لوغاريتم الوحدة. خواص اللوغاريتمات وأمثلة على حلولها. الدليل الشامل (2019). مشتق ln x
محور هذه المقالة هو اللوغاريتم. وسنقدم هنا تعريفًا للوغاريتم، ونبين التدوين المقبول، ونعطي أمثلة على اللوغاريتمات، ونتحدث عن اللوغاريتمات الطبيعية والعشرية. بعد ذلك سننظر في الهوية اللوغاريتمية الأساسية.
التنقل في الصفحة.
تعريف اللوغاريتم
ينشأ مفهوم اللوغاريتم عند حل مشكلة بمعنى عكسي معين، عندما تحتاج إلى العثور على أس من قيمة الأس المعروفة وقاعدة معروفة.
ولكن يكفي مقدمات، حان الوقت للإجابة على سؤال “ما هو اللوغاريتم”؟ دعونا نعطي التعريف المقابل.
تعريف.
لوغاريتم b للقاعدة a، حيث a>0 وa≠1 وb>0 هو الأس الذي تحتاج إلى رفع الرقم a إليه للحصول على b نتيجة لذلك.
في هذه المرحلة، نلاحظ أن الكلمة المنطوقة "لوغاريتم" يجب أن تثير على الفور سؤالين للمتابعة: "ما العدد" و"على أي أساس". بمعنى آخر، ببساطة لا يوجد لوغاريتم، ولكن فقط لوغاريتم رقم لأساس ما.
دعونا ندخل على الفور تدوين اللوغاريتم: يُشار عادةً إلى لوغاريتم الرقم b للأساس a بالرمز log a b. لوغاريتم الرقم b إلى الأساس e واللوغاريتم إلى الأساس 10 لهما تسميات خاصة بهما lnb وlogb، على التوالي، أي أنهم لا يكتبون log e b، ولكن lnb، وليس log 10 b، ولكن lgb.
الآن يمكننا أن نعطي : .
والسجلات 
لا معنى له، ففي الأول منهما رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم، وفي الثانية رقم سالب في الأساس، وفي الثالثة رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم ووحدة فيها القاعدة.
الآن دعونا نتحدث عن قواعد قراءة اللوغاريتمات. تتم قراءة السجل a b على أنه "لوغاريتم b إلى الأساس a". على سبيل المثال، log 2 3 هو لوغاريتم ثلاثة للأساس 2، وهو لوغاريتم نقطتين وثلثين إلى الجذر التربيعي الأساسي لخمسة. يسمى اللوغاريتم للأساس e اللوغاريتم الطبيعي، والرمز lnb يقرأ "اللوغاريتم الطبيعي لـ b". على سبيل المثال، ln7 هو اللوغاريتم الطبيعي للعدد سبعة، وسنقرأه على أنه اللوغاريتم الطبيعي للعدد pi. اللوغاريتم ذو الأساس 10 له أيضًا اسم خاص - اللوغاريتم العشري، وتتم قراءة lgb كـ "اللوغاريتم العشري لـ b". على سبيل المثال، lg1 هو اللوغاريتم العشري لواحد، وlg2.75 هو اللوغاريتم العشري لـ 2.75 جزء من مائة.
يجدر بنا أن نتحدث بشكل منفصل عن الشروط a>0 وa≠1 وb>0، والتي بموجبها يتم تقديم تعريف اللوغاريتم. دعونا نوضح من أين تأتي هذه القيود. إن المساواة في الصيغة التي تسمى ، والتي تتبع مباشرة تعريف اللوغاريتم المذكور أعلاه، ستساعدنا على القيام بذلك.
لنبدأ بـ ≠1. بما أن واحد لأي قوة يساوي واحدًا، فإن المساواة يمكن أن تكون صحيحة فقط عندما يكون b=1، لكن log 1 1 يمكن أن يكون أي رقم حقيقي. لتجنب هذا الغموض، يفترض a≠1.
دعونا نبرر مدى ملاءمة الشرط a>0. مع a=0، حسب تعريف اللوغاريتم، سيكون لدينا مساواة، وهو أمر ممكن فقط مع b=0. لكن log 0 0 يمكن أن يكون أي رقم حقيقي غير الصفر، حيث أن الصفر مرفوعًا لأي قوة غير الصفر هو صفر. الشرط a≠0 يسمح لنا بتجنب هذا الغموض. وعندما أ<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
أخيرًا، الشرط b>0 يتبع من عدم المساواة a>0، حيث أن قيمة القوة ذات الأساس الموجب a تكون دائمًا موجبة.
