تحليل كثير الحدود إلى مجهولين. طرق لتحليل كثير الحدود من الدرجة أعلى من الثانية. حل بديل

8 أمثلة لتحليل كثيرات الحدود معطاة. وهي تشمل أمثلة مع حل المعادلات التربيعية و biquadratic ، أمثلة مع كثيرات الحدود المتكررة ، وأمثلة لإيجاد جذور صحيحة لكثيرات الحدود من الدرجة الثالثة والرابعة.

أنظر أيضا: طرق تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل
جذور المعادلة التربيعية
حل المعادلات التكعيبية

1. أمثلة مع حل معادلة من الدرجة الثانية

المثال 1.1

x 4 + × 3 - 6 × 2.

إخراج x 2 للأقواس:
.
2 + س - 6 = 0:
.
جذور المعادلة:
, .

.

مثال 1.2

تحليل كثير الحدود من الدرجة الثالثة:
x 3 + 6 × 2 + 9 ×.

نخرج x من الأقواس:
.
نحل المعادلة التربيعية س 2 + 6 س + 9 = 0:
المميز هو.
بما أن المميز يساوي صفرًا ، فإن جذور المعادلة هي مضاعفات:
.

من هنا نحصل على تحلل كثير الحدود إلى عوامل:
.

مثال 1.3

تحليل كثير الحدود من الدرجة الخامسة:
x 5 - 2 × 4 + 10 × 3.

إخراج x 3 للأقواس:
.
نحل المعادلة التربيعية س 2 - 2 س + 10 = 0.
المميز هو.
نظرًا لأن المميز أقل من الصفر ، فإن جذور المعادلة معقدة:
, .

تحليل عامل كثير الحدود له الشكل:
.

إذا كنا مهتمين بالتعامل مع المعاملات الحقيقية ، فحينئذٍ:
.

أمثلة على تحليل كثيرات الحدود باستخدام الصيغ

أمثلة مع كثيرات الحدود البيكودية

مثال 2.1

حلل كثير الحدود إلى عوامل:
x 4 + × 2 - 20.

تطبيق الصيغ:
أ 2 + 2 أب + ب 2 = (أ + ب) 2;
أ 2 - ب 2 = (أ - ب) (أ + ب).

;
.

مثال 2.2

تحليل كثير الحدود الذي يختصر إلى biquadratic:
x 8 + × 4 + 1.

تطبيق الصيغ:
أ 2 + 2 أب + ب 2 = (أ + ب) 2;
أ 2 - ب 2 = (أ - ب) (أ + ب):

;

;
.

مثال 2.3 مع كثير الحدود العودية

تحليل كثير الحدود العودي:
.

كثير الحدود العودية له درجة فردية. لذلك فإن لها جذر x = - 1 . نقسم كثير الحدود على x - (-1) = س + 1. نتيجة لذلك ، نحصل على:
.
نجعل الاستبدال:
, ;
;


;
.

أمثلة على تحليل كثيرات الحدود بجذور صحيحة

مثال 3.1

تحليل كثير الحدود:
.

افترض المعادلة

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3-6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3-6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3-6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3-6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
١ ٣ - ٦ ١ ٢ + ١١ ١ - ٦ = ٠;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

إذن ، وجدنا ثلاثة جذور:
x 1 = 1 ، س 2 = 2 ، س 3 = 3 .
بما أن كثير الحدود الأصلي من الدرجة الثالثة ، فليس له أكثر من ثلاثة جذور. نظرًا لأننا وجدنا ثلاثة جذور ، فهي بسيطة. ثم
.

مثال 3.2

تحليل كثير الحدود:
.

افترض المعادلة

له جذر صحيح واحد على الأقل. ثم يكون القاسم على الرقم 2 (عضو بدون x). أي أن الجذر الكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
-2, -1, 1, 2 .
استبدل هذه القيم واحدة تلو الأخرى:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

لذلك وجدنا جذرًا واحدًا:
x 1 = -1 .
نقسم كثير الحدود على x - x 1 = س - (-1) = س + 1:


ثم،
.

الآن نحتاج إلى حل معادلة الدرجة الثالثة:
.
إذا افترضنا أن هذه المعادلة لها جذر صحيح ، فهي إذن مقسوم على الرقم 2 (عضو بدون x). أي أن الجذر الكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 2, -1, -2 .
عوّض x = -1 :
.

إذن ، وجدنا جذرًا آخر لـ x 2 = -1 . سيكون من الممكن ، كما في الحالة السابقة ، قسمة كثير الحدود على ، لكننا سنجمع المصطلحات:
.

WikiHow هو موقع wiki ، مما يعني أن العديد من مقالاتنا كتبها مؤلفون متعددون. عند إنشاء هذه المقالة ، عمل 23 شخصًا على تحريرها وتحسينها ، بما في ذلك عدم الكشف عن هويتهم.

تحليل المعادلة هو عملية إيجاد المصطلحات أو التعبيرات التي ، عند ضربها ، تؤدي إلى المعادلة الأولية. يعد التحليل إلى العوامل مهارة مفيدة لحل المشكلات الجبرية الأساسية ، ويصبح ضرورة عملية عند العمل باستخدام المعادلات التربيعية ومتعددة الحدود الأخرى. يُستخدم التحليل إلى العوامل لتبسيط المعادلات الجبرية لتسهيل حلها. يمكن أن يساعدك التحليل في استبعاد بعض الإجابات المحتملة بشكل أسرع مما يمكنك عن طريق حل المعادلة يدويًا.

