Los conceptos de fractal y geometría fractal. Fractal Universe y A.D. Sakharov ¿En qué partes se divide un fractal?

El árbol es la esencia y el símbolo de profundas conexiones entre causas y efectos, raíces y copa, lo que surge de la inexistencia y aquello por lo que lucha el desarrollo. La ramificación es un caso particular, pero extremadamente típico, de ausencia de continuidad e integridad, presencia de discreción, cuantización mientras se mantiene la similitud en todas las escalas, en el espacio y el tiempo. El árbol es imagen universal para una gran variedad de procesos, forma en que se teje el seno espacial del Universo, expresión de la Unidad y conveniencia de todo lo creado en el mundo. Tales propiedades fraccionarias del Universo, llamadas fractales, comenzaron a ser discutidas seriamente en la ciencia solo en los últimos quince años, sacudiendo así el dominio de cincuenta años de la cosmología relativista clásica y confirmando, por cierto, el extraordinario valor y la perspicacia de la teoría teórica. trabajos de A.L. Zelmanov (ver el artículo anterior en este número de la revista), quien se dio cuenta de las limitaciones y la incompletud del modelo cosmológico moderno de nuestro mundo.

“El Universo Fractal” es el título de un artículo de un investigador principal del Instituto Astronómico Estatal que lleva el nombre de V.I. P.K. Sternberg de la Universidad Estatal de Moscú, Candidato de Ciencias Físicas y Matemáticas Felix Alexandrovich Tsitsin, cuya vida creativa entera es inseparable de la astronomía, que despertó interés incluso en sus años escolares, cuando el propio Otto Yulievich Schmidt le dirigió unas buenas palabras de despedida. El autor en diferentes momentos consideró muchos problemas: la dinámica de los sistemas estelares, el origen de los cometas, la vida y la mente, la termodinámica del Universo, los "agujeros negros", la historia de la astronomía y, finalmente, la geometría fractal y el álgebra.

(Vista lateral subjetiva)

De camino a los fractales

Con la llegada de principios de los 80. y el rápido desarrollo posterior del concepto del “Universo inflado” (Guta-Linde), la idea de la finitud y homogeneidad del Universo que dominaba en el modelo relativista canónico nuevamente, no por primera vez, se está convirtiendo en un cosa del pasado El Universo en nuestras ideas "aumenta" a una velocidad inimaginable, se vuelve extremadamente heterogéneo, infinitamente diverso y muy no trivialmente fractal-estructural. Nuestra habitual, "demasiado simple" e incluso algo aburrida morada en expansión relativista de Friedmann-Hubble, de unos (!) 10 - 20 mil millones de años luz de diámetro, resulta ser un rincón insignificantemente pequeño del Gran Universo, donde personas como la nuestra (y otras !) los universos son innumerables; sus límites retroceden tanto que la única descripción adecuada de su posición es, como en Demócrito o Bruno, la palabra "infinito".

Esta revolución en nuestras ideas sobre el Universo no es menor en escala que el cambio en el modelo del Universo finito aristotélico al Universo infinito de Bruno-Newton. Esta última revolución en cosmología aún no está completa, y los horizontes del Nuevo Universo Infinito se pierden en una bruma misteriosa.

Es difícil para nosotros imaginar universos con otras leyes fundamentales de la física, con una topología diferente, con un número diferente (especialmente no entero) de dimensiones de espacio (¡y más aún de tiempo!). Pero “el Universo como un todo no está en absoluto obligado a tener las mismas propiedades que su parte visible” (R. Tolman). “Detrás del estruendo de las andanadas y el humo de los cañones” de estas grandes perturbaciones en la cosmología, otros eventos de gran escala que merecen un estudio especial resultan menos perceptibles en la imagen del mundo. Esta es también la turbulenta historia de "todos conocen", pero, al parecer, hasta ahora nadie los ha entendido realmente, los "agujeros negros", llenos de nuevas sorpresas revolucionarias. Este es también un problema, cuya naturaleza de la solución futura determina la respuesta a la pregunta: ¡qué, o quién! - y cómo "comanda" nuestro Universo - las leyes "sin alma" de la Naturaleza, la Supermente Superpoderosa, por ejemplo, la clase de "civilización" IV (o XXIV-ro) según Kardashev, o alguien llamado Dios. Pero la ciencia (física) aún no ha descubierto ni tan antiguo (de ese siglo), sombrío, pero de hecho problemas simples, como la posibilidad (o imposibilidad) de la llamada muerte térmica del Universo.

Detrás de todos los trastornos revolucionarios pasados ​​y presentes en la imagen científica del mundo, detrás de problemas vagos y dolorosos a veces centenarios, y en parte incluso de perspectivas brillantes, una transformación cardinal más digna de atención en la imagen astronómica del mundo sigue siendo subestimada. Estamos hablando de un aspecto del mundo completamente nuevo y bastante inesperado que se ha estado desarrollando en las últimas dos décadas. El universo resultó ser "no integral" de principio a fin, fractales, en todas partes consiste en sistemas fractales, en él tienen lugar procesos estructurados jerárquicamente, con "autosimilitud" en todos los niveles de su estructura. Para nosotros, esta es una revelación de no menor escala que el descubrimiento de la extrema no estacionariedad del Universo en sus niveles más diversos, desde el mundo del planeta Tierra hasta los cometas y asteroides, desde estrellas nacidas y en explosión y estrellas estelares en rápida evolución. complejos (asociaciones de estrellas jóvenes) - hasta cuásares que brillan como cientos de galaxias, y hasta nuestro universo entero, inflándose a un ritmo impensable hasta un tamaño "casi infinito".

El hecho es que fue en la última década y media o dos que nos sorprendió darnos cuenta de que vivimos en un Mundo donde estamos rodeados por todos lados por objetos y sistemas. dimensión fraccionaria. Esto es extremadamente inusual. Tanto en la vida como en la ciencia, hasta ahora nos hemos encontrado, según nos parecía, solo objetos de un conjunto muy pequeño de dimensiones enteras y, además, bajas: puntos (dimensión 0), "líneas (1), superficies (2), cuerpos (3) Aunque la mínima expansión cuantitativa de este conjunto en la física se produjo hace mucho tiempo, todavía ya en este siglo, cuando G. Minkowski propuso una interpretación cuatridimensional de la teoría de la relatividad en 1908. Más tarde , en la década de 1920, aparecieron modelos con cinco dimensiones (T.Kalutsa, O.Klein, Yu.B.Rumer, etc.) En el desarrollo de esta línea, relativamente recientemente, surgieron en teoría espacios físicos de 10 y 11 dimensiones, y luego vino a la variante de 506 dimensiones! enfatizaba el sentido matemático formal, los físicos ya en la segunda mitad del siglo pasado, en la época de Boltzmann y Gibbs, operaban con espacios fase (matemáticos) de dimensión del orden de 1023 ( número de Avogadro). Los matemáticos, en cambio, son personas mucho menos responsables ante la Naturaleza que los físicos o los astrónomos, mucho antes que los mismos fi ziks se establecieron en espacios multidimensionales, y con mano ligera el gran matemático David Hilbert, y en "infinito-dimensional".

Sin embargo, en el sentido de integridad y discreción, un número natural N arbitrariamente grande es idénticamente 1 o incluso 0. ... Y ahora descubrimos que vivimos en el Universo, en cada paso, en todos los niveles de escala llenos de objetos, estructuras, sistemas de dimensión fraccionaria! Enumeremos al menos algunas áreas de "avances fractales" en la ciencia moderna. Un modelo de caos dinámico (también, por cierto, un fragmento de una nueva faceta de la imagen científica del mundo) y turbulencia (en agua, atmósfera y espacio; modelos de erosión del suelo y fenómenos sísmicos, organización de polímeros y coloides, parpadeo de ruido y reacciones químicas, fluctuaciones de temperatura y densidad, morfología de planetas y satélites, nubes y cadenas montañosas; "vagabundeo de borrachos" y probabilidad de supervivencia, modelo de Ising en la teoría de los cristales y "atractor extraño"; manchas solares y masa "oculta" de galaxias ; estructura de los sistemas fluviales y costa del mar; ruptura eléctrica de los dieléctricos y agrietamiento durante la destrucción; "escalera del diablo" y la teoría de los autómatas finitos; fragmentación del medio protogaláctico y polvo en estrellas tipo R de la Corona del Norte; producción múltiple de partículas y un conjunto de cilios en las paredes del intestino; agrupamiento en el Universo y dinámica de excitones; estrellas variables y la estructura de la fuente de rayos X Hércules X-1... (El propio autor no comprende realmente algunas de estos términos - el problema es muy amplio).

Arroz. 1. Crecimiento fractal. Deposición de zinc durante la electrólisis.

Arroz. 2. Estructura fractal (figura de Lichtenberg en una descarga eléctrica)

Como puede ver, de hecho, "la naturaleza ama mucho las formas fractales". "Científicos con considerable sorpresa y deleite"<...>comprender por sí mismos que muchas, muchas formas que hasta ahora se han visto obligados a caracterizar como granulares, similares a hidro, similares a algas marinas, extrañas, intrincadas, ramificadas, lanosas, arrugadas, etc., pueden ahora estudiarse y describirse en estrictos términos cuantitativos.<...>. Los conjuntos fractales, hasta ahora considerados algo excepcional,<...>en cierto sentido, debería convertirse en la regla ”(B. Mandelbrot). Pero para ver esto, tenía que haber un Mandelbrot (¡u otro "niño" que notó que el rey estaba desnudo!). Y antes de eso, nosotros, siguiendo a nuestros líderes intelectuales y científicos, no habíamos visto lo más obvio a quemarropa durante siglos. Cuando, siguiendo al "pionero", los demás comienzan a ver con claridad, la imagen del mundo cambia drásticamente, se reconstruye y lo que antes era imposible se vuelve obvio.

NK Escher (Escher). "giros"

Aclaremos que una dimensión fraccionaria (para una línea, por ejemplo) surge en aquellos casos en que esta línea en el límite “casi completamente”, pero aún “no completamente”, llena alguna superficie. En lenguaje matemático, su llamada dimensión de Hausdorff-Besikovich es entonces mayor que la topológica habitual. Tenga en cuenta, por cierto, que la dimensión de la línea, que excede 1 , y no será necesariamente fraccionario (la dimensión de una trayectoria browniana plana es igual a 2 ). Aparentemente, la dimensión de una línea en un volumen tridimensional también es concebible, superior a dos. En general, la diversidad aquí es grande y, en algunos casos, la dimensión del "objeto límite" solo se puede estimar aproximadamente (numéricamente como resultado de la simulación por computadora del proceso límite). En algunos objetos, sin embargo, se expresa analíticamente con elegancia. Así, la dimensión de Hausdorff-Besikovich del famoso conjunto de Cantor (“el resto” del procedimiento: recortamos el tercio medio del segmento, lo mismo de los dos segmentos restantes, etc. ad infinitum) se expresa en la forma final por el número ln2/ln3 ~ 0.631 .

El significado matemático de fractalidad es bastante abstracto, y aquí, quizás, uno no debería tratar de definir un fractal en todo su rigor y complejidad matemáticos. Sin embargo, el significado geométrico de fractalidad es muy claro y simple. Esto, esquematizando, es una pirámide sin fin, hacia arriba y hacia abajo, de pasos que cambian uniformemente (por el mismo factor). Tal escala de escalas puede no ser francamente jerárquico-geométrica, sino oculta en el comportamiento temporal del sistema.

Por ejemplo, el conjunto de partículas brownianas en cada momento parece extremadamente caótico. Pero la trayectoria del movimiento browniano (de cada partícula) idealmente (si no te acercas demasiado al valor característico del tamaño de los átomos y las distancias entre ellos) se ve exactamente igual a cualquier escala ("ampliación del microscopio" ).

escala invariancia o autosimilitud, la estructura fractal es su propiedad más característica. Puede manifestarse en una variedad infinita de formas. Es curioso que fue a través de esta propiedad que los fractales (sin llamarlos así, por supuesto), mucho antes de que su descubridor Mandelbrot viera el talento pintor holandés con una mirada aguda: MK Escher (1902-1972) (a veces, en una transcripción anterior y menos precisa: Escher).

El significado físico del objeto fractal también es bastante claro. Se trata de una estructura de tipo espacial-jerárquico, con cada vez menos (alejándose de un determinado centro), pero decreciendo de forma estrictamente regular, uniforme, llenando el volumen. Un ejemplo expresivo es la copa del "árbol de invierno", sin hojas. En el nivel evolutivo-biológico, el análogo es el árbol evolutivo de la vida de la Tierra y, más generalmente, el Árbol del Mundo de una serie de cosmologías religiosas.

Descubrimiento de fractales

Mira cómo los hechos incomprensibles nos rodean por todas partes, cómo suben a nuestros ojos, gritan en nuestros oídos, pero no vemos ni oímos qué grandes descubrimientos acechan en sus vagos contornos.

IA Efremov

La conciencia de la fractalidad del mundo, como casi todas las grandes generalizaciones de la ciencia, comenzó con una pregunta muy específica: con la experiencia mental del matemático estadounidense Benoit Mandelbrot: resultó que la longitud de la línea de costa entre dos ciudades dependía de cómo se mide, es decir, sobre la “longitud de la regla”. Podemos decir que esto es obvio y trivial de antemano. ¡Pero aquellos que razonaron de esta manera y se detuvieron en esto en un número infinito de "casos similares" antes de Mandelbrot no se dieron cuenta, no descubrieron la fractalidad del Universo! “La verdad es a menudo tan simple que no creen en ella” (F. Levold). Mandelbrot, por su parte, fue más allá de la vieja imagen científica del mundo, en la que no había lugar para los fractales. Sin embargo, los matemáticos familiarizados con la dimensión de Hausdorff desde 1919 tenían algunas sospechas sobre las dimensiones fraccionarias, al menos para objetos matemáticos exclusivamente exóticos. Pero estas conversaciones no fueron escuchadas durante mucho tiempo, incluso durante algún tiempo después del anuncio de Mandelbrot de su descubrimiento. El Premio Nobel de Física a Kenneth Wilson por su trabajo, que utilizó directamente el concepto de un modelo de un sistema físico con dimensiones fraccionarias, no cambió mucho la situación.

¡Pero el tiempo ha llegado! Nuestro Universo "cambió" - se "convirtió" en fractal. Para ser más precisos, la barrera en la conciencia dogmática de la comunidad científica fue, sin embargo, superada. Como resultado, nuestra imagen del mundo, incluida la astronómica, ha cambiado irreversiblemente. Indudablemente, por más cambios que se le ocurran, por más revoluciones científicas que se produzcan, el aspecto de la fractalidad ha entrado para siempre en su “núcleo duro” de principios-postulados y no será eliminado bajo ninguna revisión. “... Las estructuras patológicas que fueron inventadas por matemáticos que querían romper con el naturalismo inherente al siglo XDC resultaron ser la base de muchos objetos conocidos que nos rodean en todas partes”, afirmó el destacado físico del siglo XX. Freeman Dyson.

¿El concepto de "inflación" en cosmología y la fractalidad del espacio del Universo?

A diferencia de la estabilidad, la inestabilidad es estable.

