Výběr 

Vektory na zkoušce z matematiky. Akce na vektorech. Vektory pro figuríny. Akce s vektory. Vektorové souřadnice. Nejjednodušší úlohy s vektory Vzorce teorie vektorů

Standardní definice: "Vektor je směrovaná úsečka." To bývá hranice znalostí absolventa o vektorech. Kdo potřebuje nějaké „řízené segmenty“?

Ale ve skutečnosti, co jsou vektory a proč jsou?
Předpověď počasí. "Vítr severozápadní, rychlost 18 metrů za sekundu." Souhlas, záleží také na směru větru (odkud fouká) a modulu (tedy na absolutní hodnotě) jeho rychlosti.

Veličiny, které nemají směr, se nazývají skaláry. Hmota, práce, elektrický náboj nesměřují nikam. Jsou charakterizovány pouze číselnou hodnotou - „kolik kilogramů“ nebo „kolik joulů“.

Fyzikální veličiny, které mají nejen absolutní hodnotu, ale i směr, se nazývají vektorové veličiny.

Rychlost, síla, zrychlení - vektory. Pro ně je důležité „jak moc“ a důležité „kde“. Například zrychlení volného pádu směřuje k povrchu Země a jeho hodnota je 9,8 m/s 2 . Hybnost, síla elektrického pole, indukce magnetického pole jsou také vektorové veličiny.

Pamatujete si, že fyzikální veličiny se označují písmeny, latinkou nebo řečtinou. Šipka nad písmenem označuje, že množství je vektor:

Zde je další příklad.
Auto jede z A do B. Konečným výsledkem je jeho pohyb z bodu A do bodu B, tedy pohyb vektorem .

Nyní je jasné, proč je vektor řízený segment. Pozor, konec vektoru je tam, kde je šipka. Délka vektoru se nazývá délka tohoto segmentu. Určeno: nebo

Doposud jsme pracovali se skalárními veličinami podle pravidel aritmetiky a elementární algebry. Vektory jsou novým konceptem. Toto je další třída matematických objektů. Mají svá vlastní pravidla.

Kdysi jsme ani neznali čísla. Seznámení s nimi začalo již v základních ročnících. Ukázalo se, že čísla lze mezi sebou porovnávat, sčítat, odečítat, násobit a dělit. Dozvěděli jsme se, že existuje jednička a nula.
Nyní se seznámíme s vektory.

Pojem „větší než“ a „menší než“ pro vektory neexistuje – koneckonců jejich směry mohou být různé. Porovnávat lze pouze délky vektorů.

Ale koncept rovnosti pro vektory je.
Rovnat se jsou vektory, které mají stejnou délku a stejný směr. To znamená, že vektor může být posunut rovnoběžně se sebou samým k libovolnému bodu v rovině.
singl se nazývá vektor, jehož délka je 1 . Nula - vektor, jehož délka je rovna nule, to znamená, že jeho začátek se shoduje s koncem.

Nejvýhodnější je pracovat s vektory v pravoúhlém souřadnicovém systému – v tom, ve kterém kreslíme grafy funkcí. Každému bodu v souřadnicovém systému odpovídají dvě čísla – jeho souřadnice x a y, úsečka a pořadnice.
Vektor je také dán dvěma souřadnicemi:

Zde jsou souřadnice vektoru zapsány v závorkách - v x a v y.
Lze je snadno najít: souřadnice konce vektoru mínus souřadnice jeho začátku.

Pokud jsou zadány souřadnice vektoru, zjistí se jeho délka vzorcem

Vektorové sčítání

Existují dva způsoby, jak přidat vektory.

jeden . pravidlo rovnoběžníku. Chcete-li přidat vektory a , umístíme počátky obou do stejného bodu. Doplníme rovnoběžník a ze stejného bodu nakreslíme úhlopříčku rovnoběžníku. Toto bude součet vektorů a .

Pamatujete na bajku o labuti, rakovině a štice? Velmi se snažili, ale s vozíkem nikdy nepohnuli. Vektorový součet jimi působících sil na vozík byl totiž roven nule.

2. Druhým způsobem sčítání vektorů je pravidlo trojúhelníku. Vezměme stejné vektory a . Začátek druhého přidáme na konec prvního vektoru. Nyní spojme začátek prvního a konec druhého. Toto je součet vektorů a .

Podle stejného pravidla můžete přidat několik vektorů. Připojujeme je jeden po druhém a pak spojujeme začátek prvního s koncem posledního.

Představte si, že jdete z bodu A do bodu B, z B do C, z C do D, pak do E a pak do F. Konečným výsledkem těchto akcí je přesun z A do F.

Když přidáme vektory a dostaneme:

Vektorové odčítání

Vektor směřuje opačně k vektoru. Délky vektorů a jsou stejné.

Nyní je jasné, co je odečítání vektorů. Rozdíl vektorů a je součtem vektoru a vektoru.

Vynásobte vektor číslem

Násobením vektoru číslem k vznikne vektor, jehož délka je k krát odlišná od délky . Je kosměrný s vektorem, pokud je k větší než nula, a směrovaný opačně, pokud je k menší než nula.

Bodový součin vektorů

Vektory lze násobit nejen čísly, ale i navzájem.