لاختتام هذه النقطة، لنفترض أن التعريف المعلن للوغاريتم يسمح لك بالإشارة فورًا إلى قيمة اللوغاريتم عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم هو قوة معينة للقاعدة. في الواقع، تعريف اللوغاريتم يسمح لنا بالقول أنه إذا كانت b=a p، فإن لوغاريتم الرقم b للأساس a يساوي p. أي أن سجل المساواة a a p =p صحيح. على سبيل المثال، نحن نعلم أن 2 3 = 8، ثم سجل 2 8 = 3. سنتحدث أكثر عن هذا في المقال.
اللوغاريتم ذو القاعدة أهي وظيفة ذ (خ) = سجل س، معكوس الدالة الأسية ذات الأساس a: x (ص) = ص.
اللوغاريتم العشريهو اللوغاريتم لأساس الرقم 10 : سجل × ≡ سجل 10 ×.
اللوغاريتم الطبيعيهو اللوغاريتم لقاعدة البريد: ln x ≡ سجل e x.
2,718281828459045...
;
.
يتم الحصول على الرسم البياني للوغاريتم من الرسم البياني للدالة الأسية عن طريق عكسها بالنسبة للخط المستقيم y = x. على اليسار توجد رسوم بيانية للدالة y (خ) = سجل سلأربع قيم قواعد اللوغاريتم: أ = 2 ، أ = 8 ، أ = 1/2 و = 1/8 . يوضح الرسم البياني أنه عندما يكون > 1 اللوغاريتم يزيد رتابة. ومع زيادة x، يتباطأ النمو بشكل ملحوظ. في 0 < a < 1 اللوغاريتم يتناقص رتابة.
خصائص اللوغاريتم
المجال، مجموعة من القيم، متزايدة، متناقصة
اللوغاريتم هو دالة رتيبة، لذلك ليس لديها القيم القصوى. يتم عرض الخصائص الرئيسية للوغاريتم في الجدول.
| اِختِصاص | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| مدى من القيم | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| روتيني | يزيد رتابة | يتناقص رتابة |
| أصفار، ص = 0 | س = 1 | س = 1 |
| نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي x = 0 | لا | لا |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
القيم الخاصة
يسمى اللوغاريتم للأساس 10 اللوغاريتم العشريويرمز لها على النحو التالي:
اللوغاريتم للقاعدة همُسَمًّى اللوغاريتم الطبيعي:
الصيغ الأساسية للوغاريتمات
خصائص اللوغاريتم الناشئة عن تعريف الدالة العكسية:
الخاصية الرئيسية للوغاريتمات وعواقبها
صيغة استبدال القاعدة
اللوغاريتمهي العملية الرياضية لأخذ اللوغاريتم. عند أخذ اللوغاريتمات، يتم تحويل منتجات العوامل إلى مجموع المصطلحات.
التقويةهي عملية رياضية عكسية للوغاريتم. أثناء التقوية، يتم رفع قاعدة معينة إلى درجة التعبير التي يتم تنفيذ التقوية عليها. في هذه الحالة، يتم تحويل مجموع المصطلحات إلى منتجات العوامل.
إثبات الصيغ الأساسية للوغاريتمات
تتبع الصيغ المتعلقة باللوغاريتمات صيغ الدوال الأسية ومن تعريف الدالة العكسية.
النظر في خاصية الدالة الأسية
.
ثم
.
دعونا نطبق خاصية الدالة الأسية
:
.
دعونا نثبت صيغة الاستبدال الأساسية.
;
.
بافتراض ج = ب، لدينا:
وظيفة عكسية
معكوس اللوغاريتم للأساس a هو دالة أسية ذات الأس a.
اذا ثم
اذا ثم
مشتق من اللوغاريتم
مشتق من لوغاريتم المعامل x:
.
مشتق من الترتيب ن:
.
اشتقاق الصيغ > > >
للعثور على مشتقة اللوغاريتم، يجب اختزاله إلى الأساس ه.
;
.
أساسي
يتم حساب تكامل اللوغاريتم عن طريق التكامل بالأجزاء: .
