos a una operación de suma.

Resuelve problemas en vectores por tu cuenta y luego mira las soluciones.

¿Cómo encontrar la longitud de la suma de vectores?

Este problema ocupa un lugar especial en las operaciones con vectores, ya que involucra el uso de propiedades trigonométricas. Supongamos que tiene una tarea como la siguiente:

Dada la longitud de los vectores y la longitud de la suma de estos vectores. Encuentre la longitud de la diferencia de estos vectores.

Soluciones a este y otros problemas similares y explicaciones de cómo resolverlos - en la lección " Suma de vectores: la longitud de la suma de vectores y el teorema del coseno ".

Y puede verificar la solución de tales problemas en Calculadora en línea "Lado desconocido de un triángulo (suma de vectores y teorema del coseno)" .

¿Dónde están los productos de los vectores?

Los productos de un vector por un vector no son operaciones lineales y se consideran por separado. Y tenemos lecciones "Producto escalar de vectores" y "Vector y producto mixto de vectores".

Proyección de un vector sobre un eje

La proyección de un vector sobre un eje es igual al producto de la longitud del vector proyectado y el coseno del ángulo entre el vector y el eje:

Como es sabido, la proyección de un punto A sobre la recta (plano) es la base de la perpendicular caída desde este punto hasta la recta (plano).

Deje - un vector arbitrario (Fig. 5), y y - proyecciones de su comienzo (puntos A) y final (puntos B) por eje yo. (Para construir la proyección de un punto A) dibuja directamente a través del punto A plano perpendicular a la recta. La intersección de una línea y un plano determinará la proyección requerida.

Componente del vector en el eje l llamado tal vector que se encuentra en este eje, cuyo comienzo coincide con la proyección del comienzo y el final, con la proyección del final del vector.

La proyección del vector sobre el eje. yo llamó a un número

igual a la longitud del vector componente en este eje, tomado con un signo más si la dirección del componente coincide con la dirección del eje yo, y con un signo menos si estas direcciones son opuestas.

Las principales propiedades de las proyecciones vectoriales en el eje:

1. Las proyecciones de vectores iguales sobre el mismo eje son iguales entre sí.

2. Cuando un vector se multiplica por un número, su proyección se multiplica por el mismo número.

3. La proyección de la suma de vectores sobre cualquier eje es igual a la suma de las proyecciones sobre el mismo eje de los términos de los vectores.

4. La proyección de un vector sobre un eje es igual al producto de la longitud del vector proyectado y el coseno del ángulo entre el vector y el eje:

Solución. Proyectemos los vectores sobre el eje. yo como se define en la referencia teórica anterior. De la Fig. 5a es obvio que la proyección de la suma de vectores es igual a la suma de las proyecciones de vectores. Calculamos estas proyecciones:

Encontramos la proyección final de la suma de vectores:

Relación de un vector con un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio

conocido con sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio tuvo lugar en la lección correspondiente, preferiblemente abrirlo en una ventana nueva.

En un sistema ordenado ejes de coordenadas 0xyz eje Buey llamó eje x, eje 0 años – eje y y eje 0z – aplicar eje.

con punto arbitrario METRO vector de corbata espacial

llamó vector de radio puntos METRO y proyéctelo en cada uno de los ejes de coordenadas. Denotemos los valores de las proyecciones correspondientes:

Números x, y, z llamó coordenadas del punto M, respectivamente abscisa, ordenada y apliques, y se escriben como un punto ordenado de números: M(x; y; z)(Figura 6).

Un vector de longitud unitaria, cuya dirección coincide con la dirección del eje, se llama vector unitario(o ortom) ejes. Denotamos por

En consecuencia, los vectores unitarios de los ejes de coordenadas Buey, Oye, Onz

Teorema. Cualquier vector se puede descomponer en los vectores unitarios de los ejes de coordenadas:

(2)

La igualdad (2) se denomina expansión del vector a lo largo de los ejes de coordenadas. Los coeficientes de esta expansión son las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas. Así, los coeficientes de expansión (2) del vector a lo largo de los ejes de coordenadas son las coordenadas del vector.

Después de elegir un cierto sistema de coordenadas en el espacio, el vector y el triple de sus coordenadas se determinan de manera única, por lo que el vector se puede escribir en la forma

Las representaciones vectoriales en la forma (2) y (3) son idénticas.

La condición de vectores colineales en coordenadas.

Como ya hemos señalado, los vectores se denominan colineales si están relacionados por la relación

Deja que los vectores . Estos vectores son colineales si las coordenadas de los vectores están relacionadas por la relación

es decir, las coordenadas de los vectores son proporcionales.

Ejemplo 6 vectores dados . ¿Son estos vectores colineales?

