Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku

Nyní přejdeme k úvahám o aplikacích integrálního počtu. V této lekci analyzujeme typický a nejběžnější úkol. Jak použít určitý integrál k výpočtu plochy rovinného obrazce. Konečně hledat smysl algebra pro pokročilé- ať ho najdou. Nikdy nevíš. Budeme se muset v životě sblížit venkovská chatová oblast elementární funkce a najít její obsah pomocí určitého integrálu.

Pro úspěšné zvládnutí materiálu musíte:

1) Porozumět neurčitému integrálu alespoň na středně pokročilé úrovni. Takže figuríny by si měly lekci nejprve přečíst Ne.

2) Umět použít Newton-Leibnizův vzorec a vypočítat určitý integrál. S určitými integrály na stránce můžete navázat vřelé přátelské vztahy Určitý integrál. Příklady řešení.

Ve skutečnosti, abyste našli oblast obrázku, nepotřebujete tolik znalostí o neurčitém a určitém integrálu. Úloha "vypočítat plochu pomocí určitého integrálu" vždy zahrnuje konstrukci výkresu, takže vaše znalosti a dovednosti v kreslení budou mnohem relevantnější záležitostí. V tomto ohledu je užitečné osvěžit si paměť grafů hlavních elementárních funkcí a minimálně umět sestavit přímku, parabolu a hyperbolu. To lze provést (mnozí to potřebují) pomocí metodického materiálu a článku o geometrických transformacích grafů.

Problém hledání oblasti pomocí určitého integrálu zná vlastně každý už od školy a trochu předběhneme školní osnovy. Tento článek by možná vůbec neexistoval, ale faktem je, že problém nastává v 99 případech ze 100, kdy studenta trápí nenáviděná věž s nadšením zvládajícím kurz vyšší matematiky.

Materiály tohoto workshopu jsou prezentovány jednoduše, podrobně as minimem teorie.

Začněme křivočarým lichoběžníkem.

Křivočarý lichoběžník nazývá se plochý obrazec ohraničený osou , přímkami a grafem funkce spojité na segmentu, který na tomto intervalu nemění znaménko. Nechte toto číslo najít ne méněúsečka:

Pak plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu. Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam. Na lekci Určitý integrál. Příklady řešeníŘekl jsem, že určitý integrál je číslo. A nyní je čas uvést další užitečný fakt. Z hlediska geometrie je určitým integrálem OBLAST.

to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše nějakého obrazce. Uvažujme například určitý integrál . Integrand definuje křivku v rovině, která je umístěna nad osou (kdo si přeje, může dokreslit výkres) a samotný určitý integrál je číselně roven ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

Příklad 1

Toto je typický úkolový příkaz. První a rozhodující okamžikřešení - kreslení. Kromě toho musí být výkres vytvořen ŽE JO.

Při sestavování plánu doporučuji následující pořadí: První je lepší konstruovat všechny čáry (pokud existují) a pouze po- paraboly, hyperboly, grafy dalších funkcí. Vytváření funkčních grafů je výhodnější bod po bodu, s technikou bodové konstrukce lze nalézt v referenčním materiálu Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Tam také můžete najít materiál, který je velmi užitečný ve vztahu k naší lekci - jak rychle postavit parabolu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.
Udělejme nákres (všimněte si, že rovnice definuje osu):

Nebudu líhnout křivočarý lichoběžník, zde je zřejmé, jakou oblast v otázce. Řešení pokračuje takto:

Na segmentu je umístěn graf funkce přes osu, proto:

Odpovědět:

Kdo má potíže s výpočtem určitého integrálu a aplikací Newtonova-Leibnizova vzorce , viz přednáška Určitý integrál. Příklady řešení.

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na výkres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě „okem“ spočítáme počet buněk na výkresu - dobře, bude napsáno asi 9, zdá se, že je to pravda. Je zcela jasné, že pokud bychom měli odpověď řekněme: 20 čtverečních jednotek, pak se evidentně někde stala chyba - 20 buněk se do dotyčného čísla evidentně nevejde, maximálně tucet. Pokud se ukázalo, že odpověď byla záporná, byla úloha také vyřešena špatně.