Skalární součin vektorů je součin délek vektorů a kosinus úhlu mezi nimi.

Pozor - vynásobili jsme dva vektory a dostali jsme skalár, tedy číslo. Například ve fyzice mechanická práce se rovná skalárnímu součinu dvou vektorů - síly a posunutí:

Pokud jsou vektory kolmé, jejich bodový součin je nula.
A takto je skalární součin vyjádřen pomocí souřadnic vektorů a:

Ze vzorce pro skalární součin můžete najít úhel mezi vektory:

Tento vzorec je zvláště vhodný ve stereometrii. Například v problému 14 profilová zkouška v matematice potřebujete najít úhel mezi protínajícími se přímkami nebo mezi přímkou ​​a rovinou. Problém 14 je často vyřešen několikrát rychleji než klasický.

Ve školním vzdělávacím programu v matematice se studuje pouze skalární součin vektorů.
Ukazuje se, že kromě skaláru existuje i vektorový součin, kdy v důsledku vynásobení dvou vektorů vznikne vektor. Kdo složí zkoušku z fyziky, ví, co je Lorentzova síla a Ampérova síla. Vzorce pro nalezení těchto sil zahrnují přesně vektorové součiny.

Vektory jsou velmi užitečným matematickým nástrojem. O tom se přesvědčíte v prvním kurzu.

DEFINICE

Vektor(z lat." vektor"-" ložisko") - směrovaný segment přímky v prostoru nebo v rovině.

Graficky je vektor znázorněn jako namířená přímka o určité délce. Vektor, jehož začátek je v bodě a konec v bodě, se označí jako (obr. 1). Vektor lze také označit jedním malým písmenem, například .

Pokud je souřadnicový systém dán v prostoru, pak může být vektor jednoznačně určen sadou jeho souřadnic. To znamená, že vektor je chápán jako objekt, který má hodnotu (délku), směr a aplikační bod (začátek vektoru).

Počátky vektorového počtu se objevily v dílech v roce 1831 v prac Německý matematik, mechanik, fyzik, astronom a zeměměřič Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Práce o operacích s vektory publikoval irský matematik, mechanik a teoretický fyzik Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) jako součást svého kvaternionového počtu. Vědec navrhl termín „vektor“ a popsal některé operace s vektory. Vektorový počet dostal své další vývoj díky práci o elektromagnetismu britského fyzika, matematika a mechanika Jamese Clerka Maxwella (1831-1879). V 80. letech 19. století vyšla kniha „Elements of Vector Analysis“ amerického fyzika, fyzikochemika, matematika a mechanika Josiaha Willarda Gibbse (1839-1903). Moderní vektorovou analýzu popsal v roce 1903 anglický samouk, inženýr, matematik a fyzik Oliver Heaviside (1850-1925).

DEFINICE

Délka nebo vektorový modul je délka směrovaného segmentu, který definuje vektor. Označeno jako .

Základní typy vektorů

Nulový vektor se nazývá vektor, jehož počáteční a koncový bod jsou stejné. Délka nulového vektoru je nula.

Nazývají se vektory, které jsou rovnoběžné se stejnou přímkou ​​nebo leží na stejné přímce kolineární(obr. 2).

kosměrný pokud jsou jejich směry stejné.

Na obrázku 2 jsou to vektory a . Společný směr vektorů je označen následovně: .

Jsou volány dva kolineární vektory opačnými směry pokud jsou jejich směry opačné.

Na obrázku 3 jsou to vektory a . Označení: .

1. Co je to vektor?

2. Sčítání vektorů.

3. Rovnost vektorů.

4. Skalární součin dvou vektorů a jeho vlastnosti.

5. Vlastnosti operací s vektory.

6. Důkazy a řešení problémů.

Jedním ze základních pojmů moderní matematiky je vektor a jeho zobecnění – tenzor. Vývoj konceptu vektoru byl proveden díky širokému použití tohoto konceptu v různých oblastech matematiky, mechaniky a také v technologii.

Konec minulého a začátek současného století byly ve znamení rozsáhlého rozvoje vektorového počtu a jeho aplikací. Vznikla vektorová algebra a vektorová analýza, obecná teorie vektorového prostoru. Tyto teorie byly použity při konstrukci speciální a obecné teorie relativity, které hrají mimořádně důležitou roli moderní fyzika.

Podle potřeby nový program v matematice se pojem vektor stal jedním z hlavních pojmů školního matematického kurzu.

Co je vektor? Kupodivu odpověď na tuto otázku představuje určité potíže. Existují různé přístupy k definici pojmu vektor; Navíc, i když se omezíme na elementárně-geometrický přístup k pojmu vektor, který je zde pro nás nejzajímavější, pak i tak budou na tento pojem různé pohledy. Samozřejmě, ať už si vezmeme jakoukoli definici, vektor - z elementárního geometrického hlediska - je geometrický objekt charakterizovaný směrem (tj. přímkou ​​určenou až do rovnoběžnosti a směrem na ní) a délkou. definice je příliš obecná a nezpůsobuje specifické geometrické reprezentace. Podle této obecné definice lze paralelní translaci považovat za vektor. Ve skutečnosti by se dala přijmout následující definice: „Vektor je jakýkoli paralelní překlad“. Tato definice je logicky bezchybná a na jejím základě lze postavit celou teorii působení na vektory a rozvíjet aplikace této teorie. Ani zde nás však tato definice přes svou naprostou konkrétnost nemůže uspokojit, neboť představa vektoru jako geometrické transformace se nám zdá nedostatečně jasná a vzdálená fyzikálním představám o vektorových veličinách.