VI Arnold

Todos los sistemas mencionados, no importa cuántos de ellos estén a nuestro alrededor, desde el microcosmos hasta la Metagalaxia, todos estos objetos materiales, ubicados en un espacio tridimensional (aunque curvo), tienen una estructura fractal o una dimensión fraccionaria. ¿Es concebible, y qué significado podría tener el propio espacio de una dimensión tan fraccionaria? ¿O, en un caso aún más general, una dimensión fraccionaria compleja? Personalmente, me ha interesado esta pregunta en algún lugar desde principios de los años 50. Parece muy significativo que literalmente en últimos años apareció (en teoría) el primer objeto en relación al cual se puede pensar que tiene precisamente el espacio de una estructura fractal y, posiblemente, una dimensión fraccionaria. La historia de la ciencia muestra cuán importante resulta casi siempre ese primer paso, que abre una nueva área de fenómenos, aunque, naturalmente, no fue posible establecer ni una medida de tipicidad ni un grado de no trivialidad. de un objeto nuevo a partir de un único objeto único. Recordemos de la historia de la astronomía el descubrimiento del primer anillo alrededor de un planeta, el primer cometa periódico, el primer asteroide, el primer cuásar, etc.

Volvamos, sin embargo, a nuestro objeto inherentemente único y único conocido (e incluso entonces hipotéticamente) con una dimensión fractal del espacio en el Universo. Este objeto es el Gran Universo mismo en el modelo de inflación caótica de Linde. Este modelo tiene naturaleza fractal y estructura “por construcción”, debido a lo estocástico (según las leyes del azar) derivación proceso de inflación en el espacio y el tiempo.

Composición de conjuntos fractales de Mandelbrot

Los primeros intentos de modelado numérico de tal fenómeno fueron realizados por el propio A.D. Linde, y sus resultados prioritarios se informaron en el informe "Universo Fractal" en el SAI el 19 de junio de 1991. Las estimaciones posteriores disponibles aún no nos permiten indican cuantitativamente la dimensión del espacio de un Universo que se infla estocásticamente. Este proceso es "establemente inestable". La dimensión de tal modelo del Universo puede resultar no ser necesariamente fraccionaria (al igual que la dimensión de una trayectoria browniana resulta ser un número entero, pero mayor que la de una línea ordinaria - ver arriba). Unos años después del trabajo pionero de Linde, A.D. Popov (GAISh) sospechó la fractalidad en cosmología - no entero (con un cambio - de un tres normal en el laboratorio a dos en el horizonte cosmológico) en una serie de trabajos de los años 90 . Un conocido especialista en la teoría general de la relatividad (RG) y la cosmología relativista R.F. Polishchuk desarrolla su propio enfoque original para este problema. Es cierto que unos años antes, un grupo de astrofísicos italianos (A. Grassi y otros), basándose en las desviaciones del espectro CMB de la ley de Planck, llegaron a una conclusión preliminar de que el posible valor de la dimensión fractal (D) del espacio Metagalaxy está limitada por la relación:

En esencia, el problema de la dimensión fractal del espacio de la Metagalaxia apenas está comenzando a entrar en la ciencia, y varios investigadores apenas están buscando a tientas opciones para las posibilidades que existen aquí. ¿Cuál será la dimensión de nuestro (local) y, además, “Gran Universo” al final? "Pi" (π)? "Ocho y medio"? O 506 10? La pregunta sigue abierta, que yo sepa. Además, el problema del significado y la realización física en el Universo sigue sin estar claro. integrado(en un caso especial - puramente imaginario) dimensiones del espacio. Y, tal vez, está completamente fuera de nuestro alcance imaginar cuál es la dimensión fraccionaria (e incluso compleja) de la cosmología. tiempo! Sin embargo, recordemos las palabras de L.D. Landau de que nosotros, si es necesario, ¡podemos entender incluso lo que no podemos imaginar!

Matemáticas fractales para un universo fractal

Uno no puede deshacerse de la sensación de que las fórmulas matemáticas viven una vida independiente, que son más inteligentes que sus inventores, que obtenemos más de ellas de lo que alguna vez se invirtió en ellas.

Enrique Hertz

En términos matemáticos, el enfoque fractal se identifica hasta ahora casi exclusivamente con el enfoque fractal. geometría. Esto fue establecido en los trabajos fundamentales de Mandelbrot, y la situación no ha cambiado durante dos décadas de desarrollo intensivo del concepto de fractales. Las imágenes geométricas de los fractales también son a veces muy impresionantes y, a veces, asombrosamente bellas, infinitamente variadas y extremadamente heurísticas. Por cierto, esta belleza es uno de los criterios empírica y heurísticamente fiables de la naturaleza fundamental de los fractales como objetos de la Naturaleza, el Cosmos. Las computadoras, que son capaces de demostrar visualmente los objetos geométricos fractales, abren prácticamente la única vía para que los investigadores ingresen al mundo de los fractales. (Recordemos aquí las brillantes visiones del artista Escher mencionadas anteriormente, la primera quien vio mundo fractal).

Sin embargo, no importa cuán impresionante sea el éxito de las matemáticas informáticas, el poder de generalización analítico enfoque en las propias matemáticas, en la física, la astronomía y otras ciencias no debe ser subestimado. Una gama infinita de posibilidades cualitativas, incrustadas en una sola fórmula analítica, algoritmo: ¡la ley, después de todo! - obviamente, ninguna computadora se abrirá. Y la fórmula misma de la "ley de la naturaleza" las computadoras no son capaces de abrir. La combinación más prometedora de estos dos enfoques matemáticos.

Los fractales, según el reconocimiento general de los especialistas, son hasta ahora la forma más efectiva (si no la única efectiva, si no la única posible) de penetrar las "leyes del caos" (!). El mismo Mandelbrot enfatizó que aquí estamos hablando específicamente sobre "estudiar orden en el caos". En particular, las propiedades fundamentales que ahora están saliendo a la luz tanto en matemáticas como en física resultan ser fractales. atractores extraños» . Su topología, al parecer, de todos los métodos matemáticos modernos, solo puede realizarse mediante el enfoque fractal. Mientras tanto, no es raro afirmar que esta área de las matemáticas aún no cuenta con un aparato adecuado en las matemáticas tradicionales. Esta posición refleja el hecho de que la "geometría fractal" y la investigación informática de los fractales insuficiente sobre una nueva forma de conocer el mundo.

La pregunta es legítima: ¿no se puede crear un aparato matemático (analítico) apropiado, similar en poder y generalidad al cálculo diferencial e integral, que “sirva” al aspecto fractal del estudio del Universo por medio del análisis matemático en lugar de la geometría? ? Cuando se me ocurrió esta idea hace mucho tiempo, "... yo ya era lo suficientemente físico como para no decir: 'Bueno, no, esto no puede ser..." (F. Dyson).

Hablando con franqueza, estoy haciendo esta pregunta puramente retórica (e incluso contando con la muy probable falta de conocimiento de la mayoría de los lectores aquí). La cosa es que tal dispositivo ya está ha existido por mucho tiempo, pero inmerecidamente poco conocido. Sus cimientos se crearon (más precisamente, se completaron) hace casi ciento cincuenta años (!), en las mejores tradiciones de las matemáticas, preparando de antemano para la física, la astronomía y otras ciencias conceptos matemáticos, métodos, algoritmos y cálculo completo. Recordemos la teoría apolínea de las secciones cónicas, que esperó dos mil años a Kepler; El cálculo tensorial de Ricci y la "geometría imaginaria" de Lobachevsky son "espacios en blanco" para la futura relatividad general.

Estamos hablando de un cálculo que generaliza (como las potencias fraccionarias en el binomio de Newton) las operaciones de diferenciación e integración a órdenes fraccionarios (incluso complejos) de la derivada y, en consecuencia, a la multiplicidad de la integral. La escala de esta generalización es grandiosa, incluso en términos puramente cuantitativos: a partir del aparato matemático de cálculo diferencial e integral, adecuado (construido) para contando conjunto de valores del "argumento", es decir valores naturales positivos y negativos del orden de la derivada (multiplicidad de la integral), procedemos a continuo el conjunto (continuo) de todos los números reales y, en general, incluso complejos, incluidos los imaginarios.

La tarea de una generalización tan amplia fue establecida hace 300 años por el mismo Leibniz. Destacados matemáticos trabajaron en su solución: Euler, Laplace, Fourier, Liouville, Riemann. Sin embargo, una solución bastante completa, en términos generales, se encontró solo en la segunda mitad del siglo XIX. (La primera versión fue indicada en 1858 por el matemático italiano Tardi, y la otra, en 1867 - 1868, de forma independiente y casi simultánea por A.V. Letnikov en Rusia y el matemático de Praga L.K. Grunwald).

Desafortunadamente, esta generalización ha permanecido poco conocida. En cualquier caso, por alguna razón, ¡fue cuidadosamente "mantenido en secreto" de los estudiantes durante muchas décadas! Un descuido incomprensible de la cuestión que interesaba a las lumbreras de las matemáticas antes mencionadas y que inevitablemente tenía que surgir al menos entre los estudiantes curiosos (pero no demasiado eruditos) llevó al hecho de que los intentos de "inventar la bicicleta" se hicieron inevitables. Por ejemplo, conozco hasta tres "invenciones" de este tipo en Rusia durante una década y media a mediados del siglo XX, incluida la mía.

La razón principal de la falta de demanda de esta generalización durante más de un siglo es habitual y natural: la ausencia en la naturaleza, al parecer, de objetos, sistemas, procesos que requerirían para su comprensión y descripción de la operación de diferenciación ( integración) de un orden arbitrario no entero (multiplicidad), por ejemplo: f (n ) (x), donde n es arbitrariamente.

Vale la pena señalar una cosa más. Desde la era de Leibniz hasta nuestros días, no se ha propuesto ni un simbolismo exitoso ni un término brillante y compacto para esta generalización del aparato de análisis matemático. En nuestro tiempo, luego del descubrimiento de la fractalidad del Universo, para el aparato matemático correspondiente, el término “ calculo fractal". Es conciso, amplio, lógico, histórico y físico. Me parece razonable detenerme en ello para nombrar la generalización del cálculo diferencial e integral a los órdenes fraccionarios (incluso complejos) de la derivada y la multiplicidad de la integral.

En contraste con el ya tradicional término físico "fractal", el correspondiente matemático el operador podría ser nombrado, digamos, " fractales". Para designar un fractal de orden n a partir de la función f(z), me aventuré a proponer un nuevo símbolo que combina elementos estilizados de signos e integrales y diferenciales:

Se puede prever que después de la toma de conciencia de la fractalidad del Universo y la consiguiente variación de la imagen del mundo, con la liberación del "cálculo fractal" del inmerecido semiolvido, la necesaria generalización de diferenciales e integrales ecuaciones. No solo se pueden introducir "ecuaciones fractales", que difieren de las ecuaciones diferenciales e integrales "solo" en orden fraccionario. Ya hay precedentes de esto (Vise, 1986; Metzler et al., 1994, ecuaciones fractales en la teoría de la difusión anómala). Las ecuaciones fractales también pueden incluir aquellas en las que, por ejemplo, la función deseada desconocida es en sí misma orden variable esta ecuacion También se proponen generalizaciones tales como la introducción de la dependencia de n en las coordenadas, etc. (V.Yu.Koloskov). Aparentemente, el concepto de fractales se puede conectar con el planteado a principios de los años 60. destacado matemático francés A. Grothendieck teoría topoi- espacios con topología que cambia de punto a punto - y con el tiempo (?!) .

No hay que temer que el "análisis fractal" y las "ecuaciones fractales" queden sin reclamar. No creo que en nuestro tiempo nadie repita el error del famoso astrónomo y físico J. Jeans, quien afirmaba que hay creaciones de matemáticos que nunca serán útiles fuera de las matemáticas. Como un ejemplo obvio, citó la teoría de grupos, que ahora está vinculada, según los expertos, ¡una buena mitad de la física! Por el contrario, la historia de la ciencia ha confirmado repetidamente la corrección del notable matemático S. Ermitaño: "Estoy convencido de que las especulaciones más abstractas del Análisis corresponden a relaciones reales que existen fuera de nosotros, que algún día llegarán a nuestra conciencia".

Un poco de matemáticas fractales

“La tarea principal de las matemáticas modernas es lograr la armonía entre el continuo y lo discreto, para incluirlos en un todo matemático único” (F.T. Bell). El mismo problema, al parecer, se enfrenta a la física. Y la construcción de un cálculo que incluía discreto(entero real) valores del operador fractal como privado caso, abre perspectivas reales de progreso serio en la solución de este problema fundamental matemático - físico - científico general - filosófico.

Conjunto fractal contrastado

Para aquellos lectores que estén interesados ​​en la expresión específica de "fractal" - el operador de "diferenciación/integración fraccionaria", les daré su forma en la forma que recibí en 1954. . Como se vio más tarde, esta expresión (hasta transformaciones idénticas) coincidió con el operador encontrado 96 años antes por Tardy; y cuatro años después de mí, AV Svetlanov publicó una repetición equivalente del resultado de Tardi. Omitiendo por simplicidad alguna "función adicional", un análogo de una constante aditiva arbitraria de la integral indefinida, tenemos:

O lo más compacto posible:

donde à es la función gamma de Euler. Para un entero v = n, el operador en n = 0 simplemente da la función f(z); para n > 0, la n-ésima derivada de f(z), y para n<0 — n-кратный последовательный интеграл от f(z).

La salida del operador me tomó una página y media y se basó en un par de pasos bastante arriesgados. Pero el resultado fue correcto.

En el caso más simple, cuando f = 1, tenemos:

Para f=z β (donde β es arbitrario) obtenemos el resultado, “adivinado” por Euler:

¿Son reales los fractales?

Como siempre, con un paso fundamental hacia una nueva imagen del mundo (¡históricamente necesario!), los conservadores y los escépticos se interponen en el camino. En este caso, su objeción es radical. Partiendo de una duda cuidadosa, el escéptico (en este caso un teórico muy perspicaz) concluye: “Los fractales no son realmente objetos existentes” (, p. 198) (Énfasis mío. - F.Ts.) Su argumento es el siguiente: “ Si<...>esta estructura es fractal, entonces se conserva a una escala arbitrariamente pequeña de su consideración<...>. Si el procedimiento de formación de fractales se interrumpe en cualquier paso final<...>, el conjunto resultante no será fractal. Sistemas Reales<...>tal profundización interminable en su estructura no permite<...>. Los sistemas reales no son son fractales en el sentido exacto del término, solo pueden ser similares a fractales”.

Por lo tanto, se llega a la conclusión anterior, que parece ser fatal para los fractales. Sin embargo, “al final, nada ayuda tanto a la victoria de la verdad como la resistencia a ella” (W. Channing). Después de todo, la conclusión de nuestra crítica nos recuerda que, de hecho, ni un solo objeto de la ciencia teórica, ni un solo modelo matemático de un objeto natural, proceso, etc. "realmente no existen". Pero no hay tragedia en eso. De hecho, en realidad, las "ciencias exactas" teóricas se llaman así. en contraste con los "inexactos", precisamente y solo porque construyen y estudian modelos especificados con precisión de objetos genuinos que nunca pretenden ser un reflejo ideal de la realidad física. La experiencia histórica de la ciencia muestra que los modelos internamente consistentes representan cada vez más adecuadamente las propiedades de los objetos observados, lo que en general aumenta el poder predictivo de la ciencia.