Příklad 2

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , a osou

Toto je příklad pro nezávislé řešení. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Co dělat, když se nachází křivočarý lichoběžník pod nápravou?

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.

Řešení: Uděláme kresbu:

Pokud je umístěn křivočarý lichoběžník pod nápravou(nebo alespoň ne vyšší daná osa), pak jeho obsah lze najít podle vzorce:
V tomto případě:

Pozornost! Nepleťte si dva typy úkolů:

1) Pokud jste požádáni, abyste vyřešili pouze určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě uvažovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte oblast ploché postavy ohraničenou čarami , .

Řešení: Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najdeme průsečíky paraboly a přímky. To lze provést dvěma způsoby. První způsob je analytický. Řešíme rovnici:

Tedy spodní hranice integrace, horní hranice integrace.
Pokud je to možné, je nejlepší tuto metodu nepoužívat..

Mnohem výhodnější a rychlejší je stavět linky bod po bodu, přičemž hranice integrace se zjišťují jakoby „sami“. Technika konstrukce bod po bodu pro různé grafy je podrobně popsána v nápovědě Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Analytická metoda hledání limitů se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo závitová konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). A budeme také uvažovat o takovém příkladu.

Vracíme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:

Opakuji, že u bodové konstrukce se hranice integrace nejčastěji zjišťují „automaticky“.

A nyní pracovní vzorec: Pokud je na intervalu nějaká spojitá funkce větší nebo rovno nějakou spojitou funkci, pak oblast obrázku ohraničenou grafy těchto funkcí a přímkami, lze nalézt podle vzorce:

Zde již není nutné přemýšlet o tom, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, a zhruba řečeno, záleží, který graf je NAHOŘE(ve vztahu k jinému grafu), a který je NÍŽE.

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na úsečce se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Dokončení řešení může vypadat takto:

Požadovaný údaj je omezen parabolou shora a přímkou ​​zespodu.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Školní vzorec pro oblast křivočarého lichoběžníku ve spodní polorovině (viz jednoduchý příklad č. 3) je ve skutečnosti speciálním případem vzorce . Protože osa je dána rovnicí , a graf funkce je umístěn ne vyšší osy tedy

A nyní pár příkladů pro nezávislé řešení

Příklad 5

Příklad 6

Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami , .

V průběhu řešení úloh pro výpočet plochy pomocí určitého integrálu se občas stane vtipná příhoda. Výkres byl proveden správně, výpočty byly správné, ale kvůli nepozornosti ... našel oblast špatného obrázku, tak to tvůj poslušný sluha několikrát podělal. Tady skutečný případ ze života:

Příklad 7

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .

Řešení: Nejprve si uděláme kresbu:

…Eh, kresba vypadla, ale vše se zdá být čitelné.

Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře.(pozorně se podívejte na stav - jak je postava omezená!). V praxi však kvůli nepozornosti často dochází k „závadě“, že musíte najít oblast obrázku, která je zastíněna v zeleném!

Tento příklad je také užitečný v tom, že v něm je plocha obrázku vypočítána pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:

1) Na segmentu nad osou je přímkový graf;

2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

Odpovědět:

Přejděme k ještě jednomu smysluplnému úkolu.

Příklad 8

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami,
Představme rovnice ve „školní“ podobě a proveďte bodové kreslení:

Z nákresu je vidět, že naše horní hranice je „dobrá“: .
Jaká je ale spodní hranice? Je jasné, že to není celé číslo, ale co? Možná ? Ale kde je záruka, že kresba je provedena s dokonalou přesností, to se může dobře ukázat. Nebo root. Co kdybychom ten graf vůbec nepochopili?

V takových případech musíte utratit dodatečný čas a analyticky zpřesnit limity integrace.