لذا،
التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة
خذ بعين الاعتبار دالة الأعداد المركبة ض:
.
دعونا نعبر عن عدد مركب ضعبر الوحدة النمطية صوالحجة φ
:
.
ثم باستخدام خصائص اللوغاريتم نحصل على:
.
أو
ومع ذلك الحجة φ
لم يتم تعريفها بشكل فريد. إذا وضعت
، حيث n عدد صحيح،
ثم سيكون نفس الرقم لمختلف ن.
ولذلك، فإن اللوغاريتم، كدالة لمتغير معقد، ليس دالة ذات قيمة واحدة.
توسيع سلسلة الطاقة
عندما يحدث التوسع:
مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.
لذلك، لدينا قوى اثنين. إذا أخذت الرقم من السطر السفلي، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي سيتعين عليك رفع اثنين إليها للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال، للحصول على 16، عليك رفع اثنين إلى القوة الرابعة. وللحصول على 64، عليك رفع اثنين إلى القوة السادسة. ويمكن ملاحظة ذلك من الجدول.
والآن تعريف اللوغاريتم:
لوغاريتم x الأساسي هو القوة التي يجب رفع a إليها للحصول على x.
تدوين: log a x = b، حيث a هي القاعدة، x هي الوسيطة، b هو ما يساوي اللوغاريتم فعليًا.
على سبيل المثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (اللوغاريتم ذو الأساس 2 للرقم 8 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). بنفس النجاح، سجل 2 64 = 6، حيث أن 2 6 = 64.
تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لقاعدة معينة باللوغاريتم. لذا، دعونا نضيف سطرًا جديدًا إلى جدولنا:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| سجل 2 2 = 1 | سجل 2 4 = 2 | سجل 2 8 = 3 | سجل 2 16 = 4 | سجل 2 32 = 5 | سجل 2 64 = 6 |
لسوء الحظ، لا يتم حساب جميع اللوغاريتمات بهذه السهولة. على سبيل المثال، حاول العثور على السجل 2 5. الرقم 5 غير موجود في الجدول، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سيكون في مكان ما في الفاصل الزمني. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
تسمى هذه الأرقام غير عقلانية: يمكن كتابة الأرقام بعد العلامة العشرية إلى ما لا نهاية، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فمن الأفضل ترك الأمر على هذا النحو: سجل 2 5، سجل 3 8، سجل 5 100.
من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم هو تعبير ذو متغيرين (الأساس والوسيطة). كثير من الناس يخلطون في البداية بين مكان الأساس ومكان الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:
[تعليق على الصورة]
أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. يتذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي يجب بناء القاعدة فيها من أجل الحصول على وسيطة. هي القاعدة المرفوعة إلى قوة - وهي مظللة باللون الأحمر في الصورة. اتضح أن القاعدة تكون دائمًا في الأسفل! أخبر طلابي بهذه القاعدة الرائعة في الدرس الأول - ولا ينشأ أي ارتباك.
لقد توصلنا إلى التعريف - كل ما تبقى هو معرفة كيفية حساب اللوغاريتمات، أي. تخلص من علامة "السجل". في البداية، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين تنبثق من التعريف:
- يجب أن تكون الحجة والقاعدة دائمًا أكبر من الصفر. يأتي هذا من تعريف الدرجة بواسطة الأس العقلاني، والذي يتم تقليل تعريف اللوغاريتم إليه.
- يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الواحد، حيث أن الواحد يظل واحدًا بأي درجة. ولهذا السبب، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرتفع الإنسان للحصول على اثنين" لا معنى له. لا يوجد مثل هذه الدرجة!
تسمى هذه القيود نطاق القيم المقبولة(ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كما يلي: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم). على سبيل المثال، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1، لأن 0.5 = 2 −1.
ومع ذلك، نحن الآن نفكر فقط في التعبيرات الرقمية، حيث ليس من الضروري معرفة قيمة VA للوغاريتم. لقد تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مؤلفي المشاكل. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات حيز التنفيذ، ستصبح متطلبات DL إلزامية. بعد كل شيء، قد يحتوي الأساس والحجة على إنشاءات قوية جدًا لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.
الآن دعونا نلقي نظرة على المخطط العام لحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:
- عبر عن الأساس a والوسيطة x كقوة بأقل قاعدة ممكنة أكبر من واحد. على طول الطريق، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية؛
- حل معادلة المتغير b: x = a b ;
- سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.