Tak, vektor nazývaná rodina všech navzájem rovnoběžných, stejně směrovaných a majících stejně dlouhé segmenty (obr. 1).


Vektor je na výkresech znázorněn jako segment se šipkou (tj. není zobrazena celá rodina segmentů, což je vektor, ale pouze jeden z těchto segmentů). Tučná latinka se používá k označení vektorů v knihách a článcích. a, b, c a tak dále a v sešitech a na tabuli - latinská písmena s pomlčkou nahoře , Stejné písmeno, ale ne tučné, ale světlé (a v sešitě a na tabuli stejné písmeno bez pomlčky) označuje délku vektoru. Délka se někdy označuje také svislými čarami - jako modul (absolutní hodnota) čísla. Tedy délka vektoru A označený A nebo já A Já a v ručně psaném textu délka vektoru A označený A nebo já A I. V souvislosti se znázorněním vektorů ve formě segmentů (obr. 2) je třeba připomenout, že konce segmentu reprezentujícího vektor jsou nestejné: jeden konec segmentu ke druhému.

Rozlišujte mezi začátkem a koncem vektoru (přesněji segmentu reprezentujícího vektor).

Poměrně často se konceptu vektoru dává jiná definice: směrovaný segment se nazývá vektor. V tomto případě jsou vektory (tj. směrované segmenty) mající stejnou délku a stejný směr (obr. 3) považovány za rovnocenné.


O vektorech se říká, že jsou stejně směrované, pokud jsou jejich polopřímky stejně směrovány.

Sčítání vektorů.

Vše výše uvedené ještě nečiní koncept vektoru dostatečně smysluplným a užitečným. Pojem vektor dostává více obsahu a bohaté možnosti aplikací, když zavedeme jakousi „geometrickou aritmetiku“ – aritmetiku vektorů, která nám umožňuje vektory sčítat, odečítat a provádět s nimi řadu dalších operací. V této souvislosti poznamenáváme, že koneckonců pojem číslo se stává zajímavým až se zavedením aritmetických operací, nikoli sám o sobě.

Součet vektorů A a v se souřadnicemi a 1, a 2 a 1, a 2 nazývaný vektor s se souřadnicemi 1 + na 1, 2 + na 2, ty. A(a 1; a 2) + v(v 1 ;v 2) = s(a 1 + v 1; a 2 + v 2).

Následek:

Abychom dokázali komutativitu sčítání vektorů v rovině, musíme zvážit příklad. A a v - vektory (obr. 5).

Nech být

1. Stavíme rovnoběžník OASV: AM II OB, VN II OA.


Abychom asociabilitu dokázali, vyčleníme z libovolného bodu O vektor OA = a, z vektoru bodu A AB = dovnitř a z bodu do - vektoru slunce = s. Pak máme: AB + BC = AC.
odkud následuje rovnost a + (v + s) = (a + b)+ str. Všimněte si, že výše uvedený důkaz kresbu vůbec nepoužívá. To je typické (s určitou dovedností) pro řešení problémů pomocí vektorů. Podívejme se nyní na případ, kdy vektory A a v nasměrované v opačných směrech a stejné délky; takové vektory se nazývají opačné. Naše pravidlo sčítání vektorů vede k tomu, že součet dvou opačných vektorů je "vektor", který má nulovou délku a žádný směr; tento „vektor“ je reprezentován „segmentem nulové délky“, tzn. tečka. Ale to je také vektor, který se nazývá nula a je označen symbolem 0.

Vektorová rovnost.

Říká se, že dva vektory jsou stejné, pokud jsou kombinovány paralelním překladem. To znamená, že existuje paralelní translace, která překládá začátek a konec jednoho vektoru na začátek a konec jiného vektoru.

Z tato definice rovnost vektorů znamená, že různé vektory jsou stejně směrované a stejné v absolutní hodnotě.

A naopak: jsou-li vektory stejně směrované a stejné v absolutní hodnotě, jsou si rovny.

Opravdu, ať vektory AB a S D - identicky směrované vektory, stejné v absolutní hodnotě (obr. 6). Paralelní přenos, který vezme bod C do bodu A, kombinuje polopřímku CD s polopřímkou ​​AB, protože jsou stejně směrovány. A protože jsou segmenty AB a CD stejné, pak je bod D zarovnán s bodem B, to znamená, že paralelní přenos převádí vektor CD do vektoru AB. Takže vektory AB a S D jsou si rovni, což mělo být prokázáno.

Nebudou chybět ani úkoly pro nezávislé rozhodnutí na které můžete vidět odpovědi.

