Rozložení polynomu na dvě neznámé. Metody faktorizace polynomu stupně vyššího než druhého. Alternativní řešení

Je uvedeno 8 příkladů faktorizace polynomů. Zahrnují příklady s řešením kvadratických a bikvadratických rovnic, příklady s opakujícími se polynomy a příklady s hledáním celých kořenů polynomů třetího a čtvrtého stupně.

Viz také: Metody faktorizace polynomů
Kořeny kvadratické rovnice
Řešení kubických rovnic

1. Příklady s řešením kvadratické rovnice

Příklad 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

Vyjměte x 2 pro závorky:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Kořeny rovnic:
, .

.

Příklad 1.2

Rozložení polynomu třetího stupně:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.

Vyjmeme x ze závorek:
.
Řešíme kvadratickou rovnici x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jeho diskriminant je .
Protože diskriminant je roven nule, kořeny rovnice jsou násobky: ;
.

Odtud získáme rozklad polynomu na faktory:
.

Příklad 1.3

Rozložení polynomu pátého stupně:
X 5 – 2 x 4 + 10 x 3.

Vyjměte x 3 pro závorky:
.
Řešíme kvadratickou rovnici x 2 - 2 x + 10 = 0.
Jeho diskriminant je .
Protože diskriminant je menší než nula, kořeny rovnice jsou složité: ;
, .

Faktorizace polynomu má tvar:
.

Pokud nás zajímá faktoring s reálnými koeficienty, pak:
.

Příklady faktorizace polynomů pomocí vzorců

Příklady s bikvadratickými polynomy

Příklad 2.1

Rozložte bikvadratický polynom na faktor:
X 4 + x 2 - 20.

Použijte vzorce:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Příklad 2.2

Rozložení polynomu, který se redukuje na bikvadratický:
X 8 + x 4 + 1.

Použijte vzorce:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Příklad 2.3 s rekurzivním polynomem

Faktorizace rekurzivního polynomu:
.

Rekurzivní polynom má lichý stupeň. Proto má kořen x = - 1 . Polynom dělíme x - (-1) = x + 1. V důsledku toho získáme:
.
Provádíme náhradu:
, ;
;


;
.

Příklady faktoringu polynomů s celočíselnými kořeny

Příklad 3.1

Rozložení polynomu:
.

Předpokládejme rovnici

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Našli jsme tedy tři kořeny:
X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 3 .
Protože původní polynom je třetího stupně, nemá více než tři kořeny. Protože jsme našli tři kořeny, jsou jednoduché. Pak
.

Příklad 3.2

Rozložení polynomu:
.

Předpokládejme rovnici

má alespoň jeden kořen celého čísla. Pak je to dělitel čísla 2 (člen bez x ). To znamená, že celý kořen může být jedno z čísel:
-2, -1, 1, 2 .
Nahraďte tyto hodnoty jednu po druhé:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Takže jsme našli jeden kořen:
X 1 = -1 .
Polynom dělíme x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Pak,
.

Nyní musíme vyřešit rovnici třetího stupně:
.
Pokud předpokládáme, že tato rovnice má celočíselný kořen, pak je to dělitel čísla 2 (člen bez x ). To znamená, že celý kořen může být jedno z čísel:
1, 2, -1, -2 .
Nahraďte x = -1 :
.

Takže jsme našli další kořen x 2 = -1 . Bylo by možné, stejně jako v předchozím případě, rozdělit polynom , ale seskupíme členy:
.

WikiHow je wiki, což znamená, že mnoho našich článků je napsáno více autory. Při vytváření tohoto článku pracovalo na jeho úpravách a vylepšení 23 lidí, a to i anonymně.

Faktorizace rovnice je proces hledání termínů nebo výrazů, které po vynásobení vedou k počáteční rovnici. Faktoring je užitečná dovednost pro řešení základních algebraických problémů a stává se praktickou nutností při práci s kvadratickými rovnicemi a jinými polynomy. Faktoring se používá ke zjednodušení algebraických rovnic, aby bylo snazší je řešit. Faktoring vám může pomoci vyloučit určité možné odpovědi rychleji než ručním řešením rovnice.

