العمليات الحسابية في الأنظمة المختلفة. نظرية أنظمة الأرقام. أنظمة الأرقام الموضعية

30.01.2022

جمع وطرح

في نظام ذي قاعدة ، تعمل الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، ... ، s - 1 على تعيين الصفر والأرقام الطبيعية الأولى c-1. لإجراء عملية الجمع والطرح ، جدول جمع مفرد يتم تجميع أرقام -digit.

الجدول 1 - الجمع الثنائي

على سبيل المثال ، جدول الإضافة في نظام الأرقام الست عشري:

الجدول 2 - الإضافة في النظام الست عشري

تتم إضافة أي رقمين مكتوبين في نظام رقم الأساس c بنفس الطريقة كما في النظام العشري ، من خلال الأرقام ، بدءًا من الرقم الأول ، باستخدام جدول الإضافة لهذا النظام. الأرقام المراد إضافتها موقعة واحدة تلو الأخرى بحيث تقف الأرقام من نفس الأرقام عموديًا. تتم كتابة نتيجة الجمع تحت الخط الأفقي المرسوم أسفل أرقام الجمع. تمامًا كما هو الحال عند جمع الأرقام في النظام العشري ، في الحالة التي تعطي فيها إضافة أرقام في أي رقم عددًا مكونًا من رقمين ، تتم كتابة الرقم الأخير من هذا الرقم في النتيجة ، ويضاف الرقم الأول إلى نتيجة مضيفا الرقم التالي.

فمثلا،

يمكنك تبرير القاعدة المشار إليها لإضافة الأرقام باستخدام تمثيل الأرقام في النموذج:

لنلقِ نظرة على أحد الأمثلة:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

نختار الحدود بالتتابع وفقًا لدرجة الأساس 7 ، بدءًا من أدنى درجة ، وهي صفر.

يتم الطرح أيضًا من خلال الأرقام ، بدءًا من الأدنى ، وإذا كان رقم المخفض أقل من الرقم المخصوم ، فسيتم "احتلال" واحد من الرقم التالي من الرقم المصغر والرقم المقابل في المطروح هو مطروح من الناتج المكون من رقمين ؛ عند طرح أرقام الرقم التالي ، في هذه الحالة ، تحتاج إلى تقليل رقم الرقم الذي يتم تقليله بمقدار واحد ، ولكن إذا تبين أن هذا الرقم هو صفر (ومن ثم يكون تقليله مستحيلًا) ، فيجب عليك " خذ "واحدًا من الرقم التالي ثم قلل بمقدار واحد. ليست هناك حاجة لإنشاء جدول طرح خاص ، لأن جدول الجمع يعطي نتائج عملية الطرح.

فمثلا،

الضرب والقسمة

لإجراء عمليات الضرب والقسمة في نظام ذي قاعدة c ، يتم تجميع جدول ضرب للأرقام المكونة من رقم واحد.

الجدول 3 - ضرب الأعداد المكونة من رقم واحد

الجدول 4 - الضرب في نظام الأرقام الست عشري

يتم ضرب رقمين عشوائيين في نظام ذي قاعدة c بنفس الطريقة كما في النظام العشري - بواسطة "عمود" ، أي أن المضاعف يُضرب في رقم كل رقم في المضاعف (على التوالي) مع الإضافة اللاحقة لهذه النتائج الوسيطة.

فمثلا،

عند ضرب الأرقام متعددة الأرقام في النتائج الوسيطة ، لا يتم تعيين المؤشر الأساسي:

يتم القسمة في الأنظمة ذات القاعدة c بالزاوية ، تمامًا كما هو الحال في نظام الأرقام العشري. في هذه الحالة ، يتم استخدام جدول الضرب وجدول الإضافة للنظام المقابل. يكون الموقف أكثر تعقيدًا إذا لم تكن نتيجة القسمة جزءًا محدودًا من c-ary (أو عددًا صحيحًا). بعد ذلك ، عند إجراء عملية القسمة ، عادة ما يكون مطلوبًا تحديد الجزء غير الدوري من الكسر ومدته. تعد القدرة على إجراء عملية القسمة في نظام الأرقام c-ary مفيدة عند ترجمة الأرقام الكسرية من نظام رقم إلى آخر.

فمثلا:

تحويل الأرقام من نظام رقمي إلى آخر

هناك العديد من الطرق المختلفة لترجمة الأرقام من نظام رقمي إلى آخر.

