الإسقاط الهندسي المتجه. إسقاطات النواقل على محاور الإحداثيات. قم بتوسيع أ و ب من حيث متجهات الأساس

تنبؤالمتجه على المحور يسمى المتجه ، والذي يتم الحصول عليه بضرب الإسقاط القياسي لمتجه على هذا المحور ومتجه الوحدة لهذا المحور. على سبيل المثال ، إذا كانت x هي الإسقاط القياسيالمتجه أعلى المحور السيني ، ثم أ س أنا- إسقاطها المتجه على هذا المحور.

دل ناقلات الإسقاطتمامًا مثل المتجه نفسه ، ولكن مع فهرس المحور الذي يُسقط عليه المتجه. إذن ، إسقاط المتجه للمتجه أعلى المحور السيني أ x ( زيتيحرف يشير إلى متجه وعلامة منخفضة لاسم المحور) أو (حرف غير غامق يشير إلى متجه ، ولكن مع وجود سهم في الأعلى (!) ورمز سفلي لاسم المحور).

الإسقاط العدديالمتجه لكل محور يسمى رقم، القيمة المطلقة لها تساوي طول مقطع المحور (في المقياس المحدد) المحاط بين إسقاطات نقطة البداية ونقطة نهاية المتجه. عادة بدلا من التعبير الإسقاط القياسيقل ببساطة - تنبؤ. يُشار إلى الإسقاط بنفس الحرف مثل المتجه المسقط (في الكتابة العادية غير الغامقة) ، مع حرف منخفض (عادةً) لاسم المحور الذي يُسقط عليه هذا المتجه. على سبيل المثال ، إذا تم إسقاط متجه على المحور x أ،ثم يُشار إلى إسقاطه بالحرف x. عند إسقاط نفس المتجه على محور آخر ، إذا كان المحور Y ، فسيتم الإشارة إلى إسقاطه على أنه y.

لحساب الإسقاط المتجهعلى محور (على سبيل المثال ، المحور X) ، من الضروري طرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية ، أي
و x \ u003d x k - x n.
إسقاط المتجه على المحور هو رقم.علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون الإسقاط موجبًا إذا كانت قيمة x k أكبر من قيمة x n ،

سالب إذا كانت قيمة x k أقل من قيمة x n

ويساوي صفرًا إذا كان x k يساوي x n.

يمكن أيضًا إيجاد إسقاط المتجه على المحور من خلال معرفة معامل المتجه والزاوية التي يصنعها مع هذا المحور.

يمكن أن نرى من الشكل أن أ س = أ كوس α

أي أن إسقاط المتجه على المحور يساوي منتج معامل المتجه وجيب الزاوية بين اتجاه المحور و اتجاه متجه. إذا كانت الزاوية حادة ، إذن
Cos α> 0 و a x> 0 ، وإذا كان منفرجًا ، فسيكون جيب تمام الزاوية المنفرجة سالبًا ، وسيكون إسقاط المتجه على المحور سالبًا أيضًا.

تعتبر الزوايا التي يتم عدها من المحور عكس اتجاه عقارب الساعة موجبة ، وفي الاتجاه - سلبية. ومع ذلك ، نظرًا لأن جيب التمام هو دالة زوجية ، أي ، Cos α = Cos (- α) ، عند حساب الإسقاطات ، يمكن حساب الزوايا في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة.

للعثور على إسقاط المتجه على محور ، يجب ضرب وحدة هذا المتجه بجيب تمام الزاوية بين اتجاه المحور واتجاه المتجه.

إحداثيات المتجهاتهي معاملات التركيبة الخطية الوحيدة الممكنة من المتجهات الأساسية في نظام الإحداثيات المختار والتي تساوي المتجه المحدد.

أين إحداثيات المتجه.

حاصل الضرب النقطي للناقلات

نتاج النواقل[- ذات أبعاد محدودة ناقلات الفضاءيتم تعريفه على أنه مجموع حاصل ضرب نفس مكونات المضاعف ثلاثة أبعاد.

