Proyección geométrica vectorial. Proyecciones de vectores sobre ejes de coordenadas. Expande a y b en términos de vectores base

proyección vector en un eje se llama vector, que se obtiene multiplicando la proyección escalar de un vector en este eje y el vector unitario de este eje. Por ejemplo, si una x es proyección escalar vector un en el eje x, entonces una x i- su proyección vectorial sobre este eje.

Denotar proyección vectorial como el propio vector, pero con el índice del eje sobre el que se proyecta el vector. Entonces, la proyección vectorial del vector un en el eje x denote un X ( aceitoso una letra que indica un vector y un subíndice del nombre del eje) o (una letra que no está en negrita que indica un vector, pero con una flecha en la parte superior (!) y un subíndice del nombre del eje).

Proyección escalar vector por eje se llama número, cuyo valor absoluto es igual a la longitud del segmento del eje (en la escala seleccionada) encerrado entre las proyecciones del punto inicial y el punto final del vector. Por lo general, en lugar de la expresión proyección escalar simplemente di - proyección. La proyección se denota con la misma letra que el vector proyectado (en escritura normal, sin negrita), con un subíndice (normalmente) del nombre del eje sobre el que se proyecta este vector. Por ejemplo, si un vector se proyecta sobre el eje x un, entonces su proyección se denota a x . Al proyectar el mismo vector sobre otro eje, si el eje es Y, su proyección se denotará como y.

Para calcular la proyección vector en un eje (por ejemplo, el eje X) es necesario restar la coordenada del punto inicial a la coordenada de su punto final, es decir
y x \u003d x k - x n.
La proyección de un vector sobre un eje es un número. Además, la proyección puede ser positiva si el valor de x k es mayor que el valor de x n,

negativo si el valor de x k es menor que el valor de x n

e igual a cero si x k es igual a x n.

La proyección de un vector sobre un eje también se puede encontrar conociendo el módulo del vector y el ángulo que forma con ese eje.

De la figura se puede ver que a x = a Cos α

es decir, la proyección del vector sobre el eje es igual al producto del módulo del vector y el coseno del ángulo entre la dirección del eje y dirección vectorial. Si el ángulo es agudo, entonces
Cos α > 0 y ax > 0, y si es obtuso, entonces el coseno de un ángulo obtuso es negativo, y la proyección del vector sobre el eje también será negativa.

Los ángulos contados desde el eje en sentido contrario a las agujas del reloj se consideran positivos y en la dirección, negativos. Sin embargo, dado que el coseno es una función par, es decir, Cos α = Cos (− α), al calcular las proyecciones, los ángulos se pueden contar tanto en el sentido de las agujas del reloj como en el sentido contrario.

Para encontrar la proyección de un vector sobre un eje, el módulo de este vector debe multiplicarse por el coseno del ángulo entre la dirección del eje y la dirección del vector.

Coordenadas vectoriales son los coeficientes de la única combinación lineal posible de vectores base en el sistema de coordenadas elegido igual al vector dado.

donde son las coordenadas del vector.

Producto escalar de vectores

SCOAL PRODUCTO DE VECTORES[- en dimensión finita espacio vectorial se define como la suma de los productos de los mismos componentes de la multiplicación vectores.

Por ejemplo, S. p. un = (un 1 , ..., un) y b = (b 1 , ..., segundo norte):

(un , b ) = un 1 b 1 + un 2 b 2 + ... + un b norte

El eje es la dirección. Por lo tanto, la proyección sobre un eje o sobre una línea dirigida se considera la misma. La proyección puede ser algebraica o geométrica. En términos geométricos, la proyección de un vector sobre un eje se entiende como vector, y en términos algebraicos, es un número. Es decir, se utilizan los conceptos de proyección de un vector sobre un eje y proyección numérica de un vector sobre un eje.

Si tenemos un eje L y un vector distinto de cero A B → , entonces podemos construir un vector A 1 B 1 ⇀ , denotando las proyecciones de sus puntos A 1 y B 1 .

A 1 B → 1 será la proyección del vector A B → sobre L .

