Presentación del límite de una función en el infinito. Límite de una función Límite de una función en un punto Límites unilaterales Límite de una función cuando x tiende a infinito Teoremas básicos sobre límites Cálculo de límites. Pero todos deberían saber

Límite de una función en un punto Deje que la función y = f(x) se defina en alguna vecindad del punto x 0, excepto quizás en el mismo punto x 0. El número A se llama el límite de la función en el punto x 0 (o en) si para cualquier ε positivo existe un número δ positivo tal que para todo x desde δ - una vecindad del punto x 0 la desigualdad es verdadera:

Límites unilaterales En la definición del límite de una función Hay casos en los que el método de aproximación del argumento x a x 0 afecta significativamente el valor del límite, por lo que se introduce el concepto de límites unilaterales. se supone que x tiende a x 0 de alguna manera: permaneciendo menor que x 0 (a la izquierda de x 0), mayor que x 0 (a la derecha de x 0), o fluctuando alrededor del punto x 0. El número Un 1 se llama límite de la función por la izquierda en el punto x 0, si para cualquier ε > 0 existe tal δ > 0 que la desigualdad es verdadera para todos: El límite por la izquierda se escribe como sigue: 0 existe tal δ > 0 que la desigualdad es verdadera para todos: El límite por la izquierda se escribe así: ">

Límites unilaterales El número A 2 se llama límite de la función por la derecha en el punto x 0, si el Límite por la derecha se escribe así: y 0 x A1A1 x0x0 A2A2 Los límites de la función por la izquierda y a la derecha se llaman límites unilaterales. Obviamente, si existe, entonces existen ambos límites unilaterales, y A \u003d A 1 \u003d A 2 y 0 x A 1 \u003d A 2 \u003d A x0x0

M o en x M o en x 6 Límite de una función cuando x tiende a infinito Sea la función y = f(x) definida en el intervalo. El número A se llama límite de la función en si El significado geométrico de esta definición es el siguiente: existe un número M tal que para x > M o para x M o para x M o para x M o para x M o for x title="(!LANG: Límite de una función cuando x tiende a infinito Deje que la función y = f(x) se defina en el intervalo El número A se llama el límite de la función porque si el significado geométrico de esta definición es como sigue: existe un número M tal que para x > M o para x

Teoremas básicos de los límites Considere los teoremas que facilitan la búsqueda de los límites de las funciones. El límite de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de los límites: Enunciado de teoremas cuando o son semejantes, por eso usaremos la notación:. El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites: El factor constante se puede sacar del signo límite:

X 0, entonces existe su límite izquierdo respectivamente: o su límite derecho" title="(!LANG:Teoremas básicos del límite 0, entonces existe su límite izquierdo, respectivamente: o su límite derecho" class="link_thumb"> 9 !} Teoremas básicos de los límites Si entre los valores correspondientes de tres funciones en este caso: entonces: se cumplen las siguientes desigualdades: Si la función f(x) es monótona y está acotada en x x 0, entonces existe, respectivamente, su límite izquierdo: o su límite derecho: x 0, entonces respectivamente su límite izquierdo existe: o su derecho"> x 0, entonces su límite izquierdo respectivamente existe: o su límite derecho:"> x 0, entonces su límite izquierdo respectivamente existe: o su derecho" title="( !LANG:Teoremas básicos del límite Si entre los valores correspondientes de tres funciones en este caso: entonces: las desigualdades se cumplen: Si la función f(x) es monótona y está acotada en x x 0, entonces su límite izquierdo existe respectivamente: o su Correcto"> title="Teoremas básicos de límites Si entre los valores correspondientes de tres funciones en este caso: entonces: las desigualdades se cumplen: Si la función f(x) es monótona y está acotada en x x 0, entonces su límite izquierdo existe, respectivamente:"> !}

Cálculo de límites Cálculo de un límite: comience sustituyendo el valor límite x 0 en la función f(x). Si esto da como resultado un número finito, entonces el límite es igual a este número. Si al sustituir el valor límite x 0 en la función f(x) se obtienen expresiones de la forma: entonces el límite será igual a:

Revelación de incertidumbre Revelación de incertidumbre Si f(x) es una función fraccionalmente racional, es necesario factorizar el numerador y el denominador de la fracción Si f(x) es una fracción irracional, es necesario multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la expresión conjugada al numerador.