على سبيل المثال ، S. p. أ = (أ 1 , ..., أ) و ب = (ب 1 , ..., ب ن):

(أ , ب ) = أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 + ... + أ ن ب ن

المحور هو الاتجاه. ومن ثم ، فإن الإسقاط على محور أو على خط موجه يعتبر هو نفسه. يمكن أن يكون الإسقاط جبريًا أو هندسيًا. من الناحية الهندسية ، يُفهم إسقاط المتجه على المحور على أنه متجه ، ومن الناحية الجبرية ، فهو رقم. بمعنى ، يتم استخدام مفاهيم إسقاط المتجه على المحور والإسقاط العددي للمتجه على المحور.

إذا كان لدينا محور L ومتجه غير صفري A B → ، فيمكننا بناء متجه A 1 B 1 ، للإشارة إلى إسقاط نقطتيه A 1 و B 1.

A 1 B → 1 سيكون إسقاط المتجه A B → على L.

التعريف 1

إسقاط المتجه على المحوريسمى المتجه ، حيث تكون بدايته ونهايته إسقاطات لبداية ونهاية المتجه المحدد. n p L A B → → من المعتاد الإشارة إلى إسقاط A B → على L. لإنشاء إسقاط على L ، قم بإسقاط الخطوط العمودية على L.

مثال 1

مثال على إسقاط متجه على محور.

على المستوى الإحداثي O x y ، تم تحديد النقطة M 1 (x 1 ، y 1). من الضروري بناء إسقاطات على O x و O y لصورة متجه نصف قطر النقطة M 1. لنحصل على إحداثيات المتجهات (x 1 ، 0) و (0 ، y 1).

اذا كان في السؤالحول إسقاط a → على غير صفري b → أو إسقاط a → على الاتجاه b → ، فإننا نعني إسقاط a → على المحور الذي يتطابق معه الاتجاه b →. يُشار إلى الإسقاط a → على الخط المحدد بواسطة b → n p b → a → →. من المعروف أنه عندما تكون الزاوية بين a → و b → ، يمكننا اعتبار n p b → a → → b → codirectional. في الحالة التي تكون فيها الزاوية منفرجة ، يتم توجيه n p b → a → → و b → بشكل معاكس. في حالة العمودية a → و b → ، و a → تساوي صفرًا ، فإن إسقاط a → على طول الاتجاه b → يكون متجهًا صفريًا.

السمة الرقمية لإسقاط المتجه على المحور هي الإسقاط العددي لمتجه على محور معين.

التعريف 2

الإسقاط العددي للمتجه على المحورقم باستدعاء رقم يساوي حاصل ضرب طول متجه معين وجيب الزاوية بين المتجه المحدد والمتجه الذي يحدد اتجاه المحور.

الإسقاط العددي لـ A B → على L يُرمز إليه n p L A B → و a → على b → - n p b → a →.

بناءً على الصيغة ، نحصل على n p b → a → = a → · cos a →، b → ^ ، حيث a → هو طول المتجه a → ، a ⇀ ، b → ^ هي الزاوية بين المتجهات a → و ب →.

نحصل على صيغة حساب الإسقاط العددي: n p b → a → = a → · cos a →، b → ^. إنه قابل للتطبيق للأطوال المعروفة a → و b → والزاوية بينهما. الصيغة قابلة للتطبيق للإحداثيات المعروفة a → و b → ، ولكن هناك نسخة مبسطة منها.

مثال 2

اكتشف الإسقاط العددي a → على خط مستقيم في الاتجاه b → بطول a → يساوي 8 والزاوية بينهما 60 درجة. بشرط أن يكون لدينا ⇀ = 8 ، أ ⇀ ، ب → ^ = 60 درجة. لذلك ، نعوض بالقيم العددية في الصيغة n p b ⇀ a → = a → · cos a →، b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4.