Najdeme průsečíky přímky a paraboly.
Za tímto účelem vyřešíme rovnici:


,

Opravdu, .

Další řešení je triviální, hlavní je nenechat se zmást v substitucích a znaménkách, výpočty zde nejsou nejjednodušší.

Na segmentu , podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

No, na závěr lekce budeme považovat dva úkoly za obtížnější.

Příklad 9

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , ,

Řešení: Nakreslete tento obrázek do výkresu.

Sakra, zapomněl jsem podepsat rozvrh a předělat obrázek, omlouvám se, ne hotz. Žádná kresba, zkrátka dnes je ten den =)

Pro bodovou konstrukci potřebujete vědět vzhled sinusoidy (a obecně je užitečné vědět grafy všech elementárních funkcí), stejně jako některé sinusové hodnoty, lze je nalézt v trigonometrická tabulka. V některých případech (jako v tomto případě) je dovoleno sestrojit schematický výkres, na kterém musí být grafy a integrační limity zobrazeny v zásadě správně.

S integračními limity zde nejsou žádné problémy, vyplývají přímo z podmínky: - "x" se změní z nuly na "pi". Učiníme další rozhodnutí:

Na segmentu je graf funkce umístěn nad osou, proto:

Třída: 5

Úkolem učitele je podle mého názoru nejen učit, ale rozvíjet kognitivní zájem žáka. Proto, když je to možné, propojuji témata lekce s praktickými úkoly.

V lekci studenti pod vedením učitele vypracují plán řešení problémů pro nalezení oblasti „komplexní postavy“ (pro výpočet odhadů oprav), upevní dovednosti pro řešení problémů pro nalezení Oblast; dochází k rozvoji pozornosti, schopnosti badatelské činnosti, výchově činnosti, samostatnosti.

Práce ve dvojicích vytváří situaci komunikace mezi těmi, kdo mají znalosti, a těmi, kdo je získávají; základem takové práce je zkvalitnění výuky v předmětu. Podporuje rozvoj zájmu o proces učení a hlubší asimilaci vzdělávacího materiálu.

Lekce nejen systematizuje znalosti studentů, ale také přispívá k rozvoji tvůrčích, analytických schopností. Použití úloh s praktickým obsahem v lekci umožňuje ukázat relevanci matematických znalostí v každodenním životě.

Cíle lekce:

Vzdělávací:

• upevnění znalostí vzorců pro oblast obdélníku, pravoúhlého trojúhelníku;
• analýza úkolů pro výpočet oblasti "složitého" obrázku a metody jejich implementace;
• samostatné plnění úkolů k prověření znalostí, dovedností, schopností.

Rozvíjející se:

• vývoj metod duševní a výzkumné činnosti;
• rozvíjení schopnosti naslouchat a vysvětlit průběh rozhodnutí.

Vzdělávací:

• vzdělávat studenty v dovednostech výchovné práce;
• pěstovat kulturu ústní a písemné matematické řeči;
• pěstovat přátelství ve třídě a schopnost pracovat ve skupinách.

Typ lekce: kombinovaný.

Zařízení:

• Matematika: učebnice na 5 buněk. obecné vzdělání instituce / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: Mnemozina, 2010.
• Karty pro skupiny studentů s postavami pro výpočet plochy složité postavy.
• Nástroje pro kreslení.

Plán lekce:

1. Organizace času.
2. Aktualizace znalostí.
   a) Teoretické otázky (test).
   b) Vyjádření problému.
3. Naučil se nový materiál.
   a) nalezení řešení problému;
   b) řešení problému.
4. Fixace materiálu.
   a) kolektivní řešení problémů;
   Fizkultminutka.
   b) samostatná práce.
5. Domácí práce.
6. Shrnutí lekce. Odraz.

Během vyučování

I. Organizační moment.

Začněme lekci těmito slovy povzbuzení:

Matematika, přátelé,
Potřebuje to úplně každý.
Tvrdě pracujte ve třídě
A úspěch na vás čeká!