Vektorové koncept

Než se naučíte vše o vektorech a operacích s nimi, nalaďte se na vyřešení jednoduchého problému. Existuje vektor vašeho podniku a vektor vašich inovačních schopností. Vektor podnikání vás vede k cíli 1 a vektor inovativních schopností k cíli 2. Pravidla hry jsou taková, že se nemůžete pohybovat ve směrech těchto dvou vektorů najednou a dosáhnout dvou cílů najednou. Vektory interagují, nebo, řečeno matematicky, nějaká operace se provádí s vektory. Výsledkem této operace je vektor „Výsledek“, který vás vede k cíli 3.

A teď mi řekněte: výsledkem které operace s vektory „Podnik“ a „Inovační schopnosti“ je vektor „Výsledek“? Pokud to nemůžete říct hned, nenechte se odradit. Při studiu této lekce budete schopni na tuto otázku odpovědět.

Jak jsme viděli výše, vektor nutně pochází z nějakého bodu A v přímce do určitého bodu B. V důsledku toho má každý vektor nejen číselnou hodnotu – délku, ale také fyzikální a geometrický – směr. Z toho je odvozena první, nejjednodušší definice vektoru. Vektor je tedy směrovaný segment vycházející z bodu A do té míry B. Označuje se takto:


A začít jinak vektorové operace , musíme se seznámit ještě s jednou definicí vektoru.

Vektor je druh reprezentace bodu, kterého lze dosáhnout z nějakého výchozího bodu. Například trojrozměrný vektor se obvykle zapisuje jako (x, y, z) . Jednoduše řečeno, tato čísla představují, jak daleko musíte jít ve třech různých směrech, abyste se dostali k bodu.

Nechť je dán vektor. V čem X = 3 (pravá ruka ukazuje doprava) y = 1 (levá ruka body dopředu) z = 5 (pod bodem vede žebřík nahoru). Z těchto údajů najdete bod tak, že jdete 3 metry ve směru naznačeném pravou rukou, poté 1 metr ve směru naznačeném levou rukou a poté na vás čeká žebřík a po 5 metrech stoupání nakonec najdete sebe na konci.

Všechny ostatní pojmy jsou upřesněním výše uvedeného vysvětlení, nezbytnými pro různé operace s vektory, tedy pro řešení praktických problémů. Pojďme si projít tyto přesnější definice a zaměřme se na typické vektorové problémy.

Fyzikální příklady vektorovými veličinami může být posunutí hmotného bodu pohybujícího se v prostoru, rychlost a zrychlení tohoto bodu a také síla na něj působící.

geometrický vektor ve formě zastoupeny ve dvourozměrném a trojrozměrném prostoru směrovaný segment. Jedná se o segment, který má začátek a konec.

Pokud A je začátek vektoru a B je jeho konec, pak je vektor označen symbolem nebo jedním malým písmenem . Na obrázku je konec vektoru označen šipkou (obr. 1)

Délka(nebo modul) geometrického vektoru je délka segmentu, který jej generuje

Tyto dva vektory se nazývají rovnat se , pokud je lze kombinovat (když se směry shodují) paralelním posunem, tzn. pokud jsou rovnoběžné, směřují stejným směrem a mají stejnou délku.

Ve fyzice se o tom často uvažuje připnuté vektory, daný bodem aplikace, délkou a směrem. Pokud nezáleží na místě aplikace vektoru, pak jej lze přenést, přičemž délka a směr zůstanou zachovány do libovolného bodu v prostoru. V tomto případě se volá vektor volný, uvolnit. Souhlasíme, že budeme pouze zvažovat volné vektory.

Lineární operace s geometrickými vektory

Vynásobte vektor číslem

Vektorový produkt za číslo Vektor se nazývá vektor získaný z vektoru protažením (v ) nebo zmenšením (v ) časech a směr vektoru je zachován, pokud , a obrácen, pokud . (obr. 2)

Z definice vyplývá, že vektory a = jsou vždy umístěny na jedné nebo rovnoběžné přímce. Takové vektory se nazývají kolineární. (Můžete také říci, že tyto vektory jsou rovnoběžné, ale ve vektorové algebře je obvyklé říkat „kolineární“.) Platí to i obráceně: jsou-li vektory a kolineární, pak spolu souvisí vztahem

Rovnost (1) tedy vyjadřuje podmínku kolinearity dvou vektorů.


Vektorové sčítání a odčítání

Když přidáváte vektory, musíte to vědět součet vektory a nazývá se vektor, jehož začátek se shoduje se začátkem vektoru a konec - s koncem vektoru za předpokladu, že začátek vektoru je připojen ke konci vektoru. (obr. 3)


Tato definice může být distribuována přes libovolný konečný počet vektorů. Nechejte v daném prostoru n volné vektory. Při sčítání více vektorů se jejich součet bere jako uzavírací vektor, jehož začátek se shoduje se začátkem prvního vektoru a konec s koncem posledního vektoru. To znamená, že pokud je začátek vektoru připojen ke konci vektoru a začátek vektoru ke konci vektoru atd. a nakonec na konec vektoru - začátek vektoru, pak součet těchto vektorů je uzavírací vektor , jehož začátek se shoduje se začátkem prvního vektoru a jehož konec se shoduje s koncem posledního vektoru . (obr. 4)

Termíny se nazývají komponenty vektoru a formulované pravidlo je pravidlo mnohoúhelníku. Tento mnohoúhelník nemusí být plochý.