إجابه: 4.

مع cos المعروف (a → ، b → ^) = a ⇀ ، b → a → · b → ، لدينا → ، b → كمنتج قياسي لـ a → و b →. باتباع الصيغة n p b → a → = a → · cos a ⇀، b → ^ ، يمكننا العثور على الإسقاط العددي a → موجه على طول المتجه b → والحصول على n p b → a → = a →، b → b →. الصيغة تعادل التعريف الوارد في بداية الجملة.

التعريف 3

الإسقاط العددي للمتجه a → على المحور الذي يتزامن في الاتجاه مع b → هو نسبة المنتج القياسي للمتجهات a → و b → إلى الطول b →. الصيغة n p b → a → = a →، b → b → قابلة للتطبيق لإيجاد الإسقاط العددي لـ a → على خط مستقيم يتزامن في الاتجاه مع b → ، مع الإحداثيات المعروفة a → و b →.

مثال 3

معطى ب → = (- 3 ، 4). أوجد الإسقاط العددي a → = (1، 7) على L.

قرار

على المستوى الإحداثي n p b → a → = a →، b → b → له الشكل n p b → a → = a →، b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 مع a → = (a x، a y) و ب → = ب س ، ب ص. لإيجاد الإسقاط العددي للمتجه a → على المحور L ، تحتاج إلى: n p L a → = n p b → a → = a →، b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

إجابه: 5.

مثال 4

ابحث عن الإسقاط a → على L ، بالتزامن مع الاتجاه b → ، حيث يوجد a → = - 2 ، 3 ، 1 و b → = (3 ، - 2 ، 6). يتم إعطاء مساحة ثلاثية الأبعاد.

قرار

إذا كانت أ → = أ س ، أ ص ، أ ض و ب → = ب س ، ب ص ، ب ض احسب المنتج القياسي: أ ⇀ ، ب → = أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ض ب ع. نجد الطول b → بالصيغة b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. يتبع ذلك أن صيغة تحديد الإسقاط العددي a → ستكون: n p b → a ⇀ = a →، b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2.

نعوض بالقيم العددية: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7.

الجواب: - 6 7.

لنلقِ نظرة على العلاقة بين a → على L وطول إسقاط a → على L. ارسم محورًا L عن طريق إضافة a → و b → من نقطة إلى L ، وبعد ذلك نرسم خطًا عموديًا من نهاية a → إلى L ونشروعه على L. هناك 5 أشكال مختلفة للصور:

أولاًالحالة عندما تكون a → = n p b → a → → تعني a → = n p b → a → → ، وبالتالي n p b → a → = a → cos (a، → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → → → →.

ثانيةتشير الحالة إلى استخدام n p b → a → ⇀ = a → cos a →، b → لذلك n p b → a → = a → cos (a → b →) ^ = n p b → a → →.

الثالثتوضح الحالة أنه عندما n p b → a → → = 0 → نحصل على n p b ⇀ a → = a → cos (a → b → ^) = a → cos 90 ° = 0 ثم n p b → a → = 0 and n p b → a → = 0 = n p b → a → →.

الرابعةتظهر الحالة n p b → a → → = a → cos (180 ° - a →، b → ^) = - a → cos (a → b → ^) ، يتبع n p b → a → = a → cos (a →، b → ^) = - n p b → a → →.

الخامستظهر الحالة a → = n p b → a → → ، مما يعني a → = n p b → a → → ، وبالتالي لدينا n p b → a → = a → cos a → ، b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a →.