طريقة التقسيم

دع الرقم N = an-1 يُعطى. . . a1 a0 ص.

للحصول على سجل للرقم N في نظام بالقاعدة h ، يجب عليك تمثيله بالشكل:

N = bmhm + bm-1hm-1 + ... + b1h + b0 (1)

حيث 1

N = bmbm-1 ... b1boh (2)

من (1) نحصل على:

N = (bmhm-1 + ... + b) * h + b0 = N1h + b0 ، أين 0؟ b0؟ h (3)

أي أن الرقم b0 هو باقي قسمة الرقم N على الرقم h. حاصل قسمة غير مكتمل Nl = bmhm-1 +. . . يمكن تمثيل + b1 على النحو التالي:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2) h + b1 = N2h + b1 ، أين 0؟ بي 2؟ ح (4)

وبالتالي ، فإن الرقم bi في الرمز (2) للرقم N هو باقي قسمة حاصل القسمة الجزئي الأول N1 على القاعدة h في نظام الأرقام الجديد. يمكن تمثيل الحاصل الثاني غير المكتمل N2 على النحو التالي:

N2 = (bmhm-3 + ... + b3) h + b2 أين 0؟ بي 2؟ ح (5)

أي أن الرقم b2 هو باقي قسمة حاصل القسمة الجزئي الثاني N2 على القاعدة h للنظام الجديد. نظرًا لانخفاض حاصل القسمة غير المكتمل ، فإن هذه العملية محدودة. ثم نحصل على Nm = bm ، حيث bm

Nm-1 = bmh + bm.1 = Nmh + bm.1

إذن ، تسلسل الأرقام هو bm ، bm-1. . ، b1 ، b0 في تمثيل الرقم N في نظام الأرقام مع القاعدة h هو تسلسل بقايا القسمة المتتالية للرقم N بالقاعدة h ، مأخوذة بترتيب عكسي.

ضع في اعتبارك مثالاً: قم بتحويل الرقم 123 إلى رقم سداسي عشري:

وبالتالي ، فإن الرقم 12310 = 7 (11) 16 أو يمكن كتابته على النحو 7B16

لنكتب الرقم 340227 في نظام الأعداد الخماسي:

وهكذا نحصل على 340227 = 2333315

الرموز(SS) هي مجموعة من التقنيات والقواعد لكتابة الأرقام باستخدام مجموعة محددة من الأحرف.
الأبجدية SS - مجموعة من الأحرف (أرقام) تستخدم لكتابة رقم.
قاعدة SS (قوة الأبجدية SS) - عدد الأحرف (الأرقام) من أبجدية SS.
جميع أنظمة الأرقام مقسمة إلى الموضعيةو غير موضعي. غير موضعينظام الأرقام هو نظام يتم فيه المعادل الكمي لكل رقم لا تعتمدمن موقعه (المكان ، الموضع) في تدوين الرقم.
لذلك ، في أنظمة الأرقام غير الموضعية ، لا يلعب الموضع الذي يشغله الرقم في تدوين الرقم دورًا. على سبيل المثال ، نظام الأرقام الرومانية غير موضعي. في الرقمين الحادي عشر والتاسع ، "وزن" كلا الرقمين هو نفسه ، بغض النظر عن موقعهما.

أنظمة الأرقام الموضعية

نظام الترقيم الموضعي هو نظام تكون فيه قيمة الرقم يعتمد علىمن مكانه (موقعه) في تدوين الرقم. أساس نظام الأرقام هو عدد الأحرف أو الرموز المستخدمة لتمثيل رقم في نظام أرقام معين
تحدد قاعدة نظام الأرقام اسمها: القاعدة p هي نظام الرقم p.
على سبيل المثال ، نظام الأرقام المستخدم في الغالب في الرياضيات الحديثة هو نظام الموضع العشري ، وقاعدته هي عشرة. لكتابة أي أرقام ، تستخدم عشرة أرقام معروفة (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9).