Lo mismo con los fractales. Sí, "los sistemas reales no son fractales en el sentido [matemático] exacto del término, solo pueden ser similares a los fractales". De manera similar, la materia real no es "estrictamente continua", sino sólo "semejante a un continuo" dentro de ciertos límites, en varios tramos de la escala infinita de escalas, o "semejante a una discreta" en sus otras partes. Para una descripción aproximada de un número de propiedades y regularidades de los sistemas existentes, es suficiente que estén satisfactoriamente representados por un modelo ideal de un sistema fractal en algunos rangos finitos de escalas. Esta es la correlación de cualquier modelo teórico con la realidad. ¡Esto es lo único posible y común en toda la ciencia! - lo que significa que la respuesta a la pregunta del escéptico, planteada en el título de este párrafo, es afirmativa e inequívoca: sí, fractales Son reales!

Universo Fractal y A.D. Sakharov

En el número "Sakharov" (memorial) de la revista "Nature" (1990, No. 8), varios autores de memorias sobre Andrei Dmitrievich Sakharov tocan un episodio conocido, pero claramente insuficientemente estudiado desde el comienzo de la biografía creativa. del futuro gran Hombre, Ciudadano y Científico. Así es como E. L. Feinberg escribe sobre esto, por ejemplo, en el ensayo "Contornos de una biografía": "Aquí [en una planta militar en Ulyanovsk] comenzó su trabajo creativo [- se completaron cuatro trabajos sobre física teórica. No se publicaron, pero, como él mismo escribió más tarde, le dieron confianza en sus habilidades.<...>."A.D. envió sus trabajos a I.E. Tamm<...>y en enero de 1945 fue admitido en su escuela de posgrado. Del ensayo de A.M. Yaglom "Camarada de los años escolares": "D.I. Sakharov, el padre de Andrei, a la llegada de su hijo a Moscú, entregó parte de su manuscrito científico a Tamm a través del matemático A.M. Lopshits, un viejo conocido de Igor Evgenievich". Y en una carta del personal del Departamento de Física Teórica. IE Tamma del Instituto Lebedev de la URSS "En memoria de Andrei Dmitrievich Sakharov" dice: "... En la planta de defensa (1942 - principios de 1945), él, completamente aislado de los físicos, completó cuatro trabajos de investigación de un pequeño escala (no publicado y aún no encontrado)".

Dio la casualidad de que tengo información sobre uno de estos trabajos, directamente de IE Tamm. A principios del invierno de 1959-1960, por invitación suya, tuve la oportunidad de conversar con él en su casa. Al final de la conversación, ya despidiéndome, I.E. preguntó: "¿Qué más interesante has hecho?" - Dije que hace varios años, por mi ignorancia, al haberle dedicado mucho tiempo, repetí la generalización del cálculo diferencial e integral a los órdenes fraccionarios de la derivada e integral.

— ¿Conoce al académico Sajarov? - preguntó inesperadamente I.E.

“Sí, por supuesto que sé de él”, respondí.

- Entonces, - continuó I.E., - ¡el primer trabajo de Sajarov, del cual lo conocí, fue una generalización así!

En esto nos despedimos. Hasta el momento, se desconoce exactamente qué camino encontró el joven Andrei Sakharov para construir lo que nosotros, en la era de los fractales, tenemos derecho a llamar cálculo fractal. Pero el hecho de que Sakharov no solo estuviera interesado en este problema (casi olvidado en matemáticas y se volvió relevante en física solo 30 años después), sino que también lo resolvió, a juzgar por las palabras de I. E. Tamm, es un hecho indiscutible. Podemos afirmar que al menos uno de sus primeros trabajos, que aún se desconoce, no estuvo dedicado a la "física teórica a pequeña escala", sino a las matemáticas muy no triviales.

"La imagen fractal del mundo" indirectamente, a través de las matemáticas, aparentemente, fue prevista intuitivamente por A.D. Sakharov hace medio siglo, al igual que los jóvenes Galois y Abel crearon la teoría de los grupos, en última instancia, para Real Nature, y N. Lobachevsky en probó en su "geometría imaginaria"...

Conclusión

En esencia, la "historia de los fractales" en la ciencia moderna, en nuestra imagen del mundo, que recién comienza en serio, además de muchos resultados y conclusiones particulares, ya proporciona una base para una serie de conclusiones generalizadoras que, utilizando este nuevo ejemplo, confirmar las leyes generales y las tendencias en el desarrollo de la ciencia - el conocimiento del Universo.

Una vez más, en la historia de los fractales, estamos convencidos de la naturaleza paradójica de las revoluciones científicas y los grandes avances en la ciencia en general, descubrimos con sorpresa y deleite lo que siempre hemos visto a nuestro alrededor, pero no notamos. Los árboles fractales crecen a nuestro alrededor. Pero, contrariamente al proverbio, hasta hace poco, detrás del bosque, no veíamos un árbol fractal separado, siempre de una forma u otra... Nubes blancas fractales del siglo flotaban sobre nuestras cabezas en el cielo azul fractal... En la orilla del mar fractal, el sabio Aristóteles, sorbiendo la leche cuajada fractal, ponderó problemas importantes, pero completamente diferentes, sin darse cuenta de este; y su frívolo compatriota, un joven griego antiguo, clasificando el vino fractal sin diluir de los frutos de un arbusto de uva fractal, con las piernas enredadas escribió una trayectoria fractal en la plaza cerca del Partenón ... E incluso en nuestra era, una gran cantidad de los científicos, dispersos a lo largo de las rutas fractales de sus circunvoluciones infrafractales, algunos estudiaron el suelo de la madre tierra, algún ruido de parpadeo en un receptor de radio, algunas estrellas variables y cuásares; y que profundizaron "en sí mismos", en el sistema de sus vasos sanguíneos o incluso en los cilios de las paredes de los intestinos, etc., pero resultó que todos estudiaron "lo mismo": ¡Fractales en la Naturaleza, en el Universo!

El descubrimiento de la fractalidad del Mundo confirma una vez más "la sorprendente eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales"(E. Wigner). Obviamente, las quejas anteriores sobre el hecho de que el concepto físico de los fractales supuestamente "no tiene un aparato adecuado en las matemáticas tradicionales" (J. Lan et al. "Provisión" avanzada de la física con "cálculo fractal", y ya más de un hace cien años resolvió este problema. ¡Matemáticas y esta vez resulta ser, por así decirlo, "física preventiva"!

Sí, ni el gas ideal, ni la materia continua, ni los objetos fractales con una escala de niveles jerárquicos “realmente infinita” existen en la Naturaleza física. Pero esto no hace que el cálculo diferencial, integral o fractal (!), o la mecánica celeste, o la máquina térmica ideal de Carnot, o la teoría moderna de los fractales, carezcan de sentido.

El descubrimiento de la fractalidad del Universo desentraña una gigantesca maraña de los problemas más difíciles en todas las áreas de las ciencias naturales. Ese “agujero” en la imagen del mundo, donde no había suficientes fractales, se llenó, como de costumbre, arrastrando elementos vecinos de esta imagen a un “agujero negro” similar, lo que deformó mucho el fragmento de imagen obtenido de esta manera. Sí, y los fragmentos vecinos estirados de forma no natural se distorsionaron, y nuestras ideas sobre la Naturaleza en las áreas ya estudiadas resultaron ser inadecuadas, sin conexiones y proporciones correctas. Los errores que antes pasaban desapercibidos al lado y en el contexto de la Deformación Gigante adyacente ahora tienen la oportunidad de corregirse.

Qué cambios y avances inesperados específicos en estas áreas vecinas traerán el establecimiento de la fractalidad del Universo, es imposible decirlo de antemano. ¡Pero hay confianza, sobre la base de toda la experiencia previa de conocer el Universo, que traerá! “Debajo de cada abismo, se revela otro, aún más profundo” (R.W. Emerson). Esto puede ser, por ejemplo, una nueva comprensión de todo el concepto fundamental del Caos, uno de los conceptos más importantes de la cosmovisión científica, filosófica e incluso religiosa. Aquí, como dicen, todo es posible, aunque “nada se puede adelantar, querido Vinnie. ¡Y esto, por supuesto, es lo más interesante! (A. Milne, de cuentos sobre Winnie the Pooh).

Akchurin I.A. // Teoría del conocimiento y física moderna. M., Nauka, 1984, págs. 293-306.

Khaitun SD Mecánica e irreversibilidad. M.: Janus, 1996, p.447.

En memoria de Andrei Dmitrievich Sakharov // Uspekhi fizicheskikh nauk, 1990, volumen 160, número 6, páginas 163-166; el mismo // Vivió entre nosotros... (Memorias de Sajarov). M.: Práctica, 1996, p.9-13.

Los fractales se conocen desde hace casi un siglo, están bien estudiados y tienen numerosas aplicaciones en la vida. Sin embargo, este fenómeno se basa en una idea muy simple: se puede obtener un número infinito de figuras en belleza y variedad a partir de estructuras relativamente simples usando solo dos operaciones: copiar y escalar.

¿Qué tienen en común un árbol, la orilla del mar, una nube o los vasos sanguíneos de nuestra mano? A primera vista, puede parecer que todos estos objetos no tienen nada en común. Sin embargo, de hecho, hay una propiedad de la estructura que es inherente a todos los objetos enumerados: son autosimilares. De la rama, así como del tronco de un árbol, parten procesos más pequeños, incluso más pequeños, etc., es decir, una rama es similar a todo el árbol. El sistema circulatorio está organizado de manera similar: las arteriolas parten de las arterias y de ellas, los capilares más pequeños a través de los cuales el oxígeno ingresa a los órganos y tejidos. Miremos imágenes satelitales de la costa del mar: veremos bahías y penínsulas; veámoslo, pero a vista de pájaro: veremos bahías y cabos; Ahora imagina que estamos parados en la playa y nos miramos los pies: siempre habrá guijarros que sobresalgan más en el agua que el resto. Es decir, la costa permanece similar a sí misma cuando se acerca. El matemático estadounidense Benoit Mandelbrot llamó a esta propiedad de los objetos fractalidad, y tales objetos en sí mismos, fractales (del latín fractus, roto).

Este concepto no tiene una definición estricta. Por lo tanto, la palabra "fractal" no es un término matemático. Por lo general, un fractal es una figura geométrica que satisface una o más de las siguientes propiedades: Tiene una estructura compleja en cualquier aumento (a diferencia, por ejemplo, de una línea recta, cualquier parte de la cual es la figura geométrica más simple: un segmento). Es (aproximadamente) auto-similar. Tiene una dimensión fraccional de Hausdorff (fractal), que es mayor que la topológica. Se puede construir con procedimientos recursivos.

Geometría y Álgebra

El estudio de los fractales entre los siglos XIX y XX fue más episódico que sistemático, porque los primeros matemáticos estudiaron principalmente objetos "buenos" que podían estudiarse utilizando métodos y teorías generales. En 1872, el matemático alemán Karl Weierstrass construye un ejemplo de una función continua que no es diferenciable en ninguna parte. Sin embargo, su construcción era totalmente abstracta y difícil de entender. Por lo tanto, en 1904, el sueco Helge von Koch ideó una curva continua que no tiene tangente en ninguna parte y es bastante simple dibujarla. Resultó que tiene las propiedades de un fractal. Una variación de esta curva se llama copo de nieve de Koch.

Las ideas de autosemejanza de las figuras fueron recogidas por el francés Paul Pierre Levy, el futuro mentor de Benoit Mandelbrot. En 1938, se publicó su artículo "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole", en el que se describe otro fractal: la curva C de Lévy. Todos estos fractales enumerados anteriormente se pueden atribuir condicionalmente a una clase de fractales constructivos (geométricos).

Otra clase son los fractales dinámicos (algebraicos), que incluyen el conjunto de Mandelbrot. Las primeras investigaciones en esta dirección comenzaron a principios del siglo XX y están asociadas con los nombres de los matemáticos franceses Gaston Julia y Pierre Fatou. En 1918, Julia publicó una memoria de casi doscientas páginas, dedicada a las iteraciones de funciones racionales complejas, en las que se describen los conjuntos de Julia, toda una familia de fractales estrechamente relacionados con el conjunto de Mandelbrot. Esta obra fue galardonada con el premio de la Academia Francesa, pero no contenía ni una sola ilustración, por lo que era imposible apreciar la belleza de los objetos descubiertos. A pesar de que este trabajo hizo famosa a Julia entre los matemáticos de la época, rápidamente se olvidó. Nuevamente, la atención se volvió hacia él solo medio siglo después con la llegada de las computadoras: fueron ellas quienes hicieron visible la riqueza y la belleza del mundo de los fractales.

Dimensiones fractales

Como sabes, la dimensión (número de medidas) de una figura geométrica es el número de coordenadas necesarias para determinar la posición de un punto que se encuentra en esta figura.
Por ejemplo, la posición de un punto en una curva está determinada por una coordenada, en una superficie (no necesariamente un plano) por dos coordenadas, en un espacio tridimensional por tres coordenadas.
Desde un punto de vista matemático más general, la dimensión se puede definir de la siguiente manera: un aumento en las dimensiones lineales, digamos, dos veces, para objetos unidimensionales (desde un punto de vista topológico) (segmento) conduce a un aumento en el tamaño (longitud ) por un factor de dos, para bidimensional (cuadrado), el mismo aumento en las dimensiones lineales conduce a un aumento en el tamaño (área) de 4 veces, para tridimensional (cubo), de 8 veces. Es decir, la dimensión "real" (llamada Hausdorff) se puede calcular como la relación entre el logaritmo del aumento del "tamaño" de un objeto y el logaritmo del aumento de su tamaño lineal. Es decir, para un segmento D=log (2)/log (2)=1, para un plano D=log (4)/log (2)=2, para un volumen D=log (8)/log (2 )=3.
Calculemos ahora la dimensión de la curva de Koch, para cuya construcción el segmento unitario se divide en tres partes iguales y el intervalo medio se reemplaza por un triángulo equilátero sin este segmento. Con un aumento en las dimensiones lineales del segmento mínimo tres veces, la longitud de la curva de Koch aumenta en log (4) / log (3) ~ 1,26. Es decir, ¡la dimensión de la curva de Koch es fraccionaria!

ciencia y arte

En 1982, se publicó el libro de Mandelbrot "La geometría fractal de la naturaleza", en el que el autor recopiló y sistematizó casi toda la información sobre fractales disponible en ese momento y la presentó de una manera fácil y accesible. Mandelbrot hizo el énfasis principal en su presentación no en fórmulas pesadas y construcciones matemáticas, sino en la intuición geométrica de los lectores. Gracias a las ilustraciones generadas por computadora y las historias históricas, con las que el autor diluyó hábilmente el componente científico de la monografía, el libro se convirtió en un éxito de ventas y los fractales se dieron a conocer al gran público. Su éxito entre los no matemáticos se debe en gran parte al hecho de que con la ayuda de construcciones y fórmulas muy simples que incluso un estudiante de secundaria puede entender, se obtienen imágenes de una complejidad y belleza asombrosas. Cuando las computadoras personales se volvieron lo suficientemente potentes, incluso apareció toda una tendencia en el arte: la pintura fractal, y casi cualquier propietario de una computadora podía hacerlo. Ahora en Internet puede encontrar fácilmente muchos sitios dedicados a este tema.