التعريف 4

الإسقاط العددي للمتجه a → على المحور L ، والذي يتم توجيهه مثل b → ، له معنى:

• طول إسقاط المتجه a → على L بشرط أن تكون الزاوية بين a → و b → أقل من 90 درجة أو تساوي 0: n p b → a → = n p b → a → → مع الشرط 0 ≤ (a → ، ب →) ^< 90 ° ;
• صفر تحت شرط العمودية a → و b →: n p b → a → = 0 عندما (a → ، b → ^) = 90 ° ؛
• طول الإسقاط a → على L ، مرات -1 عندما يكون هناك زاوية منفرجة أو مسطحة للمتجهات a → و b →: n p b → a → = - n p b → a → → مع 90 درجة< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

مثال 5

بالنظر إلى طول الإسقاط a → على L يساوي 2. أوجد الإسقاط العددي a → إذا كانت الزاوية 5 6 راديان.

قرار

يتضح من الحالة أن هذه الزاوية منفرجة: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

الجواب: - 2.

مثال 6

إذا كان المستوى O x y z طول المتجه a → يساوي 6 3 ، b → (- 2 ، 1 ، 2) بزاوية 30 درجة. ابحث عن إحداثيات الإسقاط a → على المحور L.

قرار

أولاً ، نحسب الإسقاط العددي للمتجه a →: n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9.

حسب الشرط ، تكون الزاوية حادة ، ثم الإسقاط العددي a → = هو طول إسقاط المتجه a →: n p L a → = n p L a → → = 9. توضح هذه الحالة أن المتجهات n p L a → → و b → موجهتان بشكل مشترك ، مما يعني أن هناك رقمًا t تكون المساواة فيه صحيحة: n p L a → → = t · b →. من هنا نرى أن n p L a → → = t b → ، لذا يمكننا إيجاد قيمة المعلمة t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

ثم n p L a → = 3 b → بإحداثيات إسقاط المتجه a → على المحور L هي b → = (- 2 ، 1 ، 2) ، حيث من الضروري ضرب القيم في 3 لدينا n p L a → → = (- 6، 3، 6). الجواب: (- 6 ، 3 ، 6).

من الضروري تكرار المعلومات التي تمت دراستها مسبقًا حول حالة العلاقة الخطية المتجهية المتجهة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

إجابه:

خصائص الإسقاط:

خصائص الإسقاط المتجه

خاصية 1.

يساوي إسقاط مجموع متجهين على المحور مجموع إسقاطات المتجهات على نفس المحور:

تتيح لك هذه الخاصية استبدال إسقاط مجموع المتجهات بمجموع توقعاتها والعكس صحيح.

خاصية 2.إذا تم ضرب المتجه بالرقم λ ، فسيتم أيضًا ضرب إسقاطه على المحور في هذا الرقم:

الملكية 3.

يساوي إسقاط المتجه على المحور L حاصل ضرب مقياس المتجه وجيب الزاوية بين المتجه والمحور:

المحور الرأسي. تحلل المتجه من حيث متجهات الإحداثيات. إحداثيات المتجهات. تنسيق الخصائص

إجابه:

قطع من المحاور.

يتم أيضًا وصف نظام إحداثيات مستطيل (من أي بُعد) من خلال مجموعة من متجهات الوحدة المحاذاة مع محاور الإحداثيات. عدد العمليات يساوي أبعاد نظام الإحداثيات ، وكلها متعامدة مع بعضها البعض.

في الحالة ثلاثية الأبعاد ، عادةً ما يتم الإشارة إلى المآخذ

AND الرموز مع الأسهم ويمكن استخدامها أيضًا.

علاوة على ذلك ، في حالة نظام الإحداثيات الصحيح ، تكون الصيغ التالية ذات المنتجات المتجهة للمتجهات صالحة:

تحلل المتجه من حيث متجهات الإحداثيات.

يُشار إلى جذر محور الإحداثيات بالمحاور - بالمحاور - بواسطة (الشكل 1)

لأي متجه يقع في مستوى ما ، يحدث التحلل التالي:

إذا كان المتجه يقع في الفضاء ، ثم التوسع من حيث متجهات الوحدة لمحاور الإحداثيات له الشكل:

إحداثيات المتجهات:

لحساب إحداثيات متجه ، مع معرفة إحداثيات بدايته A (x1 ؛ y1) والإحداثيات (x2 ؛ y2) من نهايته B ، تحتاج إلى طرح إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية: (x2 - x1 ؛ y2 - y1).