خطوات

تحليل الأرقام والتعبيرات الجبرية الأساسية

1. تحليل الأرقام.مفهوم العوملة بسيط ، ولكن من الناحية العملية ، يمكن أن يكون العوملة معقدًا (مع الأخذ في الاعتبار معادلة معقدة). لنبدأ إذن بمفهوم التحليل باستخدام الأعداد كمثال ، ثم نواصل المعادلات البسيطة ، ثم ننتقل إلى المعادلات المعقدة. عوامل رقم معين هي الأرقام التي ، عند ضربها ، تعطي الرقم الأصلي. على سبيل المثال ، عوامل الرقم 12 هي الأرقام: 1 ، 12 ، 2 ، 6 ، 3 ، 4 ، بما أن 1 * 12 = 12 ، 2 * 6 = 12 ، 3 * 4 = 12.

   • وبالمثل ، يمكنك التفكير في عوامل الرقم على أنها قواسمه ، أي الأرقام التي يقبل الرقم المحدد القسمة عليها.
   • أوجد جميع عوامل الرقم 60. غالبًا ما نستخدم الرقم 60 (على سبيل المثال ، 60 دقيقة في الساعة ، و 60 ثانية في الدقيقة ، وما إلى ذلك) وهذا الرقم له قدر كبير عدد كبير منالمضاعفات.
     • 60 مضاعفًا: 1 ​​و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 10 و 12 و 15 و 20 و 30 و 60.

2. يتذكر:يمكن أيضًا تحليل مصطلحات التعبير الذي يحتوي على معامل (رقم) ومتغير. للقيام بذلك ، أوجد مضاعفات المعامل عند المتغير. بمعرفة كيفية تحليل مصطلحات المعادلات ، يمكنك بسهولة تبسيط هذه المعادلة.

   • على سبيل المثال ، يمكن كتابة المصطلح 12x على أنه حاصل ضرب 12 و x. يمكنك أيضًا كتابة 12x في صورة 3 (4x) ، 2 (6x) ، وما إلى ذلك عن طريق تحليل العوامل التي تناسبك بشكل أفضل.
     • يمكنك تخطيط 12x عدة مرات متتالية. بمعنى آخر ، لا يجب أن تتوقف عند 3 (4x) أو 2 (6x) ؛ استمرار التوسع: 3 (2 (2x)) أو 2 (3 (2x)) (من الواضح ، 3 (4x) = 3 (2 (2x)) إلخ.)

3. طبق خاصية التوزيع الضرب لتحليل المعادلات الجبرية إلى عوامل.بمعرفة كيفية تحليل الأرقام وشروط التعبير (المعاملات مع المتغيرات) ، يمكنك تبسيط المعادلات الجبرية البسيطة من خلال إيجاد العامل المشترك لعدد ومصطلح التعبير. عادة ، لتبسيط المعادلة ، تحتاج إلى إيجاد القاسم المشترك الأكبر (gcd). مثل هذا التبسيط ممكن بسبب خاصية التوزيع للضرب: لأي أرقام أ ، ب ، ج ، تكون المساواة أ (ب + ج) = أب + ج صحيحة.

   • مثال. حلل المعادلة 12x + 6. أولاً ، أوجد gcd 12x و 6. 6 هو أكبر رقم يقسم 12x و 6 ، لذا يمكنك تحليل هذه المعادلة إلى: 6 (2x + 1).
   • هذه العملية صحيحة أيضًا بالنسبة للمعادلات التي تحتوي على مصطلحات سالبة وجزئية. على سبيل المثال ، يمكن أن تتحلل x / 2 + 4 إلى 1/2 (x + 8) ؛ على سبيل المثال ، -7x + (- 21) يمكن أن تتحلل إلى -7 (x + 3).

   تحليل المعادلات التربيعية إلى عوامل

   1. تأكد من أن المعادلة بالصيغة التربيعية (ax 2 + bx + c = 0).المعادلات التربيعية هي: ax 2 + bx + c = 0 ، حيث a ، b ، c هي معاملات عددية بخلاف 0. إذا أعطيت معادلة بمتغير واحد (x) وهذه المعادلة لها شرط واحد أو أكثر بترتيب ثانٍ متغيرًا ، يمكنك نقل جميع شروط المعادلة إلى جانب واحد من المعادلة ومعادلتها بالصفر.

      • على سبيل المثال ، بالنظر إلى المعادلة: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. يمكن تحويلها إلى المعادلة x 2 + 6x + 9 = 0 ، وهي معادلة من الدرجة الثانية.
      • المعادلات ذات المتغير x للطلبات الكبيرة ، على سبيل المثال ، x 3 ، x 4 ، إلخ. ليست معادلات من الدرجة الثانية. هذه معادلات تكعيبية ، معادلات من الدرجة الرابعة ، وما إلى ذلك (فقط إذا كان لا يمكن تبسيط هذه المعادلات إلى معادلات تربيعية مع المتغير x أس 2).

   2. المعادلات التربيعية ، حيث a \ u003d 1 ، تتحلل إلى (x + d) (x + e) ​​، حيث d * e \ u003d c و d + e \ u003d b.إذا كانت المعادلة التربيعية المعطاة لك بالشكل: x 2 + bx + c \ u003d 0 (أي أن المعامل عند x 2 يساوي 1) ، فيمكن عندئذٍ (ولكن ليس مضمونًا) أن تتحلل إلى ما سبق عوامل. للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على رقمين ، عند ضربهما ، نحصل على "c" ، وعند الإضافة - "b". بمجرد أن تجد هذين الرقمين (د و هـ) ، استبدلهما في التعبير التالي: (س + د) (س + هـ) ، والذي يؤدي عند فتح الأقواس إلى المعادلة الأصلية.