Esquema para la obtención de la curva de Koch

Guerra y paz

Como se señaló anteriormente, uno de los objetos naturales que tienen propiedades fractales es la costa. Una historia interesante está relacionada con él, o mejor dicho, con un intento de medir su longitud, que formó la base del artículo científico de Mandelbrot, y también se describe en su libro "La geometría fractal de la naturaleza". Estamos hablando de un experimento que fue creado por Lewis Richardson, un matemático, físico y meteorólogo muy talentoso y excéntrico. Una de las direcciones de su investigación fue un intento de encontrar una descripción matemática de las causas y la probabilidad de un conflicto armado entre dos países. Entre los parámetros que tuvo en cuenta estaba la longitud de la frontera común entre los dos países en guerra. Cuando recopiló datos para experimentos numéricos, encontró que en diferentes fuentes los datos sobre la frontera común de España y Portugal difieren mucho. Esto lo llevó al siguiente descubrimiento: la longitud de las fronteras del país depende de la regla con la que las midamos. Cuanto más pequeña sea la escala, más largo será el borde. Esto se debe al hecho de que a mayor aumento es posible tener en cuenta más y más curvas de la costa, que antes se ignoraban debido a la irregularidad de las mediciones. Y si, con cada zoom, se abren curvas de líneas previamente no contabilizadas, ¡resulta que la longitud de los bordes es infinita! Es cierto que, de hecho, esto no sucede: la precisión de nuestras mediciones tiene un límite finito. Esta paradoja se llama efecto Richardson.

Fractales constructivos (geométricos)

El algoritmo para construir un fractal constructivo en el caso general es el siguiente. En primer lugar, necesitamos dos formas geométricas adecuadas, llamémoslas la base y el fragmento. En la primera etapa, se representa la base del futuro fractal. Luego, algunas de sus partes se reemplazan por un fragmento tomado en una escala adecuada: esta es la primera iteración de la construcción. Luego, en la figura resultante, algunas partes vuelven a cambiar a figuras similares a un fragmento, y así sucesivamente. Si continuamos este proceso indefinidamente, entonces en el límite obtenemos un fractal.

Considere este proceso usando el ejemplo de la curva de Koch (vea la barra lateral en la página anterior). Cualquier curva puede tomarse como base de la curva de Koch (para el copo de nieve de Koch, este es un triángulo). Pero nos limitamos al caso más simple: un segmento. El fragmento es una línea discontinua que se muestra en la parte superior de la figura. Después de la primera iteración del algoritmo, en este caso, el segmento original coincidirá con el fragmento, luego cada uno de sus segmentos constituyentes será reemplazado por una línea discontinua similar al fragmento, y así sucesivamente. La figura muestra los primeros cuatro pasos de este proceso.

El lenguaje de las matemáticas: fractales dinámicos (algebraicos)

Los fractales de este tipo surgen en el estudio de sistemas dinámicos no lineales (de ahí el nombre). El comportamiento de tal sistema se puede describir mediante una función no lineal compleja (polinomio) f(z). Tomemos algún punto inicial z0 en el plano complejo (ver barra lateral). Ahora considere tal secuencia infinita de números en el plano complejo, cada uno de los cuales se obtiene del anterior: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Dependiendo del punto inicial z0, tal secuencia puede comportarse de manera diferente: tiende a infinito cuando n -> ∞; converger a algún punto final; tomar cíclicamente una serie de valores fijos; opciones más complejas son posibles.

Números complejos

Un número complejo es un número que consta de dos partes: real e imaginaria, es decir, la suma formal x + iy (x e y aquí son números reales). yo es el llamado. unidad imaginaria, es decir, un número que satisface la ecuación yo^ 2 = -1. Sobre números complejos, se definen las operaciones matemáticas básicas: suma, multiplicación, división, resta (solo la operación de comparación no está definida). Para mostrar números complejos, a menudo se usa una representación geométrica: en el plano (se llama complejo), la parte real se traza a lo largo del eje de abscisas y la parte imaginaria a lo largo del eje de ordenadas, mientras que el número complejo corresponderá a un punto con coordenadas cartesianas x e y.

Así, cualquier punto z del plano complejo tiene su propio carácter de comportamiento durante las iteraciones de la función f (z), y todo el plano se divide en partes. Además, los puntos que se encuentran en los límites de estas partes tienen la siguiente propiedad: para un desplazamiento arbitrariamente pequeño, la naturaleza de su comportamiento cambia drásticamente (estos puntos se denominan puntos de bifurcación). Entonces, resulta que los conjuntos de puntos que tienen un tipo específico de comportamiento, así como los conjuntos de puntos de bifurcación, a menudo tienen propiedades fractales. Estos son los conjuntos de Julia para la función f(z).

familia de dragones

Al variar la base y el fragmento, puede obtener una asombrosa variedad de fractales constructivos.
Además, se pueden realizar operaciones similares en el espacio tridimensional. Ejemplos de fractales volumétricos son la "esponja de Menger", la "pirámide de Sierpinski" y otros.
La familia de los dragones también se refiere a los fractales constructivos. A veces se los conoce con el nombre de los descubridores como los "dragones de Heiwei-Harter" (se parecen a los dragones chinos en su forma). Hay varias formas de construir esta curva. El más simple y obvio de ellos es este: debe tomar una tira de papel suficientemente larga (cuanto más delgado sea el papel, mejor) y doblarla por la mitad. Luego, dóblelo nuevamente por la mitad en la misma dirección que la primera vez. Después de varias repeticiones (por lo general, después de cinco o seis pliegues, la tira se vuelve demasiado gruesa para doblarla más con cuidado), debe enderezar la tira hacia atrás e intentar formar ángulos de 90˚ en los pliegues. Entonces la curva del dragón resultará de perfil. Por supuesto, esto será solo una aproximación, como todos nuestros intentos de representar objetos fractales. La computadora le permite representar muchos más pasos en este proceso, y el resultado es una figura muy hermosa.

El conjunto de Mandelbrot está construido de manera algo diferente. Considere la función fc (z) = z 2 +c, donde c es un número complejo. Construyamos una sucesión de esta función con z0=0, dependiendo del parámetro c, puede divergir hasta el infinito o permanecer acotada. Además, todos los valores de c para los que esta sucesión está acotada forman el conjunto de Mandelbrot. Fue estudiado en detalle por el mismo Mandelbrot y otros matemáticos, quienes descubrieron muchas propiedades interesantes de este conjunto.

Se puede ver que las definiciones de los conjuntos de Julia y Mandelbrot son similares entre sí. De hecho, estos dos conjuntos están estrechamente relacionados. Es decir, el conjunto de Mandelbrot son todos los valores del parámetro complejo c para los que el conjunto de Julia fc (z) está conectado (un conjunto se llama conectado si no se puede dividir en dos partes que no se intersecan, con algunas condiciones adicionales).

fractales y vida

En la actualidad, la teoría de los fractales es ampliamente utilizada en diversos campos de la actividad humana. Además de un objeto puramente científico para la investigación y la pintura fractal ya mencionada, los fractales se utilizan en la teoría de la información para comprimir datos gráficos (aquí, la propiedad de autosimilitud de los fractales se utiliza principalmente, después de todo, para recordar un pequeño fragmento de un dibujo y transformaciones con las que se pueden obtener el resto de las partes, se necesita mucha menos memoria que para almacenar todo el archivo). Al agregar perturbaciones aleatorias a las fórmulas que definen el fractal, se pueden obtener fractales estocásticos que transmiten muy plausiblemente algunos objetos reales: elementos de relieve, la superficie de cuerpos de agua, algunas plantas, que se utilizan con éxito en física, geografía y gráficos por computadora para lograr mayor similitud de los objetos simulados con los reales. En radioelectrónica, en la última década, se empezaron a producir antenas que tienen forma fractal. Ocupando poco espacio, proporcionan una recepción de señal de bastante alta calidad. Los economistas usan fractales para describir las curvas de fluctuación de la moneda (esta propiedad fue descubierta por Mandelbrot hace más de 30 años). Así concluye esta breve excursión al mundo de los fractales, sorprendente por su belleza y diversidad.

Entonces, un fractal es un conjunto matemático que consta de objetos similares a este conjunto. En otras palabras, si examinamos un pequeño fragmento de una figura fractal con aumento, se verá como una parte más grande de esta figura, o incluso como la figura como un todo. Para un fractal, además, un aumento de escala no significa una simplificación de la estructura. Por tanto, en todos los niveles veremos un panorama igualmente complejo.

Propiedades fractales

Con base en la definición anterior, un fractal generalmente se representa como una figura geométrica que satisface una o más de las siguientes propiedades:

Tiene una estructura compleja en cualquier aumento;

Aproximadamente autosimilar (las partes son similares al todo);

Tiene una dimensión fraccionaria, que es mayor que la topológica;

Se puede construir recursivamente.

Fractales en el mundo

A pesar de que el concepto de "fractal" parece extremadamente abstracto, en la vida uno puede encontrar muchos ejemplos reales e incluso prácticos de este fenómeno. Además, desde el mundo exterior, ciertamente deben ser considerados, porque darán una mejor comprensión del fractal y sus características.

Por ejemplo, las antenas para varios dispositivos, cuyos diseños se realizan mediante el método fractal, muestran la eficiencia de su trabajo en un 20% más que las antenas tradicionales. Además, la antena fractal puede operar con excelente rendimiento simultáneamente en una amplia variedad de frecuencias. Es por eso que los teléfonos móviles modernos prácticamente no tienen antenas externas de un dispositivo clásico en su diseño; estas últimas han sido reemplazadas por antenas fractales internas, que se montan directamente en la placa de circuito impreso del teléfono.

Los fractales han recibido mucha atención con el desarrollo de la tecnología de la información. En la actualidad, se han desarrollado algoritmos para comprimir varias imágenes utilizando fractales, existen métodos para construir objetos gráficos por computadora (árboles, superficies de montañas y mares) de forma fractal, así como un sistema fractal para asignar direcciones IP en algunas redes.

En economía, hay una manera de usar fractales al analizar cotizaciones de acciones y divisas. Quizás el lector que opera en el mercado Forex haya visto el análisis fractal en acción en una terminal comercial o incluso lo haya aplicado en la práctica.

Además, además de los objetos creados artificialmente por el hombre con propiedades fractales, también se pueden encontrar muchos objetos similares en la naturaleza. Buenos ejemplos de un fractal son los corales, las conchas marinas, algunas flores y plantas (brócoli, coliflor), el sistema circulatorio y los bronquios de las personas y los animales, los patrones formados en el vidrio, los cristales naturales. Estos y muchos otros objetos tienen una forma fractal pronunciada.

Cuando no entiendo todo en lo que leo, no estoy particularmente molesto. Si el tema no me llega más tarde, entonces no es muy importante (al menos para mí). Si el tema se reencuentra, por tercera vez, tendré nuevas oportunidades para comprenderlo mejor. Los fractales se encuentran entre esos temas. Supe de ellos por primera vez en un libro de Nassim Taleb, y luego con más detalle en un libro de Benoit Mandelbrot. Hoy, en la solicitud "fractal" en el sitio, puede obtener 20 notas.

Parte I. UN VIAJE A LOS ORÍGENES

NOMBRAR ES SABER. Ya a principios del siglo XX, Henri Poincaré comentó: “Te sorprende el poder que puede tener una palabra. He aquí un objeto del que no se podía decir nada hasta que fuera bautizado. Bastaba ponerle un nombre para que sucediera un milagro” (ver también). Y así sucedió cuando, en 1975, el matemático francés de origen polaco, Benoit Mandelbrot, recogió la Palabra. De palabras latinas frangere(romper) y fractura(discontinuo, discreto, fraccionario) se ha formado un fractal. Mandelbrot promovió y propagó hábilmente el fractal como una marca basada en el atractivo emocional y la utilidad racional. Publica varias monografías, entre ellas The Fractal Geometry of Nature (1982).

FRACTALS EN LA NATURALEZA Y EL ARTE. Mandelbrot trazó los contornos de una geometría fractal distinta de la euclidiana. La diferencia no se aplicaba al axioma del paralelismo, como en las geometrías de Lobachevsky o Riemann. La diferencia fue el rechazo del requisito predeterminado de suavidad de Euclid. Algunos objetos son inherentemente ásperos, porosos o fragmentados, y muchos de ellos tienen estas propiedades "en la misma medida a cualquier escala". En la naturaleza, no faltan tales formas: girasoles y brócoli, conchas marinas, helechos, copos de nieve, grietas de montañas, costas, fiordos, estalagmitas y estalactitas, relámpagos.

Las personas atentas y observadoras han notado durante mucho tiempo que algunas formas muestran una estructura repetitiva cuando se ven "de cerca o de lejos". Al acercarnos a tales objetos, notamos que solo cambian detalles menores, pero la forma en su conjunto permanece casi sin cambios. Basado en esto, el fractal es más fácil de definir como una forma geométrica que contiene elementos repetidos en cualquier escala.

MITOS Y MISTIFICACIONES. La nueva capa de formas descubierta por Mandelbrot se convirtió en una mina de oro para diseñadores, arquitectos e ingenieros. Un número incontable de fractales se construyen de acuerdo con los mismos principios de repetición múltiple. A partir de aquí, el fractal es más fácil de definir como una forma geométrica que contiene elementos repetidos en cualquier escala. Esta forma geométrica es localmente inmutable (invariante), autosimilar en una escala e integral en sus limitaciones, una verdadera singularidad, cuya complejidad se revela a medida que se acerca, y la trivialidad misma a distancia.

ESCALERA DEL DIABLO. Se utilizan señales eléctricas extremadamente fuertes para transferir datos entre computadoras. Tal señal es discreta. La interferencia o el ruido ocurren aleatoriamente en las redes eléctricas debido a muchas razones y conducen a la pérdida de datos cuando la información se transmite entre computadoras. Eliminar la influencia del ruido en la transmisión de datos a principios de los años sesenta del siglo pasado fue confiado a un grupo de ingenieros de IBM, en el que participó Mandelbrot.

Un análisis aproximado mostró la presencia de períodos durante los cuales no se registraron errores. Habiendo señalado períodos de una hora, los ingenieros notaron que entre ellos los períodos de paso de la señal sin errores también son intermitentes, hay pausas más cortas que duran unos veinte minutos. Así, la transmisión de datos sin errores se caracteriza por paquetes de datos de diferentes longitudes y pausas en el ruido, durante las cuales la señal se transmite sin errores. En los paquetes de un rango superior, por así decirlo, se incorporan paquetes de un rango inferior. Tal descripción implica la existencia de algo como la posición relativa de los paquetes de menor rango en un paquete de mayor rango. La experiencia ha demostrado que la distribución de probabilidad de estas ubicaciones relativas de paquetes es independiente de su rango. Esta invariancia indica la autosimilitud del proceso de distorsión de datos bajo la acción del ruido eléctrico. El mismo procedimiento para cortar pausas sin errores en la señal durante la transmisión de datos no se les podía ocurrir a los ingenieros eléctricos porque esto era nuevo para ellos.