تنسيق الخصائص.

ضع في اعتبارك خط إحداثيات مع الأصل عند النقطة O ومتجه الوحدة i. ثم بالنسبة لأي متجه a على هذا الخط: a = axi.

يسمى المحور الرقمي إحداثيات المتجه أ على محور الإحداثيات.

خاصية 1.عند إضافة المتجهات على المحور ، تتم إضافة إحداثياتها.

خاصية 2.عندما يتم ضرب المتجه في رقم ، يتم ضرب إحداثيها في هذا الرقم.

الناتج العددي من النواقل. ملكيات.

إجابه:

الناتج القياسي لمتجهين غير صفريين هو رقم ،

يساوي حاصل ضرب هذه المتجهات بواسطة جيب تمام الزاوية بينهما.

ملكيات:

1. المنتج القياسي له خاصية تبادلية: ab = ba

الناتج العددي لناقلات الإحداثيات. تحديد الناتج القياسي للمتجهات المعطاة بواسطة إحداثياتها.

إجابه:

المنتج النقطي (×) orts

(X)	أنا	ي	ك
أنا
ي
ك

تحديد الناتج القياسي للمتجهات المعطاة بواسطة إحداثياتها.

يمكن حساب الناتج القياسي لمتجهين ومعطى بواسطة إحداثياتهما بواسطة الصيغة

حاصل الضرب المتجه لاثنين من المتجهات. فيكتور خصائص المنتج.

إجابه:

تشكل ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى ثلاثيًا يمينيًا إذا كان الدوران من المتجه الأول إلى الثاني في عكس اتجاه عقارب الساعة من نهاية المتجه الثالث. إذا كان في اتجاه عقارب الساعة - ثم غادر. ، إذا لم يكن كذلك ، فعكس ذلك ( أظهر كيف أظهر باستخدام "المقابض")

حاصل ضرب متجه ألكل متجه بيسمى المتجه مع ماذا:

1. عمودي على النواقل أو ب

2. له طول يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المتكون عليها أو بثلاثة أبعاد

3. النواقل ، أ ، ب، و جتشكل الثلاثية الصحيحة من النواقل

ملكيات:

1.

3.

4.

منتج متجه لناقلات الإحداثيات. تحديد منتج المتجه للمتجهات المعطاة بواسطة إحداثياتها.

إجابه:

منتج متجه لناقلات الإحداثيات.

تحديد منتج المتجه للمتجهات المعطاة بواسطة إحداثياتها.

دع المتجهات a = (x1 ؛ y1 ؛ z1) و b = (x2 ؛ y2 ؛ z2) تُعطى من خلال إحداثياتها في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل O ، i ، j ، k ، والثالث i ، j ، k هو حق.

نقوم بتوسيع أ و ب من حيث نواقل الأساس:

أ = x 1 i + y 1 j + z 1 k، b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

باستخدام خصائص منتج المتجه ، نحصل عليها

[أ؛ ب] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2. (واحد)

من خلال تعريف المنتج المتجه ، نجد

= 0 ، = ك ، = - ي ،

= - ك ، = 0 ، = أنا ،

= ي ، = - أنا. = 0.

بالنظر إلى هذه المساواة ، يمكن كتابة الصيغة (1) على النحو التالي:

[أ؛ ب] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[أ؛ ب] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

تعطي الصيغة (2) تعبيرًا عن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين معطى بإحداثياتهما.

الصيغة الناتجة مرهقة. باستخدام تدوين المحددات ، يمكنك كتابتها بصيغة أخرى أكثر ملاءمة للتذكر:

عادة ما يتم كتابة الصيغة (3) بشكل أقصر:

أولاً ، دعنا نتذكر ما هو تنسيق المحور, إسقاط نقطة على محورو إحداثيات نقطة على المحور.