هذا كل شئ! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فسيكون هذا مرئيًا بالفعل في الخطوة الأولى. يعد شرط أن يكون الأساس أكبر من واحد أمرًا مهمًا للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط الحسابات إلى حد كبير. الأمر نفسه ينطبق على الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية، فسيكون هناك عدد أقل من الأخطاء.
دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط باستخدام أمثلة محددة:
مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 5 25
- دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 5 2 ;
- لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 5 25 = ب ⇒ (5 1) ب = 5 2 ⇒ 5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2; - تلقينا الجواب: 2.
مهمة. احسب اللوغاريتم:
[تعليق على الصورة]
مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 4 64
- دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة اثنين: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 4 64 = ب ⇒ (2 2) ب = 2 6 ⇒ 2 2ب = 2 6 ⇒ 2ب = 6 ⇒ ب = 3; - تلقينا الجواب: 3.
مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 16 1
- لنتخيل القاعدة والوسيطة كقوة لاثنين: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 16 1 = ب ⇒ (2 4) ب = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ ب = 0; - لقد تلقينا الجواب: 0.
مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 7 14
- لنتخيل القاعدة والحجة كقوة لسبعة: 7 = 7 1 ؛ لا يمكن تمثيل 14 كقوة لسبعة، لأن 7 1< 14 < 7 2 ;
- ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يحسب؛
- الجواب هو لا تغيير: سجل 7 14.
ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف يمكنك التأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ الأمر بسيط جدًا، ما عليك سوى تحليله إلى عوامل أولية. وإذا لم يكن من الممكن جمع هذه العوامل في قوى لها نفس الأسس، فإن العدد الأصلي ليس قوة محددة.
مهمة. معرفة ما إذا كانت الأرقام هي القوى الدقيقة: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - الدرجة الدقيقة، لأن هناك مضاعف واحد فقط؛
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ليست قوة دقيقة، حيث أن هناك عاملين: 3 و 2؛
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة؛
35 = 7 · 5 - مرة أخرى ليست قوة محددة؛
14 = 7 · 2 - مرة أخرى ليست درجة محددة؛
لاحظ أيضًا أن الأعداد الأولية نفسها هي دائمًا قوى دقيقة لذاتها.
اللوغاريتم العشري
بعض اللوغاريتمات شائعة جدًا بحيث يكون لها اسم ورمز خاصان.
اللوغاريتم العشري لـ x هو اللوغاريتم للأساس 10، أي. القوة التي يجب رفع الرقم 10 إليها للحصول على الرقم x. التسمية: إل جي إكس.
على سبيل المثال، سجل 10 = 1؛ إل جي 100 = 2; إل جي 1000 = 3 - إلخ.
من الآن فصاعدًا، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في كتاب مدرسي، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك، إذا لم تكن على دراية بهذا الترميز، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س
كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على اللوغاريتمات العشرية.
اللوغاريتم الطبيعي
هناك لوغاريتم آخر له تسمية خاصة به. في بعض النواحي، يكون أكثر أهمية من العلامة العشرية. نحن نتحدث عن اللوغاريتم الطبيعي.
اللوغاريتم الطبيعي لـ x هو اللوغاريتم للأساس e، أي. القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: ln x .
سيسأل الكثير: ما هو الرقم ه؟ هذا رقم غير نسبي، ولا يمكن العثور على قيمته الدقيقة وكتابتها. سأقدم الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459...
لن نخوض في التفاصيل حول ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = سجل e x
وهكذا ln e = 1؛ لن ه 2 = 2؛ لن ه 16 = 16 - الخ ومن ناحية أخرى، ln 2 هو عدد غير نسبي. بشكل عام، اللوغاريتم الطبيعي لأي رقم نسبي هو غير منطقي. باستثناء واحد بالطبع: ln 1 = 0.
بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية، فإن جميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.
اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فهناك قواعد تسمى هنا الخصائص الرئيسية.
تحتاج بالتأكيد إلى معرفة هذه القواعد - بدونها، لا يمكن حل أي مشكلة لوغاريتمية خطيرة. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.
جمع وطرح اللوغاريتمات
فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: السجل أ سوسجل أ ذ. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:
- سجل أ س+ سجل أ ذ=log أ (س · ذ);
- سجل أ س- سجل أ ذ=log أ (س : ذ).