Solución. Averigüemos la razón de las coordenadas de estos vectores:

Las coordenadas de los vectores son proporcionales, por tanto, los vectores son colineales, o lo que es lo mismo, paralelos.

Cosenos de longitud y dirección del vector

Debido a la perpendicularidad mutua de los ejes de coordenadas, la longitud del vector

es igual a la longitud de la diagonal de un paralelepípedo rectangular construido sobre los vectores

y se expresa por la igualdad

(4)

Un vector se define completamente especificando dos puntos (comienzo y final), por lo que las coordenadas del vector se pueden expresar en términos de las coordenadas de estos puntos.

Sea el comienzo del vector en el sistema de coordenadas dado en el punto

y el final está en el punto

De la igualdad

sigue eso

o en forma de coordenadas

Como consecuencia, las coordenadas del vector son iguales a las diferencias de las coordenadas del mismo nombre del final y comienzo del vector . La fórmula (4) en este caso toma la forma

La dirección del vector se determina cosenos directores . Estos son los cosenos de los ángulos que forma el vector con los ejes Buey, Oye y Onz. Designemos estos ángulos respectivamente α , β y γ . Entonces los cosenos de estos ángulos se pueden encontrar mediante las fórmulas

Los cosenos directores de un vector también son las coordenadas del vector del vector y, por lo tanto, el vector del vector.

Considerando que la longitud del vector vector es igual a una unidad, es decir,

obtenemos la siguiente igualdad para los cosenos directores:

Ejemplo 7 Encuentra la longitud de un vector X = (3; 0; 4).

Solución. La longitud del vector es

Ejemplo 8 puntos dados:

Averigüe si el triángulo construido sobre estos puntos es isósceles.

Solución. Usando la fórmula de la longitud del vector (6), encontramos las longitudes de los lados y averiguamos si hay dos de ellos iguales:

Se han encontrado dos lados iguales, por lo que no hay necesidad de buscar la longitud del tercer lado, y el triángulo dado es isósceles.

Ejemplo 9 Encuentre la longitud de un vector y sus cosenos directores si .

Solución. Las coordenadas del vector se dan:

La longitud del vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las coordenadas del vector:

Hallar cosenos directores:

Resuelva el problema en vectores usted mismo y luego mire la solución

Operaciones sobre vectores dados en forma de coordenadas

Sean dados dos vectores y dados por sus proyecciones:

Indiquemos acciones sobre estos vectores.

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La psicología y la psiquiatría modernas ya no se limitan a las teorías científicas clásicas. Las disputas y discusiones sobre la verdad y la objetividad de los conceptos populares se llevan a cabo durante siglos, la investigación psicológica se lleva a cabo constantemente, cuyo propósito es llegar al único resultado verdadero. Pero además de esto, cada vez aparecen más corrientes alternativas, se modifican teorías conocidas, se transforman las enseñanzas de las mentes mundiales de la psicología y la psiquiatría, como el psicoanalista profesional Sigmund Freud o su no menos famoso colega Carl Gustav Jung. En este artículo, nos centraremos en una nueva tendencia de este tipo, que ha hecho una verdadera revolución en la psicología rusa, se llama psicología de sistema-vector. Aprenderá qué es, cuál es la idea principal de esta dirección, y también podrá familiarizarse en detalle con cada uno de los 8 vectores presentados e incluso determinar de forma independiente su propio tipo de personalidad.

Ideas de psicología de vectores de sistemas

Para empezar, vale la pena decir que la psicología de vectores de sistemas no es una tendencia generalmente aceptada en los círculos científicos modernos. Algunos partidarios particularmente fervientes de las ideas clásicas incluso llaman a esta dirección "pseudociencia de redes". Pero, como cualquier otra teoría, el concepto psicológico de los ocho vectores no solo tiene la posibilidad de existir, sino que incluso logró adquirir su propio ejército de adeptos. Como dijo el fundador de la teoría del sistema-vector VK Tolkachev:

El universo es lo suficientemente grande e inagotable, lo que hace posible encontrar en él la confirmación de cualquier teoría. ©

La psicología del sistema-vector no surgió de la nada. Se tomaron como base las teorías de Sigmund Freud, luego refinadas por Vladimir Ganzen y completadas por su alumno Viktor Tolkachev.

En 1908, el artículo del psicoanalista Freud "Carácter y erótica anal" vio el mundo, en el que el psicoanalista concluye que los rasgos del carácter están directamente relacionados con las zonas erógenas humanas. La publicación causó una amplia resonancia, aparecieron numerosos seguidores de la idea freudiana. Uno de ellos a finales del siglo XX fue Viktor Konstantinovich Tolkachev, psicólogo de San Petersburgo. Desarrolló una tipología de caracteres asociados con áreas como los ojos, la boca, la nariz y las orejas. Según V. K. Tolkachev, se inspiró para desarrollar y refinar la teoría de Sigmund Freud en el libro "Descripciones sistémicas en psicología" del académico Vladimir Aleksandrovich Ganzen.