Kroky

Faktorizace čísel a základní algebraické výrazy

1. Faktorizace čísel. Koncept faktoringu je jednoduchý, ale v praxi může být faktoring ošidný (vzhledem ke složité rovnici). Začněme tedy konceptem faktoringu pomocí čísel jako příkladu, pokračujme jednoduchými rovnicemi a pak přejdeme ke složitým rovnicím. Faktory daného čísla jsou čísla, která po vynásobení dají původní číslo. Například faktory čísla 12 jsou čísla: 1, 12, 2, 6, 3, 4, protože 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Podobně si činitele čísla můžete představit jako jeho dělitele, tedy čísla, kterými je dané číslo dělitelné.
   • Najděte všechny faktory čísla 60. Často používáme číslo 60 (například 60 minut za hodinu, 60 sekund za minutu atd.) a toto číslo má docela velký počet multiplikátory.
     • 60 násobitelů: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60.

2. Pamatovat:členy výrazu obsahujícího koeficient (číslo) a proměnnou lze také faktorizovat. Chcete-li to provést, najděte multiplikátory koeficientu v proměnné. Když víte, jak faktorizovat členy rovnic, můžete tuto rovnici snadno zjednodušit.

   • Například výraz 12x lze zapsat jako součin 12 a x. Můžete také napsat 12x jako 3(4x), 2(6x) atd. rozdělením 12 do faktorů, které vám nejlépe vyhovují.
     • Rozložit můžete 12x vícekrát za sebou. Jinými slovy, neměli byste se zastavit na 3(4x) nebo 2(6x); pokračovat v expanzi: 3(2(2x)) nebo 2(3(2x)) (samozřejmě 3(4x)=3(2(2x)) atd.)

3. Použijte distributivní vlastnost násobení k faktorizaci algebraických rovnic. Když víte, jak faktorizovat čísla a členy výrazu (koeficienty s proměnnými), můžete zjednodušit jednoduché algebraické rovnice nalezením společného činitele čísla a členu výrazu. Obvykle je pro zjednodušení rovnice potřeba najít největšího společného dělitele (gcd). Takové zjednodušení je možné díky distributivní vlastnosti násobení: pro všechna čísla a, b, c platí rovnost a (b + c) = ab + ac.

   • Příklad. Vynásobte rovnici 12x + 6. Nejprve najděte gcd 12x a 6. 6 je největší číslo, které dělí 12x i 6, takže tuto rovnici můžete rozdělit na: 6(2x+1).
   • Tento proces platí také pro rovnice, které mají záporné a zlomkové členy. Například x/2+4 lze rozložit na 1/2(x+8); například -7x+(-21) lze rozložit na -7(x+3).

   Faktorizace kvadratických rovnic

   1. Ujistěte se, že rovnice je v kvadratickém tvaru (ax 2 + bx + c = 0). Kvadratické rovnice jsou: ax 2 + bx + c = 0, kde a, b, c jsou číselné koeficienty jiné než 0. Pokud dostanete rovnici s jednou proměnnou (x) a tato rovnice má jeden nebo více členů s druhým řádem proměnné , můžete přesunout všechny členy rovnice na jednu stranu rovnice a přirovnat ji k nule.

      • Například při dané rovnici: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Lze ji převést na rovnici x 2 + 6x + 9 = 0, což je kvadratická rovnice.
      • Rovnice s proměnnou x velkých řádů, například x 3 , x 4 atd. nejsou kvadratické rovnice. Jsou to kubické rovnice, rovnice čtvrtého řádu a tak dále (pouze v případě, že takové rovnice nelze zjednodušit na kvadratické rovnice s proměnnou x na mocninu 2).

   2. Kvadratické rovnice, kde a \u003d 1, se rozloží na (x + d) (x + e), kde d * e \u003d c a d + e \u003d b. Pokud má kvadratická rovnice tvar: x 2 + bx + c \u003d 0 (to znamená, že koeficient na x 2 je roven 1), pak lze takovou rovnici (ale ne zaručeně) rozložit na výše uvedené faktory. Chcete-li to provést, musíte najít dvě čísla, která po vynásobení dávají "c" a po sečtení - "b". Jakmile najdete tato dvě čísla (d a e), dosaďte je do následujícího výrazu: (x+d)(x+e), který po otevření závorek vede k původní rovnici.