Definición 1

La proyección del vector sobre el eje. se llama un vector, cuyo principio y final son proyecciones del principio y final del vector dado. n p L A B → → es costumbre denotar la proyección de A B → sobre L . Para construir una proyección sobre L, suelte las perpendiculares sobre L.

Ejemplo 1

Un ejemplo de la proyección de un vector sobre un eje.

En el plano de coordenadas O x y, se especifica un punto M 1 (x 1, y 1). Es necesario construir proyecciones sobre O x y O y para la imagen del radio vector del punto M 1 . Obtengamos las coordenadas de los vectores (x 1 , 0) y (0 , y 1) .

si un en cuestión sobre la proyección de a → sobre un b distinto de cero o la proyección de a → sobre la dirección b → , entonces nos referimos a la proyección de a → sobre el eje con el que coincide la dirección b →. La proyección a → sobre la línea definida por b → se denota n p b → a → → . Se sabe que cuando el ángulo está entre a → y b → , podemos considerar n p b → a → → y b → codireccionales. En el caso de que el ángulo sea obtuso, n p b → a → → yb → tienen direcciones opuestas. En la situación de perpendicularidad a → y b → , y a → es cero, la proyección de a → a lo largo de la dirección b → es un vector cero.

La característica numérica de la proyección de un vector sobre un eje es la proyección numérica de un vector sobre un eje dado.

Definición 2

Proyección numérica del vector sobre el eje. llame a un número que es igual al producto de la longitud de un vector dado y el coseno del ángulo entre el vector dado y el vector que determina la dirección del eje.

La proyección numérica de A B → sobre L se denota n p L A B → , y a → sobre b → - n p b → a → .

Basándonos en la fórmula, obtenemos n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , donde a → es la longitud del vector a → , a ⇀ , b → ^ es el ángulo entre los vectores a → y segundo → .

Obtenemos la fórmula para calcular la proyección numérica: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Es aplicable para longitudes conocidas a → y b → y el ángulo entre ellas. La fórmula es aplicable para coordenadas conocidas a → y b → , pero existe una versión simplificada.

Ejemplo 2

Encuentra la proyección numérica a → sobre una línea recta en la dirección b → con la longitud a → igual a 8 y el ángulo entre ellos es de 60 grados. Por condición tenemos a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Entonces, sustituimos los valores numéricos en la fórmula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Responder: 4.

Con cos conocido (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , tenemos a → , b → como el producto escalar de a → y b → . Siguiendo la fórmula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , podemos encontrar la proyección numérica a → dirigida a lo largo del vector b → y obtener n p b → a → = a → , b → b → . La fórmula es equivalente a la definición dada al principio de la cláusula.

Definición 3

La proyección numérica del vector a → sobre el eje que coincide en dirección con b → es el cociente del producto escalar de los vectores a → yb → a la longitud b → . La fórmula n p b → a → = a → , b → b → es aplicable para encontrar la proyección numérica de a → sobre una línea recta que coincide en la dirección con b → , con coordenadas a → y b → conocidas.

Ejemplo 3

Dado b → = (- 3 , 4) . Encuentre la proyección numérica a → = (1 , 7) sobre L .

Decisión

En el plano de coordenadas n p b → a → = a → , b → b → tiene la forma n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , con a → = (a x , a y ) y segundo → = segundo X , segundo y . Para encontrar la proyección numérica del vector a → sobre el eje L, necesitas: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Responder: 5.

Ejemplo 4

Encuentra la proyección a → sobre L , coincidiendo con la dirección b → , donde hay a → = - 2 , 3 , 1 y b → = (3 , - 2 , 6) . Se da un espacio tridimensional.

Decisión

Dado a → = a x , a y , a z y b → = b x , b y , b z calcular el producto escalar: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Encontramos la longitud b → por la fórmula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. De ello se deduce que la fórmula para determinar la proyección numérica a → será: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Sustituimos los valores numéricos: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Respuesta: - 6 7 .

Veamos la conexión entre a → en L y la longitud de la proyección de a → en L . Dibuje un eje L agregando a → y b → desde un punto a L , después de lo cual dibujamos una línea perpendicular desde el final de a → a L y la proyectamos sobre L . Hay 5 variaciones de imagen:

Primero el caso cuando a → = n p b → a → → significa a → = n p b → a → → , por lo tanto n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → un → → .