El origen y desarrollo de las enseñanzas de Viktor Tolkachev.

V. K. Tolkachev desarrolló un concepto psicológico holístico para determinar el tipo de personalidad utilizando vectores. Con la ayuda del concepto de "vector" y un análisis detallado de 8 tipos de características, nació una teoría llamada "Psicoanálisis de sistema-vector aplicado". Tolkachev ha estado realizando varios entrenamientos, seminarios y conferencias sobre este tema durante más de 30 años. Gracias a uno de sus primeros alumnos, Mikhail Borodyansky, se desarrolló una prueba especial que evalúa el potencial individual que tiene cada uno de los vectores y le permite determinar el tipo personal de carácter en relación con la psicología del sistema-vector de ocho vectores ( prueba de Tolkachev-Borodyansky). Ahora hay muchos seguidores del sistema de vectores que continúan realizando capacitaciones y seminarios psicológicos. El entrenador de Internet más famoso en esta área es Yuri Burlan.

¿Cuál es la esencia de la psicología del sistema-vector?

Durante el desarrollo de la psicología como ciencia, se han desarrollado muchas tipologías de personalidad diferentes. Estas son tipologías según Jung o según Gannushkin, Erich Fromm propuso su clasificación. Se han desarrollado múltiples pruebas para determinar tipo psicologico individual, por ejemplo, la prueba de Szondi o las 16Personalidades comunes. De hecho, V. K. Tolkachev, como muchos de sus predecesores, propuso su propia versión de identificar un tipo de personalidad.

La psicología del sistema-vector se posiciona no como una rama de la psicología clásica o una cierta tendencia, sino como una ciencia separada del estudio de la tipología de la personalidad. Un vector es una simbiosis de cualidades fisiológicas y psicológicas, tales como, por ejemplo, carácter, temperamento, salud, hábitos del individuo y otras propiedades similares. De hecho, el vector es el centro del placer. Los vectores están asociados a un orificio específico del cuerpo humano, que es al mismo tiempo zona erógena. Cada personalidad puede tener varios vectores (del 1 al 8, en la práctica, el mayor número de vectores presentes es el número 5).

La presencia de un vector determina el número y el grado de las aspiraciones y necesidades humanas de autorrealización, encaminadas a obtener placer. La incapacidad para implementar el vector existente, según los desarrolladores de la teoría, conduce a la depresión y un sentimiento de insatisfacción, lo que hace imposible que una persona logre la armonía interna con su "yo".

Pasos vectoriales (cuarteles) del desarrollo de la personalidad

La psicología del sistema-vector identifica 8 vectores principales en la tipología de la personalidad. A saber: vectores visuales, cutáneos, sonoros, musculares, orales, olfativos, uretrales y anales. Están ubicados en cuatro cuartos principales (pasos) que forman la forma de vida de una persona.

El principio de la disposición de los vectores:

Etapa de información. Sonido de respuesta ( parte interna cuartos) y vectores visuales (parte exterior). En esta etapa tiene lugar el proceso de desarrollo y autoconocimiento del individuo.
Etapa de energía. Los vectores orales (parte externa) y olfativos (parte interna) son los responsables. El propósito de esta etapa es predeterminar el lugar del individuo en el sistema social, la construcción de una clara jerarquía.
Hora de caminar. Responde a los vectores anal (espacio interior del cuarto) y uretral (espacio exterior). División temporal de la vida en etapas: pasado y futuro. En esta etapa se encuentra la adquisición y procesamiento de la experiencia de generaciones pasadas, así como el deseo de progreso y desarrollo de la sociedad.
paso espacial. Los vectores musculares (parte interna) y piel (parte externa del espacio cuartel) son los responsables. La etapa responsable del caparazón físico es la realización laboral de una persona, el uso de la fuerza física, etc.

Caracterización de vectores

Una característica vectorial más detallada se ve así:

vectores de piel. Las personas con una manifestación vívida de este tipo son extrovertidas pronunciadas. Se realizan a sí mismos en el nivel espacial. La dirección principal de kozhnikov es la protección de los territorios.
musculo vectores. Introvertidos. El tipo de pensamiento es práctico y visual-efectivo. La dirección principal es la caza, la participación en las hostilidades.
vectores anales. Introvertidos con pensamiento sistémico. Las ocupaciones típicas de los propietarios del vector anal son la protección del hogar, la acumulación y transmisión de información de generaciones anteriores.
vector uretral. 100% extrovertidos. Tienen un pensamiento innovador. Nace la Táctica. El propósito de vida de las personas con un vector uretral pronunciado es ser líderes, comandantes en jefe, líderes.
vector visual. Extrovertidos con un tipo figurativo de inteligencia. Están en la etapa de información del desarrollo. Actividad principal: protección de territorios (durante el día).
vector de sonido. Introvertidos absolutos con un tipo de pensamiento abstracto. Actividad: protección de territorios en la oscuridad.
vectores orales. Los representantes de este tipo son en su mayoría extrovertidos. Tienen un método verbal inherente de pensar. Ocupación principal: organización de eventos (en tiempo de paz), advertencia de peligro (durante las hostilidades).
vector olfativo. Los introvertidos, caracterizados por un tipo de pensamiento intuitivo, prefieren formas no verbales de transmitir información. La dirección principal: inteligencia, elaboración de estrategias.