لذلك ، قلنا أنه في أنظمة الأعداد الموضعية ، فإن الموضع الذي يشغله الرقم في تدوين الرقم مهم. إذن ، الإدخال 23 يعني أن هذا الرقم يمكن أن يتكون من 3 وحدات وعشرين. إذا غيرنا مواضع الأرقام ، نحصل على رقم مختلف تمامًا - 32. هذا الرقم يحتوي على 3 عشرات و 2 وحدة. انخفض "وزن" اثنين عشرة أضعاف ، بينما زاد "وزن" الثلاثة عشرة أضعاف. تدوين موسع لرقم
أي رقم N في نظام الأرقام الموضعية مع القاعدة صيمكن تمثيلها على أنها كثيرة الحدود في ص:
N = a k p k + a k-1 p k-1 + a k-2 p k-2 + ... + a 1 p 1 + a 0 p 0 + a -1 p -1 + a -2 p -2 + ... ،
حيث N عبارة عن رقم ، و p هي قاعدة نظام الأرقام (p> 1) ، و i هي أرقام الرقم (المعاملات عند الدرجة p).
تتم كتابة الأرقام في نظام الأرقام p في شكل تسلسل من الأرقام:
N = a k a k-1 a k-2 ... a 1 a 0، a -1 a -2 ...
تفصل الفاصلة في التسلسل الجزء الصحيح من الرقم عن الجزء الكسري.
3210 -1-2
N = 4567,12 10 =4 *10 3 +5 *10 2 +6 *10 1 +7 *10 0 +1 *10 -1 +2 *10 -2

نظام الأرقام الثنائية

لكتابة الأرقام ، يتم استخدام رقمين فقط - 0 و 1. يتم تفسير اختيار النظام الثنائي للاستخدام في الكمبيوتر من خلال حقيقة أن العناصر الإلكترونية التي يتكون منها الكمبيوتر لا يمكن أن تكون إلا في حالتين يمكن تمييزهما جيدًا. في الأساس ، هذه العناصر هي مفاتيح. كما تعلم ، المفتاح إما في وضع التشغيل أو الإيقاف. لا يوجد ثالث. يشار إلى إحدى الحالات بالرقم 1 ، والأخرى - 0. وبفضل هذه الميزات ، أصبح النظام الثنائي هو المعيار لبناء أجهزة الكمبيوتر.
في نظام الأرقام هذا ، يمكن تمثيل أي رقم على النحو التالي:
N = a k 2 k + a k-1 2 k-1 + a k-2 2 k-2 + ... + a 1 2 1 + a 0 2 0 + a -1 2 -1 + a -2 2 - 2 + ....
فمثلا: 11001.01 2 = 1 * 2 4 +1 * 2 3 +0 * 2 2 +0 * 2 1 +1 * 2 0 +0 * 2 -1 +1 * 2 -2

الحساب الثنائي

يتم إجراء العمليات الحسابية في جميع أنظمة الأرقام الموضعية وفقًا لنفس القواعد المعروفة.

إضافة

ضع في اعتبارك إضافة الأرقام في نظام الأرقام الثنائية. يعتمد على جدول إضافة الأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد:

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
1+1+1=11

من المهم الانتباه إلى حقيقة أنه عند إضافة وحدتين ، يتم تجاوز البت ويحدث النقل إلى أعلى بت. يحدث الفائض عندما تصبح قيمة الرقم الموجود فيه مساوية لقاعدة نظام الأرقام أو أكبر منها. بالنسبة لنظام الأرقام الثنائية ، هذه القيمة تساوي اثنين.
تتم إضافة أرقام ثنائية متعددة الأرقام وفقًا لجدول الإضافة أعلاه ، مع مراعاة عمليات النقل المحتملة من الأرقام الدنيا إلى الأرقام الأعلى.

الطرح

ضع في اعتبارك طرح الأعداد الثنائية. يعتمد على جدول طرح للأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد. عند طرح رقم أصغر (0) رقم أكبر (1) ، يتم إجراء قرض من أعلى ترتيب. في الجدول ، تتم الإشارة إلى القرض بالرقم 1 مع عمود.

0-0=_0
0-1=11
1-0=1
1-1=0

جمع وطرح الأعداد الثنائية المكونة من رقم واحد
جمع وطرح الأعداد الثنائية متعددة الأرقام (أمثلة)

عمليه الضرب

يعتمد الضرب على جدول الضرب للأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد:

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

يحدث مضاعفة الأعداد الثنائية متعددة الأرقام وفقًا لجدول الضرب أعلاه وفقًا للمخطط المعتاد المستخدم في نظام الأرقام العشرية ، مع الضرب المتتالي للمضاعف بالرقم التالي من المضاعف.