      • على سبيل المثال ، بالنظر إلى المعادلة التربيعية x 2 + 5x + 6 = 0. 3 * 2 = 6 و 3 + 2 = 5 ، لذلك يمكنك توسيع المعادلة إلى (x + 3) (x + 2).
      • بالنسبة للمصطلحات السلبية ، قم بإجراء التغييرات الطفيفة التالية على عملية التحليل إلى عوامل:
        • إذا كانت المعادلة التربيعية بالصيغة x 2 -bx + c ، فإنها تتحلل إلى: (x-_) (x-_).
        • إذا كانت المعادلة التربيعية لها الشكل x 2 -bx-c ، فإنها تتحلل إلى: (x + _) (x-_).
      • ملاحظة: يمكن استبدال المسافات بكسور أو أعداد عشرية. على سبيل المثال ، المعادلة x 2 + (21/2) x + 5 = 0 تتحلل إلى (x + 10) (x + 1/2).

   3. التخصيم عن طريق التجربة والخطأ.يمكن تحليل المعادلات التربيعية البسيطة إلى عوامل ببساطة عن طريق استبدال الأرقام في الحلول الممكنة حتى تجد الحل الصحيح. إذا كانت المعادلة على شكل ax 2 + bx + c ، حيث a> 1 ، تتم كتابة الحلول الممكنة كـ (dx +/- _) (ex +/- _) ، حيث d و e معاملات عددية بخلاف الصفر ، والتي عند ضربها تعطي أ. يمكن أن تكون إما d أو e (أو كلا المعاملين) مساوية لـ 1. إذا كان كلا المعاملين يساوي 1 ، فاستخدم الطريقة الموضحة أعلاه.

      • على سبيل المثال ، بالنظر إلى المعادلة 3x 2-8x + 4. هنا ، 3 لديها عاملين فقط (3 و 1) ، لذا فإن الحلول الممكنة مكتوبة كـ (3x +/- _) (x +/- _). في هذه الحالة ، باستبدال -2 بالمسافات ، ستجد الإجابة الصحيحة: -2 * 3x = -6x و -2 * x = -2x؛ - 6x + (- 2x) = - 8x و -2 * -2 = 4 ، أي أن مثل هذا التوسع عند فتح الأقواس سيؤدي إلى شروط المعادلة الأصلية.

   4. مربع كامل.في بعض الحالات ، يمكن تحليل المعادلات التربيعية بسرعة وسهولة باستخدام هوية جبرية خاصة. أي معادلة تربيعية بالصيغة x 2 + 2xh + h 2 = (x + h) 2. أي ، إذا كان المعامل b في معادلتك يساوي ضعف الجذر التربيعي للمعامل c ، فيمكن تحليل معادلتك إلى (x + (kV.root (c))) 2.

      • على سبيل المثال ، بالنظر إلى المعادلة x 2 + 6x + 9. هنا 3 2 = 9 و 3 * 2 = 6. لذلك ، يمكن أن تتحلل هذه المعادلة إلى (x + 3) (x + 3) أو (x + 3) 2.

   5. استخدم التحليل لحل المعادلات التربيعية.من خلال تحليل المعادلة إلى عوامل ، يمكنك ضبط كل عامل على صفر وحساب قيمة x (من خلال حل المعادلة ، نعني إيجاد قيم x التي تجعل المعادلة مبكرة إلى الصفر).

      • دعنا نعود إلى المعادلة x 2 + 5x + 6 \ u003d 0. تتحلل هذه المعادلة إلى عوامل (x + 3) (x + 2) \ u003d 0. إذا كان أحد العوامل هو 0 ، فإن المعادلة بأكملها هي 0. لذلك ، نكتب: (x + 3) = 0 و (x + 2) = 0 ونجد x = -3 و x = -2 (على التوالي).

   6. تحقق من الإجابة (قد تكون بعض الإجابات خاطئة).للقيام بذلك ، استبدل قيم x الموجودة في المعادلة الأصلية. في بعض الأحيان عند استبدال القيم الموجودة ، فإن المعادلة الأصلية لا تساوي الصفر ؛ هذا يعني أن قيم x هذه خاطئة.

      • على سبيل المثال ، استبدل x = -2 و x = -3 في x 2 + 5x + 6 = 0. أولًا ، استبدل x = -2:
        • (-2) 2 + 5(-2) + 6 = 0
        • 4 + -10 + 6 = 0
        • 0 \ u003d 0. أي أن x \ u003d -2 هي الإجابة الصحيحة.
      • الآن استبدل x = -3:
        • (-3) 2 + 5(-3) + 6 = 0
        • 9 + -15 + 6 = 0
        • 0 \ u003d 0. أي أن x \ u003d -3 هي الإجابة الصحيحة.

   يمكن تمثيل أي كثير حدود جبري من الدرجة n كمنتج لعوامل خطية n للشكل ورقم ثابت ، وهو معاملات كثير الحدود في أعلى درجة x ، أي

   أين - هي جذور كثير الحدود.

   جذر كثير الحدود هو رقم (حقيقي أو معقد) يحول كثير الحدود إلى صفر. يمكن أن تكون جذور كثير الحدود جذور حقيقية وجذور مترافقة معقدة ، ثم يمكن تمثيل كثير الحدود بالشكل التالي:

   ضع في اعتبارك طرق لتوسيع كثيرات الحدود من الدرجة "n" في حاصل ضرب عوامل من الدرجة الأولى والثانية.

   الطريقة رقم 1.طريقة المعاملات غير المحددة.

   يتم تحديد معاملات هذا التعبير المحول بطريقة المعاملات غير المحددة. جوهر الطريقة هو أن نوع العوامل التي تتحلل فيها كثير الحدود معروف مسبقًا. عند استخدام طريقة المعاملات غير المحددة ، تكون العبارات التالية صحيحة:

   ص 1. تتساوى كثيرات الحدود بشكل متماثل إذا كانت معاملاتهما متساوية عند نفس قوى x.