      • Například s ohledem na kvadratickou rovnici x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 a 3+2=5, takže rovnici můžete rozšířit na (x+3)(x+2).
      • U záporných výrazů proveďte v procesu faktorizace následující drobné změny:
        • Pokud má kvadratická rovnice tvar x 2 -bx + c, pak se rozkládá na: (x-_) (x-_).
        • Pokud má kvadratická rovnice tvar x 2 -bx-c, pak se rozkládá na: (x + _) (x-_).
      • Poznámka: mezery lze nahradit zlomky nebo desetinnými místy. Například rovnice x 2 + (21/2)x + 5 = 0 se rozloží na (x + 10) (x + 1/2).

   3. Faktorizace metodou pokus-omyl. Jednoduché kvadratické rovnice lze faktorizovat jednoduchým dosazováním čísel do možných řešení, dokud nenajdete správné řešení. Pokud má rovnice tvar ax 2 +bx+c, kde a>1, možná řešení se zapisují jako (dx +/- _)(ex +/- _), kde d a e jsou číselné koeficienty jiné než nula, které po vynásobení dávají a. Buď d nebo e (nebo oba koeficienty) se mohou rovnat 1. Pokud se oba koeficienty rovnají 1, použijte metodu popsanou výše.

      • Například vzhledem k rovnici 3x 2 - 8x + 4. Zde má 3 pouze dva faktory (3 a 1), takže možná řešení jsou zapsána jako (3x +/- _)(x +/- _). V tomto případě, když mezery dosadíte -2, najdete správnou odpověď: -2*3x=-6x a -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x a -2*-2=4, tedy takové rozšíření při otevírání závorek povede ke členům původní rovnice.

   4. Plný čtverec. V některých případech mohou být kvadratické rovnice faktorizovány rychle a snadno pomocí speciální algebraické identity. Libovolná kvadratická rovnice tvaru x 2 + 2xh + h 2 = (x + h) 2 . To znamená, že pokud je ve vaší rovnici faktor b roven dvojnásobku druhé odmocniny faktoru c, pak lze vaši rovnici rozložit na (x + (kV.root(c))) 2 .

      • Například vzhledem k rovnici x 2 + 6x + 9. Zde 3 2 =9 a 3*2=6. Proto lze tuto rovnici rozložit na (x+3)(x+3) nebo (x + 3) 2 .

   5. Použijte faktorizaci k řešení kvadratických rovnic. Faktorováním rovnice můžete nastavit každý faktor na nulu a vypočítat hodnotu x (řešením rovnice máme na mysli nalezení hodnot x, pro které je rovnice brzy nulová).

      • Vraťme se k rovnici x 2 + 5x + 6 \u003d 0. Tato rovnice se rozloží na faktory (x + 3) (x + 2) \u003d 0. Pokud je jeden z faktorů 0, pak je celá rovnice 0. Zapíšeme tedy: (x+3)=0 a (x+2)=0 a zjistíme x=-3 a x=-2 (v tomto pořadí).

   6. Zkontrolujte odpověď (některé odpovědi mohou být špatné). Chcete-li to provést, dosaďte nalezené hodnoty x do původní rovnice. Někdy při dosazení nalezených hodnot není původní rovnice rovna nule; to znamená, že takové hodnoty x jsou špatné.

      • Například dosaďte x=-2 a x=-3 do x 2 + 5x + 6 = 0. Nejprve dosaďte x=-2:
        • (-2) 2 + 5(-2) + 6 = 0
        • 4 + -10 + 6 = 0
        • 0 \u003d 0. To znamená, že x \u003d -2 je správná odpověď.
      • Nyní dosaďte x=-3:
        • (-3) 2 + 5(-3) + 6 = 0
        • 9 + -15 + 6 = 0
        • 0 \u003d 0. To znamená, že x \u003d -3 je správná odpověď.