قسم

يتم تنفيذ عملية القسمة وفقًا لخوارزمية مشابهة لخوارزمية عملية القسمة في نظام الأرقام العشري.

لان في النظام الثنائي ، يتم استخدام رقمين فقط لكتابة الأرقام - 0 و 1 ، مما يعني أنه عند إضافة 1 + 1 ، يتم كتابة 0 في أقل بت دلالة ، ويذهب 1 إلى البت الأكثر أهمية.

بالقياس مع 10-ss: 9 + 1 (الرقم عشرة ليس في تدوين الأرقام) ، 0 و 1 مكتوبان في الرقم الأكثر أهمية ، اتضح أنه 10.

أمثلة

1) أضف 10110 2 و 111011 2 في عمود. تشير الوحدات أعلاه إلى حمل من الرقم السابق:

2) قم بإجراء عملية الجمع للأرقام الثنائية التالية:

3) أضف الأرقام: 10000000100 2 + 111000010 2 وتحقق

10000000100 2 + 111000010 2 = 10111000110 2 .

دعنا نتحقق من نتائج الحساب بنقلها إلى نظام الأرقام العشري. للقيام بذلك ، نقوم بترجمة كل مصطلح ومجموع إلى نظام الأرقام العشري ، ونقوم بإضافة المصطلحات في نظام الأرقام العشري. يجب أن تتطابق النتيجة مع المجموع.

10000000100 2 = 1 × 2 10 + 1 × 2 2 = 1024 + 4 = 1028 10

111000010 2 = 1 × 2 8 + 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 1 = 256 + 128 + 64 + 2 = 450 10

10111000110 2 = 1 × 2 10 + 1 × 2 8 + 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 =

1024 + 256 + 128 + 64 + 4 + 2 =1478 10

1028 10 + 450 10 =1478 10 .

تطابق النتائج ، وبالتالي ، فإن الحسابات في النظام الثنائي صحيحة.

أرقام ثماني

جدول الجمع الثماني

+

عند الحساب في النظام الثماني ، عليك أن تتذكر أن الحد الأقصى للرقم هو 7. يحدث الحمل أثناء الجمع عندما يكون المجموع في الرقم التالي أكبر من 7. القرض من أعلى رقم هو 10 8 = 8 ، وكل " تمتلئ "الأرقام المتوسطة" بالرقم 7 - أعلى رقم في نظام الأرقام.

مثال

1) في المثال ، الإدخال 1⋅8 + 2 يعني أن النتيجة هي مجموع أكبر من 7 ، وهذا لا يتناسب مع رقم واحد. تدخل الوحدة في النقل ، ويبقى الشيطان في هذا التفريغ.

2) نفذ الجمع 223,2 8 + 427,54 8 وتحقق من النتيجة.

223,2 8 + 427,54 8 = 652,74 8 .

دعنا نتحقق من نتائج الحساب عن طريق التحويل إلى نظام الأرقام العشري:

223.2 8 = 2 × 8 2 + 2 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8-1 = 128 + 16 + 3 + 0.25 =

427.54 8 = 4 × 8 2 + 2 × 8 1 + 7 × 8 0 + 5 × 8 -1 + 4 × 8 -2 =

256 + 16 + 7 + 0,625 + 0,0625= 279,6875 10

652.74 8 = 6 × 8 2 + 5 × 8 1 + 2 × 8 0 + 7 × 8 -1 + 4 × 8 -2  =

384 + 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 426,9375 10

147,25 10 + 279,6875 10 =426,9375 10

تطابق النتائج ، وبالتالي ، فإن الحسابات في نظام الأرقام الثماني صحيحة.

أرقام سداسية عشرية

جدول جمع سداسي عشري

1 أ

1 ب

1 أ

1 ب

1 ج

1 أ

1 ب

1 ج

1 د

1 أ

1 ب

1 ج

1 د

عند إجراء عملية الجمع ، يجب أن تتذكر أنه في نظام ذي أساس 16 ، يظهر حمل عندما يتجاوز المجموع في الرقم التالي 15. ومن الملائم إعادة كتابة الأرقام الأصلية أولاً ، واستبدال جميع الأحرف بقيمها الرقمية.