   ص 2. أي متعدد الحدود من الدرجة الثالثة يتحلل إلى منتج من العوامل الخطية والمربعة.

   ص 3. أي كثير حدود من الدرجة الرابعة تتحلل إلى حاصل ضرب اثنين من كثيرات الحدود من الدرجة الثانية.

   المثال 1.1.من الضروري تحليل التعبير التكعيبي إلى عوامل:

   ص 1. وفقًا للبيانات المقبولة ، فإن المساواة المتطابقة صحيحة للتعبير التكعيبي:

   ص 2. يمكن تمثيل الجانب الأيمن من التعبير كمصطلحات على النحو التالي:

   ص 3. نقوم بتكوين نظام معادلات من شرط المساواة في المعاملات للقوى المقابلة للتعبير التكعيبي.

   

   يمكن حل نظام المعادلات هذا عن طريق طريقة اختيار المعاملات (إذا كانت مشكلة أكاديمية بسيطة) أو يمكن استخدام طرق لحل أنظمة المعادلات غير الخطية. لحل نظام المعادلات هذا ، نحصل على أن المعاملات غير المؤكدة محددة على النحو التالي:

   وبالتالي ، يتحلل التعبير الأصلي إلى عوامل بالشكل التالي:

   يمكن استخدام هذه الطريقة في كل من الحسابات التحليلية وبرمجة الكمبيوتر لأتمتة عملية العثور على جذر المعادلة.

   الطريقة رقم 2.صيغ فييتا

   صيغ فييتا هي صيغ تتعلق بمعاملات المعادلات الجبرية للدرجة n وجذورها. تم عرض هذه الصيغ ضمنًا في أعمال عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييتا (1540 - 1603). نظرًا لحقيقة أن فييت يعتبر الجذور الحقيقية الإيجابية فقط ، لذلك لم تتح له الفرصة لكتابة هذه الصيغ في شكل عام صريح.

   لأي كثير حدود جبري من الدرجة n التي لها جذور n حقيقية ،

   العلاقات التالية صحيحة ، والتي تربط جذور كثير الحدود بمعاملاتها:

   

   تعد صيغ Vieta ملائمة للاستخدام للتحقق من صحة العثور على جذور كثير الحدود ، وكذلك لتكوين كثير الحدود من جذور معينة.

   مثال 2.1.ضع في اعتبارك كيف ترتبط جذور كثير الحدود بمعاملاتها باستخدام المعادلة التكعيبية كمثال

   وفقًا لصيغ Vieta ، تكون العلاقة بين جذور كثير الحدود ومعاملاتها على النحو التالي:

   

   يمكن عمل علاقات مماثلة لأي كثير حدود من الدرجة n.

   الطريقة رقم 3. تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل

   يستنتج من الصيغة الأخيرة لـ Vieta أن جذور كثير الحدود هي قواسم على المصطلح الحر والمعامل الرئيسي. في هذا الصدد ، إذا كانت حالة المشكلة تحتوي على كثير الحدود من الدرجة n مع معاملات عدد صحيح

   إذن فإن كثير الحدود هذا له جذر منطقي (كسر غير قابل للاختزال) ، حيث p هو القاسم على المصطلح الحر ، و q هو القاسم على المعامل الرئيسي. في هذه الحالة ، يمكن تمثيل كثير الحدود من الدرجة n كـ (نظرية بيزوت):

   يتم تحديد كثير الحدود الذي تكون درجته أقل من درجة كثيرة الحدود الأولية بقسمة كثير الحدود من الدرجة n على ذات الحدين ، على سبيل المثال ، باستخدام مخطط هورنر أو أكثر بطريقة بسيطة- "عمود".

   مثال 3.1.من الضروري تحليل كثير الحدود إلى عوامل

   ص 1. نظرًا لحقيقة أن المعامل عند الحد الأعلى يساوي واحدًا ، فإن الجذور المنطقية لكثير الحدود هي قواسم على المصطلح الحر للتعبير ، أي يمكن أن تكون أعدادًا صحيحة . بالتعويض عن كل من الأرقام المقدمة في التعبير الأصلي ، نجد أن جذر كثير الحدود المقدم هو.

   دعنا نقسم كثير الحدود الأصلي على ذات الحدين:

   دعنا نستخدم مخطط هورنر

   

   يتم تعيين معاملات كثير الحدود الأصلي في السطر العلوي ، بينما تظل الخلية الأولى من السطر العلوي فارغة.

   يتم كتابة الجذر الموجود في الخلية الأولى من السطر الثاني (في هذا المثال ، يتم كتابة الرقم "2") ، ويتم حساب القيم التالية في الخلايا بطريقة معينة وهي معاملات كثير الحدود ، والذي سينتج من قسمة كثير الحدود على ذات الحدين. يتم تحديد المعاملات غير المعروفة على النحو التالي:

   يتم نقل القيمة من الخلية المقابلة للصف الأول إلى الخلية الثانية من الصف الثاني (في هذا المثال ، يتم كتابة الرقم "1").

   تحتوي الخلية الثالثة من الصف الثاني على قيمة منتج الخلية الأولى والخلية الثانية من الصف الثاني بالإضافة إلى القيمة من الخلية الثالثة في الصف الأول (في هذا المثال ، 2 1-5 = -3) .

   

   تحتوي الخلية الرابعة من الصف الثاني على قيمة منتج الخلية الأولى بالخلية الثالثة من الصف الثاني بالإضافة إلى القيمة من الخلية الرابعة في الصف الأول (في هذا المثال 2 ∙ (-3) +7 = 1 ).