II. Aktualizace znalostí.

A) Frontální práce se signálními kartami (každý žák má kartičky s čísly 1, 2, 3, 4; při zodpovězení testové otázky žák zvedne kartičku s číslem správné odpovědi).

1. Čtvereční centimetr je:

1. plocha čtverce o straně 1 cm;
2. čtverec o straně 1 cm;
3. čtverec o obvodu 1 cm.

2. Oblast obrázku znázorněná na obrázku je:

1. 8 dm;
2. 8 dm2;
3. 15 dm2.

3. Je pravda, že stejná čísla mají stejný obvod a stejnou plochu?

4. Plocha obdélníku je určena vzorcem:

1. S = a2;
2. S = 2 (a + b);
3. S = a b.

5. Oblast obrázku znázorněná na obrázku je:

1. 12 cm;
2. 8 cm;
3. 16 cm

b) (Formulace problému). Úkol. Kolik barvy je potřeba k natírání podlahy, která má následující tvar (viz obrázek), pokud se použije 200 g barvy na 1 m 2?

III. Učení nového materiálu.

Co potřebujeme vědět, abychom vyřešili poslední problém? (Najděte plochu podlahy, která vypadá jako "složitá postava.")

Studenti formulují téma a cíle hodiny (v případě potřeby pomáhá učitel).

Zvažte obdélník abeceda. Udělejme v něm čáru KPMN rozbitím obdélníku abeceda na dvě části: ABNMPK a KPMNCD.

Jaká je oblast abeceda? (15 cm 2)

Jaká je plocha obrázku ABMNPK? (7 cm 2)

Jaká je plocha obrázku KPMNCD? (8 cm 2)

Analyzujte výsledky. (15==7+8)

Závěr? (Plocha celé postavy se rovná součtu ploch jejích částí.

S = Si + S2

Jak můžeme tuto vlastnost využít k vyřešení našeho problému? (Rozdělme složitou postavu na části, najdeme oblasti částí a potom oblast celé postavy.)

S 1 \u003d 7 2 \u003d 14 (m 2)
S 2 \u003d (7 - 4) (8 - 2 - 3) \u003d 3 3 \u003d 9 (m 2)
S 3 \u003d 7 3 \u003d 21 (m 2)
S \u003d S 1 + S 2 + S 3 \u003d 14 + 9 + 21 \u003d 44 (m 2)

Pojďme se nalíčit plán řešení problémů pro nalezení oblasti "komplexní postavy":

1. Postavu rozložíme na jednoduché obrazce.
2. Nalezení oblasti jednoduchých čísel.

a) Úkol 1. Kolik dlaždic bude potřeba k rozložení plošiny následujících velikostí:

S = Si + S2
S 1 \u003d (60–30) 20 \u003d 600 (dm 2)
S 2 \u003d 30 50 \u003d 1500 (dm 2)
S \u003d 600 + 1500 \u003d 2100 (dm 2)

Existuje jiný způsob řešení? (Zvažujeme navrhované možnosti.)

Odpověď: 2100 dm 2.

Úkol 2. (kolektivní rozhodnutí na radě a v sešitech.) Kolik m 2 linolea je potřeba k opravě místnosti následujícího tvaru:

S = Si + S2
S 1 \u003d 3 2 \u003d 6 (m 2)
S 2 \u003d ((5 - 3) 2): 2 \u003d 2 (m 2)
S \u003d 6 + 2 \u003d 8 (m 2)

Odpověď: 8 m 2.

Fizkultminutka.

Teď, chlapi, vstávejte.
Rychle zvedli ruce.
Do stran, dopředu, dozadu.
Otočená doprava, doleva.
Tiše jsme se posadili a vrátili se k práci.

b) Samostatná práce (vzdělávací) .

Studenti jsou rozděleni do skupin (č. 5–8 jsou silnější). Každá skupina je opravářský tým.

Úkol pro týmy: určete, kolik barvy je potřeba k natření podlahy, která má tvar obrázku uvedeného na kartě, pokud je potřeba 200 g barvy na 1 m 2.