Pero Mandelbrot, que estudió matemáticas puras, conocía bien el conjunto de Cantor, descrito allá por 1883 y que representaba el polvo de puntos obtenidos según un estricto algoritmo. La esencia del algoritmo para construir el "polvo de Cantor" es la siguiente. Toma una línea recta. Retire el tercio medio del segmento, conservando los dos extremos. Ahora repetimos la misma operación con los segmentos finales y así sucesivamente. Mandelbrot descubrió que esta es precisamente la geometría de los paquetes y las pausas en la transmisión de señales entre ordenadores. El error es acumulativo. Su acumulación se puede modelar de la siguiente manera. En el primer paso asignamos el valor 1/2 a todos los puntos del intervalo, en el segundo paso del intervalo el valor 1/4, el valor 3/4 a los puntos del intervalo, etc. La suma paso a paso de estas cantidades hace posible construir la llamada "escalera del diablo" (Fig. 1). La medida del "polvo de Cantor" es un número irracional igual a 0,618..., conocido como "proporción áurea" o "proporción divina".

Parte II. LOS FRACTALES SON LA MATERIA

SONRISA SIN GATO: DIMENSIÓN FRACTAL. La dimensión es uno de los conceptos fundamentales que va mucho más allá de las matemáticas. Euclides en el primer libro de los "Principios" definió los conceptos básicos de geometría punto, línea, plano. Sobre la base de estas definiciones, el concepto de espacio euclidiano tridimensional se mantuvo sin cambios durante casi dos mil quinientos años. Numerosos coqueteos con espacios de cuatro, cinco y más dimensiones en esencia no aportan nada, pero se enfrentan a lo que la imaginación humana no puede imaginar. Con el descubrimiento de la geometría fractal, se produjo una revolución radical en el concepto de dimensión. Apareció una gran variedad de dimensiones, y entre ellas se encuentran no solo números enteros, sino también fraccionarios, e incluso irracionales. Y estas dimensiones están disponibles para la representación visual y sensual. De hecho, podemos imaginar fácilmente el queso con agujeros como un modelo de un medio cuya dimensión es más de dos, pero no llega a tres debido a los agujeros del queso, lo que reduce la dimensión de la masa de queso.

Para comprender la dimensión fraccionaria o fractal, volvamos a la paradoja de Richardson, que afirmaba que la longitud de la escarpada costa de Gran Bretaña es infinita. Louis Fry Richardson se preguntó sobre el efecto de la escala de medida en la magnitud de la longitud medida de la costa británica. Al pasar de la escala de los mapas de contorno a la escala de los "guijarros costeros", llegó a una conclusión extraña e inesperada: la longitud de la línea de costa aumenta indefinidamente, y este aumento no tiene límite. Las líneas curvas suaves no se comportan así. Los datos empíricos de Richardson, obtenidos en mapas de escalas cada vez más grandes, dieron testimonio de un aumento de ley de potencia en la longitud de la costa con una disminución en el paso de medición:

En esta sencilla fórmula de Richardson L es la longitud medida de la costa, ε es el valor del paso de medida, y β ≈ 3/2 es el grado de crecimiento de la longitud de costa encontrado por él con una disminución del paso de medida. A diferencia de la circunferencia, la longitud de la costa del Reino Unido aumenta sin tener un límite de 55. ¡Ella es infinita! Uno tiene que aceptar el hecho de que las curvas son discontinuas, no suaves, no tienen una longitud límite.

Sin embargo, los estudios de Richardson sugirieron que tienen alguna medida característica del grado de crecimiento en longitud con una escala de medición decreciente. Resultó que es este valor el que identifica místicamente una línea discontinua como una huella digital de la personalidad de una persona. Mandelbrot interpretó la costa como un objeto fractal, un objeto cuya dimensión coincide con el exponente β.

Por ejemplo, las dimensiones de las curvas limítrofes costeras de la costa occidental de Noruega son 1,52; para el Reino Unido - 1,25; para Alemania - 1.15; para Australia - 1.13; para una costa relativamente suave de Sudáfrica - 1,02 y, finalmente, para un círculo perfectamente suave - 1,0.

Mirando un fragmento de un fractal, no podrás decir cuál es su dimensión. Y la razón no está en la complejidad geométrica del fragmento, el fragmento puede ser muy simple, sino en el hecho de que la dimensión fractal refleja no solo la forma del fragmento, sino también el formato de la transformación del fragmento en el proceso de construcción. el fractal La dimensión fractal es, por así decirlo, eliminada de la forma. Y gracias a esto, el valor de la dimensión fractal permanece invariable, es el mismo para cualquier fragmento del fractal en cualquier escala de visualización. No se puede “agarrar con los dedos”, pero se puede calcular.

REPETICIÓN FRACTAL. La repetición se puede modelar con ecuaciones no lineales. Las ecuaciones lineales se caracterizan por una correspondencia uno a uno de variables: cada valor X coincide con un solo valor en y viceversa. Por ejemplo, la ecuación x + y = 1 es lineal. El comportamiento de las funciones lineales está completamente determinado, únicamente determinado por las condiciones iniciales. El comportamiento de las funciones no lineales no es tan inequívoco, porque dos condiciones iniciales diferentes pueden conducir al mismo resultado. Sobre esta base, la iteración de la repetición de la operación aparece en dos formatos diferentes. Puede tener el carácter de una referencia lineal, cuando en cada paso de los cálculos se vuelve a la condición inicial. Este es un tipo de "iteración de patrón". La producción en serie en la línea de montaje es "iteración de patrones". La iteración en formato de referencia lineal no depende de los estados intermedios de la evolución del sistema. Aquí, cada nueva iteración comienza "desde la estufa". Es un asunto bastante diferente cuando la iteración tiene un formato recursivo, es decir, el resultado del paso de iteración anterior se convierte en la condición inicial para el siguiente.

La recursión se puede ilustrar con una serie de Fibonacci, representada en forma de una secuencia de Girard:

tu norte +2 = tu norte +1 + tu norte

El resultado son los números de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

En este ejemplo, es bastante claro que la función se aplica a sí misma sin hacer referencia al valor inicial. Se desliza a lo largo de la serie de Fibonacci, y cada resultado de la iteración anterior se convierte en el valor inicial de la siguiente. Es esta repetición la que se realiza en la construcción de formas fractales.

Mostremos cómo se implementa la repetición fractal en los algoritmos para construir la “servilleta de Sierpinski” (usando el método de corte y el método CIF).

método de corte. Tome un triángulo equilátero con un lado r. En el primer paso, recortamos en el centro un triángulo equilátero invertido con una longitud de lado r 1 = r 0/2. Como resultado de este paso, obtenemos tres triángulos equiláteros con longitudes de lado r 1 = r 0/2 ubicado en los vértices del triángulo original (Fig. 2).

En el segundo paso, en cada uno de los tres triángulos formados, cortamos triángulos inscritos invertidos con una longitud de lado r 2 = r 1 /2 = r 0 /4. Resultado - 9 triángulos con longitud lateral r 2 = r 0 /4. Como resultado, la forma de la "servilleta de Sierpinski" se vuelve cada vez más definida. La fijación se produce en cada paso. Todas las fijaciones previas son una especie de "borrado".

Método SIF, o Método de Sistemas de Funciones Iteradas de Barnsley. Dado: un triángulo equilátero con las coordenadas de los ángulos A (0.0), B (1.0), C (1/2, √3/2). Z 0 es un punto arbitrario dentro de este triángulo (Fig. 3). Tomamos un dado, en cuyos lados hay dos letras A, B y C.

Paso 1. Tira el hueso. La probabilidad de obtener cada letra es 2/6 = 1/3.

• Si la letra A se cae, construimos un segmento z 0 -A, en medio del cual ponemos un punto z 1
• Si la letra B se cae, construimos un segmento z 0 -B, en medio del cual ponemos un punto z 1
• Si se cae la letra C, construimos un segmento z 0 -C, en medio del cual ponemos un punto z 1

Paso 2. Lanza el hueso de nuevo.

• Si la letra A se cae, construimos un segmento z 1 -A, en medio del cual ponemos un punto z 2
• Si la letra B se cae, construimos un segmento z 1 -B, en medio del cual ponemos un punto z 2
• Si se cae la letra C, construimos un segmento z 1 -C, en medio del cual ponemos un punto z 2

Repitiendo la operación muchas veces obtendremos los puntos z 3 , z 4 , …, z n . La peculiaridad de cada uno de ellos es que el punto se encuentra exactamente a mitad de camino del anterior a un vértice elegido arbitrariamente. Ahora bien, si descartamos los puntos iniciales, por ejemplo, de z 0 a z 100 , entonces el resto, con un número suficientemente grande de ellos, forman la estructura de “servilleta de Sierpinski”. Cuantos más puntos, más iteraciones, más claramente aparece el fractal de Sierpinski para el observador. Y esto a pesar de que el proceso va, al parecer, de forma aleatoria (gracias a los dados). La “servilleta de Sierpinski” es una especie de atractor del proceso, es decir, la figura a la que tienden todas las trayectorias construidas en este proceso con un número suficientemente grande de iteraciones. Arreglar la imagen en este caso es un proceso acumulativo y acumulativo. Cada punto individual, tal vez, nunca coincidirá con el punto del fractal de Sierpinski, pero cada punto posterior de este proceso organizado "por casualidad" es atraído cada vez más cerca de los puntos de la "servilleta de Sierpinski".

BUCLE DE RETROALIMENTACIÓN. El fundador de la cibernética, Norbert Wiener, citó al timonel de un barco como ejemplo para describir el ciclo de retroalimentación. El timonel debe mantener el rumbo y evalúa constantemente qué tan bien se mantiene el barco en ese rumbo. Si el timonel ve que el barco se está desviando, gira el timón para devolverlo a un rumbo determinado. Después de un tiempo, evalúa nuevamente y corrige nuevamente la dirección del movimiento usando el volante. Así, la navegación se realiza mediante iteraciones, repeticiones y sucesivas aproximaciones del movimiento de la embarcación a un rumbo dado.

Un diagrama típico de bucle de retroalimentación se muestra en la fig. 4 Se trata de cambiar los parámetros variables (la dirección del barco) y el parámetro controlado C (el rumbo del barco).

Considere el mapeo "desplazamiento de Bernoulli". Elijamos como estado inicial algún número perteneciente al intervalo de 0 a 1. Escribamos este número en el sistema numérico binario:

x 0 \u003d 0.01011010001010011001010 ...

Ahora, un paso de la evolución en el tiempo es que la secuencia de ceros y unos se desplaza hacia la izquierda una posición, y el dígito que estaba en el lado izquierdo del punto decimal se descarta:

x 1 \u003d 0.1011010001010011001010 ...

x 2 \u003d 0.011010001010011001010 ...

x 3 \u003d 0.11010001010011001010 ...

Tenga en cuenta que si los números originales x0 racional, entonces en el proceso de iteración los valores Xnorte entrar en una órbita periódica. Por ejemplo, para el número inicial 11/24, en el proceso de iteración, obtenemos una serie de valores:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Si los valores originales x0 son irracionales, el mapeo nunca alcanzará el modo periódico. El intervalo de valores iniciales x 0 ∈ contiene infinitos puntos racionales e infinitos puntos irracionales. Así, la densidad de órbitas periódicas es igual a la densidad de órbitas que nunca alcanzan el régimen periódico. En cualquier barrio de valor racional x0 hay un valor irracional del parámetro inicial x'0 En este estado de cosas surge inevitablemente una sutil sensibilidad a las condiciones iniciales. Este es un signo característico de que el sistema se encuentra en un estado de caos dinámico.

BUCLE DE RETROALIMENTACIÓN ELEMENTAL. El reverso es condición necesaria y consecuencia de toda mirada lateral que se toma por sorpresa. El icono del bucle inverso puede ser la tira de Möbius, en la que su lado inferior pasa al superior con cada círculo, el interior se vuelve exterior y viceversa. La acumulación de diferencias durante el proceso inverso primero aleja la imagen del original y luego vuelve a él. En lógica, el ciclo de inversión está ilustrado por la paradoja de Epiménides: "todos los cretenses son mentirosos". Pero el propio Epiménides es cretense.

BUCLE EXTRAÑO. La esencia dinámica del fenómeno de un bucle extraño es que la imagen, transformándose y cada vez más diferente de la original, vuelve a la imagen original en el proceso de numerosas deformaciones, pero nunca la repite exactamente. Al describir este fenómeno, Hofstadter introduce el término "bucle extraño" en el libro. Concluye que tanto Escher, Bach y Gödel descubrieron o, más exactamente, utilizaron bucles extraños en su trabajo y creatividad en las artes visuales, la música y las matemáticas, respectivamente. Escher, en Metamorfosis, descubrió la extraña coherencia de los diversos planos de la realidad. Las formas de una de las perspectivas artísticas se transforman plásticamente en las formas de otra perspectiva artística (Fig. 5).

Arroz. 5. Mauricio Escher. Dibujo de manos. 1948

Tal extrañeza se manifestó de una manera extraña en la música. Uno de los cánones de la Ofrenda Musical de Bach ( Canon por Tonos- Canon tonal) está construido de tal manera que su final aparente pasa inesperadamente suave al principio, pero con un cambio de tono. Estas modulaciones sucesivas llevan al oyente más y más alto del tono original. Sin embargo, milagrosamente, después de seis modulaciones ya casi estamos de vuelta. Todas las voces suenan ahora exactamente una octava más alta que al principio. Lo único extraño es que a medida que ascendemos por los niveles de cierta jerarquía, de repente nos encontramos casi en el mismo lugar donde comenzamos nuestro viaje: volver sin repetir.

Kurt Gödel descubrió bucles extraños en una de las áreas más antiguas y dominadas de las matemáticas: la teoría de números. El teorema de Gödel vio la luz por primera vez como Teorema VI en su artículo de 1931 "Sobre proposiciones formalmente indecidibles" en Principle Mathematica. El teorema establece lo siguiente: todas las formulaciones axiomáticas consistentes de la teoría de números contienen proposiciones indecidibles. Los juicios de la teoría de los números no dicen nada acerca de los juicios de la teoría de los números; no son más que juicios de teoría de números. Aquí hay un bucle, pero no hay rarezas. Un bucle extraño está escondido en la prueba.

ATRACTOR EXTRAÑO. Atractor (del inglés. atraer atraer) un punto o una línea cerrada que atrae hacia sí todas las trayectorias posibles del comportamiento del sistema. El atractor es estable, es decir, a la larga, el único comportamiento posible es el atractor, todo lo demás es temporal. Un atractor es un objeto espacio-temporal que cubre todo el proceso, sin ser ni su causa ni su efecto. Está formado únicamente por sistemas con un número limitado de grados de libertad. Los atractores pueden ser un punto, un círculo, un toro y un fractal. En este último caso, el atractor se llama "extraño" (Fig. 6).