   

   وبالتالي ، يتم تحليل كثير الحدود الأصلي:

   

   الطريقة رقم 4.استخدام صيغ الضرب في الاختزال

   تُستخدم صيغ الضرب المختصرة لتبسيط العمليات الحسابية ، فضلاً عن تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل. صيغ الضرب المختصرة تجعل من الممكن تبسيط حل المشاكل الفردية.

   الصيغ المستخدمة في العوملة

   من أجل التحليل إلى عوامل ، من الضروري تبسيط التعابير. هذا ضروري لتكون قادرة على مزيد من التخفيض. يكون تحلل كثير الحدود منطقيًا عندما لا تكون درجته أقل من الثانية. كثير الحدود من الدرجة الأولى يسمى خطي.

   المقال سيكشف كل مفاهيم التحلل ، اساس نظرىوطرق تحليل كثير الحدود.

   نظرية

   نظرية 1

   عندما تكون أي كثيرة حدود بدرجة n لها الصيغة P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 ، يتم تمثيلها كمنتج مع عامل ثابت بأعلى درجة a n و n عوامل خطية (x - x i) ، i = 1 ، 2 ، ... ، n ، ثم P n (x) = a n (س - س ن) (س - س ن - 1). . . · (x - x 1) ، حيث x i ، i = 1 ، 2 ، ... ، n - هذه هي جذور كثير الحدود.

   النظرية مخصصة للجذور من النوع المركب x i ، i = 1 ، 2 ، ... ، n والمعاملات المركبة a k ، k = 0 ، 1 ، 2 ، ... ، n. هذا هو أساس أي تحلل.

   عندما تكون معاملات الصورة أ ك ، ك = 0 ، 1 ، 2 ، ... ، ن أعدادًا حقيقية ، فإن الجذور المعقدة ستحدث في أزواج مترافقة. على سبيل المثال ، الجذور x 1 و x 2 مرتبطة بكثير الحدود بالصيغة P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 تعتبر مترافقة معقدة ، ثم الجذور الأخرى حقيقية ، ومن ثم نحصل على كثير الحدود يأخذ الشكل P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) ·. . . (x - x 3) x 2 + p x + q حيث x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).

   تعليق

   يمكن تكرار جذور كثير الحدود. تأمل في إثبات نظرية الجبر ونتائج نظرية بيزوت.

   النظرية الأساسية في الجبر

   نظرية 2

   أي كثيرة حدود بدرجة n لها جذر واحد على الأقل.

   نظرية بيزوت

   بعد قسمة كثير الحدود بالصيغة P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 on (x - s) ، ثم نحصل على الباقي ، والذي يساوي كثير الحدود عند النقطة s ، ثم نحصل على

   P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) ، حيث Q n - 1 (x) هي كثيرة الحدود بالدرجة n - 1.

   نتيجة طبيعية من نظرية بيزوت

   عندما يكون جذر كثير الحدود P n (x) هو s ، فإن P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + أ 1 س + أ 0 = (س - ث) س ن - 1 (س). هذه النتيجة الطبيعية كافية عند استخدامها لوصف الحل.

   تحليل ثلاثي الحدود التربيعي إلى عوامل

   يمكن تحليل ثلاثي الحدود التربيعي بالصيغة a x 2 + b x + c إلى عوامل خطية. ثم نحصل على ذلك a x 2 + b x + c \ u003d a (x - x 1) (x - x 2) ، حيث x 1 و x 2 جذور (معقدة أو حقيقية).

   يوضح هذا أن التحلل نفسه يقلل من حل المعادلة التربيعية لاحقًا.

   مثال 1

   حلل مثلثًا ثلاثي الحدود إلى عوامل.

   قرار

   من الضروري إيجاد جذور المعادلة 4 × 2-5 س + 1 = 0. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد قيمة المميز وفقًا للصيغة ، ثم نحصل على D \ u003d (- 5) 2-4 4 1 \ u003d 9. ومن ثم لدينا ذلك

   س 1 = 5-9 2 4 = 1 4 × 2 = 5 + 9 2 4 = 1

   من هنا نحصل على 4 × 2-5 × + 1 = 4 × - 1 4 × - 1.

   لإجراء الفحص ، تحتاج إلى فتح الأقواس. ثم نحصل على تعبير عن النموذج:

   4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2-5 x + 1

   بعد التحقق ، نصل إلى التعبير الأصلي. أي يمكننا أن نستنتج أن المفكوك صحيحة.

   مثال 2

   حلل ثلاثيًا مربعًا من الصورة إلى عوامل 3 x 2-7 x - 11.

   قرار

   لقد حصلنا على أنه من الضروري حساب المعادلة التربيعية الناتجة من الشكل 3 × 2 - 7 × - 11 = 0.

   لإيجاد الجذور ، تحتاج إلى تحديد قيمة المميز. لقد حصلنا على ذلك

   3 × 2 - 7 × - 11 = 0 د = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 × 1 = 7 + د 2 3 = 7 + 181 6 × 2 = 7 - د 2 3 = 7 - 1816

   من هنا نحصل على 3 × 2 - 7 × - 11 = 3 × - 7 + 181 6 × - 7 - 181 6.

   مثال 3

   حلل كثير الحدود 2 x 2 + 1 إلى عوامل.

   قرار

   أنت الآن بحاجة إلى حل المعادلة التربيعية 2 × 2 + 1 = 0 وإيجاد جذورها. لقد حصلنا على ذلك

   2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

   تسمى هذه الجذور بالاتحاد المركب ، مما يعني أن التحلل نفسه يمكن تمثيله على أنه 2 × 2 + 1 = 2 × - 1 2 · i x + 1 2 · i.