Když se vektor vynásobí číslem -1, získá se opačný vektor. Vektory a mají stejnou délku a opačné směry. Jejich součet dává nulový vektor, jehož délka je nula. Směr nulového vektoru není definován.

Ve vektorové algebře není potřeba samostatně uvažovat o operaci odčítání: odečíst vektor od vektoru znamená přidat k vektoru opačný vektor, tzn.

Příklad 1 Zjednodušte výraz:

.

,

to znamená, že vektory lze sčítat a násobit čísly stejným způsobem jako polynomy (zejména také problémy se zjednodušením výrazů). Obvykle před výpočtem součinů vektorů vyvstává potřeba zjednodušit lineárně podobné výrazy pomocí vektorů.

Příklad 2 Vektory a slouží jako úhlopříčky rovnoběžníku ABCD (obr. 4a). Vyjádřete v termínech a vektory , , a , které jsou stranami tohoto rovnoběžníku.

Rozhodnutí. Průsečík úhlopříček rovnoběžníku půlí každou úhlopříčku. Délky vektorů požadované v podmínce úlohy najdeme buď jako polovinu součtů vektorů, které tvoří trojúhelník s požadovanými, nebo jako polovinu rozdílů (v závislosti na směru vektoru sloužícího jako úhlopříčka), nebo, jako ve druhém případě, polovina součtu se znaménkem mínus. Výsledkem jsou vektory požadované ve stavu problému:

Existují všechny důvody se domnívat, že jste nyní správně odpověděli na otázku o vektorech „Podnikavé“ a „Inovační schopnosti“ na začátku této lekce. Správná odpověď: tyto vektory jsou podrobeny operaci sčítání.

Vyřešte problémy s vektory sami a pak se podívejte na řešení

Jak zjistit délku součtu vektorů?

Tento problém zaujímá zvláštní místo v operacích s vektory, protože zahrnuje použití trigonometrických vlastností. Řekněme, že máte úkol, jako je následující:

Vzhledem k délce vektorů a délka součtu těchto vektorů . Najděte délku rozdílu těchto vektorů.

Řešení tohoto a dalších podobných problémů a vysvětlení, jak je řešit - v lekci " Sčítání vektorů: délka součtu vektorů a kosinová věta ".

A řešení takových problémů můžete zkontrolovat na Online kalkulačka "Neznámá strana trojúhelníku (sčítání vektorů a kosinusová věta)" .

Kde jsou produkty vektorů?

Součin vektoru vektorem nejsou lineární operace a jsou uvažovány samostatně. A máme lekce "Tečkový součin vektorů" a "Vektorový a smíšený součin vektorů".

Promítání vektoru na osu

Projekce vektoru na osu se rovná součinu délky promítaného vektoru a kosinu úhlu mezi vektorem a osou:

Jak známo, projekce bodu A na přímce (rovině) je základna kolmice svržená z tohoto bodu na přímku (rovinu).


Nechť - libovolný vektor (obr. 5) a a - průměty jeho začátku (body A) a konec (tečky B) na nápravu l. (K sestavení průmětu bodu A) kreslit přímo bodem A rovina kolmá k přímce. Průsečík přímky a roviny určí požadovaný průmět.

Komponenta vektoru na ose l nazvaný takový vektor ležící na této ose, jehož začátek se shoduje s projekcí začátku a konec - s projekcí konce vektoru .

Promítání vektoru na osu l zavolal na číslo

,

rovná délce vektoru složky na této ose, bráno se znaménkem plus, pokud se směr složky shoduje se směrem osy l a se znaménkem mínus, pokud jsou tyto směry opačné.

Hlavní vlastnosti vektorových projekcí na ose:

1. Průměty stejných vektorů na stejné ose jsou si navzájem rovny.

2. Když je vektor vynásoben číslem, jeho projekce se vynásobí stejným číslem.

3. Průmět součtu vektorů na libovolnou osu je roven součtu průmětů členů vektorů na stejné ose.

4. Průmět vektoru na osu je roven součinu délky promítaného vektoru a kosinu úhlu mezi vektorem a osou:

.

Rozhodnutí. Promítneme vektory na osu l jak je definováno v teoretickém odkazu výše. Z obr.5a je zřejmé, že průmět součtu vektorů je roven součtu průmětů vektorů. Počítáme tyto projekce:

Najdeme konečnou projekci součtu vektorů:

Vztah vektoru s pravoúhlým kartézským souřadnicovým systémem v prostoru

Seznámení s pravoúhlý kartézský souřadnicový systém v prostoru proběhl v odpovídající lekci, nejlépe jej otevřete v novém okně.

V uspořádaném systému souřadnicové osy 0xyz osa Vůl volala osa x, osa 0 let – osa y a os 0z – aplikační osa.


s libovolným bodem M prostor kravatu vektor

volala vektor poloměru body M a promítněte jej na každou ze souřadnicových os. Označme hodnoty odpovídajících projekcí:

čísla x, y, z volala souřadnice bodu M, resp úsečka, ordinovat a nášivka, a jsou zapsány jako uspořádaná tečka čísel: M(x; y; z)(obr. 6).