   Libovolný algebraický polynom stupně n lze znázornit jako součin n-lineárních faktorů tvaru a konstantního čísla, což jsou koeficienty polynomu na nejvyšším stupni x, tzn.

   kde - jsou kořeny polynomu.

   Kořenem polynomu je číslo (reálné nebo komplexní), které změní polynom na nulu. Kořeny polynomu mohou být jak skutečné kořeny, tak i komplexní sdružené kořeny, pak může být polynom reprezentován v následující podobě:

   Zvažte metody pro rozšíření polynomů stupně "n" na součin faktorů prvního a druhého stupně.

   Metoda číslo 1.Metoda neurčitých koeficientů.

   Koeficienty takto transformovaného výrazu jsou určeny metodou neurčitých koeficientů. Podstatou metody je, že je předem znám typ faktorů, na které se daný polynom rozkládá. Při použití metody neurčitých koeficientů platí následující tvrzení:

   P.1. Dva polynomy jsou shodné, pokud jsou jejich koeficienty stejné při stejných mocninách x.

   P.2. Jakýkoli polynom třetího stupně se rozkládá na součin lineárních a čtvercových faktorů.

   P.3. Libovolný polynom čtvrtého stupně se rozloží na součin dvou polynomů druhého stupně.

   Příklad 1.1. Je nutné rozložit kubický výraz:

   P.1. V souladu s přijatými tvrzeními platí stejná rovnost pro kubický výraz:

   P.2. Pravá strana výrazu může být reprezentována slovy takto:

   P.3. Z podmínky rovnosti koeficientů pro odpovídající mocniny kubického výrazu sestavíme soustavu rovnic.

   

   Tento systém rovnic lze řešit metodou výběru koeficientů (pokud se jedná o jednoduchý akademický problém) nebo lze použít metody řešení nelineárních soustav rovnic. Řešením tohoto systému rovnic získáme, že nejisté koeficienty jsou definovány následovně:

   Původní výraz je tedy rozložen na faktory v následující podobě:

   Tuto metodu lze použít jak v analytických výpočtech, tak v počítačovém programování pro automatizaci procesu hledání kořene rovnice.

   Metoda číslo 2.Vieta vzorce

   Vieta vzorce jsou vzorce týkající se koeficientů algebraických rovnic stupně n a jejich kořenů. Tyto vzorce byly implicitně uvedeny v dílech francouzského matematika Francoise Viety (1540 - 1603). Vzhledem k tomu, že Viet uvažoval pouze o pozitivních skutečných kořenech, neměl tedy možnost tyto vzorce napsat v obecné explicitní podobě.

   Pro každý algebraický polynom stupně n, který má n reálných kořenů,

   platí následující vztahy, které spojují kořeny polynomu s jeho koeficienty:

   

   Vietovy vzorce je vhodné použít pro kontrolu správnosti nalezení kořenů polynomu, stejně jako pro sestavení polynomu z daných kořenů.

   Příklad 2.1. Zvažte, jak souvisí kořeny polynomu s jeho koeficienty pomocí kubické rovnice jako příkladu

   V souladu s Vietovými vzorci je vztah mezi kořeny polynomu a jeho koeficienty následující:

   

   Podobné vztahy lze vytvořit pro jakýkoli polynom stupně n.

   Metoda číslo 3. Faktorizace kvadratické rovnice s racionálními kořeny

   Z posledního vzorce Vieta vyplývá, že kořeny polynomu jsou dělitelé jeho volného členu a vedoucího koeficientu. V tomto ohledu, pokud podmínka problému obsahuje polynom stupně n s celočíselnými koeficienty

   pak tento polynom má racionální kořen (neredukovatelný zlomek), kde p je dělitel volného členu a q je dělitel vedoucího koeficientu. V tomto případě lze polynom stupně n reprezentovat jako (Bezoutova věta):

   Polynom, jehož stupeň je o 1 menší než stupeň počátečního polynomu, se určí dělením polynomu stupně n binomem, například pomocí Hornerova schématu nebo většiny jednoduchým způsobem- "sloupec".