أمثلة

2) نفذ الجمع 3B3،6 16 + 38B، 4 16 وتحقق

3B3.6 16 + 38B.4 16 = 73E ، أ 16.

دعونا تحقق:

3B3.6 16 = 3 × 16 2 + 11 × 16 1 + 3 × 16 0 + 6 × 16-1 = 768 + 176 +

3 + 0,375 = 947,375 10

38 ب، 4 16 = 3 × 16 2 + 8 × 16 1 + 11 × 16 0 + 4 × 16-1 = 768 + 128 +

11 + 0,25 = 907,25 10

73E، A 16 = 7 × 8 2 + 3 × 8 1 + 14 × 8 0 + 10 × 8 - 1 = 1792 + 48 + 14 + 0.625 = 1854.625 10

947,375 10 + 907,25 10 = 1854,625 10 .

تطابق النتائج ، لذا فإن الحسابات السداسية العشرية صحيحة.

الطرح

الأعداد الثنائية

يتم إجراء الطرح بنفس الطريقة كما في النظام العشري. فيما يلي القواعد الأساسية:

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 10 2 – 1 = 1.

في الحالة الأخيرة ، عليك أن تأخذ قرضًا من الفئة السابقة.

يتم إجراء الطرح عن طريق القياس مع نظام الأرقام العشري.

لفهم المبدأ ، دعنا نعود مؤقتًا إلى النظام العشري. دعنا نطرح الرقم 9 في عمود من الرقم 21:

نظرًا لأنه لا يمكن طرح 9 من 1 ، فأنت بحاجة إلى الاقتراض من الرقم السابق ، الذي يحتوي على 2. نتيجة لذلك ، تتم إضافة 10 إلى الرقم السفلي ، ويتم تقليل الرقم 2 إلى 1 في الرقم التالي. الآن يمكنك طرح: 1 + 10-9 = 2. في الخانة الأعلى اطرح صفرًا من الرقم المتبقي:

الحالة الأكثر تعقيدًا هي قرض من فئة بعيدة (وليس أقرب). اطرح 9 من 2001. في هذه الحالة ، لا يمكن الاقتراض من أقرب رقم (هناك 0) ، لذلك نأخذ قرضًا من الرقم الذي يوجد به الرقم 2. ونتيجة لذلك ، يتم ملء جميع الأرقام المتوسطة الرقم 9 ، هذا هو أعلى رقم في نظام الأرقام العشري:

في نظام الأرقام الثنائية ، عند أخذ قرض ، لا تتم إضافة 10 إلى فئة "العمل" ، ولكن 102 = 2 (أساس نظام الأرقام) ، وجميع الأرقام "المتوسطة" (بين "العامل" وأين يأتي القرض من) لا يتم ملؤها بالتسعات ، ولكن بالوحدات (أعلى رقم في نظام الأرقام).

أمثلة

إذا أردت طرح رقم أكبر من رقم أصغر ، اطرح الرقم الأصغر من الرقم الأكبر وضع علامة الطرح في النتيجة:

3) 4)

أرقام ثماني

عند طرح "-1" يعني أنه كان هناك قرض من هذه الفئة (انخفضت قيمته بمقدار 1) ، وتعني "+ 8" قرضًا من الفئة التالية.

2) الطرح

أرقام سداسية عشرية

عند طرح القرض من الرقم الأكثر أهمية ، فإنه يساوي 10 16 = 16 ، ويتم ملء جميع الأرقام "المتوسطة" بالرقم F - أهم رقم في نظام الأرقام.

فمثلا،

عمليه الضرب

الأعداد الثنائية

X

يتم تنفيذ الضرب والقسمة بواسطة عمود في النظام الثنائي بنفس الطريقة كما في النظام العشري (ولكن باستخدام قواعد الجمع والطرح الثنائي).

فمثلا ,

1) 2)

أرقام ثماني

جدول الضرب الثماني

´

باستخدام جدول الضرب الثماني ، باستخدام نفس القواعد المطبقة في نظام الأرقام العشرية ، يتم إجراء الضرب والقسمة للأرقام الثمانية المتعددة الأرقام.