Segundo caso implica el uso de n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , entonces n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

El tercero caso explica que cuando n p b → a → → = 0 → obtenemos n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, entonces n p b → a → → = 0 y n p b → un → = 0 = norte pags segundo → un → → .

Cuatro caso muestra n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^), sigue n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - norte pag segundo → un → → .

Quinto caso muestra a → = n p b → a → → , lo que significa a → = n p b → a → → , por lo tanto tenemos n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - norte pags segundo → un → .

Definición 4

La proyección numérica del vector a → sobre el eje L , que está dirigido como b → , tiene el significado:

• la longitud de la proyección del vector a → sobre L siempre que el ángulo entre a → y b → sea inferior a 90 grados o igual a 0: n p b → a → = n p b → a → → con la condición 0 ≤ (a → , segundo →) ^< 90 ° ;
• cero bajo la condición de perpendicularidad a → y b → : n p b → a → = 0 cuando (a → , b → ^) = 90 ° ;
• la longitud de la proyección a → sobre L, multiplicada por -1 cuando existe un ángulo obtuso o plano de los vectores a → y b → : n p b → a → = - n p b → a → → con la condición de 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Ejemplo 5

Dada la longitud de la proyección a → sobre L , igual a 2 . Encuentra la proyección numérica a → dado que el ángulo es de 5 π 6 radianes.

Decisión

Se puede ver a partir de la condición de que este ángulo es obtuso: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Respuesta: - 2.

Ejemplo 6

Dado un plano O x y z con la longitud del vector a → igual a 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) con un ángulo de 30 grados. Encuentre las coordenadas de la proyección a → sobre el eje L.

Decisión

Primero, calculamos la proyección numérica del vector a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

Por condición, el ángulo es agudo, entonces la proyección numérica a → = es la longitud de la proyección del vector a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Este caso muestra que los vectores n p L a → → y b → están codirigidos, lo que significa que hay un número t para el cual la igualdad es verdadera: n p L a → → = t · b → . De aquí vemos que n p L a → → = t b → , por lo que podemos encontrar el valor del parámetro t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Entonces n p L a → → = 3 b → con las coordenadas de la proyección del vector a → sobre el eje L son b → = (- 2 , 1 , 2) , donde es necesario multiplicar los valores por 3 Tenemos n p L a → → = (- 6 , 3 , 6). Respuesta: (- 6 , 3 , 6) .

Es necesario repetir la información previamente estudiada sobre la condición de colinealidad del vector.

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Responder:

Propiedades de proyección:

Propiedades de proyección vectorial

Propiedad 1.

La proyección de la suma de dos vectores sobre un eje es igual a la suma de las proyecciones de vectores sobre el mismo eje:

Esta propiedad le permite reemplazar la proyección de la suma de vectores con la suma de sus proyecciones y viceversa.

Propiedad 2. Si un vector se multiplica por el número λ, entonces su proyección sobre el eje también se multiplica por este número:

Propiedad 3.

La proyección de un vector sobre el eje l es igual al producto del módulo del vector y el coseno del ángulo entre el vector y el eje:

Eje orto. Descomposición de un vector en términos de vectores de coordenadas. Coordenadas vectoriales. Propiedades de coordenadas

Responder:

Horts de hachas.

Un sistema de coordenadas rectangulares (de cualquier dimensión) también se describe mediante un conjunto de vectores unitarios alineados con los ejes de coordenadas. El número de orts es igual a la dimensión del sistema de coordenadas y todos son perpendiculares entre sí.

En el caso tridimensional, los orts generalmente se denotan

Y Símbolos con flechas y también se pueden utilizar.

Además, en el caso de un sistema de coordenadas recto, son válidas las siguientes fórmulas con productos vectoriales de vectores:

Descomposición de un vector en términos de vectores de coordenadas.

El orto del eje de coordenadas se denota por , ejes - por , ejes - por (Fig. 1)

Para cualquier vector que se encuentre en un plano, se realiza la siguiente descomposición:

Si el vector está ubicado en el espacio, entonces la expansión en términos de vectores unitarios de los ejes de coordenadas tiene la forma:

Coordenadas vectoriales:

Para calcular las coordenadas de un vector, conociendo las coordenadas (x1; y1) de su inicio A y las coordenadas (x2; y2) de su final B, es necesario restar las coordenadas del inicio de las coordenadas del final: (x2 - x1; y2 - y1).