Postavte si tuto figurku do sešitu a zapište si všechna data a pokračujte k úkolu. Můžete diskutovat o řešení (ale pouze ve vaší skupině!). Pokud se skupina vyrovná s úkolem rychle, pak - dodatečný úkol (po ověření samostatné práce).

Úkoly pro skupiny:

V. Domácí úkol.

položka 18, č. 718, č. 749.

Další úkol. Plán-schéma letní zahrady (Petrohrad). Vypočítejte jeho plochu.

VI. Výsledky lekce.

Odraz. Pokračujte ve větě:

• Dnes jsem zjistil...
• Bylo to zajímavé…
• Bylo to náročné…
• Teď mohu…
• Lekce mě naučila na celý život...

Znalosti o tom, jak měřit Zemi, se objevily již ve starověku a postupně se formovaly ve vědě o geometrii. Z řečtiny se toto slovo překládá jako „zeměměřictví“.

Mírou délky ploché oblasti Země na délku a šířku je plocha. V matematice se obvykle označuje latinským písmenem S (z anglického „square“ – „plocha“, „čtverec“) nebo řeckým písmenem σ (sigma). S označuje plochu obrazce na rovině nebo povrch tělesa a σ je plocha průřez dráty ve fyzice. Toto jsou hlavní symboly, i když mohou existovat i jiné, například v oblasti pevnosti materiálů, A je plocha průřezu profilu.

V kontaktu s

Výpočtové vzorce

Když znáte oblasti jednoduchých obrázků, můžete najít parametry složitějších.. Starověcí matematici vyvinuli vzorce, podle kterých je lze snadno vypočítat. Takové postavy jsou trojúhelník, čtyřúhelník, mnohoúhelník, kruh.

Chcete-li najít oblast složité ploché postavy, je rozdělena do mnoha jednoduchých tvarů, jako jsou trojúhelníky, lichoběžníky nebo obdélníky. Potom matematické metody odvodí vzorec pro oblast tohoto obrázku. Podobná metoda se používá nejen v geometrii, ale také v matematické analýze k výpočtu ploch obrazců ohraničených křivkami.

Trojúhelník

Začněme tím nejjednodušším tvarem – trojúhelníkem. Jsou pravoúhlé, rovnoramenné a rovnostranné. Vezměte libovolný trojúhelník ABC se stranami AB=a, BC=ba AC=c (∆ ABC). Pro nalezení jeho oblasti si připomeňme věty o sinech a kosinus známé z kurzu školní matematiky. Když necháme všechny výpočty, dojdeme k následujícím vzorcům:

• S=√ - Všem známý Heronův vzorec, kde p=(a+b+c)/2 - polovina obvodu trojúhelníku;
• S=a h/2, kde h je výška snížená na stranu a;
• S=a b (sin γ)/2, kde γ je úhel mezi stranami a a b;
• S=a b/2 je-li ∆ ABC obdélníkový (zde aab jsou nohy);
• S=b² (sin (2 β))/2 je-li ∆ ABC rovnoramenné (zde b je jedna z „boků“, β je úhel mezi „boky“ trojúhelníku);
• S=a² √¾ jestliže ∆ ABC je rovnostranná (zde a je strana trojúhelníku).

Čtyřúhelník

Nechť existuje čtyřúhelník ABCD s AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Abychom našli plochu S libovolného 4úhelníku, je nutné jej rozdělit úhlopříčkou na dva trojúhelníky, jejichž obsahy S1 a S2 se obecně nerovnají.