   Příklad 3.1. Polynom je nutné faktorizovat

   P.1. Vzhledem k tomu, že koeficient u nejvyššího členu je roven jedné, pak jsou racionální kořeny tohoto polynomu děliteli volného členu výrazu, tzn. mohou být celá čísla . Dosazením každého z prezentovaných čísel do původního výrazu zjistíme, že kořen prezentovaného polynomu je .

   Rozdělme původní polynom binomem:

   Použijme Hornerovo schéma

   

   Koeficienty původního polynomu se nastaví v horním řádku, přičemž první buňka horního řádku zůstane prázdná.

   Nalezený kořen je zapsán do první buňky druhého řádku (v tomto příkladu je zapsáno číslo "2") a následující hodnoty v buňkách jsou vypočteny určitým způsobem a jsou to koeficienty polynom, který vznikne dělením polynomu binomem. Neznámé koeficienty jsou definovány takto:

   Hodnota z odpovídající buňky prvního řádku se přenese do druhé buňky druhého řádku (v tomto příkladu se zapíše číslo "1").

   Třetí buňka druhého řádku obsahuje hodnotu součinu první buňky a druhé buňky druhého řádku plus hodnotu ze třetí buňky prvního řádku (v tomto příkladu 2 ∙ 1 -5 = -3) .

   

   Čtvrtá buňka druhého řádku obsahuje hodnotu součinu první buňky třetí buňkou druhého řádku plus hodnotu ze čtvrté buňky prvního řádku (v tomto příkladu 2 ∙ (-3) +7 = 1 ).

   

   Původní polynom je tedy faktorizován:

   

   Metoda číslo 4.Použití těsnopisných vzorců pro násobení

   Pro zjednodušení výpočtů a také rozkladu polynomů na faktory se používají zkrácené vzorce pro násobení. Zkrácené násobící vzorce umožňují zjednodušit řešení jednotlivých úloh.

   Vzorce používané pro faktoring

   Aby bylo možné faktorizovat, je nutné zjednodušit výrazy. To je nezbytné, aby bylo možné dále snižovat. Rozklad polynomu má smysl, když jeho stupeň není nižší než druhý. Polynom s prvním stupněm se nazývá lineární.

   Článek odhalí všechny koncepty rozkladu, teoretický základ a metody pro faktorizaci polynomu.

   Teorie

   Věta 1

   Když libovolný polynom se stupněm n má tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , jsou reprezentovány jako součin s konstantním faktorem s nejvyšším stupněm a n a n lineárních faktorů (x - x i), i = 1 , 2 , … , n , pak P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1). . . · (x - x 1) , kde x i , i = 1 , 2 , … , n - to jsou kořeny polynomu.

   Věta je určena pro kořeny komplexního typu x i , i = 1 , 2 , … , n a pro komplexní koeficienty a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . To je základ každého rozkladu.

   Když koeficienty tvaru a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n jsou reálná čísla, pak se komplexní kořeny budou vyskytovat v konjugovaných párech. Například kořeny x 1 a x 2 se vztahují k polynomu ve tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 jsou považovány za komplexně konjugované, pak jsou ostatní kořeny reálné, takže dostáváme, že polynom má tvar P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).

   Komentář

   Kořeny polynomu se mohou opakovat. Zvažte důkaz věty algebry, důsledky Bezoutovy věty.

   Základní věta algebry

   Věta 2

   Každý polynom se stupněm n má alespoň jeden kořen.

   Bezoutova věta

   Po dělení polynomu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s) , pak dostaneme zbytek, který se rovná polynomu v bodě s , pak dostaneme

   P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynom se stupněm n - 1 .

   Důsledek Bezoutovy věty

   Když kořen polynomu P n (x) považujeme za s , pak P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Qn - 1 (x) . Tento důsledek je dostatečný, když je použit k popisu řešení.

   Faktorizace čtvercového trinomu

   Čtvercový trinom ve tvaru a x 2 + b x + c lze rozložit na lineární faktory. pak dostaneme, že a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , kde x 1 a x 2 jsou kořeny (složité nebo skutečné).