Propiedades de las coordenadas.

Considere una línea de coordenadas con el origen en el punto O y un vector unitario i. Entonces para cualquier vector a en esta línea: a = axi.

El número ax se llama la coordenada del vector a en el eje de coordenadas.

Propiedad 1. Al agregar vectores en el eje, se agregan sus coordenadas.

Propiedad 2. Cuando un vector se multiplica por un número, su coordenada se multiplica por ese número.

Producto escalar de vectores. Propiedades.

Responder:

El producto escalar de dos vectores distintos de cero es un número,

igual al producto de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos.

Propiedades:

1. El producto escalar tiene una propiedad conmutativa: ab=ba

Producto escalar de vectores de coordenadas. Determinación del producto escalar de vectores dado por sus coordenadas.

Responder:

Producto escalar (×) orts

(X)	yo	j	k
yo
j
k

Determinación del producto escalar de vectores dado por sus coordenadas.

El producto escalar de dos vectores y dado por sus coordenadas se puede calcular mediante la fórmula

Producto vectorial de dos vectores. Propiedades del producto vectorial.

Responder:

Tres vectores no coplanares forman un triple recto si, desde el final del tercer vector, la rotación del primer vector al segundo es en sentido antihorario. Si en el sentido de las agujas del reloj, entonces a la izquierda. Si no, entonces en el sentido opuesto ( mostrar cómo mostró con "manijas")

producto cruz de un vector un por vector b llamado vector con la cual:

1. Perpendiculares a los vectores un y b

2. Tiene una longitud numéricamente igual al área del paralelogramo formado en un y b vectores

3. Vectores, a,b, y C formar el triple derecho de los vectores

Propiedades:

1.

3.

4.

Producto vectorial de vectores de coordenadas. Determinación del producto vectorial de vectores dado por sus coordenadas.

Responder:

Producto vectorial de vectores de coordenadas.

Determinación del producto vectorial de vectores dado por sus coordenadas.

Sean los vectores a = (x1; y1; z1) y b = (x2; y2; z2) dados por sus coordenadas en el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares O, i, j, k, y la triple i, j, k es derecho.

Desarrollamos a y b en términos de vectores base:

a = X 1 yo + y 1 j + z 1 k, segundo = X 2 yo + y 2 j + z 2 k.

Usando las propiedades del producto vectorial, obtenemos

[un; segundo] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 X 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (uno)

Por la definición de un producto vectorial, encontramos

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = yo,

= j, = - yo. = 0.

Dadas estas igualdades, la fórmula (1) se puede escribir de la siguiente manera:

[un; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 yo + z 1 x 2 j - z 1 y 2 yo

[un; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) yo + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

La fórmula (2) da una expresión para el producto vectorial de dos vectores dada por sus coordenadas.

La fórmula resultante es engorrosa.Usando la notación de determinantes, puede escribirla en otra forma que sea más conveniente para recordar:

Por lo general, la fórmula (3) se escribe aún más corta:

Primero, recordemos qué es eje de coordenadas, proyección de un punto sobre un eje y coordenadas de un punto en el eje.

eje de coordenadas es una linea recta a la que se le da una direccion. Puedes pensar en él como un vector con un módulo infinitamente grande.

eje de coordenadas denotado por cualquier letra: X, Y, Z, s, t ... Por lo general, se selecciona un punto (arbitrariamente) en el eje, que se denomina origen y, por regla general, se denota por la letra O. Distancias a otros los puntos de interés para nosotros se miden desde este punto.

Proyección de un punto sobre un eje.- esta es la base de la perpendicular caída desde este punto al eje dado (Fig. 8). Es decir, la proyección de un punto sobre el eje es un punto.

Coordenada de punto por eje es un número cuyo valor absoluto es igual a la longitud del segmento del eje (en la escala seleccionada) encerrado entre el comienzo del eje y la proyección del punto sobre este eje. Este número se toma con signo más si la proyección del punto se sitúa en el sentido del eje desde su inicio y con signo menos si es en sentido contrario.