Nazývá se vektor jednotkové délky, jehož směr se shoduje se směrem osy jednotkový vektor(nebo ortom) sekery. Označit podle

Podle toho jednotkové vektory souřadnicových os Vůl, Oj, Oz

Teorém. Jakýkoli vektor lze rozložit na jednotkové vektory souřadnicových os:


(2)

Rovnost (2) se nazývá expanze vektoru podél souřadnicových os. Koeficienty tohoto rozšíření jsou průměty vektoru na souřadnicové osy. Expanzní koeficienty (2) vektoru podél souřadnicových os jsou tedy souřadnicemi vektoru.

Po zvolení určitého souřadnicového systému v prostoru se vektor a trojice jeho souřadnic navzájem jednoznačně určí, takže vektor lze zapsat ve tvaru

Vektorová zobrazení ve tvaru (2) a (3) jsou totožná.

Podmínka kolineárních vektorů v souřadnicích

Jak jsme již poznamenali, vektory se nazývají kolineární, pokud jsou příbuzné vztahem

Nechte vektory . Tyto vektory jsou kolineární, pokud souřadnice vektorů souvisí vztahem

,

to znamená, že souřadnice vektorů jsou úměrné.

Příklad 6 Dané vektory . Jsou tyto vektory kolineární?

Rozhodnutí. Pojďme zjistit poměr souřadnic těchto vektorů:

.

Souřadnice vektorů jsou proporcionální, proto jsou vektory kolineární, nebo, co je totéž, rovnoběžné.

Vektorová délka a směr kosinus

Vzhledem ke vzájemné kolmosti souřadnicových os je délka vektoru

se rovná délce úhlopříčky pravoúhlého rovnoběžnostěnu postaveného na vektorech

a je vyjádřena rovností

(4)

Vektor je zcela definován určením dvou bodů (začátek a konec), takže souřadnice vektoru lze vyjádřit pomocí souřadnic těchto bodů.

Začátek vektoru v daném souřadném systému nechť je v bodě

a konec je na místě


Od rovnosti

To následuje

nebo v souřadnicové formě

Proto, souřadnice vektoru se rovnají rozdílům stejnojmenných souřadnic konce a začátku vektoru . Vzorec (4) má v tomto případě tvar

Je určen směr vektoru směrové kosiny . Jsou to kosinusy úhlů, které vektor svírá s osami Vůl, Oj a Oz. Označme tyto úhly postupně α , β a γ . Potom lze pomocí vzorců najít kosinus těchto úhlů

Směrové kosiny vektoru jsou také souřadnicemi vektoru vektoru a tím i vektoru vektoru

.

Vzhledem k tomu, že délka vektorového vektoru je rovna jedné jednotce, tj.

,

dostaneme následující rovnost pro směrové kosiny:

Příklad 7 Najděte délku vektoru X = (3; 0; 4).

Rozhodnutí. Délka vektoru je

Příklad 8 Dané body:

Zjistěte, zda trojúhelník postavený na těchto bodech je rovnoramenný.

Rozhodnutí. Pomocí vzorce délky vektoru (6) najdeme délky stran a zjistíme, zda jsou dvě stejné:

Byly nalezeny dvě stejné strany, není tedy třeba hledat délku třetí strany a daný trojúhelník je rovnoramenný.

Příklad 9 Najděte délku vektoru a jeho směr kosinus if .

Rozhodnutí. Vektorové souřadnice jsou uvedeny:

.

Délka vektoru se rovná druhé odmocnině součtu druhých mocnin souřadnic vektoru:

.

Hledání směrových kosinů:

Vyřešte problém s vektory sami a pak se podívejte na řešení

Operace s vektory v souřadnicovém tvaru

Nechť jsou dány dva vektory a dané jejich projekcemi:

Označme akce na těchto vektorech.

Doba čtení 8 minut

Moderní psychologie a psychiatrie se již neomezují pouze na klasické vědecké teorie. Spory a diskuse o pravdivosti a objektivitě populárních pojmů se vedou po staletí, neustále probíhají psychologické výzkumy, jejichž smyslem je dojít k jedinému pravdivému výsledku. Kromě toho se ale stále častěji objevují nové alternativní proudy, modifikují se známé teorie, transformuje se učení světových mozků psychologie a psychiatrie, jako je profesionální psychoanalytik Sigmund Freud nebo jeho neméně slavný kolega Carl Gustav Jung. V tomto článku se zaměříme právě na takový nový trend, který v ruské psychologii udělal skutečnou revoluci, se nazývá psychologie systémových vektorů. Dozvíte se, co to je, jaká je hlavní myšlenka tohoto směru, a také se budete moci podrobně seznámit s každým z 8 prezentovaných vektorů a dokonce si nezávisle určit svůj vlastní typ osobnosti.

Myšlenky systémově-vektorové psychologie

Pro začátek je vhodné říci, že psychologie systémových vektorů není v moderních vědeckých kruzích obecně přijímaným trendem. Někteří zvláště horliví přívrženci klasických myšlenek dokonce nazývají tento směr „síťovou pseudovědou“. Ale jako každá jiná teorie má psychologický koncept osmi vektorů nejen možnost existence, ale dokonce si dokázal získat vlastní armádu přívrženců. Jak řekl zakladatel teorie systémových vektorů V. K. Tolkachev:

Vesmír je dostatečně velký a nevyčerpatelný, což umožňuje najít v něm potvrzení jakékoli teorie. ©

Psychologie systémových vektorů nevznikla od nuly. Za základ byly vzat teorie Sigmunda Freuda, později je zdokonalil Vladimir Ganzen a dokončil jeho žák Viktor Tolkačev.