إذن، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب، والفرق يساوي لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي أسباب متطابقة. إذا كانت الأسباب مختلفة، فهذه القواعد لا تعمل!
ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم أخذ أجزائه الفردية في الاعتبار (راجع الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألقِ نظرة على الأمثلة وانظر:
سجل 6 4 + سجل 6 9.
بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 − log 2 3.
القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل 2 48 - سجل 2 3 = سجل 2 (48: 3) = سجل 2 16 = 4.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3 135 − log 3 5.
مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
سجل 3 135 - سجل 3 5 = سجل 3 (135: 5) = سجل 3 27 = 3.
كما ترون، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة"، والتي لا يتم حسابها بشكل منفصل. ولكن بعد التحويلات يتم الحصول على أرقام طبيعية تماما. وتستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم، يتم تقديم التعبيرات الشبيهة بالاختبار بكل جدية (أحيانًا بدون أي تغييرات تقريبًا) في امتحان الدولة الموحدة.
استخراج الأس من اللوغاريتم
الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت قاعدة أو وسيطة اللوغاريتم قوة؟ ومن ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من إشارة اللوغاريتم وفق القواعد التالية:
ومن السهل أن نرى أن القاعدة الأخيرة تتبع القاعدة الأولى والثانية. ولكن من الأفضل أن تتذكرها على أي حال - ففي بعض الحالات سوف تقلل بشكل كبير من حجم العمليات الحسابية.
بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: أ > 0, أ ≠ 1, س> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا بالعكس، أي. يمكنك إدخال الأرقام قبل تسجيل اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6 .
دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12
مهمة. ابحث عن معنى العبارة:
[تعليق على الصورة]
لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. لدينا:
[تعليق على الصورة] أعتقد أن المثال الأخير يتطلب بعض التوضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة نحن نعمل فقط مع القاسم. لقد قدمنا أساس ووسيطة اللوغاريتم الموجود هناك في شكل قوى وأزلنا الأسس - لقد حصلنا على كسر "من ثلاثة طوابق".
الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0، يمكننا تبسيط الكسر - سيبقى 2/4 في المقام. ووفقا للقواعد الحسابية، يمكن نقل الأربعة إلى البسط، وهذا ما تم. وكانت النتيجة الجواب: 2.
الانتقال إلى أساس جديد
عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. وماذا لو كانت الأسباب مختلفة؟ ماذا لو لم تكن صلاحيات محددة لنفس العدد؟
تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:
دع سجل اللوغاريتم يعطى أ س. ثم لأي رقم جمثل ذلك ج> 0 و ج≠ 1، المساواة صحيحة:
[تعليق على الصورة]
على وجه الخصوص، إذا وضعنا ج = س، نحن نحصل:
[تعليق على الصورة]
ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل أساس ووسيطة اللوغاريتم، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.
نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.
ولكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:
مهمة. أوجد قيمة التعبير: سجل 5 16 سجل 2 25.
لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2سجل 2 5;
الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:
[تعليق على الصورة]وبما أن حاصل الضرب لا يتغير عند إعادة ترتيب العوامل، فقد ضربنا أربعة في اثنين بهدوء، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9 100 lg 3.
أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:
[تعليق على الصورة]الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:
[تعليق على الصورة]الهوية اللوغاريتمية الأساسية
في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة، سوف تساعدنا الصيغ التالية:
في الحالة الأولى العدد نيصبح مؤشرا على درجة الوقوف في الحجة. رقم نيمكن أن تكون أي شيء على الإطلاق، لأنها مجرد قيمة لوغاريتمية.
الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يطلق عليه: الهوية اللوغاريتمية الأساسية.
في الواقع، ماذا سيحدث إذا كان العدد برفع إلى هذه القوة أن العدد بلهذه القوة يعطي الرقم أ؟ هذا صحيح: تحصل على نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.
مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.
مهمة. ابحث عن معنى العبارة:
[تعليق على الصورة]
لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - ببساطة أخذ المربع من قاعدة اللوغاريتم ووسيطه. مع الأخذ بعين الاعتبار قواعد ضرب القوى ذات الأساس نفسه، نحصل على:
[تعليق على الصورة]إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)
الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي
في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يظهرون باستمرار في المشاكل، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".