Un atractor puntual describe cualquier estado estable del sistema. En el espacio de fase, es un punto alrededor del cual se forman las trayectorias locales de un "nodo", "foco" o "silla de montar". Así es como se comporta el péndulo: a cualquier velocidad inicial y en cualquier posición inicial, después de un tiempo suficiente, bajo la acción de la fricción, el péndulo se detiene y llega a un estado de equilibrio estable. Un atractor circular (cíclico) es un movimiento de ida y vuelta, como un péndulo ideal (sin fricción), en un círculo.

Atractores extraños ( atractores extraños) parecen extraños solo desde el exterior, pero el término "atractor extraño" se difundió inmediatamente después de la aparición en 1971 del artículo "La naturaleza de la turbulencia" de David Ruel y el holandés Floris Takens (ver también). Ruelle y Takens se preguntaron si algún atractor tiene el conjunto correcto de características: estabilidad, un número limitado de grados de libertad y no periodicidad. Desde un punto de vista geométrico, la pregunta parecía un puro rompecabezas. ¿Qué forma debe tener una trayectoria infinitamente extendida, dibujada en un espacio limitado, para que nunca se repita o se cruce? Para reproducir cada ritmo, la órbita debe ser una línea infinitamente larga en un área limitada, en otras palabras, ser auto-tragante (Fig. 7).

En 1971, ya había un esbozo de tal atractor en la literatura científica. Eduard Lorentz lo convirtió en un apéndice de su artículo de 1963 sobre el caos determinista. Este atractor era estable, no periódico, tenía un pequeño número de grados de libertad y nunca se cruzó consigo mismo. Si esto ocurría, y volvía a un punto por el que ya había pasado, el movimiento se repetiría en el futuro, formando un atractor toroidal, pero esto no sucedió.

La extrañeza del atractor radica, como creía Ruel, en tres signos no equivalentes, pero en la práctica, que existen juntos:

• fractalidad (anidamiento, similitud, consistencia);
• determinismo (dependencia de las condiciones iniciales);
• singularidades (un número finito de parámetros definitorios).

Parte III. LA LIGEREZA IMAGINARIA DE LAS FORMAS FRACTALALES

NÚMEROS IMAGINARIOS, RETRATOS DE FASE Y PROBABILIDAD. La geometría fractal se basa en la teoría de los números imaginarios, los retratos de fase dinámica y la teoría de la probabilidad. La teoría de los números imaginarios supone que hay una raíz cuadrada de menos uno. Gerolamo Cardano en su obra "El gran arte" ("Ars Magna", 1545) presentó la solución general de la ecuación cúbica z 3 + pz + q = 0. Cardano utiliza números imaginarios como medio de formalismo técnico para expresar las raíces de la ecuacion. Se da cuenta de una extrañeza, que ilustra con una ecuación simple x 3 = 15x + 4. Esta ecuación tiene una solución obvia: x = 4. Sin embargo, la fórmula de generalización da un resultado extraño. Contiene la raíz de un número negativo:

Rafael Bombelli, en su libro de álgebra (L'Algebra, 1560), señaló que = 2 ± i, y esto le permitió inmediatamente obtener una raíz real x = 4. En tales casos, cuando los números complejos son conjugados, un real se obtiene la raíz y los números complejos sirven como ayuda técnica en el proceso de obtener una solución a una ecuación cúbica.

Newton creía que las soluciones que contenían una raíz de menos uno debían considerarse "sin significado físico" y descartarse. En los siglos XVII-XVIII, se formó un entendimiento de que algo imaginario, espiritual, imaginario no es menos real que todo lo real en su conjunto. Incluso podemos dar la fecha exacta del 10 de noviembre de 1619, cuando Descartes formuló el manifiesto del nuevo pensamiento "cogito ergo sum". A partir de este momento, el pensamiento es una realidad absoluta e indudable: “si pienso, entonces significa que existo”! Más precisamente, el pensamiento ahora se percibe como realidad. La idea de Descartes de un sistema de coordenadas ortogonales, gracias a los números imaginarios, encuentra su realización. Ahora es posible llenar estos números imaginarios con significados.

En el siglo XIX, los trabajos de Euler, Argan, Cauchy, Hamilton desarrollaron un aparato aritmético para trabajar con números complejos. Cualquier número complejo se puede representar como la suma de X + iY, donde X e Y son números reales que nos son familiares, y i unidad imaginaria (esencialmente es √–1). Cada número complejo corresponde a un punto con coordenadas (X, Y) en el llamado plano complejo.

El segundo concepto importante, el retrato de fase de un sistema dinámico, se formó en el siglo XX. Después de que Einstein demostrara que todo se mueve a la misma velocidad con respecto a la luz, se adquirió la idea de poder expresar el comportamiento dinámico de un sistema en forma de líneas geométricas congeladas, el llamado retrato de fase de un sistema dinámico. un significado físico claro.

Ilustrémoslo con el ejemplo de un péndulo. Los primeros experimentos con un péndulo que Jean Foucault realizó en 1851 en el sótano, luego en el Observatorio de París, luego bajo la cúpula del Panteón. Finalmente, en 1855, el péndulo de Foucault se colgó bajo la cúpula de la iglesia de Saint-Martin-des-Champs en París. La longitud de la cuerda del péndulo de Foucault es de 67 m, el peso de la pesa rusa es de 28 kg. Desde una gran distancia, el péndulo parece un punto. El punto es siempre estacionario. Acercándonos, distinguimos un sistema con tres trayectorias típicas: un oscilador armónico (senϕ ≈ ϕ), un péndulo (oscilaciones de ida y vuelta), una hélice (rotación).

Donde un observador local ve una de las tres configuraciones posibles del movimiento de la pelota, un analista separado del proceso puede suponer que la pelota hace uno de los tres movimientos típicos. Esto se puede mostrar en un plano. Es necesario estar de acuerdo en que moveremos la "bola en un hilo" a un espacio de fase abstracto que tiene tantas coordenadas como el número de grados de libertad que tiene el sistema en consideración. En este caso estamos hablando de una velocidad de dos grados de libertad. v y el ángulo de inclinación del hilo con la bola a la vertical ϕ. En las coordenadas ϕ y v, la trayectoria del oscilador armónico es un sistema de círculos concéntricos; a medida que aumenta el ángulo ϕ, estos círculos se vuelven ovalados, y cuando ϕ = ± π se pierde el cierre del óvalo. Esto significa que el péndulo ha cambiado al modo de hélice: v = constante(Figura 8).

Arroz. 8. Péndulo: a) trayectoria en el espacio de fase de un péndulo ideal; b) la trayectoria en el espacio de fase de un péndulo que oscila con amortiguamiento; c) retrato de fase

Puede que no haya longitudes, duraciones o movimientos en el espacio de fase. Aquí toda acción está dada de antemano, pero no toda acción es real. De la geometría sólo queda la topología, en lugar de medidas, parámetros, en lugar de dimensiones, dimensiones. Aquí, cualquier sistema dinámico tiene su propia impronta única del retrato de fase. Y entre ellos hay retratos de fase bastante extraños: al ser complejos, están determinados por un solo parámetro; siendo proporcionales, son desproporcionados; siendo continuos, son discretos. Estos extraños retratos de fase son característicos de los sistemas con una configuración fractal de atractores. La discreción de los centros de atracción (atractores) crea el efecto de un cuanto de acción, el efecto de una brecha o un salto, mientras que las trayectorias permanecen continuas y producen una única forma unida de un atractor extraño.

CLASIFICACIÓN DE LOS FRACTALES. El fractal tiene tres hipóstasis: formal, operativa y simbólica, que son ortogonales entre sí. Y esto significa que se puede obtener la misma forma de un fractal usando diferentes algoritmos, y la misma cantidad de dimensiones fractales pueden aparecer en fractales completamente diferentes. Teniendo en cuenta estas observaciones, clasificamos los fractales según sus características simbólicas, formales y operativas:

• simbólicamente, la dimensión característica de un fractal puede ser entera o fraccionaria;
• formalmente, los fractales pueden estar conectados, como una hoja o una nube, y desconectados, como el polvo;
• Sobre la base operativa, los fractales se pueden dividir en regulares y estocásticos.

Los fractales regulares se construyen de acuerdo con un algoritmo estrictamente definido. El proceso de construcción es reversible. Puede repetir todas las operaciones en orden inverso, borrando cualquier imagen creada en el proceso del algoritmo determinista, punto por punto. Un algoritmo determinista puede ser lineal o no lineal.

Los fractales estocásticos, similares en sentido estocástico, surgen cuando en el algoritmo para su construcción, en el proceso de iteraciones, algunos parámetros cambian aleatoriamente. El término "estocástico" proviene de la palabra griega estochasis- conjetura, conjetura. Un proceso estocástico es un proceso cuya naturaleza de cambio no se puede predecir con precisión. Los fractales se producen según el capricho de la naturaleza (superficies de falla de rocas, nubes, flujos turbulentos, espuma, geles, contornos de partículas de hollín, cambios en los precios de las acciones y niveles de los ríos, etc.), carecen de similitud geométrica, pero se reproducen obstinadamente. en cada fragmento las propiedades estadísticas del conjunto en promedio. La computadora le permite generar secuencias de números pseudoaleatorios e inmediatamente simular algoritmos y formas estocásticas.

FRACTALES LINEALES. Los fractales lineales se denominan así porque todos están construidos de acuerdo con un determinado algoritmo lineal. Estos fractales son autosimilares, no están distorsionados por ningún cambio de escala y no son diferenciables en ninguno de sus puntos. Para construir tales fractales, es suficiente especificar una base y un fragmento. Estos elementos se repetirán muchas veces, alejándose hasta el infinito.

Polvo de Kantor. En el siglo XIX, el matemático alemán Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor (1845–1918) propuso a la comunidad matemática un extraño conjunto de números entre 0 y 1. El conjunto contenía un número infinito de elementos en el intervalo especificado y, además, tenía dimensión cero. Una flecha disparada al azar difícilmente habría dado en al menos un elemento de este conjunto.

Primero debe elegir un segmento de longitud unitaria (primer paso: n = 0), luego dividirlo en tres partes y eliminar el tercio central (n = 1). Además, haremos exactamente lo mismo con cada uno de los segmentos formados. Como resultado de un número infinito de repeticiones de la operación, obtenemos el conjunto deseado de "polvo de Cantor". Ahora bien, no hay oposición entre lo discontinuo y lo infinitamente divisible, el “polvo de Cantor” es ambos (ver Fig. 1). "Cantor Dust" es un fractal. Su dimensión fractal es 0.6304…

Uno de los análogos bidimensionales del conjunto unidimensional de Cantor fue descrito por el matemático polaco Vaclav Sierpinski. Se llama "alfombra de cantor" o más a menudo "alfombra de Sierpinski". Él es estrictamente auto-similar. Podemos calcular su dimensión fractal como ln8/lnÇ = 1,89… (Fig. 9).

LÍNEAS QUE LLENAN EL PLANO. Considere toda una familia de fractales regulares, que son curvas capaces de llenar un plano. Leibniz también afirmó: “Si suponemos que alguien pone muchos puntos en un papel por casualidad,<… >Digo que es posible revelar una constante y completa, sujeta a cierta regla, una línea geométrica que pasará por todos los puntos. Esta declaración de Leibniz contradecía la comprensión euclidiana de la dimensión como el número más pequeño de parámetros por los cuales la posición de un punto en el espacio se determina de manera única. A falta de una prueba rigurosa, estas ideas de Leibniz quedaron en la periferia del pensamiento matemático.

Curva de Peano. Pero en 1890, el matemático italiano Giuseppe Peano construyó una línea que cubre completamente una superficie plana, pasando por todos sus puntos. La construcción de la "curva de Peano" se muestra en la fig. diez.

Mientras que la dimensión topológica de la curva de Peano es igual a uno, su dimensión fractal es igual a d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. En el marco de la geometría fractal, la paradoja se resolvió en el forma más natural. Una línea, como una telaraña, puede cubrir un plano. En este caso se establece una correspondencia biunívoca: cada punto de la recta corresponde a un punto del plano. Pero esta correspondencia no es biunívoca, porque cada punto del plano corresponde a uno o más puntos de la recta.

Curva de Hilbert. Un año después, en 1891, apareció un artículo del matemático alemán David Hilbert (1862-1943) en el que presentaba una curva que cubría un plano sin intersecciones ni tangencias. La construcción de la "curva de Hilbert" se muestra en la fig. once.

La curva de Hilbert fue el primer ejemplo de curvas FASS (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar space-filling self-avoiding, simple and self-similar lines). La dimensión fractal de la línea de Gilbert, así como la curva de Peano, es igual a dos.

Cinta Minkowski. Herman Minkowski, un amigo cercano de Hilbert desde su época de estudiante, construyó una curva que no cubre todo el plano, sino que forma una especie de cinta. Al construir la "cinta de Minkowski" en cada paso, cada segmento se reemplaza por una línea discontinua que consta de 8 segmentos. En la siguiente etapa, con cada nuevo segmento, la operación se repite en una escala de 1:4. La dimensión fractal de la tira de Minkowski es d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1,5.

FRACTALES NO LINEALES. La aplicación no lineal más sencilla del plano complejo sobre sí mismo es la aplicación de Julia z g z 2 + C considerada en la primera parte, es un cálculo en lazo cerrado en el que el resultado del ciclo anterior se multiplica por sí mismo con la suma de un cierto constante a él, es decir, bucle de retroalimentación (Fig. 13).

En el proceso de iteraciones para un valor fijo de la constante C, dependiendo de un punto de partida arbitrario Z 0 , el punto Z n en norte-> ∞ puede ser finito o infinito. Todo depende de la posición de Z 0 con respecto al origen z = 0. Si el valor calculado es finito, entonces se incluye en el conjunto de Julia; si tiende al infinito, entonces se corta del conjunto de Julia.

La forma obtenida después de aplicar el mapa de Julia a puntos de alguna superficie está determinada únicamente por el parámetro C. Para C pequeños, estos son bucles conectados simples, para C grandes, estos son grupos de puntos desconectados pero estrictamente ordenados. En general, todas las formas de Julia se pueden dividir en dos grandes familias: mapeos conectados y desconectados. Los primeros se asemejan al "copo de nieve de Koch", el segundo al "polvo de Cantor".

La diversidad de las formas de Julia desconcertó a los matemáticos cuando pudieron observar por primera vez estas formas en monitores de computadora. Los intentos de clasificar esta variedad fueron de una naturaleza muy arbitraria y llegaron al hecho de que la base para la clasificación de los mapas de Julia fue el conjunto de Mandelbrot, cuyos límites, como resultó, son asintóticamente similares a los mapas de Julia.

Con C = 0, la repetición del mapeo de Julia da una secuencia de números z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 ... Como resultado, son posibles tres opciones:

• para |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• para |z 0 | > 1 en el transcurso de las iteraciones, los números z n aumentan en valor absoluto, tendiendo a infinito. En este caso, el atractor es un punto en el infinito y excluimos tales valores del conjunto de Julia;
• para |z 0 | = 1 todos los puntos de la secuencia continúan permaneciendo en este círculo unitario. En este caso, el atractor es un círculo.