15 El primer límite notable La función no está definida en x = 0. Busquemos el límite de esta función en O AB C M Denotemos: S 1 - el área del triángulo OMA, S 2 - el área de ​​el sector OMA, S 3 - el área del triángulo OCA, Se puede ver en la figura que S uno

En este proyecto, además del material teórico, también se consideró material práctico. A aplicación práctica Consideró todo tipo de formas de calcular los límites. Estudiando la segunda sección. Matemáticas avanzadas ya despierta gran interés, desde el año pasado el tema “Matrices. Aplicación de propiedades de matrices para resolver sistemas de ecuaciones”, que era simple, aunque solo fuera por la razón de que el resultado era controlable. No hay tal control aquí. El estudio de las Secciones de Matemática Superior da su resultado positivo. Las clases de este curso han dado sus frutos: - estudiado una gran cantidad de material teórico y práctico; - se ha desarrollado la capacidad de elegir un método para calcular el límite; - se ha determinado el uso competente de cada método de cálculo; - La capacidad de diseñar un algoritmo de tarea es fija. Continuaremos estudiando secciones de matemáticas superiores. El propósito de estudiarlo es que estemos bien preparados para el re-estudio del curso de matemáticas superiores.

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Portada Índice Introducción Límite de una variable Propiedades básicas de los límites Límite de una función en un punto El concepto de continuidad de una función Límite de una función en el infinito Límites notables Conclusión

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Límite variable

El límite es uno de los conceptos básicos del análisis matemático. El concepto de límite fue utilizado por Newton en la segunda mitad del siglo XVII y por matemáticos del siglo XVIII, como Euler y Lagrange, pero entendieron el límite intuitivamente. Las primeras definiciones rigurosas del límite fueron dadas por Bolzano en 1816 y por Cauchy en 1821.

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1. Límite variable

Deje que la variable x en el proceso de su cambio se acerque indefinidamente al número 5, mientras toma los siguientes valores: 4.9; 4,99, 4,999, ... o 5,1; 5,01; 5,001;… En estos casos, el módulo de la diferencia tiende a cero: = 0,1; 0,01; 0.001;... El número 5 en el ejemplo anterior se llama el límite de la variable x y escribe lím x = 5. Definición 1. El valor constante a se llama el límite de la variable x si el módulo de la diferencia cuando x los cambios se vuelven y permanecen menores que cualquier número positivo arbitrariamente pequeño e.

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2. Propiedades básicas de los límites

1. El límite de la suma algebraica de un número finito de variables es igual a la suma algebraica de los límites de los términos: lim(x + y + … + t) = lim x + lim y + … + lim t. 2. El límite del producto de un número finito de variables es igual al producto de sus límites: lim(x y…t) = lim x lim y…lim t. 3. El factor constante se puede sacar del signo límite: lim(cx) = lim c lim x = c lim x. Por ejemplo, lim(5x + 3) = lim 5x + lim 3 = 5 lim x + 3. 4. El límite de la razón de dos variables es igual a la razón de los límites si el límite del denominador no es igual a cero: lim = lim y 5. El límite de una potencia entera positiva de una cantidad variable igual a eso el mismo grado de límite de la misma variable: lim = (lim x)n Por ejemplo: = = x3 + 3 x2 = (-2)2 + 3 (-2)2 = -8 + 12 = 4 6. Si el las variables x, y, z satisfacen las desigualdades x y xzy

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3.Límite de una función en un punto

Definición 2. El número b se llama límite* de una función en un punto a, si para todos los valores de x lo suficientemente cerca de a y diferentes de a, los valores de la función difieren arbitrariamente poco del número b . 1.Buscar: (3x2 - 2x). Solución. Usando las propiedades 1,3 y 5 del límite en sucesión, obtenemos (3x2 - 2x) = (3x2) - (2x) = 3x2 - 2x = 3 - 2x = 3 22 - 2 2 = 8

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4. El concepto de continuidad de una función

2. Calcular Solución. Para x = 1, la fracción se define porque su denominador es distinto de cero. Por tanto, para calcular el límite, basta con sustituir el argumento por su valor límite. Entonces obtenemos La regla indicada para el cálculo de límites no se puede aplicar en los siguientes casos: 1) Si la función en x = a no está definida; 2) Si el denominador de la fracción al sustituir x \u003d a resulta ser igual a cero; 3) Si el numerador y el denominador de la fracción, al sustituir x = a, simultáneamente resulta ser igual a cero o infinito. En tales casos, los límites de las funciones se encuentran usando varios métodos artificiales.