Proyección escalar de un vector sobre un eje- Este número, cuyo valor absoluto es igual a la longitud del segmento del eje (en la escala seleccionada) encerrado entre las proyecciones del punto inicial y el punto final del vector. ¡Importante! Por lo general, en lugar de la expresión proyección escalar de un vector sobre un eje solo dicen - proyección de un vector sobre un eje, es decir, la palabra escalar bajado Proyección vectorial denotado por la misma letra que el vector proyectado (en escritura normal, sin negrita), con un subíndice (generalmente) del nombre del eje en el que se proyecta este vector. Por ejemplo, si un vector se proyecta sobre el eje x un, entonces su proyección se denota a x . Al proyectar el mismo vector sobre otro eje, digamos el eje Y, su proyección se denotará como y (Fig. 9).

Calcular proyección vectorial sobre el eje(por ejemplo, el eje X) es necesario restar la coordenada del punto inicial a la coordenada de su punto final, es decir

y x \u003d x k - x n.

Debemos recordar: ¡la proyección escalar de un vector sobre un eje (o, simplemente, la proyección de un vector sobre un eje) es un número (no un vector)! Además, la proyección puede ser positiva si el valor de x k es mayor que el valor de x n, negativa si el valor de x k es menor que el valor de x n e igual a cero si x k es igual a x n (Fig. 10).

La proyección de un vector sobre un eje también se puede encontrar conociendo el módulo del vector y el ángulo que forma con ese eje.

La Figura 11 muestra que a x = a Cos α

Es decir, la proyección del vector sobre el eje es igual al producto del módulo del vector y el coseno del ángulo entre la dirección del eje y la dirección del vector. Si el ángulo es agudo, entonces Cos α > 0 y ax > 0, y si es obtuso, entonces el coseno del ángulo obtuso es negativo, y la proyección del vector sobre el eje también será negativa.

Los ángulos contados desde el eje en sentido contrario a las agujas del reloj se consideran positivos y en la dirección, negativos. Sin embargo, dado que el coseno es una función par, es decir, Cos α \u003d Cos (− α), al calcular las proyecciones, los ángulos se pueden contar tanto en el sentido de las agujas del reloj como en el sentido contrario.

Al resolver problemas, a menudo se usarán las siguientes propiedades de las proyecciones: si

un = b + C +…+ d, entonces a x = b x + c x +…+ d x (de manera similar para otros ejes),

un= metro b, entonces a x = mb x (de manera similar para otros ejes).

La fórmula a x = a Cos α será A menudo cumplir a la hora de resolver problemas, por lo que debe conocerse. Necesita saber la regla para determinar la proyección. ¡de memoria!

¡Recordar!

Para encontrar la proyección de un vector sobre un eje, el módulo de este vector debe multiplicarse por el coseno del ángulo entre la dirección del eje y la dirección del vector.

Una vez más - ¡RÁPIDO!

Sean dos vectores y dados en el espacio. Apartado de un punto arbitrario O vectores y . esquina entre los vectores y se llama el menor de los ángulos. denotado .

Considere el eje yo y trazar un vector unitario en él (es decir, un vector cuya longitud es igual a uno).

Ángulo entre vector y eje yo entender el ángulo entre los vectores y .

Entonces deja yo es un eje y es un vector.

Denotamos por un 1 y B1 proyecciones en el eje yo puntos UN y B. pretendamos que un 1 tiene una coordenada x1, un B1- coordinar x2 en el eje yo.

Entonces proyección vector por eje yo se llama diferencia x1 – x2 entre las coordenadas de las proyecciones del final y el comienzo del vector sobre este eje.

Proyección de un vector sobre un eje yo denotaremos.

Es claro que si el ángulo entre el vector y el eje yo afilado entonces x2> x1, y la proyección x2 – x1> 0; si este ángulo es obtuso, entonces x2< x1 y proyección x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси yo, entonces x2= x1 y x2– x1=0.

Así, la proyección del vector sobre el eje yo es la longitud del segmento A 1 B 1 tomado con un cierto signo. Por tanto, la proyección de un vector sobre un eje es un número o un escalar.