   مثال 4

   انشر المربع ثلاثي الحدود x 2 + 1 3 x + 1.

   قرار

   تحتاج أولاً إلى حل معادلة تربيعية بالصيغة x 2 + 1 3 x + 1 = 0 وإيجاد جذورها.

   x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2-4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3-35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6-35 6 i

   بعد الحصول على الجذور ، نكتب

   x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6-35 6 i = = x + 1 6-35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

   تعليق

   إذا كانت قيمة المميز سالبة ، فستظل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية. ومن ثم يترتب على ذلك أننا لن نحللها إلى عوامل خطية.

   طرق لتحليل كثير الحدود من الدرجة أعلى من الثانية

   يفترض التحلل طريقة عالمية. تستند معظم الحالات إلى نتيجة طبيعية لنظرية بيزوت. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تحديد قيمة الجذر x 1 وتقليل درجته عن طريق القسمة على كثير الحدود على 1 بالقسمة على (x - x 1). يحتاج كثير الحدود الناتج إلى إيجاد الجذر × 2 ، وتكون عملية البحث دورية حتى نحصل على توسع كامل.

   إذا لم يتم العثور على الجذر ، فسيتم استخدام طرق أخرى للعوامل: التجميع ، المصطلحات الإضافية. يفترض هذا الموضوع حل المعادلات ذات القوى الأعلى والمعاملات الصحيحة.

   إخراج العامل المشترك من الأقواس

   ضع في اعتبارك الحالة التي يكون فيها المصطلح الحر مساويًا للصفر ، فإن صيغة كثير الحدود تصبح P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + أ 1 س.

   يمكن ملاحظة أن جذر كثير الحدود سيكون مساويًا لـ x 1 \ u003d 0 ، ثم يمكنك تمثيل كثير الحدود في شكل تعبير P n (x) \ u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 +.. + a 1)

   تعتبر هذه الطريقة أن تأخذ العامل المشترك من الأقواس.

   مثال 5

   حلل كثير الحدود من الدرجة الثالثة إلى عوامل 4 x 3 + 8 x 2 - x.

   قرار

   نرى أن x 1 \ u003d 0 هو جذر كثير الحدود المعطى ، ثم يمكننا وضع أقواس على x من التعبير بالكامل. نحن نحصل:

   4 × 3 + 8 × 2 - س = س (4 × 2 + 8 × - 1)

   دعنا ننتقل إلى إيجاد جذور المثلث التربيعي 4 x 2 + 8 x - 1. لنجد المميز والجذور:

   د = 8 2-4 4 (- 1) = 80 × 1 = - 8 + د 2 4 = - 1 + 5 2 × 2 = - 8 - د 2 4 = - 1-5 2

   ثم يتبع ذلك

   4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1-5 2 = 4 x x + 1-5 2 x + 1 + 5 2

   بادئ ذي بدء ، لنأخذ في الاعتبار طريقة تحليل تحتوي على معاملات عدد صحيح على شكل P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 ، حيث معامل أعلى قوة هو 1.

   عندما يكون لكثير الحدود جذور صحيحة ، فإنها تعتبر قواسم على المصطلح الحر.

   مثال 6

   انشر التعبير f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2-9 x - 18.

   قرار

   ضع في اعتبارك ما إذا كانت هناك جذور صحيحة. من الضروري كتابة قواسم الرقم - 18. حصلنا على ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ± 6 ، ± 9 ، ± 18. ويترتب على ذلك أن كثيرة الحدود لها جذور صحيحة. يمكنك التحقق وفقًا لمخطط هورنر. إنه ملائم للغاية ويسمح لك بالحصول على معاملات التمدد لكثير الحدود بسرعة:

   ويترتب على ذلك أن x \ u003d 2 و x \ u003d - 3 هما جذور كثير الحدود الأصلي ، والذي يمكن تمثيله كمنتج للنموذج:

   f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2-9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (× 2 + 2 × + 3)

   ننتقل إلى تحلل ثلاثي الحدود المربع بالشكل x 2 + 2 x + 3.

   بما أن المميز سالب ، فهذا يعني أنه لا توجد جذور حقيقية.

   إجابه:و (س) \ u003d × 4 + 3 × 3 - × 2-9 × - 18 \ u003d (س - 2) (س + 3) (× 2 + 2 × + 3)

   تعليق

   يُسمح باستخدام اختيار الجذر وتقسيم كثير الحدود بواسطة كثير الحدود بدلاً من مخطط هورنر. دعونا ننتقل إلى النظر في توسيع كثير الحدود الذي يحتوي على معاملات عدد صحيح على شكل P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 ، أعلىها لا يساوي واحدًا.

   تحدث هذه الحالة للكسور المنطقية الكسرية.

   مثال 7

   حلل f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 إلى عوامل.

   قرار

   من الضروري تغيير المتغير y = 2 x ، يجب على المرء أن ينتقل إلى كثير الحدود مع معاملات تساوي 1 عند أعلى درجة. عليك أن تبدأ بضرب التعبير في 4. لقد حصلنا على ذلك

   4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

   عندما يكون للدالة الناتجة من النموذج g (y) \ u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 جذور صحيحة ، فإن اكتشافها يكون من بين قواسم المصطلح الحر. سيبدو الإدخال كما يلي:

   ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ± 4 ، ± 5 ، ± 6 ، ± 10 ، ± 12 ، ± 15 ، ± 20 ، ± 30 ، ± 60

   دعنا ننتقل إلى حساب الدالة g (y) عند هذه النقاط لنحصل على صفر نتيجة لذلك. لقد حصلنا على ذلك

   ز (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 جم (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 جم (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 جم (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 جم (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 جم (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 جم (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 جم (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 جم (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 جم (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

   نحصل على أن y \ u003d - 5 هو جذر معادلة النموذج y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ، مما يعني أن x \ u003d y 2 \ u003d - 5 2 هو جذر الوظيفة الأصلية.

