El círculo circunscrito de un triángulo. Presentación sobre geometría "círculo inscrito y circunscrito" Descargar presentación círculo inscrito y circunscrito

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Subtítulos de las diapositivas:

círculo circunscrito

Definición: Se dice que un círculo está circunscrito a un triángulo si todos los vértices del triángulo se encuentran en este círculo. En qué figura está el círculo circunscrito cerca del triángulo: 1) 2) 3) 4) 5) Si el círculo está circunscrito cerca del triángulo, entonces el triángulo está inscrito en el círculo.

Teorema. Un círculo puede estar circunscrito a un triángulo y, además, a uno solo. Su centro es el punto de intersección de las perpendiculares medias a los lados del triángulo. A B C Dado: ABC Demostrar que existe un Osp.(O; r) descrito alrededor de ABC. Prueba: Dibujemos las bisectrices perpendiculares p, k, n a los lados AB, BC, AC Por la propiedad de las bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo (un punto maravilloso del triángulo): se cortan en un punto - O, para el cual OA \u003d OB \u003d OS. Es decir, todos los vértices del triángulo equidistan del punto O, lo que significa que se encuentran sobre una circunferencia de centro O. Esto significa que la circunferencia está circunscrita cerca del triángulo ABC. en paquete

Propiedad importante: si un círculo está circunscrito cerca de un triángulo rectángulo, entonces su centro es el punto medio de la hipotenusa. O R R C A B R = ½ AB Problema: Hallar el radio de una circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm El centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo obtuso se encuentra fuera del triángulo.

a b c R R = Fórmulas para el radio de un círculo circunscrito a un triángulo Problema: hallar el radio de un círculo circunscrito a un triángulo equilátero de 4 cm de lado Solución: R = R = , Respuesta: cm (cm)

Problema: Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio. La altura dibujada hasta su base es de 16 cm Halla el lado y el area del triangulo. A B C O N Solución: Dado que el círculo está circunscrito cerca del triángulo isósceles ABC, el centro del círculo se encuentra a la altura BH. AO = VO = CO = 10 cm, OH = VN - VO = = 16 - 10 = 6 (cm) AON - rectangular, AO 2 = AH 2 + AH 2, AH 2 = 10 2 - 6 2 = 64, AH = 8 cm ABN - rectangular, AB 2 \u003d AN 2 + VN 2 \u003d 8 2 + 16 2 \u003d 64 + 256 \u003d 320, AB \u003d (cm) AC \u003d 2AN \u003d 2 8 \u003d 16 (cm ), S ABC \u003d ½ AC VN \u003d ½ 16 16 \u003d 128 (cm 2) Respuesta: AB \u003d cm S \u003d 128 cm 2, Encuentra: AB, S ABC Dado: ABC-r / b, VN AC , VN \u003d 16 cm Okr. (O ; 10 cm) descrito cerca de ABC

Definición: Se dice que un círculo está circunscrito a un cuadrilátero si todos los vértices del cuadrilátero pertenecen al círculo. Teorema. Si un círculo está circunscrito cerca de un cuadrilátero, entonces la suma de sus ángulos opuestos es 180 0 . Prueba: dado que el círculo está circunscrito a ABC D, entonces A, B, C, D están inscritos, lo que significa A + C \u003d ½ BCD + ½ BAD \u003d ½ (BCD + BAD) \u003d ½ 360 0 \u003d 180 0 B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ (ADC+ ABC) = ½ 360 0 = 180 0 A + C = B + D = 180 0 C = B + D = 180 0 Otra formulación del teorema: en un cuadrilátero inscrito en un círculo, la suma de los ángulos opuestos es 180 0 . A B C D O

Teorema inverso: si la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero es 180 0, entonces se puede circunscribir un círculo a su alrededor. Dado: ABC D, A + C = 180 0 A B C D O

Corolario 1: un círculo se puede circunscribir cerca de cualquier rectángulo, su centro es el punto de intersección de las diagonales. Corolario 2: Un círculo puede estar circunscrito a un trapezoide isósceles. A B C K

Resolver problemas 80 0 120 0 ? ? A B C M K N O R E 70 0 Encuentra los ángulos del cuadrilátero RKEN: 80 0

¿En qué figura está inscrita una circunferencia en un triángulo?

Si una circunferencia está inscrita en un triángulo,

entonces el triángulo está circunscrito al círculo.

Teorema. Un círculo se puede inscribir en un triángulo, y además, solo uno. Su centro es el punto de intersección de las bisectrices del triángulo.

Dado: ABC

Demostrar: existe Osp.(O; r),

inscrito en un triangulo

Prueba:

Dibujemos las bisectrices del triángulo: AA 1, BB 1, SS 1.

Por propiedad (punto notable del triángulo)

las bisectrices se intersecan en un punto - O,

y este punto es equidistante de todos los lados del triángulo, es decir:

OK \u003d OE \u003d OR, donde OK AB, OE BC, OR AC, luego

O es el centro del círculo y AB, BC, AC son tangentes a él.

Entonces el círculo está inscrito en ABC.

Dado: Okr. (O; r) está inscrito en ABC,

p \u003d ½ (AB + BC + AC) - medio perímetro.

Demostrar: S A B C = p r

Prueba:

conecta el centro del círculo con los vértices

triángulo y dibujar los radios

círculos en los puntos de contacto.

Estos radios son

alturas de los triángulos AOB, BOC, COA.

S ABC = S AOB + S BOC + S AOC = ½ AB r + ½ BC r + ½ AC r =

= ½ (AB + BC + AC) r = ½ p r.

Tarea: en un triángulo equilátero con un lado de 4 cm

círculo inscrito. Encuentra su radio.

Derivación de la fórmula para el radio de un círculo inscrito en un triángulo

S = pag r = ½ pag r = ½ (a + b + c) r

2S = (a + b + c) r

La fórmula deseada para el radio de un círculo,

inscrito en un triangulo rectangulo

- piernas, c - hipotenusa

Definición: Se dice que un círculo está inscrito en un cuadrilátero si todos los lados del cuadrilátero lo tocan.

¿En qué figura está inscrito un círculo en un cuadrilátero?

Teorema: si una circunferencia está inscrita en un cuadrilátero,

entonces las sumas de los lados opuestos

los cuadriláteros son iguales ( en cualquier descrito

cuadrilátero suma de opuestos

los lados son iguales).

AB + SK = BC + AK.

teorema inverso: si las sumas de los lados opuestos

cuadrilátero convexo son iguales,

entonces se puede inscribir un círculo en él.

Tarea: en un rombo, cuyo ángulo agudo es 60 0, se inscribe un círculo,

cuyo radio es de 2 cm Halla el perímetro del rombo.

Resolver problemas

Dado: Okr. (O; r) está inscrito en ABSK,

PA ABSC = 10

Encontrar: BC + AK

Dado: ABSM se describe alrededor de aproximadamente (O; r)

BC=6, AM=15,

diapositiva 1

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diapositiva 4

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Diapositiva 7

Diapositiva 8

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