مثال

أرقام سداسية عشرية

جدول الضرب

1 أ

1 ج

1 ب

2 أ

2 د

1 ج

2 ج

3 ج

2 د

3 ج

4 ب

2 أ

3 ج

5 أ

1 ج

2 أ

4 د

5 ب

1 ب

2 د

5 أ

6 ج

3 ج

5 أ

8 ج

2 ج

4 د

9 أ

3 ج

6 ج

9 ج

أ 8

ب 4

1 أ

5 ب

9 ج

أ 9

ب 6

ج 3

1 ج

2 أ

8 ج

9 أ

أ 8

ب 6

ج 4

د 2

2 د

3 ج

4 ب

5 أ

ب 4

ج 3

د 2

ه 1

مثال

قسمبشكل منفصل عن النظام العشري ، نظرًا لأن التدوين الثماني للأرقام من 0 إلى 7 هو نفس الرقم العشري) ؛

3) أضف ما يصل

الحل (عبر ست عشري):

1) (تم نقله أولاً إلى النظام الثنائي ، ثم تم تقسيم التدوين الثنائي للرقم إلى tetrads من اليمين إلى اليسار، تم تحويل كل رباعي إلى نظام سداسي عشري ؛ بينما يمكن تحويل tetrads من النظام الثنائي إلى عدد عشري،ثم استبدل جميع الأرقام الأكبر من 9 بأحرف - A ، B ، C ، D ، E ، F) ؛

2) ، ليست هناك حاجة للترجمة في أي مكان ؛

3) أضعاف

4) ترجم جميع الإجابات إلى نظام سداسي عشري:

121 8 \ u003d 001010001 2 \ u003d 0101 0001 2 \ u003d 51 16 (تم نقله إلى النظام الثنائي في ثلاثيات ، مقسمة إلى رباعيات من اليمين إلى اليسار ، تم نقل كل رباعي بشكل منفصلبالنسبة للنظام العشري ، تم استبدال جميع الأرقام الأكبر من 9 بأحرف - A ، B ، C ، D ، E ، F).

171 2 = 001 111 001 2 = 0111 1001 2 = 79 16 ,

69 16 ، لا حاجة للترجمة

1000001 2 = 0100 0001 2 = 41 16 .

بالإضافة إلى النظام العشري ، هناك عدد غير قابل للقياس من الأنظمة الأخرى ، يستخدم بعضها لتمثيل المعلومات ومعالجتها في الكمبيوتر. هناك نوعان من أنظمة الأرقام: الموضعية وغير الموضعية.

الأنظمة غير الموضعية هي تلك التي يحتفظ فيها كل رقم بقيمته بغض النظر عن موقعه في الرقم. مثال على ذلك هو نظام الأرقام الرومانية ، الذي يستخدم أرقامًا مثل I ، V ، X ، L ، C ، D ، M ، إلخ.

الموضعيةيتم استدعاء أنظمة الأرقام حيث قيمة كل رقم يعتمد على موقعه.يتميز النظام الموضعي بأساس حساب التفاضل والتكامل ، والذي سيتم فهمه على أنه رقم £ ، والذي يوضح عدد الوحدات المطلوبة من أي فئة للحصول على وحدة ذات ترتيب أعلى.

على سبيل المثال ، يمكنك الكتابة

ما يتوافق مع الأرقام في نظام الأرقام العشري

يشير الفهرس أدناه إلى أساس الرقم.

لترجمة الأرقام الموجبة من نظام رقمي إلى آخر ، هناك قاعدتان معروفتان:

ترجمة الأرقام من النظام ، في النظام ;

ترجمة الأرقام من النظام ، في النظام باستخدام حساب النظام ;

تأمل القاعدة الأولى . لنفترض أن الرقم نظام عشري يجب أن تكون ممثلة في ثنائي . للقيام بذلك ، يتم تقسيم هذا الرقم على أساس النظام المقدمة في النظام ، بمعنى آخر. بنسبة 2 10. سيكون باقي القسمة هو الرقم الأقل أهمية من الرقم الثنائي. يتم تقسيم الجزء الصحيح من نتيجة القسمة مرة أخرى على 2. كرر عملية القسمة عدة مرات حتى يصبح حاصل القسمة أقل من اثنين.

مثال: حوّل 89 10 إلى ثنائي باستخدام الحساب العشري

89 10 → 1011001 2

الترجمة العكسية ، وفقًا لنفس القاعدة ، هي كما يلي:

1011001 2 حوّل إلى رقم عشري باستخدام الحساب الثنائي

الرقمان الثنائي 1000 و 1001 وفقًا للجدول 2.1 هما 8 و 9 على التوالي. لذلك ، 1011001 2 → 89 10

في بعض الأحيان يكون من الأنسب إجراء ترجمة عكسية باستخدام القاعدة العامة لتمثيل رقم في أي نظام رقمي.