   المثال 8

   من الضروري القسمة على عمود 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 على x + 5 2.

   قرار

   نكتب ونحصل على:

   2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

   سيستغرق فحص القواسم وقتًا طويلاً ، لذلك من الأفضل أخذ تحليل ثلاثي الحدود المربّع الناتج بالشكل x 2 + 7 x + 3 إلى عوامل. من خلال المعادلة بالصفر ، نجد المميز.

   س 2 + 7 س + 3 = 0 د = 7 2-4 1 3 = 37 × 1 = - 7 + 37 2 × 2 = - 7 - 37 2 ⇒ س 2 + 7 س + 3 = س + 7 2 - 37 2 × + 7 2 + 37 2

   ومن ثم يتبع ذلك

   2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

   الحيل الاصطناعية عند تحليل كثير الحدود

   الجذور العقلانية ليست متأصلة في كل كثيرات الحدود. للقيام بذلك ، تحتاج إلى استخدام طرق خاصة للعثور على العوامل. ولكن لا يمكن تحلل كل كثيرات الحدود أو تمثيلها كمنتج.

   طريقة التجميع

   هناك حالات يمكنك فيها تجميع مصطلحات كثير الحدود لإيجاد عامل مشترك وإزالته من الأقواس.

   المثال 9

   حلل كثير الحدود إلى عوامل x 4 + 4 x 3 - x 2-8 x - 2.

   قرار

   نظرًا لأن المعاملات هي أعداد صحيحة ، فمن المفترض أن تكون الجذور أيضًا أعدادًا صحيحة. للتحقق ، نأخذ القيم 1 و - 1 و 2 و - 2 لحساب قيمة كثير الحدود عند هذه النقاط. لقد حصلنا على ذلك

   1 4 + 4 1 3-1 2-8 1 - 2 = - 6 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2-8 2 - 2 = 26 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2-8 (- 2) - 2 = - 6 0

   هذا يدل على عدم وجود جذور ، فمن الضروري استخدام طريقة مختلفة للتحلل والحل.

   التجميع مطلوب:

   x 4 + 4 x 3 - x 2-8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2-8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3-8 س) + س 2-2 = = س 2 (س 2-2) + 4 س (س 2-2) + س 2-2 = = (س 2-2) (س 2 + 4 س + 1)

   بعد تجميع كثير الحدود الأصلي ، من الضروري تمثيلها على أنها حاصل ضرب اثنين من ثلاثي الحدود المربعة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى التحليل. حصلنا على ذلك

   س 2-2 = 0 × 2 = 2 × 1 = 2 × 2 = - 2 × 2 - 2 = س - 2 × + 2 × 2 + 4 × + 1 = 0 د = 4 2-4 1 1 = 12 س 1 = - 4 - د 2 1 = - 2 - 3 × 2 = - 4 - د 2 1 = - 2 - 3 ⇒ × 2 + 4 × + 1 = س + 2 - 3 × + 2 + 3

   x 4 + 4 x 3 - x 2-8 x - 2 = x 2-2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

   تعليق

   لا تعني بساطة التجميع أنه من السهل اختيار المصطلحات. لا توجد طريقة محددة لحلها ، لذلك من الضروري استخدام نظريات وقواعد خاصة.

   المثال 10

   حلل كثير الحدود إلى عوامل x 4 + 3 x 3 - x 2-4 x + 2.

   قرار

   كثير الحدود المعطى ليس له جذور صحيحة. يجب تجميع المصطلحات. لقد حصلنا على ذلك

   × 4 + 3 × 3 - × 2-4 × + 2 = (× 4 + × 3) + (2 × 3 + 2 × 2) + (- 2 × 2 - 2 ×) - × 2 - 2 × + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x) (x 2 +) 2 × - 2) - (× 2 + 2 × - 2) = (× 2 + × - 1) (× 2 + 2 × - 2)

   بعد العوملة ، حصلنا على ذلك

   x 4 + 3 x 3 - x 2-4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2

   استخدام الاختصار في الضرب وصيغ نيوتن ذات الحدين لتحليل كثير الحدود إلى عوامل

   غالبًا لا يوضح المظهر دائمًا طريقة الاستخدام أثناء التحلل. بعد إجراء التحولات ، يمكنك بناء خط يتكون من مثلث باسكال ، أو يطلق عليه اسم نيوتن ذي الحدين.

   المثال 11

   حلل كثير الحدود إلى عوامل x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

   قرار

   من الضروري تحويل التعبير إلى النموذج

   x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

   يُشار إلى تسلسل معاملات المجموع بين الأقواس بالتعبير x + 1 4.

   إذن لدينا x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

   بعد تطبيق فرق المربعات نحصل عليها

   x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 س + 1 2 + 3

   ضع في اعتبارك التعبير الموجود في القوس الثاني. من الواضح أنه لا توجد خيول هناك ، لذلك يجب تطبيق معادلة فرق المربعات مرة أخرى. نحصل على تعبير مثل

   x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

   المثال 12

   حلل x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 إلى عوامل.

   قرار

   دعونا نغير التعبير. لقد حصلنا على ذلك

   x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

   من الضروري تطبيق صيغة الضرب المختصر لفرق المكعبات. نحن نحصل:

   س 3 + 6 س 2 + 12 س + 6 = (س + 2) 3-2 = = س + 2 - 2 3 س + 2 2 + 2 3 س + 2 + 4 3 = س + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

   طريقة لاستبدال متغير عند تحليل كثير الحدود إلى عوامل

   عند تغيير متغير ، يتم تقليل الدرجة ويتم تحليل كثير الحدود إلى عوامل.