V roce 1908 spatřila svět článek psychoanalytika Freuda „Character and Anal Erotica“, ve kterém psychoanalytik dochází k závěru, že charakterové vlastnosti přímo souvisejí s lidskými erotogenními zónami. Publikace vyvolala širokou rezonanci, objevilo se mnoho stoupenců freudovské myšlenky. Jedním z nich byl koncem 20. století Viktor Konstantinovič Tolkačev, psycholog z Petrohradu. Vyvinul typologii postav spojených s takovými oblastmi, jako jsou oči, ústa, nos a uši. Podle V. K. Tolkacheva ho k rozvoji a zdokonalení teorie Sigmunda Freuda inspirovala kniha akademika Vladimira Aleksandroviče Ganzena „Systemic Descriptions in Psychology“.

Vznik a vývoj učení Viktora Tolkačeva

V. K. Tolkačev vypracoval holistický psychologický koncept pro určení typu osobnosti pomocí vektorů. S pomocí konceptu „vektoru“ a podrobné analýzy 8 charakteristických typů se zrodila teorie nazvaná „Aplikovaná systémová-vektorová psychoanalýza“. Tolkačev již více než 30 let vede různá školení, semináře a přednášky k této problematice. Díky jednomu z jeho prvních studentů, Michailu Borodyanskému, byl vyvinut speciální test, který hodnotí individuální potenciál každého z vektorů a umožňuje určit osobní typ postavy ve vztahu k psychologii systémových vektorů osmi vektorů ( Tolkachev-Borodyansky test). Nyní existuje mnoho následovníků vektorového systému, kteří nadále vedou psychologická školení a semináře. Nejznámějším internetovým koučem v této oblasti je Yuri Burlan.

Co je podstatou systémově-vektorové psychologie

Během vývoje psychologie jako vědy se vyvinulo mnoho různých osobnostních typologií. Jde o typologie podle Junga nebo podle Gannushkina, Erich Fromm nabídl svou klasifikaci. K určení bylo vyvinuto několik testů psychologický typ individuální, například Szondiho test nebo společných 16Osobností. Ve skutečnosti V. K. Tolkachev, stejně jako mnoho jeho předchůdců, navrhl svou vlastní verzi identifikace typu osobnosti.

Psychologie systémových vektorů není umístěna jako odvětví klasické psychologie nebo určitého trendu, ale jako samostatná věda o studiu typologie osobnosti. Vektor je symbióza fyziologických a psychologických vlastností, jako je například charakter, temperament, zdraví, zvyky jedince a další podobné vlastnosti. Ve skutečnosti je vektor středem potěšení. Vektory jsou spojeny s konkrétní dírou na lidském těle, která je zároveň erotogenní zóna. Každá osobnost může mít několik vektorů (od 1 do 8, v praxi je největší počet přítomných vektorů číslo 5).

Přítomnost vektoru určuje počet a stupeň lidských aspirací a potřeb pro seberealizaci, zaměřenou na získání potěšení. Neschopnost implementovat stávající vektor podle tvůrců teorie vede k depresi a pocitu nespokojenosti, což člověku znemožňuje dosáhnout vnitřní harmonie se svým „já“.

Vektorové kroky (čtvrtiny) rozvoje osobnosti

Psychologie systémových vektorů identifikuje 8 hlavních vektorů v typologii osobnosti. Jmenovitě: vizuální, kožní, zvukové, svalové, orální, čichové, uretrální a anální vektory. Jsou umístěny ve čtyřech hlavních čtveřicích (stupních), které tvoří způsob života člověka.

Princip uspořádání vektorů:

  • Informační fáze. Zvuk odpovědi ( vnitřní část kvartely) a vizuální (vnější část) vektory. V této fázi probíhá proces vývoje a sebepoznání jedince.
  • Energetická fáze. Zodpovědné jsou orální (vnější část) a čichové (vnitřní část) vektory. Účelem této etapy je předurčení místa jednotlivce ve společenském systému, vybudování jasné hierarchie.
  • Časový krok. Zodpovědné jsou anální (vnitřní prostor čtvrtiny) a uretrální (vnější prostor) vektory. Dočasné rozdělení života na etapy: minulost a budoucnost. V této fázi dochází k získávání a zpracovávání zkušeností minulých generací a také k touze po pokroku a rozvoji společnosti.
  • Prostorový krok. Zodpovědné jsou vektory svalů (vnitřní část) a kůže (vnější část kvartelového prostoru). Fáze zodpovědná za fyzickou schránku je pracovní realizace člověka, použití fyzické síly atd.