Pak je pomocí vzorců vypočítejte a sečtěte, tedy S=S1+S2. Pokud však čtyřkolka patří do určité třídy, lze její plochu najít pomocí dříve známých vzorců:

• S=(a+c) h/2=e h, pokud je čtveřice lichoběžník (zde a a c jsou základny, e je střední čára lichoběžníku, h je výška snížená na jednu ze základen lichoběžníku ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, je-li ABCD rovnoběžník (zde φ je úhel mezi stranami a a b, h je výška snížená na stranu a, d1 a d2 jsou úhlopříčky);
• S=a b=d²/2 je-li ABCD obdélník (d je úhlopříčka);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 je-li ABCD kosočtverec (a je strana kosočtverce, φ je jeden z jeho rohů, P je obvod);
• S=a²=P²/16=d²/2, je-li ABCD čtverec.

Polygon

Aby našli oblast n-úhelníku, matematici jej rozdělí na nejjednodušší stejné trojúhelníky, najdou obsah každého z nich a pak je sečtou. Pokud však mnohoúhelník patří do třídy pravidelných, použije se vzorec:

S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, kde n je počet vrcholů (nebo stran) mnohoúhelníku, a je strana n-úhelníku, P je jeho obvod, h je apotéma , tj. segment nakreslený od středu mnohoúhelníku k jedné z jeho stran pod úhlem 90°.

Kruh

Kruh je dokonalý mnohoúhelník s nekonečným počtem stran.. Potřebujeme vypočítat limitu výrazu napravo ve vzorci oblasti mnohoúhelníku s počtem stran n inklinujícím k nekonečnu. V tomto případě se obvod mnohoúhelníku změní na délku kružnice o poloměru R, která bude hranicí naší kružnice, a bude se rovnat P=2 π R. Dosaďte tento výraz do výše uvedeného vzorce. Dostaneme:

S=(π2R2cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Najděte limitu tohoto výrazu jako n→∞. Abychom to udělali, vezmeme v úvahu, že lim (cos (180°/n)) pro n→∞ se rovná cos 0°=1 (lim je znaménko limity) a lim = lim pro n→∞ je rovná 1/π (převedli jsme míru míry na radián s použitím poměru π rad=180° a použili jsme první pozoruhodnou mez lim (sin x)/x=1 v x→∞). Dosazením získaných hodnot do posledního výrazu pro S se dostaneme ke známému vzorci:

S=π2R21(1/π)=πR2.

Jednotky

Používají se systémové a nesystémové jednotky měření. Systémové jednotky jsou označovány jako SI (System International). Jedná se o metr čtvereční (metr čtvereční, m²) a jednotky z něj odvozené: mm², cm², km².

Ve čtverečních milimetrech (mm²) například měří plochu průřezu drátů v elektrotechnice, v centimetrech čtverečních (cm²) - průřez paprsku ve stavební mechanice, v metrů čtverečních(m²) - byty nebo domy, v kilometrech čtverečních (km²) - území v geografii.

Někdy se však používají nesystémové měrné jednotky, jako jsou: tkaní, ar (a), hektar (ha) a akr (ac). Dáváme následující poměry:

• 1 vazba \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 ha = 100 a = 100 akrů = 10 000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 akrů = 0,405 ha.

V předchozí části věnované analýze geometrického významu určitého integrálu jsme získali řadu vzorců pro výpočet plochy křivočarého lichoběžníku:

S (G) = ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nezápornou funkci y = f (x) na segmentu [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nekladnou funkci y = f (x) na segmentu [ a ; b] .

Tyto vzorce jsou použitelné pro řešení relativních jednoduché úkoly. Ve skutečnosti musíme často pracovat se složitějšími tvary. V tomto ohledu budeme tuto část věnovat analýze algoritmů pro výpočet plochy obrazců, které jsou omezeny funkcemi v explicitní podobě, tzn. jako y = f(x) nebo x = g(y) .

Teorém

Nechť jsou funkce y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definovány a spojité na segmentu [ a ; b] a f 1 (x) ≤ f 2 (x) pro jakoukoli hodnotu x z [ a ; b] . Potom vzorec pro výpočet plochy obrázku G ohraničeného čarami x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) a y \u003d f 2 (x) bude vypadat jako S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Podobný vzorec bude platit pro oblast obrázku ohraničenou čarami y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) a x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Důkaz

Budeme analyzovat tři případy, pro které bude vzorec platit.