تنسيق المحورهو خط مستقيم يعطي اتجاه. يمكنك اعتباره متجهًا بمعامل كبير بشكل لا نهائي.

تنسيق المحوريُشار إليها بأي حرف: X ، Y ، Z ، s ، t ... عادةً ، يتم تحديد نقطة (بشكل تعسفي) على المحور ، والتي تسمى الأصل ، وكقاعدة عامة ، يُشار إليها بالحرف O. المسافات إلى أخرى يتم قياس النقاط التي تهمنا من هذه النقطة.

إسقاط نقطة على محور- هذه قاعدة العمود المتعامد المسقطة من هذه النقطة إلى المحور المعطى (الشكل 8). أي أن إسقاط نقطة على المحور هو نقطة.

إحداثيات النقطة لكل محورهو رقم ، قيمته المطلقة تساوي طول مقطع المحور (في المقياس المحدد) المحاط بين بداية المحور وإسقاط النقطة على هذا المحور. يتم أخذ هذا الرقم بعلامة زائد إذا كان إسقاط النقطة يقع في اتجاه المحور من بدايته وبعلامة ناقص إذا كان في الاتجاه المعاكس.

الإسقاط القياسي لمتجه على محور- هذه رقم، القيمة المطلقة لها تساوي طول مقطع المحور (في المقياس المحدد) المحاط بين إسقاطات نقطة البداية ونقطة نهاية المتجه. الأهمية! عادة بدلا من التعبير الإسقاط القياسي لمتجه على محوريقولون فقط - إسقاط متجه على محوروهي الكلمة العدديةخفضت. إسقاط متجهيُشار إليه بنفس الحرف مثل المتجه المسقط (في الكتابة العادية غير الغامقة) ، مع حرف منخفض (عادةً) لاسم المحور الذي يُسقط عليه هذا المتجه. على سبيل المثال ، إذا تم إسقاط متجه على المحور x أ،ثم يُشار إلى إسقاطه بالحرف x. عند إسقاط نفس المتجه على محور آخر ، على سبيل المثال ، المحور Y ، سيتم الإشارة إلى إسقاطه على أنه y (الشكل 9).

لكي يحسب إسقاط متجه على المحور(على سبيل المثال ، المحور X) من الضروري طرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية ، أي

و x \ u003d x k - x n.

يجب أن نتذكر: الإسقاط القياسي لمتجه على محور (أو ببساطة ، إسقاط متجه على محور) هو رقم (وليس متجه)!علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون الإسقاط موجبًا إذا كانت القيمة x k أكبر من القيمة x n ، وسالبة إذا كانت القيمة x k أقل من القيمة x n وتساوي صفرًا إذا كانت x k تساوي x n (الشكل 10).

يمكن أيضًا إيجاد إسقاط المتجه على المحور من خلال معرفة معامل المتجه والزاوية التي يصنعها مع هذا المحور.

يوضح الشكل 11 أن أ س = أ كوس α

أي أن إسقاط المتجه على المحور يساوي حاصل ضرب مقياس المتجه وجيب الزاوية بين اتجاه المحور واتجاه المتجه. إذا كانت الزاوية حادة ، فإن Cos α> 0 و a x> 0 ، وإذا كانت منفرجة ، فإن جيب تمام الزاوية المنفرجة يكون سالبًا ، وسيكون إسقاط المتجه على المحور سالبًا أيضًا.

تعتبر الزوايا التي يتم عدها من المحور عكس اتجاه عقارب الساعة موجبة ، وفي الاتجاه - سلبية. ومع ذلك ، نظرًا لأن جيب التمام هو دالة زوجية ، أي Cos α = Cos (- α) ، فعند حساب الإسقاطات ، يمكن حساب الزوايا في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة.