Charakterizace vektorů

Podrobnější vektorová charakteristika vypadá takto:

  1. kůže vektor. Lidé s živým projevem tohoto typu jsou vyslovení extroverti. Realizují se na prostorové úrovni. Hlavním směrem kozhnikova je ochrana území.
  2. svalový vektor. Introverti. Typ myšlení je praktický a vizuálně efektivní. Hlavním směrem je lov, účast na nepřátelských akcích.
  3. anální vektor. Introverti se systémovým myšlením. Typická povolání pro majitele análního vektoru jsou ochrana krbu, shromažďování a přenos informací z předchozích generací.
  4. uretrální vektor. 100% extroverti. Mají nestandardní myšlení. Taktika narození. Smyslem života lidí s výrazným uretrálním vektorem je být vůdci, vrchními veliteli, vůdci.
  5. vizuální vektor. Extroverti s obrazným typem inteligence. Jsou v informační fázi vývoje. Hlavní činnost: ochrana území (přes den).
  6. Zvukový vektor. Absolutní introverti s abstraktním typem myšlení. Činnost: ochrana území ve tmě.
  7. orální vektor. Zástupci tohoto typu jsou většinou extroverti. Mají vrozenou verbální metodu myšlení. Hlavní zaměstnání: organizace akcí (v době míru), varování před nebezpečím (během nepřátelských akcí).
  8. Čichový vektor. Introverti, vyznačující se intuitivním typem myšlení, preferují neverbální způsoby předávání informací. Hlavní směr: inteligence, tvorba strategií.

Psychologie systémových vektorů rozděluje vektory na důležitější, takříkajíc základní, a na ty, které mají pro rozvoj osobnosti menší hodnotu. Dominantní jsou čichové, uretrální a zvukové vektory, které dominují ostatním vektorům. Tyto tři vektory se nepřekrývají s jinými dostupnými a také je nelze vymýtit vnějšími sociálními faktory, jako je výchova nebo sociální systém.

Každý jedinec si sám určuje, které vektory jsou v psychotypu jeho osobnosti hlavní. Pro každý vektor, dokonce i takové charakteristiky, jako jsou určitá externí data, byly vyvinuty psychické rysy vlastní konkrétnímu vektorovému archetypu. Každému z osmi vektorů je přiřazen specifický geometrický tvar a barva.

Vektory se také dělí na spodní (uretrální, anální, svalové a kožní) a horní (vizuální, zvukové, čichové a orální). Psychologie systémových vektorů ukazuje, že spodní vektory jsou zodpovědné za libido, lidské sexuální touhy, zatímco horní vektory hledají spojení s duchovním světem. Horní vektory jsou dostupné naprosto každému člověku, na rozdíl od těch spodních, kterými nejsou obdařeny všechny osobní archetypy.

Psychologie systémových vektorů: její účel

Neexistuje jediný člověk, který by byl schopen odmítnout potěšení; i samotné náboženství musí požadavek vzdát se požitků v blízké budoucnosti zdůvodňovat příslibem nesrovnatelně větších a hodnotnějších radostí na onom světě. © Sigmund Freud

K čemu je osmi vektorová psychologie? Jaká je jeho funkce a přínos pro člověka?

Hlavním cílem vektorové psychologie je poznat sám sebe a užívat si života pomocí svých vnitřních vektorů. Tento systém je zaměřen na sebepoznání jedince, určování jeho role ve společnosti, aby se předešlo morální nespokojenosti se sebou samým a se svým životem. Pokud se člověk nemůže realizovat ve společnosti, nezná své skutečné potřeby a touhy, pak neustálý pocit nespokojenosti může vést k depresivnímu stavu.

Psychologie systémových vektorů je také zaměřena na odhalení sexuálních tužeb a potřeb člověka. Lze použít jako profesionálně zaměřené testy.

Psychologická teorie, kterou na základě Freudových postulátů vypracoval Viktor Tolkačev, umožňuje objevit tajemství podvědomí, uvědomit si, co přesně je hnací silou člověka, hlavní příčinou všech jeho činů a činů. Přínos studia vektorů psychologie systémových vektorů je také v budování komunikačních vazeb s lidmi kolem vás: zaměstnanci, příbuzní, přátelé. Pokud mají dva lidé stejné vektory, pak je to často klíč k přátelským vztahům. A naopak – kontrast vektorů vysvětluje nekompatibilitu v párech a nepřátelství jedinců vůči sobě. Slovy nevědomého zakladatele této doktríny Sigmunda Freuda:

Nevybíráme se náhodou... Potkáváme jen ty, kteří již v našem podvědomí existují. ©

Psychologie systémových vektorů není prokázána nebo absolutně pravdivá. Toto je jen jedna z metod identifikace určitý typ osobnost. Množství kritiky zkušených specialistů na učení V. K. Tolkačeva dokazuje nedokonalost tohoto psychologického konceptu. Mezi vyznavači klasické psychologie a Tolkačevovými studenty neutichají diskuse a spory.

Ti první mají tendenci považovat vektorový přístup k určování osobnosti za sektářský a hypnoticko-obsedantní (školení o výuce této techniky jsou prý vedena výhradně pro komerční účely). Ti poslední upřímně věří v objektivitu psychologie systémových vektorů a dokazují její přínos pro jednotlivce i lidstvo jako celek. Chcete-li se dozvědět více o tezích a konceptech této doktríny, můžete se podívat na video úvodních přednášek Yuri Burluna o systému vektorů. Každý člověk bude schopen samostatně vyvodit závěr o pravdivosti předložených myšlenek pouze tím, že shromáždí úplný obraz nauky.