Así, en C = 0, el límite entre los puntos de partida atractivo y repulsivo es un círculo. En este caso, la aplicación tiene dos puntos fijos: z = 0 y z = 1. El primero de ellos es atractivo, ya que la derivada de la función cuadrática en cero es 0, y el segundo es repulsivo, ya que la derivada de la función cuadrática función en el valor del parámetro uno es igual a dos.

Considere la situación cuando la constante C es un número real, es decir parece que nos movemos a lo largo del eje del conjunto de Mandelbrot (Fig. 14). En C = –0,75, el límite del conjunto de Julia se autocruza y aparece el segundo atractor. El fractal en este punto lleva el nombre de San Marco fractal, dado por Mandelbrot en honor a la famosa catedral veneciana. Mirando la figura, no es difícil entender por qué a Mandelbrot se le ocurrió la idea de nombrar el fractal en honor a esta estructura: el parecido es asombroso.

Arroz. 14. Cambiando la forma del conjunto de Julia con una disminución en el valor real de C de 0 a -1

Disminuyendo C aún más a -1.25, obtenemos una nueva forma de tipo con cuatro puntos fijos, que persisten hasta C< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Arroz. 15. La aparición de nuevas formas del conjunto de Julia con una disminución del valor real C< –1

Entonces, incluso permaneciendo en el eje del fractal de Mandelbrot (la constante C es un número real), "capturamos" en el campo de atención y de alguna manera clasificamos una variedad bastante grande de formas de Julia desde el círculo hasta el polvo. Ahora considere las áreas de signos del fractal de Mandelbrot y las formas correspondientes de los fractales de Julia. En primer lugar, describamos el fractal de Mandelbrot en términos de "cardioide", "riñones" y "cebollas" (Fig. 16).

El cardioide principal y el círculo adyacente forman la forma básica del fractal de Mandelbrot. Están adyacentes a un número infinito de sus propias copias, que comúnmente se llaman riñones. Cada uno de estos brotes está rodeado por un número infinito de brotes más pequeños que se parecen. Los dos brotes más grandes por encima y por debajo del cardioide principal se llamaban cebollas.

El francés Adrien Dowdy y el estadounidense Bill Hubbard, que estudiaron el fractal típico de este conjunto (C = –0,12 + 0,74i), lo llamaron “fractal conejo” (Fig. 17).

Al cruzar el límite del fractal de Mandelbrot, los fractales de Julia siempre pierden su conexión y se convierten en polvo, lo que suele llamarse “polvo de Fatou” en honor a Pierre Fatou, quien demostró que para ciertos valores de C, un punto en el infinito atrae todo el plano complejo, a excepción de un conjunto muy delgado como el polvo (Fig. 18).

Fractales estocásticos. Hay una diferencia significativa entre una curva de von Koch estrictamente autosimilar y, por ejemplo, la costa de Noruega. Este último, al no ser estrictamente autosimilar, exhibe similitud en un sentido estadístico. Al mismo tiempo, ambas curvas están tan rotas que no puedes trazar una tangente a ninguno de sus puntos, o lo que es lo mismo, no puedes diferenciarla. Tales curvas son una especie de "monstruos" entre las líneas euclidianas normales. El primero en construir una función continua que no tiene tangente en ninguno de sus puntos fue Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Su trabajo fue presentado a la Real Academia Prusiana el 18 de julio de 1872 y publicado en 1875. Las funciones descritas por Weierstrass parecen ruido (Fig. 19).

Mire un gráfico de boletín de acciones, un resumen de las fluctuaciones de temperatura o las fluctuaciones de la presión del aire, y encontrará alguna irregularidad regular. Además, cuando se aumenta la escala, se conserva la naturaleza de la irregularidad. Y esto nos remite a la geometría fractal.

El movimiento browniano es uno de los ejemplos más famosos de un proceso estocástico. En 1926, Jean Perrin recibió el Premio Nobel por su estudio de la naturaleza del movimiento browniano. Fue él quien llamó la atención sobre la autosimilitud y la no diferenciabilidad de la trayectoria browniana.

Los descubrimientos más ingeniosos de la ciencia pueden cambiar radicalmente la vida humana. La vacuna inventada puede salvar a millones de personas, la creación de armas, por el contrario, se lleva estas vidas. Más recientemente (a la escala de la evolución humana) hemos aprendido a "domar" la electricidad, y ahora no podemos imaginar la vida sin todos estos dispositivos convenientes que usan electricidad. Pero también hay descubrimientos a los que poca gente le da importancia, aunque también influyen mucho en nuestra vida.

Uno de estos descubrimientos “imperceptibles” son los fractales. Probablemente hayas escuchado esta pegadiza palabra, pero ¿sabes lo que significa y cuántas cosas interesantes se esconden en este término?

Cada persona tiene una curiosidad natural, un deseo de aprender sobre el mundo que lo rodea. Y en esta aspiración, una persona trata de adherirse a la lógica en los juicios. Analizando los procesos que tienen lugar a su alrededor, intenta encontrar la lógica de lo que sucede y deducir alguna regularidad. Las mentes más grandes del planeta están ocupadas con esta tarea. En términos generales, los científicos están buscando un patrón donde no debería estar. Sin embargo, incluso en el caos, uno puede encontrar una conexión entre los eventos. Y esta conexión es un fractal.

Nuestra hijita, de cuatro años y medio, está ahora en esa maravillosa edad en la que la cantidad de preguntas “¿Por qué?” muchas veces mayor que el número de respuestas que los adultos tienen tiempo para dar. No hace mucho tiempo, al mirar una rama levantada del suelo, mi hija notó de repente que esta rama, con nudos y ramas, parecía un árbol. Y, por supuesto, seguía la habitual pregunta “¿Por qué?”, para la que los padres tenían que buscar una explicación sencilla que el niño pudiera entender.

La similitud de una sola rama con un árbol completo descubierta por un niño es una observación muy precisa, que una vez más atestigua el principio de autosimilitud recursiva en la naturaleza. Muchas formas orgánicas e inorgánicas en la naturaleza se forman de manera similar. Las nubes, las conchas marinas, la "casa" de un caracol, la corteza y la copa de los árboles, el sistema circulatorio, etc., las formas aleatorias de todos estos objetos pueden describirse mediante un algoritmo fractal.

⇡ Benoit Mandelbrot: el padre de la geometría fractal

La misma palabra "fractal" apareció gracias al brillante científico Benoît B. Mandelbrot.

Él mismo acuñó el término en la década de 1970, tomando prestada la palabra fractus del latín, donde literalmente significa "roto" o "aplastado". ¿Qué es? Hoy en día, la palabra "fractal" se usa con mayor frecuencia para referirse a una representación gráfica de una estructura que es similar a sí misma en una escala mayor.

La base matemática para el surgimiento de la teoría de los fractales se estableció muchos años antes del nacimiento de Benoit Mandelbrot, pero solo pudo desarrollarse con la llegada de los dispositivos informáticos. Al comienzo de su carrera científica, Benoit trabajó en el centro de investigación de IBM. En ese momento, los empleados del centro estaban trabajando en la transmisión de datos a distancia. En el curso de la investigación, los científicos se enfrentaron al problema de las grandes pérdidas derivadas de la interferencia del ruido. Benoit se enfrentó a una tarea difícil y muy importante: comprender cómo predecir la aparición de interferencias de ruido en los circuitos electrónicos cuando el método estadístico es ineficaz.

Mirando a través de los resultados de las mediciones de ruido, Mandelbrot llamó la atención sobre un patrón extraño: los gráficos de ruido en diferentes escalas tenían el mismo aspecto. Se observó un patrón idéntico independientemente de si se trataba de un gráfico de ruido de un día, una semana o una hora. Valió la pena cambiar la escala del gráfico, y la imagen se repitió cada vez.

Durante su vida, Benoit Mandelbrot dijo repetidamente que no se ocupaba de fórmulas, sino que simplemente jugaba con imágenes. Este hombre pensaba muy figurativamente, y traducía cualquier problema algebraico al campo de la geometría, donde, según él, la respuesta correcta siempre es obvia.

No sorprende que fuera un hombre con una imaginación espacial tan rica quien se convirtiera en el padre de la geometría fractal. Después de todo, la comprensión de la esencia de los fractales llega precisamente cuando comienzas a estudiar dibujos y piensas en el significado de los extraños patrones de remolinos.

Un patrón fractal no tiene elementos idénticos, pero tiene similitudes en cualquier escala. Construir una imagen de este tipo con un alto grado de detalle manualmente era simplemente imposible antes, requería una gran cantidad de cálculos. Por ejemplo, el matemático francés Pierre Joseph Louis Fatou describió este conjunto más de setenta años antes del descubrimiento de Benoit Mandelbrot. Si hablamos de los principios de autosemejanza, se mencionaron en los trabajos de Leibniz y Georg Cantor.

Uno de los primeros dibujos de un fractal fue una interpretación gráfica del conjunto de Mandelbrot, que nació de la investigación de Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (siempre enmascarado - lesión de la Primera Guerra Mundial)

Este matemático francés se preguntó cómo se vería un conjunto si se construyera a partir de una fórmula simple iterada por un circuito de retroalimentación. Si se explica "en los dedos", esto significa que para un número específico encontramos un nuevo valor usando la fórmula, después de lo cual lo sustituimos nuevamente en la fórmula y obtenemos otro valor. El resultado es una gran secuencia de números.

Para obtener una imagen completa de dicho conjunto, debe realizar una gran cantidad de cálculos: cientos, miles, millones. Era simplemente imposible hacerlo manualmente. Pero cuando aparecieron potentes dispositivos informáticos a disposición de los matemáticos, pudieron echar un nuevo vistazo a fórmulas y expresiones que habían sido de interés durante mucho tiempo. Mandelbrot fue el primero en usar una computadora para calcular el fractal clásico. Habiendo procesado una secuencia que constaba de una gran cantidad de valores, Benoit transfirió los resultados a un gráfico. Esto es lo que obtuvo.

Posteriormente, esta imagen fue coloreada (por ejemplo, una forma de colorear es por el número de iteraciones) y se convirtió en una de las imágenes más populares jamás creadas por el hombre.

Como dice el antiguo dicho atribuido a Heráclito de Éfeso: “No se puede entrar dos veces en el mismo río”. Es el más adecuado para interpretar la geometría de los fractales. No importa qué tan detallado examinemos una imagen fractal, siempre veremos un patrón similar.

Aquellos que deseen ver cómo se vería una imagen del espacio de Mandelbrot cuando se amplía muchas veces pueden hacerlo cargando un GIF animado.

⇡ Lauren Carpenter: arte creado por la naturaleza

La teoría de los fractales pronto encontró una aplicación práctica. Dado que está estrechamente relacionado con la visualización de imágenes autosimilares, no sorprende que los primeros en adoptar algoritmos y principios para construir formas inusuales fueran los artistas.

El futuro cofundador del legendario estudio Pixar, Loren C. Carpenter, comenzó a trabajar en Boeing Computer Services en 1967, que era una de las divisiones de la conocida corporación dedicada al desarrollo de nuevos aviones.

En 1977, creó presentaciones con prototipos de modelos voladores. Lauren fue responsable de desarrollar las imágenes del avión que se estaba diseñando. Tuvo que crear imágenes de nuevos modelos, mostrando futuros aviones desde diferentes ángulos. En algún momento, al futuro fundador de Pixar Animation Studios se le ocurrió la idea creativa de utilizar una imagen de montañas como fondo. Hoy, cualquier escolar puede resolver ese problema, pero a fines de los años setenta del siglo pasado, las computadoras no podían hacer frente a cálculos tan complejos: no había editores gráficos, sin mencionar las aplicaciones para gráficos tridimensionales. En 1978, Lauren vio accidentalmente el libro Fractals: Form, Randomness and Dimension de Benoit Mandelbrot en una tienda. En este libro, llamó su atención el hecho de que Benoit dio muchos ejemplos de formas fractales en la vida real y demostró que pueden describirse mediante una expresión matemática.

Esta analogía fue escogida por el matemático no por casualidad. El caso es que nada más publicar su investigación tuvo que enfrentarse a todo un aluvión de críticas. Lo principal que le reprocharon sus colegas fue la inutilidad de la teoría desarrollada. “Sí”, dijeron, “estos son hermosos cuadros, pero nada más. La teoría de los fractales no tiene valor práctico”. También hubo quienes generalmente creían que los patrones fractales eran simplemente un subproducto del trabajo de las "máquinas diabólicas", que a finales de los años setenta les parecía a muchos algo demasiado complicado e inexplorado como para ser completamente confiable. Mandelbrot trató de encontrar una aplicación obvia de la teoría de los fractales, pero, en general, no necesitaba hacer esto. Los seguidores de Benoit Mandelbrot durante los siguientes 25 años demostraron ser de gran utilidad para tal "curiosidad matemática", y Lauren Carpenter fue una de las primeras en poner en práctica el método fractal.

Habiendo estudiado el libro, el futuro animador estudió seriamente los principios de la geometría fractal y comenzó a buscar una forma de implementarlos en gráficos por computadora. En solo tres días de trabajo, Lauren pudo visualizar una imagen realista del sistema montañoso en su computadora. En otras palabras, con la ayuda de fórmulas, pintó un paisaje de montaña completamente reconocible.

El principio que usó Lauren para lograr su objetivo fue muy simple. Consistía en dividir una figura geométrica mayor en elementos pequeños, y estos, a su vez, se dividían en figuras similares de menor tamaño.

Usando triángulos más grandes, Carpenter los dividió en cuatro más pequeños y luego repitió este procedimiento una y otra vez hasta que tuvo un paisaje montañoso realista. Así, logró convertirse en el primer artista en utilizar un algoritmo fractal en gráficos por computadora para construir imágenes. Tan pronto como se supo del trabajo realizado, entusiastas de todo el mundo recogieron esta idea y comenzaron a utilizar el algoritmo fractal para simular formas naturales realistas.

Una de las primeras representaciones 3D usando el algoritmo fractal

Solo unos años más tarde, Lauren Carpenter pudo aplicar sus logros en un proyecto mucho más grande. El animador los basó en una demostración de dos minutos, Vol Libre, que se mostró en Siggraph en 1980. Este video sorprendió a todos los que lo vieron y Lauren recibió una invitación de Lucasfilm.

La animación fue renderizada en una computadora VAX-11/780 de Digital Equipment Corporation a una velocidad de reloj de cinco megahercios, y cada fotograma tardó aproximadamente media hora en dibujarse.

Trabajando para Lucasfilm Limited, el animador creó los mismos paisajes 3D para el segundo largometraje de la saga Star Trek. En The Wrath of Khan, Carpenter pudo crear un planeta completo utilizando el mismo principio de modelado de superficie fractal.

Actualmente, todas las aplicaciones populares para crear paisajes en 3D utilizan el mismo principio de generar objetos naturales. Terragen, Bryce, Vue y otros editores 3D se basan en un algoritmo de modelado de textura y superficie fractal.