V prvním případě, s přihlédnutím k aditivitě oblasti, se součet ploch původního obrázku G a křivočarého lichoběžníku G 1 rovná ploše obrázku G 2 . Znamená to, že

Proto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Poslední přechod můžeme provést pomocí třetí vlastnosti určitého integrálu.

Ve druhém případě platí rovnost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafické znázornění bude vypadat takto:

Pokud jsou obě funkce kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafické znázornění bude vypadat takto:

Přejděme k úvahám o obecném případě, kdy y = f 1 (x) a y = f 2 (x) protínají osu O x .

Průsečíky budeme označovat jako x i , i = 1 , 2 , . . . , n-1. Tyto body zlomí segment [ a ; b ] na n dílů x i - 1 ; x i, i = 1, 2,. . . , n , kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Tudíž,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Poslední přechod můžeme provést pomocí páté vlastnosti určitého integrálu.

Ukažme si obecný případ na grafu.

Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x lze považovat za prokázaný.

A nyní přejdeme k analýze příkladů výpočtu plochy obrazců, které jsou omezeny čarami y \u003d f (x) a x \u003d g (y) .

Vezmeme-li v úvahu některý z příkladů, začneme s konstrukcí grafu. Obrázek nám umožní reprezentovat složité postavy jako svazky jednodušších postav. Pokud vám dělá potíže vykreslovat na ně grafy a obrázky, můžete si prostudovat část o základních elementárních funkcích, geometrické transformaci grafů funkcí a také vykreslování při zkoumání funkce.

Příklad 1

Je nutné určit plochu obrázku, která je omezena parabolou y \u003d - x 2 + 6 x - 5 a přímkami y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Řešení

Vynesme čáry do grafu v kartézském souřadnicovém systému.

Na intervalu [ 1 ; 4] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 je umístěn nad přímkou ​​y = - 1 3 x - 1 2 . V tomto ohledu, abychom získali odpověď, použijeme vzorec získaný dříve, stejně jako metodu pro výpočet určitého integrálu pomocí vzorce Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpověď: S (G) = 13

Podívejme se na složitější příklad.

Příklad 2

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x + 2, y = x, x = 7.

Řešení

V tomto případě máme pouze jednu přímku rovnoběžnou s osou x. Toto je x = 7. To vyžaduje, abychom sami našli druhý integrační limit.

Sestavme graf a vložíme na něj čáry uvedené v podmínce problému.

S grafem před očima to snadno určíme spodní limit integrace bude úsečka průsečíku grafu přímky y = x a semiparaboly y = x + 2 . K nalezení úsečky použijeme rovnosti:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Ukazuje se, že úsečka průsečíku je x = 2.

Upozorňujeme na skutečnost, že v obecném příkladu na výkresu se přímky y = x + 2, y = x protínají v bodě (2 ; 2) , takže takto podrobné výpočty se mohou zdát nadbytečné. Takto podrobné řešení jsme zde uvedli jen proto, že ve složitějších případech nemusí být řešení tak zřejmé. To znamená, že je lepší vždy vypočítat souřadnice průsečíku čar analyticky.

Na intervalu [ 2 ; 7 ] graf funkce y = x je umístěn nad grafem funkce y = x + 2 . Pro výpočet plochy použijte vzorec:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpověď: S (G) = 59 6

Příklad 3

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena grafy funkcí y \u003d 1 x a y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Řešení

Nakreslíme čáry do grafu.

Definujme hranice integrace. Za tímto účelem určíme souřadnice průsečíků přímek tak, že dáme rovnítko mezi výrazy 1 x a - x 2 + 4 x - 2 . Za předpokladu, že x se nerovná nule, rovnost 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 se stane ekvivalentní rovnici třetího stupně - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 s celočíselnými koeficienty . Paměť algoritmu pro řešení takových rovnic si můžete osvěžit podle části „Řešení kubických rovnic“.