- سجل أ أ= 1 هي وحدة لوغاريتمية. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: اللوغاريتم لأي قاعدة أمن هذه القاعدة ذاتها يساوي واحدًا.
- سجل أ 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. قاعدة أيمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كانت الوسيطة تحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفرًا! لأن أ 0 = 1 هو نتيجة مباشرة للتعريف.
هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.
أحد عناصر جبر المستوى البدائي هو اللوغاريتم. يأتي الاسم من اللغة اليونانية من كلمة "رقم" أو "قوة" ويعني القوة التي يجب رفع الرقم الموجود في القاعدة إليها للعثور على الرقم النهائي.
أنواع اللوغاريتمات
- سجل أ ب – لوغاريتم الرقم ب للأساس أ (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0);
- السجل ب - اللوغاريتم العشري (اللوغاريتم للأساس 10، أ = 10)؛
- ln b – اللوغاريتم الطبيعي (اللوغاريتم للأساس e، a = e).
كيفية حل اللوغاريتمات؟
لوغاريتم b للأساس a هو الأس الذي يتطلب رفع b إلى الأساس a. يتم نطق النتيجة التي تم الحصول عليها على النحو التالي: "لوغاريتم b إلى الأساس a." الحل للمشكلات اللوغاريتمية هو أنك تحتاج إلى تحديد القوة المعطاة بالأرقام من الأرقام المحددة. هناك بعض القواعد الأساسية لتحديد أو حل اللوغاريتم، وكذلك تحويل الترميز نفسه. وباستخدامها يتم حل المعادلات اللوغاريتمية وإيجاد المشتقات وحل التكاملات وتنفيذ العديد من العمليات الأخرى. في الأساس، حل اللوغاريتم نفسه هو تدوينه المبسط. فيما يلي الصيغ والخصائص الأساسية:
لأي ; أ> 0؛ أ ≠ 1 ولأي x ; ص> 0.
- سجل أ ب = ب – الهوية اللوغاريتمية الأساسية
- سجل 1 = 0
- اللوغاريتم أ = 1
- سجل أ (س ص) = سجل س + سجل ص
- سجل x/ y = سجل x – سجل y
- سجل 1/x = - سجل x
- سجل أ س ع = ص سجل أ س
- log a k x = 1/k log a x لـ k ≠ 0
- سجل أ س = سجل أ ج س ج
- log a x = log b x/ log b a - صيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة
- سجل أ س = 1/سجل س أ
كيفية حل اللوغاريتمات - تعليمات خطوة بخطوة للحل
- أولا، اكتب المعادلة المطلوبة.
يرجى ملاحظة: إذا كان اللوغاريتم الأساسي هو 10، فسيتم تقصير الإدخال، مما يؤدي إلى لوغاريتم عشري. إذا كان هناك عدد طبيعي e، فإننا نكتبه ونختصره إلى لوغاريتم طبيعي. وهذا يعني أن نتيجة جميع اللوغاريتمات هي القوة التي يتم رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.
مباشرة الحل يكمن في حساب هذه الدرجة. قبل حل تعبير باستخدام اللوغاريتم، يجب تبسيطه وفقًا للقاعدة، أي باستخدام الصيغ. يمكنك العثور على الهويات الرئيسية من خلال الرجوع قليلاً في المقالة.
عند جمع وطرح لوغاريتمات تحتوي على رقمين مختلفين ولكن بنفس الأساس، استبدلها بلوغاريتم واحد مع حاصل ضرب أو قسمة الرقمين b وc، على التوالي. في هذه الحالة، يمكنك تطبيق صيغة الانتقال إلى قاعدة أخرى (انظر أعلاه).
إذا كنت تستخدم تعبيرات لتبسيط اللوغاريتم، فهناك بعض القيود التي يجب مراعاتها. وهو: أن أساس اللوغاريتم a هو عدد موجب فقط، لكنه لا يساوي واحدًا. الرقم ب، مثل أ، يجب أن يكون أكبر من الصفر.
هناك حالات لن تتمكن فيها، من خلال تبسيط التعبير، من حساب اللوغاريتم عدديًا. يحدث أن مثل هذا التعبير لا معنى له، لأن العديد من القوى هي أرقام غير عقلانية. في ظل هذه الحالة، اترك قوة الرقم لوغاريتمًا.