⇡ Antenas fractales: menos es mejor, pero mejor

Durante el último medio siglo, la vida ha cambiado rápidamente. La mayoría de nosotros damos por sentados los avances de la tecnología moderna. Todo lo que te hace la vida más cómoda, te acostumbras muy rápido. Rara vez alguien hace las preguntas "¿De dónde vino esto?" ¿Y, cómo funciona?". Un horno de microondas calienta el desayuno, bueno, genial, un teléfono inteligente te permite hablar con otra persona, genial. Esto nos parece una posibilidad obvia.

Pero la vida podría ser completamente diferente si una persona no buscara una explicación para los hechos que están ocurriendo. Tomemos, por ejemplo, los teléfonos celulares. ¿Recuerdas las antenas retráctiles de los primeros modelos? Interfirieron, aumentaron el tamaño del dispositivo, al final, a menudo se rompieron. Creemos que se han hundido en el olvido para siempre, y en parte por eso... los fractales.

Los dibujos fractales fascinan con sus patrones. Definitivamente se asemejan a imágenes de objetos espaciales: nebulosas, cúmulos de galaxias, etc. Por lo tanto, es bastante natural que cuando Mandelbrot expresó su teoría de los fractales, su investigación despertó un mayor interés entre los que estudiaban astronomía. Uno de esos aficionados llamado Nathan Cohen, después de asistir a una conferencia de Benoit Mandelbrot en Budapest, se inspiró en la idea de la aplicación práctica de los conocimientos adquiridos. Es cierto que lo hizo de forma intuitiva y el azar jugó un papel importante en su descubrimiento. Como radioaficionado, Nathan buscó crear una antena con la mayor sensibilidad posible.

La única forma de mejorar los parámetros de la antena, que se conocía en ese momento, era aumentar sus dimensiones geométricas. Sin embargo, el propietario del apartamento de Nathan en el centro de Boston se opuso rotundamente a la instalación de grandes dispositivos en la azotea. Entonces Nathan comenzó a experimentar con varias formas de antenas, tratando de obtener el máximo resultado con el mínimo tamaño. Entusiasmado con la idea de las formas fractales, Cohen, como dicen, hizo al azar uno de los fractales más famosos con alambre: el "copo de nieve de Koch". El matemático sueco Helge von Koch ideó esta curva en 1904. Se obtiene dividiendo el segmento en tres partes y reemplazando el segmento medio por un triángulo equilátero sin lado coincidente con este segmento. La definición es un poco difícil de entender, pero la figura es clara y simple.

También hay otras variedades de la "curva de Koch", pero la forma aproximada de la curva sigue siendo similar.

Cuando Nathan conectó la antena al receptor de radio, se sorprendió mucho: la sensibilidad aumentó drásticamente. Después de una serie de experimentos, el futuro profesor de la Universidad de Boston se dio cuenta de que una antena hecha según un patrón fractal tiene una alta eficiencia y cubre un rango de frecuencia mucho más amplio en comparación con las soluciones clásicas. Además, la forma de la antena en forma de curva fractal puede reducir significativamente las dimensiones geométricas. Nathan Cohen incluso desarrolló un teorema que demuestra que para crear una antena de banda ancha basta con darle la forma de una curva fractal autosimilar.

El autor patentó su descubrimiento y fundó una empresa para el desarrollo y diseño de antenas fractales Fractal Antenna Systems, creyendo con razón que en el futuro, gracias a su descubrimiento, los teléfonos móviles podrán deshacerse de las antenas voluminosas y volverse más compactos.

Básicamente, eso es lo que pasó. Cierto, hasta el día de hoy, Nathan está en una demanda con grandes corporaciones que usan ilegalmente su descubrimiento para producir dispositivos de comunicación compactos. Algunos fabricantes de dispositivos móviles muy conocidos, como Motorola, ya han llegado a un acuerdo de paz con el inventor de la antena fractal.

⇡ Dimensiones fractales: la mente no entiende

Benoit tomó prestada esta pregunta del famoso científico estadounidense Edward Kasner.

Este último, como muchos otros matemáticos famosos, era muy aficionado a comunicarse con los niños, haciéndoles preguntas y obteniendo respuestas inesperadas. A veces esto llevó a resultados sorprendentes. Entonces, por ejemplo, al sobrino de Edward Kasner, de nueve años, se le ocurrió la ahora conocida palabra "googol", que denota una unidad con cien ceros. Pero volvamos a los fractales. Al matemático estadounidense le gustaba preguntar cuánto mide la costa de Estados Unidos. Después de escuchar la opinión del interlocutor, el propio Edward pronunció la respuesta correcta. Si mide la longitud en el mapa con segmentos rotos, el resultado será inexacto, porque la costa tiene una gran cantidad de irregularidades. ¿Y qué pasa si mides con la mayor precisión posible? Deberá tener en cuenta la longitud de cada desnivel: deberá medir cada cabo, cada bahía, roca, la longitud de un saliente rocoso, una piedra en él, un grano de arena, un átomo, etc. Dado que el número de irregularidades tiende al infinito, la longitud medida de la línea de costa aumentará al infinito con cada nueva irregularidad.

Cuanto menor sea la medida al medir, mayor será la longitud medida

Curiosamente, siguiendo las indicaciones de Edward, los niños fueron mucho más rápidos que los adultos en decir la respuesta correcta, mientras que estos últimos tuvieron problemas para aceptar una respuesta tan increíble.

Usando este problema como ejemplo, Mandelbrot sugirió usar un nuevo enfoque para las mediciones. Dado que la línea de costa está cerca de una curva fractal, significa que se le puede aplicar un parámetro característico, la llamada dimensión fractal.

Cuál es la dimensión habitual está claro para cualquiera. Si la dimensión es igual a uno, obtenemos una línea recta, si dos, una figura plana, tres, volumen. Sin embargo, tal comprensión de la dimensión en matemáticas no funciona con curvas fractales, donde este parámetro tiene un valor fraccionario. La dimensión fractal en matemáticas puede considerarse condicionalmente como "rugosidad". Cuanto mayor sea la rugosidad de la curva, mayor será su dimensión fractal. Una curva que, según Mandelbrot, tiene una dimensión fractal superior a su dimensión topológica, tiene una longitud aproximada que no depende del número de dimensiones.

Actualmente, los científicos están encontrando cada vez más áreas para la aplicación de la teoría fractal. Con la ayuda de los fractales, puede analizar las fluctuaciones en los precios de las acciones, explorar todo tipo de procesos naturales, como las fluctuaciones en el número de especies, o simular la dinámica de los flujos. Los algoritmos fractales se pueden utilizar para la compresión de datos, por ejemplo, para la compresión de imágenes. Y, por cierto, para obtener un hermoso fractal en la pantalla de su computadora, no es necesario tener un doctorado.

⇡ Fractal en el navegador

Quizás una de las formas más fáciles de obtener un patrón fractal es usar el editor de vectores en línea de un joven programador talentoso, Toby Schachman. El conjunto de herramientas de este sencillo editor de gráficos se basa en el mismo principio de autosimilitud.

Solo hay dos formas simples a su disposición: un cuadrado y un círculo. Puede agregarlos al lienzo, escalar (para escalar a lo largo de uno de los ejes, mantenga presionada la tecla Mayús) y rotar. Superpuestos en el principio de las operaciones de suma booleana, estos elementos más simples forman formas nuevas y menos triviales. Además, estas nuevas formas se pueden agregar al proyecto y el programa repetirá la generación de estas imágenes indefinidamente. En cualquier etapa de trabajo en un fractal, puede volver a cualquier componente de una forma compleja y editar su posición y geometría. Es muy divertido, especialmente cuando consideras que la única herramienta que necesitas para ser creativo es un navegador. Si no comprende el principio de trabajar con este editor de vectores recursivo, le recomendamos que vea el video en el sitio web oficial del proyecto, que muestra en detalle todo el proceso de creación de un fractal.

⇡ XaoS: fractales para todos los gustos

Muchos editores gráficos tienen herramientas integradas para crear patrones fractales. Sin embargo, estas herramientas suelen ser secundarias y no le permiten afinar el patrón fractal generado. En los casos en que sea necesario construir un fractal matemáticamente preciso, el editor multiplataforma XaoS vendrá al rescate. Este programa hace posible no solo construir una imagen similar a sí misma, sino también realizar varias manipulaciones con ella. Por ejemplo, en tiempo real, puede "caminar" a través de un fractal cambiando su escala. El movimiento animado a lo largo de un fractal puede guardarse como un archivo XAF y luego reproducirse en el propio programa.

XaoS puede cargar un conjunto aleatorio de parámetros, así como usar varios filtros de posprocesamiento de imágenes: agregar un efecto de movimiento borroso, suavizar transiciones nítidas entre puntos fractales, simular una imagen 3D, etc.

⇡ Fractal Zoomer: generador de fractales compacto

En comparación con otros generadores de imágenes fractales, tiene varias ventajas. En primer lugar, es de tamaño bastante pequeño y no requiere instalación. En segundo lugar, implementa la capacidad de definir la paleta de colores de la imagen. Puede elegir tonos en modelos de color RGB, CMYK, HVS y HSL.

También es muy conveniente utilizar la opción de selección aleatoria de tonos de color y la función de invertir todos los colores de la imagen. Para ajustar el color, existe una función de selección cíclica de sombras: cuando se activa el modo correspondiente, el programa anima la imagen, cambiando cíclicamente los colores en ella.

Fractal Zoomer puede visualizar 85 funciones fractales diferentes, y las fórmulas se muestran claramente en el menú del programa. Hay filtros para el procesamiento posterior de imágenes en el programa, aunque en una pequeña cantidad. Cada filtro asignado se puede cancelar en cualquier momento.

⇡ Mandelbulb3D: editor de fractales 3D

Cuando se usa el término "fractal", generalmente significa una imagen bidimensional plana. Sin embargo, la geometría fractal va más allá de la dimensión 2D. En la naturaleza, uno puede encontrar tanto ejemplos de formas fractales planas, digamos, la geometría del rayo, como figuras tridimensionales tridimensionales. Las superficies fractales pueden ser 3D, y una ilustración muy gráfica de los fractales 3D en la vida cotidiana es una cabeza de repollo. Quizás la mejor manera de ver los fractales es en Romanesco, un híbrido de coliflor y brócoli.

Y este fractal se puede comer

El programa Mandelbulb3D puede crear objetos tridimensionales con una forma similar. Para obtener una superficie 3D usando el algoritmo fractal, los autores de esta aplicación, Daniel White y Paul Nylander, convirtieron el conjunto de Mandelbrot a coordenadas esféricas. El programa Mandelbulb3D que crearon es un verdadero editor tridimensional que modela superficies fractales de varias formas. Dado que a menudo observamos patrones fractales en la naturaleza, un objeto tridimensional fractal creado artificialmente parece increíblemente realista e incluso "vivo".

Puede parecer una planta, puede parecerse a un animal extraño, un planeta o algo más. Este efecto se ve potenciado por un algoritmo de renderizado avanzado que permite obtener reflejos realistas, calcular transparencias y sombras, simular el efecto de profundidad de campo, etc. Mandelbulb3D tiene una gran cantidad de configuraciones y opciones de renderizado. Puede controlar los tonos de las fuentes de luz, elegir el fondo y el nivel de detalle del objeto modelado.

El editor de fractales de Incendia admite el suavizado de imágenes dobles, contiene una biblioteca de cincuenta fractales tridimensionales diferentes y tiene un módulo separado para editar formas básicas.

La aplicación utiliza secuencias de comandos fractales, con las que puede describir de forma independiente nuevos tipos de estructuras fractales. Incendia tiene editores de texturas y materiales, y un motor de renderizado que le permite usar efectos de niebla volumétrica y varios sombreadores. El programa tiene una opción para guardar el búfer durante el renderizado a largo plazo, se admite la creación de animaciones.

Incendia le permite exportar un modelo fractal a formatos de gráficos 3D populares: OBJ y STL. Incendia incluye una pequeña utilidad Geométrica, una herramienta especial para configurar la exportación de una superficie fractal a un modelo tridimensional. Con esta utilidad, puede determinar la resolución de una superficie 3D, especificar el número de iteraciones fractales. Los modelos exportados se pueden usar en proyectos 3D cuando se trabaja con editores 3D como Blender, 3ds max y otros.

Recientemente, el trabajo en el proyecto Incendia se ha ralentizado un poco. Por el momento, el autor está buscando patrocinadores que lo ayuden a desarrollar el programa.

Si no tienes suficiente imaginación para dibujar un hermoso fractal tridimensional en este programa, no importa. Utilice la biblioteca de parámetros, que se encuentra en la carpeta INCENDIA_EX\parameters. Con la ayuda de los archivos PAR, puede encontrar rápidamente las formas fractales más inusuales, incluidas las animadas.

⇡ Aural: cómo cantan los fractales

No solemos hablar de proyectos en los que recién se está trabajando, pero en este caso tenemos que hacer una excepción, se trata de una aplicación muy poco habitual. Un proyecto llamado Aural surgió con la misma persona que Incendia. Es cierto que esta vez el programa no visualiza el conjunto fractal, sino que lo expresa, convirtiéndolo en música electrónica. La idea es muy interesante, especialmente considerando las propiedades inusuales de los fractales. Aural es un editor de audio que genera melodías mediante algoritmos fractales, es decir, en realidad es un sintetizador-secuenciador de audio.

La secuencia de sonidos que emite este programa es inusual y... hermosa. Puede ser útil para escribir ritmos modernos y, en nuestra opinión, es especialmente adecuado para crear bandas sonoras para las introducciones de programas de radio y televisión, así como "bucles" de música de fondo para juegos de computadora. Ramiro aún no ha proporcionado una demostración de su programa, pero promete que cuando lo haga, para poder trabajar con Aural, no necesitará aprender la teoría de los fractales, solo jugar con los parámetros del algoritmo para generar una secuencia de notas. . Escucha cómo suenan los fractales, y.

Fractales: pausa musical

De hecho, los fractales pueden ayudar a escribir música incluso sin software. Pero esto solo puede hacerlo alguien que esté verdaderamente imbuido de la idea de la armonía natural y al mismo tiempo no se haya convertido en un desafortunado "nerd". Tiene sentido seguir el ejemplo de un músico llamado Jonathan Coulton, quien, entre otras cosas, escribe composiciones para la revista Popular Science. Y a diferencia de otros artistas, Colton publica todas sus obras bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-No comercial, que (cuando se utiliza para fines no comerciales) permite la copia, distribución, transferencia de obras a otros, así como su modificación (creación de obras derivadas) para adaptarlo a sus necesidades.

Jonathan Colton, por supuesto, tiene una canción sobre fractales.

⇡ Conclusión

En todo lo que nos rodea, a menudo vemos caos, pero en realidad no se trata de un accidente, sino de una forma ideal, que los fractales nos ayudan a discernir. La naturaleza es el mejor arquitecto, el constructor e ingeniero ideal. Está organizado de manera muy lógica, y si en algún lugar no vemos patrones, esto significa que debemos buscarlo en una escala diferente. La gente entiende esto cada vez mejor, tratando de imitar las formas naturales de muchas maneras. Los ingenieros diseñan sistemas de altavoces en forma de caparazón, crean antenas con geometría de copo de nieve, etc. Estamos seguros de que los fractales aún guardan muchos secretos, y muchos de ellos aún no han sido descubiertos por el hombre.