   المثال 13

   حلل كثير الحدود إلى عوامل بالصيغة x 6 + 5 x 3 + 6.

   قرار

   حسب الشرط ، من الواضح أنه من الضروري إجراء استبدال y = x 3. نحن نحصل:

   س 6 + 5 س 3 + 6 = ص = س 3 = ص 2 + 5 ص + 6

   جذور المعادلة التربيعية الناتجة هي y = - 2 و y = - 3 ، إذن

   س 6 + 5 س 3 + 6 = ص = س 3 = ص 2 + 5 ص + 6 = ص + 2 ص + 3 = س 3 + 2 س 3 + 3

   من الضروري تطبيق صيغة الضرب المختصر لمجموع المكعبات. نحصل على تعبيرات النموذج:

   س 6 + 5 س 3 + 6 = ص = س 3 = ص 2 + 5 ص + 6 = ص + 2 ص + 3 = س 3 + 2 س 3 + 3 = س + 2 3 س 2 - 2 3 س + 4 3 × + 3 3 × 2-3 3 × + 9 3

   أي أننا حصلنا على التوسع المطلوب.

   ستساعد الحالات التي تمت مناقشتها أعلاه في التفكير في كثيرات الحدود والتعامل معها بطرق مختلفة.

   إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

   كثير الحدود هو تعبير يتكون من مجموع المونوميرات. الأخير هو نتاج ثابت (رقم) وجذر (أو جذور) التعبير إلى القوة k. في هذه الحالة ، يتحدث المرء عن كثير حدود من الدرجة k. يتضمن تحلل كثير الحدود تحويل التعبير ، حيث يتم استبدال المصطلحات بالعوامل. دعونا نفكر في الطرق الرئيسية للقيام بهذا النوع من التحول.

   طريقة لتوسيع كثير الحدود عن طريق استخراج عامل مشترك

   تعتمد هذه الطريقة على قوانين قانون التوزيع. إذن ، mn + mk = m * (n + k).

   • مثال:قم بتوسيع 7y 2 + 2 شراء و 2 م 3-12 م 2 + 4 لومن.

   7 سنوات 2 + 2 شراء = ص * (7 سنوات + 2 ش) ،

   2 م 3 - 12 م 2 + 4 م = 2 م (م 2-6 م + 2 لتر).

   ومع ذلك ، قد لا يتم دائمًا العثور على العامل الموجود بالضرورة في كل كثير الحدود ، لذا فإن هذه الطريقة ليست عالمية.

   طريقة التوسع متعدد الحدود على أساس صيغ الضرب المختصرة

   صيغ الضرب المختصرة صالحة لكثير الحدود من أي درجة. بشكل عام ، يبدو تعبير التحويل كما يلي:

   u k - l k = (u - l) (u k-1 + u k-2 * l + u k-3 * l 2 + ... u * l k-2 + l k-1) ، حيث k تمثل الأعداد الطبيعية.

   في أغلب الأحيان في الممارسة العملية ، يتم استخدام صيغ كثيرة الحدود من الرتبتين الثانية والثالثة:

   ش 2 - لتر 2 \ u003d (ش - ل) (ش + ل) ،

   u 3 - l 3 \ u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2) ،

   u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).

   • مثال:قم بتوسيع 25p 2 - 144b 2 و 64 م 3 - 8 لتر 3.

   25 ص 2 - 144 ب 2 \ u003d (5 ص - 12 ب) (5 ص + 12 ب) ،

   64 م 3-8 لتر 3 = (4 م) 3 - (2 لتر) 3 = (4 م - 2 لتر) ((4 م) 2 + 4 م * 2 لتر + (2 لتر) 2) = (4 م - 2 لتر) (16 م 2 + 8 مل + 4 لتر 2 ).

   
   

   طريقة التحلل متعدد الحدود - تجميع مصطلحات التعبير

   تعكس هذه الطريقة بطريقة ما تقنية استخلاص العامل المشترك ، ولكن لها بعض الاختلافات. على وجه الخصوص ، قبل عزل العامل المشترك ، يجب على المرء تجميع المونوميل. يعتمد التجميع على قواعد القوانين النقابية والتبادلية.

   جميع المونوميل الواردة في التعبير مقسمة إلى مجموعات ، في كل منها معنى عامبحيث يكون العامل الثاني هو نفسه في جميع المجموعات. بشكل عام ، يمكن تمثيل طريقة التحلل هذه كتعبير:

   pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p (l + s) + k (l + s) ،

   pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

   • مثال:قم بتوسيع 14mn + 16ln - 49m - 56l.

   14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l) (2n - 7).

   
   

   طريقة التحلل متعدد الحدود - تشكيل مربع كامل

   هذه الطريقة هي واحدة من أكثر الطرق فعالية في سياق تحلل كثير الحدود. في المرحلة الأولية ، من الضروري تحديد المونوميرات التي يمكن "طيها" في مربع الفرق أو المجموع. لهذا ، يتم استخدام إحدى العلاقات التالية:

   (ع - ب) 2 \ u003d ص 2 - 2pb + ب 2 ،

   • مثال:انشر التعبير u 4 + 4u 2-1.

   من بين أحادياتها ، نفرد المصطلحات التي تشكل مربعًا كاملاً: u 4 + 4u 2-1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4-4-1 =

   = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4-1 \ u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

   أكمل التحويل باستخدام قواعد الضرب المختصر: (u 2 + 2) 2-5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

   الذي - التي. u 4 + 4u 2-1 = (u 2 + 2 - 5) (u 2 + 2 + √5).