   To ukazuje, že samotný rozklad se později redukuje na řešení kvadratické rovnice.

   Příklad 1

   Faktorizujte čtvercový trojčlen.

   Rozhodnutí

   Je nutné najít kořeny rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Chcete-li to provést, musíte najít hodnotu diskriminantu podle vzorce, pak dostaneme D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Proto to máme

   x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

   Odtud dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

   Chcete-li provést kontrolu, musíte otevřít závorky. Pak dostaneme výraz ve tvaru:

   4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

   Po ověření dojdeme k původnímu výrazu. To znamená, že můžeme dojít k závěru, že expanze je správná.

   Příklad 2

   Rozložte čtvercový trojčlen ve tvaru 3 x 2 - 7 x - 11 .

   Rozhodnutí

   Dostaneme, že je nutné vypočítat výslednou kvadratickou rovnici ve tvaru 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

   Chcete-li najít kořeny, musíte určit hodnotu diskriminantu. Chápeme to

   3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

   Odtud dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

   Příklad 3

   Rozložte polynom na 2 x 2 + 1.

   Rozhodnutí

   Nyní musíte vyřešit kvadratickou rovnici 2 x 2 + 1 = 0 a najít její kořeny. Chápeme to

   2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

   Tyto kořeny se nazývají komplexně konjugované, což znamená, že samotný rozklad může být reprezentován jako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

   Příklad 4

   Rozbalte čtvercový trojčlen x 2 + 1 3 x + 1 .

   Rozhodnutí

   Nejprve musíte vyřešit kvadratickou rovnici tvaru x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a najít její kořeny.

   x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

   Po získání kořenů píšeme

   x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

   Komentář

   Pokud je hodnota diskriminantu záporná, pak polynomy zůstanou polynomy druhého řádu. Z toho plyne, že je nebudeme rozkládat na lineární faktory.

   Metody faktorizace polynomu stupně vyššího než druhého

   Rozklad předpokládá univerzální metodu. Většina všech případů je založena na důsledku Bezoutovy věty. Chcete-li to provést, musíte vybrat hodnotu odmocniny x 1 a snížit její stupeň dělením polynomem 1 dělením (x - x 1) . Výsledný polynom potřebuje najít kořen x 2 a proces hledání je cyklický, dokud nedosáhneme úplného rozšíření.

   Pokud se kořen nenajde, použijí se jiné metody faktorizace: seskupení, další termíny. Toto téma předpokládá řešení rovnic s vyššími mocninami a celočíselnými koeficienty.

   Vyjmutí společného faktoru ze závorek

   Uvažujme případ, kdy je volný člen roven nule, pak tvar polynomu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1x.

   Je vidět, že kořen takového polynomu bude roven x 1 \u003d 0, pak můžete polynom reprezentovat ve formě výrazu P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

   Tato metoda je považována za vyjmutí společného faktoru ze závorek.

   Příklad 5

   Rozložte polynom třetího stupně na faktor 4 x 3 + 8 x 2 - x.

   Rozhodnutí

   Vidíme, že x 1 \u003d 0 je kořen daného polynomu, pak můžeme x z celého výrazu uzavřít. Dostaneme:

   4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

   Pojďme k hledání kořenů čtvercového trinomu 4 x 2 + 8 x - 1. Pojďme najít diskriminant a kořeny:

   D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

   Z toho pak plyne

   4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

   Pro začátek vezměme za úvahu metodu rozkladu obsahující celočíselné koeficienty ve tvaru P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , kde koeficient nejvyšší moci je 1 .

   Když má polynom celočíselné kořeny, pak jsou považovány za dělitele volného členu.

   Příklad 6

   Rozšiřte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

   Rozhodnutí

   Zvažte, zda existují celočíselné kořeny. Je nutné zapsat dělitele čísla - 18. Dostaneme, že ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Z toho vyplývá, že tento polynom má celočíselné kořeny. Můžete zkontrolovat podle Hornerova schématu. Je to velmi pohodlné a umožňuje vám rychle získat expanzní koeficienty polynomu:

   Z toho vyplývá, že x \u003d 2 a x \u003d - 3 jsou kořeny původního polynomu, který lze reprezentovat jako součin tvaru:

   f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

   Přejdeme k rozkladu čtvercového trinomu tvaru x 2 + 2 x + 3 .