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5. Límite de una función en el infinito

3.Encuentre la solución. En x, el denominador x + 5 también tiende a infinito, y su recíproco es 0. Por lo tanto, el producto · 3 = tiende a cero si x. Entonces = 0

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6. Límites notables

Algunos límites no se pueden encontrar en las formas descritas anteriormente. Por ejemplo, supongamos que desea encontrar. La sustitución directa de su argumento límite da una indeterminación de la forma 0/0. También es imposible transformar el numerador y el denominador de tal manera que se aísle un factor común, cuyo límite es cero. Procedamos de la siguiente manera. Tomemos un círculo con un radio igual a 1 y construyamos un ángulo central AOB igual a 2x radianes. Dibujar la cuerda AB y las tangentes AD y BD a la circunferencia en los puntos A y B. Obviamente, |AC| = |CB| = senx, |AD| = |DB| = tgx = 1 - El primer límite destacable. x = e 2.7182…,. x - El segundo límite notable. Solución. Dividiendo el numerador y el denominador por x, obtenemos x = ()x = = =

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7. Cálculos de límites

1. (x2 - 7x + 4) = 32 - 7 3 + 4 = - 8. Solución. Para encontrar el límite de búsqueda directa, reemplazamos los límites de la función en un punto. 2. . Solución. Estos son los límites del numerador y el denominador para x igual a cero. Multiplicamos el numerador y el denominador por la expresión conjugada al numerador, obtenemos = = = = Por lo tanto, = = = =

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Conclusión

En este proyecto, además del material teórico, también se consideró material práctico. En la aplicación práctica, consideramos todo tipo de formas de calcular los límites. El estudio de la segunda sección de matemáticas superiores ya es de gran interés, desde el año pasado el tema “Matrices. Aplicación de propiedades de matrices para resolver sistemas de ecuaciones”, que era simple, aunque solo fuera por la razón de que el resultado era controlable. No hay tal control aquí. El estudio de las Secciones de Matemática Superior da su resultado positivo. Las clases de este curso han dado sus frutos: - estudiado una gran cantidad de material teórico y práctico; - se ha desarrollado la capacidad de elegir un método para calcular el límite; - se ha determinado el uso competente de cada método de cálculo; - La capacidad de diseñar un algoritmo de tarea es fija. Continuaremos estudiando secciones de matemáticas superiores. El propósito de estudiarlo es que estemos bien preparados para el re-estudio del curso de matemáticas superiores.

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Reglas para calcular límites Si lím f(x) = b y lím g(x) =c, entonces x 1) El límite de la suma es igual a la suma de los límites: lím (f(x)+ g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) El límite del producto es igual al producto de los límites: lim f(x) g(x) = lim f(x) * lim g (x) = b c x x x 3) El límite del cociente es igual al cociente de los límites: lim f(x):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x = k b x x

Plan de Gráficas abstractas de funciones y=1/x e y=1/x 2. Gráficas de funciones y=1/x m, para m par e impar. El concepto de asíntota horizontal. El concepto de límite de una función en +, -,. El significado geométrico del límite de una función en +, -,. Reglas para calcular los límites de una función en. Fórmulas para calcular el límite de una función en. Técnicas para el cálculo de los límites de una función sobre.

Resumen de la lección ¿Qué significa la existencia del límite de una función en el infinito? ¿Qué asíntota tiene la función y=1/ x 4? ¿Qué reglas conoces para calcular los límites de una función en el infinito? ¿Qué fórmulas para calcular límites en el infinito has conocido? ¿Cómo encontrar lim (5-3x 3) / (6x 3 +2)? X

Referencias: - A.G. Mordkovich. Clases de álgebra y cálculo inicial. Mnemosyne M A. G. Mordkovich., P. V. Semenov. Guía metodológica para el docente. Clase de álgebra y cálculo inicial. Un nivel básico de. M. Mnemozina. 2010