عند حل المشكلات ، غالبًا ما يتم استخدام الخصائص التالية للتوقعات: if

أ = ب + ج +…+ د، ثم أ س = ب س + ج س + ... + د س (بالمثل للمحاور الأخرى) ،

أ= م ب، ثم x = mb x (بالمثل بالنسبة للمحاور الأخرى).

الصيغة a x = a Cos α ستكون غالباًيجتمع عند حل المشاكل ، لذلك يجب أن يكون معروفا. تحتاج إلى معرفة قاعدة تحديد الإسقاط عن ظهر قلب!

يتذكر!

للعثور على إسقاط المتجه على محور ، يجب ضرب وحدة هذا المتجه بجيب تمام الزاوية بين اتجاه المحور واتجاه المتجه.

مرة أخرى - بسرعة!

دع متجهين ويتم إعطاؤهما في الفضاء. نضع جانبا من نقطة التعسفي اناقلات و. ركنبين المتجهات ويسمى أصغر الزوايا. يعني .

تأمل المحور لوقم برسم متجه وحدة عليه (أي ، متجه طوله يساوي واحدًا).

الزاوية بين المتجه والمحور لفهم الزاوية بين المتجهات و.

لذا دع لهو بعض المحاور وهو متجه.

للدلالة به أ 1و ب 1الإسقاطات على المحور لنقاط أو ب. دعونا نتظاهر بذلك أ 1لديه تنسيق × 1، أ ب 1- تنسيق x2على المحور ل.

ثم تنبؤمتجه لكل محور ليسمى الاختلاف × 1 – x2بين إحداثيات إسقاطات نهاية وبداية المتجه على هذا المحور.

إسقاط متجه على محور لسوف نشير.

من الواضح أنه إذا كانت الزاوية بين المتجه والمحور لثم حاد x2> × 1، والإسقاط x2 – × 1> 0 ؛ إذا كانت هذه الزاوية منفرجة ، إذن x2< × 1والإسقاط x2 – × 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси ل، من ثم x2= × 1و x2– × 1=0.

وهكذا ، فإن إسقاط المتجه على المحور لهو طول المقطع أ 1 ب 1مأخوذة بعلامة معينة. لذلك ، فإن إسقاط المتجه على المحور هو رقم أو عددي.

يتم تعريف إسقاط متجه على آخر بشكل مشابه. في هذه الحالة ، توجد إسقاطات نهايات هذا المتجه على الخط الذي يقع عليه المتجه الثاني.

دعونا نلقي نظرة على بعض من خصائص الإسقاط.

الأنظمة المعتمدة بشكل خطي والمستقلة بشكل خطي للمتجهات

لنأخذ في الاعتبار عدة نواقل.

تركيبة خطيةمن هذه المتجهات هي أي متجه للشكل ، حيث توجد بعض الأرقام. تسمى الأرقام معاملات التركيبة الخطية. ويقال أيضًا أنه في هذه الحالة يتم التعبير عنه خطيًا من حيث ناقلات معينة ، أي تم الحصول عليها منهم عن طريق العمليات الخطية.

على سبيل المثال ، إذا تم إعطاء ثلاثة نواقل ، فيمكن اعتبار المتجهات على أنها توليفة خطية لها:

إذا تم تمثيل المتجه كمجموعة خطية لبعض المتجهات ، فيقال إنه كذلك متحللةعلى طول هذه النواقل.

يتم استدعاء النواقل تعتمد خطيا، إذا كانت هناك مثل هذه الأرقام ، لا تساوي جميعها صفرًا ، فهذا . من الواضح أن المتجهات المعينة ستكون معتمدة خطيًا إذا تم التعبير عن أي من هذه المتجهات خطيًا من حيث المتجهات الأخرى.

خلاف ذلك ، أي عندما تكون النسبة يؤدي فقط عندما ، تسمى هذه النواقل مستقل خطيا.

نظرية 1.أي متجهين يعتمدان خطيًا إذا وفقط إذا كانا متصلين.