   Protože diskriminant je záporný, znamená to, že neexistují žádné skutečné kořeny.

   Odpovědět: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

   Komentář

   Místo Hornerova schématu je povoleno používat výběr kořenů a dělení polynomu polynomem. Pokračujme uvažováním rozvoje polynomu obsahujícího celočíselné koeficienty tvaru P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z nichž nejvyšší se nerovná jedné.

   Tento případ se odehrává pro zlomkové racionální zlomky.

   Příklad 7

   Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

   Rozhodnutí

   Je nutné změnit proměnnou y = 2 x , mělo by se přejít na polynom s koeficienty rovnými 1 na nejvyšším stupni. Musíte začít vynásobením výrazu 4. Chápeme to

   4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

   Když má výsledná funkce tvaru g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celočíselné kořeny, pak je jejich nález mezi děliteli volného členu. Záznam bude vypadat takto:

   ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

   Přistoupíme k výpočtu funkce g (y) v těchto bodech, abychom ve výsledku dostali nulu. Chápeme to

   g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

   Dostaneme, že y \u003d - 5 je kořen rovnice tvaru y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, což znamená, že x \u003d y 2 \u003d - 5 2 je kořenem původní funkce.

   Příklad 8

   Je nutné vydělit sloupcem 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.

   Rozhodnutí

   Napíšeme a dostaneme:

   2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

   Kontrola dělitelů zabere spoustu času, takže je výhodnější vzít rozklad výsledného čtvercového trinomu tvaru x 2 + 7 x + 3. Tím, že se rovná nule, najdeme diskriminant.

   x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

   Z toho tedy plyne

   2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

   Umělé triky při faktorizaci polynomu

   Racionální kořeny nejsou vlastní všem polynomům. Chcete-li to provést, musíte použít speciální metody k nalezení faktorů. Ale ne všechny polynomy lze rozložit nebo reprezentovat jako součin.

   Metoda seskupování

   Existují případy, kdy můžete seskupit členy polynomu, abyste našli společný faktor a vyjmuli jej ze závorek.

   Příklad 9

   Rozložte polynom na faktor x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

   Rozhodnutí

   Protože koeficienty jsou celá čísla, pak kořeny mohou být pravděpodobně také celá čísla. Pro kontrolu vezmeme hodnoty 1 , - 1 , 2 a - 2, abychom vypočítali hodnotu polynomu v těchto bodech. Chápeme to

   1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

   To ukazuje, že neexistují kořeny, je nutné použít jiný způsob rozkladu a řešení.

   Je vyžadováno seskupení:

   x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

   Po seskupení původního polynomu je nutné jej znázornit jako součin dvou čtvercových trinomů. K tomu potřebujeme faktorizovat. dostaneme to

   x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

   x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

   Komentář

   Jednoduchost seskupování neznamená, že výběr výrazů je dostatečně snadný. Neexistuje žádný jednoznačný způsob, jak to vyřešit, proto je nutné použít speciální věty a pravidla.

   Příklad 10

   Rozložte polynom na faktor x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

   Rozhodnutí

   Daný polynom nemá celočíselné kořeny. Termíny by měly být seskupeny. Chápeme to

   x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

   Po faktoringu to dostaneme

   x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2–5 2

   Použití zkráceného násobení a Newtonových binomických vzorců k rozkladu polynomu

   Ze vzhledu často není vždy jasné, jaký způsob při rozkladu použít. Po provedení transformací můžete sestavit úsečku skládající se z Pascalova trojúhelníku, jinak se nazývají Newtonův binom.

   Příklad 11

   Rozložte polynom na faktor x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

   Rozhodnutí

   Je nutné převést výraz do formy

   x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

   Posloupnost koeficientů součtu v závorkách je označena výrazem x + 1 4 .