La proyección de un vector sobre otro se define de manera similar. En este caso, las proyecciones de los extremos de este vector se encuentran en la línea en la que se encuentra el segundo vector.

Veamos algunos de los principales propiedades de proyección.

SISTEMAS DE VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES Y LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Consideremos varios vectores.

Combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma , donde son algunos números. Los números se llaman los coeficientes de la combinación lineal. También se dice que en este caso se expresa linealmente en términos de vectores dados, es decir obtenido de ellos por operaciones lineales.

Por ejemplo, si se dan tres vectores, entonces los vectores pueden considerarse como su combinación lineal:

Si un vector se representa como una combinación lineal de algunos vectores, entonces se dice que es descompuesto a lo largo de estos vectores.

Los vectores se llaman linealmente dependiente, si existen tales números, no todos iguales a cero, que . Está claro que los vectores dados serán linealmente dependientes si cualquiera de estos vectores se expresa linealmente en términos de los demás.

De lo contrario, es decir cuando la proporción realizado sólo cuando , estos vectores se llaman independiente linealmente.

Teorema 1. Dos vectores cualesquiera son linealmente dependientes si y solo si son colineales.

Prueba:

El siguiente teorema se puede demostrar de manera similar.

Teorema 2. Tres vectores son linealmente dependientes si y solo si son coplanares.

Prueba.

BASE

Base es la colección de vectores linealmente independientes distintos de cero. Los elementos de la base se denotarán por .

En la subsección anterior, vimos que dos vectores no colineales en el plano son linealmente independientes. Por lo tanto, según el Teorema 1 del párrafo anterior, una base en un plano son dos vectores cualesquiera no colineales en este plano.

De manera similar, tres vectores no coplanares cualesquiera son linealmente independientes en el espacio. Por lo tanto, tres vectores no coplanares se llaman base en el espacio.

La siguiente afirmación es verdadera.

Teorema. Sea una base dada en el espacio. Entonces cualquier vector se puede representar como una combinación lineal , donde X, y, z- algunos números. Tal descomposición es única.

Prueba.

Por lo tanto, la base le permite asociar de manera única cada vector con un triple de números: los coeficientes de la expansión de este vector en términos de los vectores de la base: . Lo contrario también es cierto, cada triple de números x, y, z usando la base, puedes hacer coincidir el vector si haces una combinación lineal .

Si la base y , entonces los números x, y, z llamado coordenadas vectores en la base dada. Las coordenadas vectoriales denotan .

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Sea un punto dado en el espacio O y tres vectores no coplanares.

sistema de coordenadas Cartesianas en el espacio (en un plano) se llama el conjunto de un punto y una base, es decir conjunto de un punto y tres vectores no coplanares (2 vectores no colineales) que salen de este punto.

Punto O llamado el origen; Las líneas rectas que pasan por el origen en la dirección de los vectores base se denominan ejes de coordenadas: el eje de abscisas, ordenadas y aplicadas. Los planos que pasan por los ejes de coordenadas se denominan planos de coordenadas.

Considere un punto arbitrario en el sistema de coordenadas elegido METRO. Introduzcamos el concepto de punto coordenado METRO. El vector que une el origen con el punto. METRO. llamado vector de radio puntos METRO.

Un vector en la base seleccionada se puede asociar con un triple de números: sus coordenadas: .

Coordenadas vectoriales de radio de punto METRO. llamado coordenadas del punto M. en el sistema de coordenadas considerado. M(x,y,z). La primera coordenada se llama abscisa, la segunda es la ordenada y la tercera es la aplicada.

Las coordenadas cartesianas en el plano se definen de manera similar. Aquí el punto tiene solo dos coordenadas: la abscisa y la ordenada.

Es fácil ver que para un sistema de coordenadas dado, cada punto tiene ciertas coordenadas. Por otro lado, para cada triplete de números, hay un solo punto que tiene estos números como coordenadas.

Si los vectores tomados como base en el sistema de coordenadas elegido tienen longitud unitaria y son perpendiculares por pares, entonces el sistema de coordenadas se llama Rectángulo cartesiano.

Es fácil demostrar eso.

Los cosenos directores de un vector determinan completamente su dirección, pero no dicen nada sobre su longitud.