تأمل القاعدة الثانية. ترجمة الأرقام من النظام ، في النظام باستخدام حساب النظام . لإجراء التحويل ، تحتاج إلى كل رقم من الرقم في النظام اضرب في قاعدة نظام الأرقام ممثلة في نظام الأرقام وفي درجة موقع هذا الرقم. بعد ذلك ، يتم تلخيص المنتجات الناتجة.

العمليات الحسابية والمنطقية

عمليات حسابية

ضع في اعتبارك حساب نظام الأرقام الثنائية ، لأنه يستخدم في أجهزة الكمبيوتر الحديثة للأسباب التالية:

هناك أبسط العناصر الفيزيائية التي لها حالتان فقط ويمكن تفسيرها على أنها 0 و 1 ؛

المعالجة الحسابية بسيطة للغاية.

تُستخدم الأرقام في النظامين الثماني والسداسي عشري بشكل شائع كبديل للتمثيل الطويل وبالتالي غير الملائم للأرقام الثنائية.

عمليات الجمع والطرح والضرب في النظام الثنائي هي:

كما تم توضيحه سابقًا ، من أجل الحصول على الأفعى فقط ، أي لإجراء عمليات الإضافة فقط ، يتم استبدال عملية الطرح بالإضافة. لهذا ، يتم تكوين رمز رقم سالب كإضافة للأرقام 2 ، 10 ، 100 ، إلخ.

العمليات الحسابية في أنظمة الأعداد الموضعية

يتم إجراء العمليات الحسابية في جميع أنظمة الأرقام الموضعية وفقًا لنفس القواعد المعروفة.

إضافة.ضع في اعتبارك إضافة الأرقام في نظام الأرقام الثنائية. يعتمد على جدول إضافة الأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

من المهم الانتباه إلى حقيقة أنه عند إضافة وحدتين ، يتم تجاوز البت ويحدث النقل إلى أعلى بت. يحدث تجاوز السعة عندما تصبح قيمة الرقم الموجود فيه مساوية للقاعدة أو أكبر منها.

تتم إضافة الأرقام الثنائية متعددة الأرقام وفقًا لجدول الإضافة أعلاه ، مع مراعاة عمليات النقل المحتملة من الأرقام الدنيا إلى الأرقام الأعلى. كمثال ، دعنا نجمع الأعداد الثنائية 110 2 و 11 2 في عمود:

دعونا نتحقق من صحة العمليات الحسابية عن طريق الجمع في نظام الأرقام العشري. لنحول الأعداد الثنائية إلى نظام الأعداد العشرية ثم نضيفها:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ؛

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ؛

6 10 + 3 10 = 9 10 .

الآن نترجم نتيجة الجمع الثنائي إلى رقم عشري:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

قارن النتائج - الإضافة صحيحة.

الطرح.ضع في اعتبارك طرح الأعداد الثنائية. يعتمد على جدول طرح للأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد. عند طرح رقم أصغر (0) رقم أكبر (1) ، يتم إجراء قرض من أعلى ترتيب. في الجدول ، يُشار إلى القرض بالرقم 1 بخط:

عمليه الضرب.يعتمد الضرب على جدول الضرب للأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد:

قسم.يتم تنفيذ عملية القسمة وفقًا لخوارزمية مشابهة لخوارزمية عملية القسمة في نظام الأرقام العشري. كمثال ، دعنا نقسم الرقم الثنائي 110 2 على 11 2:

لإجراء عمليات حسابية على الأرقام المعبر عنها في أنظمة الأرقام المختلفة ، يجب عليك أولاً ترجمتها إلى نفس النظام.

مهام

1.22. إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة للأعداد الثنائية 1010 2 و 10 2 والتحقق من صحة العمليات الحسابية باستخدام الآلة الحاسبة الإلكترونية.

1.23. أضف الأعداد الثمانية: 5 8 و 4 8 و 17 8 و 41 8.

1.24 اطرح الأرقام السداسية العشرية: F 16 و A 16 و 41 16 و 17 16.

1.25. اجمع الأرقام: 178 و 1716 و 418 و 4116