   Máme tedy x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

   Po nanesení rozdílu čtverců dostaneme

   x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

   Zvažte výraz, který je v druhé závorce. Je jasné, že tam nejsou žádní koně, takže by se měl znovu použít vzorec pro rozdíl čtverců. Dostáváme výraz jako

   x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

   Příklad 12

   Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

   Rozhodnutí

   Změňme výraz. Chápeme to

   x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

   Je nutné použít vzorec pro zkrácené násobení rozdílu kostek. Dostaneme:

   x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

   Metoda pro nahrazení proměnné při faktorizaci polynomu

   Při změně proměnné se stupeň zmenší a polynom se rozloží na faktor.

   Příklad 13

   Rozložte polynom ve tvaru x 6 + 5 x 3 + 6 .

   Rozhodnutí

   Z podmínky je zřejmé, že je nutné provést náhradu y = x 3 . Dostaneme:

   x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

   Kořeny výsledné kvadratické rovnice jsou tedy y = - 2 a y = - 3

   x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

   Je nutné aplikovat vzorec pro zkrácené násobení součtu kostek. Dostaneme výrazy ve tvaru:

   x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

   To znamená, že jsme dosáhli požadovaného rozšíření.

   Výše uvedené případy pomohou při zvažování a faktorizaci polynomu různými způsoby.

   Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

   Polynom je výraz sestávající ze součtu monočlenů. Ty jsou součinem konstanty (čísla) a kořene (nebo kořenů) výrazu k mocnině k. V tomto případě se mluví o polynomu stupně k. Rozklad polynomu zahrnuje transformaci výrazu, ve kterém jsou členy nahrazeny faktory. Podívejme se na hlavní způsoby provádění tohoto druhu transformace.

   Metoda pro rozšíření polynomu extrakcí společného faktoru

   Tato metoda je založena na zákonech distribučního zákona. Takže mn + mk = m * (n + k).

   • Příklad: rozšířit 7y 2 + 2uy a 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

   7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

   2 m 3 - 12 m 2 + 4 lm = 2 m (m 2 - 6 m + 2 l).

   Faktor, který je nutně přítomen v každém polynomu, však nemusí být vždy nalezen, takže tato metoda není univerzální.

   Polynomiální expanzní metoda založená na zkrácených vzorcích násobení

   Zkrácené násobící vzorce platí pro polynom libovolného stupně. Obecně platí, že transformační výraz vypadá takto:

   u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), kde k je zástupce přirozená čísla.

   Nejčastěji se v praxi používají vzorce pro polynomy druhého a třetího řádu:

   u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

   u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

   u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).

   • Příklad: rozšířit 25p 2 - 144b 2 a 64m 3 - 8l 3 .

   25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

   64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

   
   

   Metoda polynomického rozkladu - seskupení členů výrazu

   Tato metoda určitým způsobem odráží techniku ​​odvození společného faktoru, ale má určité rozdíly. Zejména před izolací společného faktoru je třeba seskupit monočleny. Seskupování je založeno na pravidlech asociativních a komutativních zákonů.

   Všechny monomiály uvedené ve výrazu jsou rozděleny do skupin, v každé z nich obecný význam tak, že druhý faktor bude stejný ve všech skupinách. Obecně lze takovou metodu rozkladu reprezentovat jako výraz:

   pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

   pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

   • Příklad: rozšířit 14mn + 16ln - 49m - 56l.

   14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l)(2n - 7).

   
   

   Metoda polynomického rozkladu - Formace plného čtverce

   Tato metoda je jednou z nejúčinnějších v průběhu rozkladu polynomů. V počáteční fázi je nutné určit monomiály, které lze „složit“ na druhou mocninu rozdílu nebo součtu. K tomu se používá jeden z následujících vztahů:

   (p - b) 2 \u003d p 2 - 2 pb + b 2,

   • Příklad: rozšiřte výraz u 4 + 4u 2 – 1.

   Mezi jeho monomiály vybíráme členy, které tvoří úplný čtverec: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

   \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

   Dokončete transformaci pomocí pravidel zkráceného násobení: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

   Že. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).