La psicología del sistema-vector divide los vectores en más importantes, por así decirlo, básicos, y aquellos que son de menor valor en el desarrollo de una personalidad. Los vectores olfativos, uretrales y sonoros son dominantes, dominan a los demás vectores. Estos tres vectores no se superponen con otros disponibles, y tampoco pueden ser erradicados por factores sociales externos, como la educación o el sistema social.

Cada individuo determina por sí mismo qué vectores son los principales en el psicotipo de su personalidad. Para cada vector, incluso características tales como ciertos datos externos, se han desarrollado características psíquicas inherentes a un arquetipo de vector particular. A cada uno de los ocho vectores se le asigna una forma geométrica y un color específicos.

Los vectores también se dividen en inferiores (uretrales, anales, musculares y cutáneos) y superiores (visuales, sonoros, olfativos y orales). La psicología del sistema-vector muestra que los vectores inferiores son responsables de la libido, los deseos sexuales humanos, mientras que los vectores superiores buscan una conexión con el mundo espiritual. Los vectores superiores están al alcance de absolutamente todas las personas, a diferencia de los vectores inferiores, de los que no están dotados todos los arquetipos personales.

Psicología del sistema-vector: su propósito

No hay una sola persona que sea capaz de rechazar el placer; incluso la religión misma tiene que justificar la exigencia de renunciar a los placeres en un futuro próximo con la promesa de alegrías incomparablemente mayores y más valiosas en el otro mundo. © Sigmund Freud

¿Para qué sirve la psicología de ocho vectores? ¿Cuál es su función y beneficio para los humanos?

El principal objetivo de la psicología vectorial es conocerte a ti mismo y disfrutar de la vida utilizando tus vectores internos. Este sistema está dirigido al autoconocimiento del individuo, determinando su papel en la sociedad, a fin de evitar la insatisfacción moral consigo mismo y con su vida. Si una persona no puede realizarse en la sociedad, no conoce sus verdaderas necesidades y deseos, entonces un sentimiento constante de insatisfacción puede conducir a un estado depresivo.

La psicología del vector del sistema también tiene como objetivo revelar los deseos y necesidades sexuales de una persona. Se puede utilizar como pruebas de orientación profesional.

La teoría psicológica, desarrollada por Viktor Tolkachev sobre la base de los postulados de Freud, le permite descubrir los secretos del subconsciente, darse cuenta de cuál es exactamente la fuerza motriz de una persona, la causa raíz de todas sus acciones y hechos. El beneficio de estudiar los vectores de la psicología de vectores de sistemas también está en construir vínculos de comunicación con las personas que te rodean: empleados, familiares, amigos. Si dos personas tienen los mismos vectores, a menudo esta es la clave para las relaciones amistosas. Y viceversa: el contraste de vectores explica la incompatibilidad en las parejas y la hostilidad de los individuos entre sí. En palabras del fundador involuntario de esta doctrina, Sigmund Freud:

No nos elegimos por casualidad ... Nos encontramos solo con aquellos que ya existen en nuestro subconsciente. ©

La psicología del sistema-vector no está probada ni es absolutamente cierta. Esta es solo una de las metodologías para identificar cierto tipo personalidad. La cantidad de críticas de especialistas experimentados con respecto a las enseñanzas de V. K. Tolkachev demuestra la imperfección de este concepto psicológico. Las discusiones y disputas no disminuyen entre los seguidores de la psicología clásica y los estudiantes de Tolkachev.

Los primeros tienden a considerar el enfoque vectorial de la determinación de la personalidad como sectario e hipnótico-obsesivo (supuestamente, los entrenamientos sobre la enseñanza de esta técnica se realizan exclusivamente con fines comerciales). Estos últimos creen sinceramente en la objetividad de la psicología del sistema-vector y prueban sus beneficios para los individuos y la humanidad en su conjunto. Para conocer más sobre las tesis y conceptos de esta doctrina, puedes ver el video de las conferencias introductorias de Yuri Burlun sobre el sistema de vectores. Solo al reunir una imagen completa de la doctrina, cada persona podrá sacar una conclusión de forma independiente sobre la verdad de las ideas presentadas.