دليل - إثبات:

يمكن إثبات النظرية التالية بالمثل.

نظرية 2.ثلاثة نواقل تعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كانت متحد المستوى.

دليل - إثبات.

أساس

أساسهي مجموعة نواقل مستقلة خطيًا غير صفرية. سيتم الإشارة إلى عناصر الأساس بواسطة.

في القسم الفرعي السابق ، رأينا أن متجهين غير متصلين في المستوى مستقلين خطيًا. لذلك ، وفقًا للنظرية 1 ، من الفقرة السابقة ، فإن أي متجهين غير متصلين على هذا المستوى هما أساس على مستوى.

وبالمثل ، فإن أي ثلاثة نواقل غير مستوية تكون مستقلة خطيًا في الفضاء. لذلك ، تسمى ثلاثة نواقل غير متحد المستوى أساسًا في الفضاء.

التوكيد التالي صحيح.

نظرية.دع الأساس يعطى في الفضاء. ثم يمكن تمثيل أي متجه كمجموعة خطية ، أين x, ذ, ض- بعض الأرقام. مثل هذا التحلل فريد من نوعه.

دليل - إثبات.

وبالتالي ، يسمح لك الأساس بربط كل متجه بشكل فريد بثلاثة أرقام - معاملات تمدد هذا المتجه من حيث متجهات الأساس:. والعكس صحيح أيضًا ، كل ثلاثة أعداد س ، ص ، ضباستخدام الأساس ، يمكنك مطابقة المتجه إذا قمت بعمل تركيبة خطية .

إذا كان الأساس و ثم الأرقام س ، ص ، ضاتصل إحداثياتناقلات في الأساس المحدد. إحداثيات المتجه تشير.

نظام الإحداثيات الديكارتية

دعونا نعطي نقطة في الفضاء اوثلاثة نواقل غير متحد المستوى.

نظام الإحداثيات الديكارتيةفي الفضاء (على مستوى) تسمى مجموعة النقطة والأساس ، أي مجموعة من نقطة وثلاثة نواقل غير متحد المستوى (متجهان غير متصلين) الخارجة من هذه النقطة.

نقطة ايسمى الأصل تسمى الخطوط المستقيمة التي تمر عبر الأصل في اتجاه نواقل الأساس محاور الإحداثيات - المحور السيني ، والإحداثيات ، والتطبيق. تسمى المستويات التي تمر عبر محاور الإحداثيات مستويات الإحداثيات.

ضع في اعتبارك نقطة عشوائية في نظام الإحداثيات المختار م. دعونا نقدم مفهوم نقطة التنسيق م. المتجه الذي يربط الأصل بالنقطة م. اتصل ناقلات نصف قطرهانقاط م.

يمكن ربط المتجه في الأساس المحدد بثلاثة أرقام - إحداثياتها: .

إحداثيات متجه نصف قطر النقطة م. اتصل إحداثيات النقطة م. في نظام الإحداثيات المدروس. م (س ، ص ، ض). يسمى الإحداثي الأول الإحداثي ، والثاني هو الإحداثي ، والثالث هو التطبيق.

يتم تعريف الإحداثيات الديكارتية على المستوى بالمثل. هنا النقطة لها إحداثيان فقط - الإحداثي والإحداثيات.

من السهل ملاحظة أنه بالنسبة لنظام إحداثيات معين ، لكل نقطة إحداثيات معينة. من ناحية أخرى ، لكل ثلاثة أرقام توجد نقطة واحدة بها هذه الأرقام كإحداثيات.

إذا كانت المتجهات المأخوذة كأساس في نظام الإحداثيات المختار لها طول وحدة وكانت متعامدة في اتجاه زوجي ، فإن نظام الإحداثيات يسمى مستطيل ديكارتي.

من السهل إظهار ذلك.

يحدد اتجاه جيب التمام للمتجه اتجاهه تمامًا ، لكن لا يقول شيئًا عن طوله.