Kořen této rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Vydělením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomem x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Zbývající kořeny můžeme najít z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Našli jsme interval x ∈ 1; 3 + 13 2 , kde G je ohraničeno nad modrou čarou a pod červenou čarou. To nám pomáhá určit oblast tvaru:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpověď: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Příklad 4

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena křivkami y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 a osou x.

Řešení

Umístíme všechny čáry do grafu. Graf funkce y = - log 2 x + 1 získáme z grafu y = log 2 x, pokud jej umístíme symetricky kolem osy x a posuneme jej o jednotku nahoru. Rovnice osy x y \u003d 0.

Označme průsečíky čar.

Jak je vidět z obrázku, grafy funkcí y \u003d x 3 a y \u003d 0 se protínají v bodě (0; 0) . Je to proto, že x \u003d 0 je jediným skutečným kořenem rovnice x 3 \u003d 0.

x = 2 je jediný kořen rovnice - log 2 x + 1 = 0 , takže grafy funkcí y = - log 2 x + 1 a y = 0 se protínají v bodě (2 ; 0) .

x = 1 je jediným kořenem rovnice x 3 = - log 2 x + 1 . V tomto ohledu se grafy funkcí y \u003d x 3 a y \u003d - log 2 x + 1 protínají v bodě (1; 1) . Poslední tvrzení nemusí být zřejmé, ale rovnice x 3 \u003d - log 2 x + 1 nemůže mít více než jeden kořen, protože funkce y \u003d x 3 je přísně rostoucí a funkce y \u003d - log 2 x + 1 se striktně snižuje.

Další krok zahrnuje několik možností.

Možnost číslo 1

Obrázek G můžeme znázornit jako součet dvou křivočarých lichoběžníků umístěných nad osou úsečky, z nichž první je umístěn pod střední čarou na úsečce x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čárou na segmentu x ∈ 1 ; 2. To znamená, že plocha bude rovna S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Možnost číslo 2

Obrazec G lze znázornit jako rozdíl dvou obrazců, z nichž první je umístěn nad osou x a pod modrou čarou na segmentu x ∈ 0; 2 a druhá je mezi červenou a modrou čárou na segmentu x ∈ 1 ; 2. To nám umožňuje najít oblast takto:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

V tomto případě, abyste našli oblast, budete muset použít vzorec ve tvaru S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Ve skutečnosti mohou být čáry, které spojují obrazec, reprezentovány jako funkce argumentu y.

Vyřešme rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 vzhledem k x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Získáme požadovanou oblast:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpověď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Příklad 5

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Řešení

Nakreslete na graf čáru červenou čárou, danou funkcí y = x . Nakreslete čáru y = - 1 2 x + 4 modře a čáru y = 2 3 x - 3 označte černě.

Všimněte si průsečíků.

Najděte průsečíky grafů funkcí y = x a y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i je řešení rovnice x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je řešení rovnice ⇒ (4 ; 2) průsečík i y = x a y = - 1 2 x + 4

Najděte průsečík grafů funkcí y = x a y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 je řešení rovnice ⇒ (9; 3) bod a průsečík y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 není řešení rovnice

Najděte průsečík přímek y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) průsečík y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3

Metoda číslo 1

Plochu požadovaného obrazce reprezentujeme jako součet ploch jednotlivých obrazců.

Pak je plocha obrázku:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda číslo 2

Oblast původního obrázku může být reprezentována jako součet dalších dvou obrázků.

Poté vyřešíme přímkovou rovnici pro x a teprve poté použijeme vzorec pro výpočet plochy obrázku.

y = x ⇒ x = y 2 červená čára y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 černá čára y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Oblast je tedy:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak vidíte, hodnoty se shodují.

Odpověď: S (G) = 11 3

Výsledek

Abychom našli oblast obrázku, která je omezena danými čarami, musíme nakreslit čáry v rovině, najít jejich průsečíky a použít vzorec pro nalezení oblasti. V této části jsme zkontrolovali nejběžnější možnosti úkolů.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter