Teoría detallada con ejemplos (2020). Distancia desde un punto a un plano. Teoría detallada con ejemplos (2020) Distancia del punto d al plano
Consideremos un cierto plano π y un punto arbitrario M 0 en el espacio. Elijamos por el avión. vector unitario normal norte con el principio en algún punto M 1 ∈ π, y sea p(M 0 ,π) la distancia desde el punto M 0 al plano π. Entonces (figura 5.5)
р(М 0 ,π) = | pr norte M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
desde |norte| = 1.
Si el plano π está dado en sistema de coordenadas rectangular con su ecuación general Ax + By + Cz + D = 0, entonces su vector normal es el vector de coordenadas (A; B; C) y podemos elegir
Sean (x 0 ; y 0 ; z 0 ) y (x 1 ; y 1 ; z 1 ) las coordenadas de los puntos M 0 y M 1 . Entonces se cumple la igualdad Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, ya que el punto M 1 pertenece al plano, y se pueden encontrar las coordenadas del vector M 1 M 0: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ). Grabación producto escalar nM 1 M 0 en forma de coordenadas y transformando (5.8), obtenemos
ya que Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Entonces, para calcular la distancia de un punto a un plano, debes sustituir las coordenadas del punto en la ecuación general del plano y luego dividir el valor absoluto de el resultado por un factor de normalización igual a la longitud del vector normal correspondiente.
PROBLEMAS C2 DEL EXAMEN ESTATAL UNIFORME DE MATEMÁTICAS PARA ENCONTRAR LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Kulikova Anastasia Yurievna
Estudiante de 5to año, Departamento de Matemáticas. análisis, álgebra y geometría EI KFU, Federación de Rusia, República de Tartaristán, Elabuga
Ganeeva Aigul Rifovna
supervisor científico, Ph.D. ped. Ciencias, Profesor Asociado EI KFU, Federación de Rusia, República de Tartaristán, Elabuga
En los últimos años, en las tareas del Examen Estatal Unificado de Matemáticas han aparecido tareas para calcular la distancia de un punto a un plano. En este artículo, utilizando el ejemplo de un problema, se consideran varios métodos para encontrar la distancia de un punto a un plano. Se puede utilizar el método más adecuado para resolver diversos problemas. Habiendo resuelto un problema usando un método, puede verificar la exactitud del resultado usando otro método.
Definición. La distancia de un punto a un plano que no contiene este punto es la longitud del segmento perpendicular trazado desde este punto al plano dado.
Tarea. Dado un paralelepípedo rectangular ABCONDA 1 B 1 C 1 D 1 con lados AB=2, ANTES DE CRISTO.=4, AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. 1 = 6. Encuentra la distancia desde el punto. D calle superior C.A.D 1 .
1 vía. Usando definición. Encuentra la distancia r( D, C.A.D 1) desde el punto D calle superior C.A.D 1 (Figura 1).
Figura 1. Primer método
llevemos a cabo D.H.⊥C.A., por tanto, por el teorema de las tres perpendiculares D 1 h⊥C.A. Y (DD 1 h)⊥C.A.. llevemos a cabo directo DT perpendicular D 1 h. Derecho DT se encuentra en un avión DD 1 h, por eso DT⊥C.A.. Por eso, DT⊥C.A.D 1.
Acorriente continua encontremos la hipotenusa C.A. y altura D.H.
De un triángulo rectángulo D 1 D.H. encontremos la hipotenusa D 1 h y altura DT
Respuesta: .
2 vías.método de volumen (uso de una pirámide auxiliar). Un problema de este tipo se puede reducir al problema de calcular la altura de una pirámide, donde la altura de la pirámide es la distancia requerida de un punto a un plano. Demuestre que esta altura es la distancia requerida; Encuentra el volumen de esta pirámide de dos maneras y expresa esta altura.
Tenga en cuenta que con este método no es necesario construir una perpendicular desde un punto determinado a un plano determinado.
Un cuboide es un paralelepípedo cuyas caras son rectángulos.
AB=CD=2, ANTES DE CRISTO.=ANUNCIO=4, AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. 1 =6.
La distancia requerida será la altura. h pirámides ACD 1 D, bajado desde arriba D En la base ACD 1 (Figura 2).
Calculemos el volumen de la pirámide. ACD 1 D dos caminos.
Al calcular, en la primera forma tomamos ∆ como base ACD 1 entonces
Al calcular de la segunda forma, tomamos ∆ como base ACD, Entonces
Igualemos los lados derechos de las dos últimas igualdades y obtengamos
Figura 2. Segundo método
De triángulos rectángulos C.A.D, AGREGAR 1 , CDD 1 encontrar la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras
ACD
Calcular el área del triángulo. C.A.D 1 usando la fórmula de Heron
Respuesta: .
3 vías. Método de coordenadas.
Que se dé un punto METRO(X 0 ,y 0 ,z 0) y avión α , dada por la ecuación hacha+por+cz+d=0 en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular. Distancia desde el punto METRO al plano α se puede calcular mediante la fórmula:
Introduzcamos un sistema de coordenadas (Fig. 3). Origen de coordenadas en un punto. EN;
Derecho AB- eje X, derecho Sol- eje y, derecho CAMA Y DESAYUNO 1 - eje z.
Figura 3. Tercer método
B(0,0,0), A(2,0,0), CON(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).
Dejar ax+por+ cz+ d=0 – ecuación plana ACD 1 . Sustituyendo las coordenadas de los puntos en él. A, C, D 1 obtenemos:
Ecuación plana ACD 1 tomará la forma
Respuesta: .
4 maneras. Método vectorial.
Introduzcamos la base (Fig. 4) , .
Figura 4. Cuarto método
, Concurso "Presentación de la lección"
Clase: 11
Presentación para la lección.
De vuelta atras
¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.
Objetivos:
- generalización y sistematización de conocimientos y habilidades de los estudiantes;
- desarrollo de habilidades para analizar, comparar, sacar conclusiones.
Equipo:
- proyector multimedia;
- computadora;
- hojas con textos problemáticos
PROGRESO DE LA CLASE
I. Momento organizacional
II. Etapa de actualización de conocimientos(diapositiva 2)
Repetimos cómo se determina la distancia de un punto a un plano.
III. Conferencia(diapositivas 3-15)
En esta lección veremos varias formas de encontrar la distancia de un punto a un plano.
Primer método: computacional paso a paso
Distancia del punto M al plano α:
– igual a la distancia al plano α desde un punto arbitrario P situado en una recta a, que pasa por el punto M y es paralela al plano α;
– es igual a la distancia al plano α desde un punto arbitrario P que se encuentra en el plano β, que pasa por el punto M y es paralelo al plano α.
Resolveremos los siguientes problemas:
№1. En el cubo A...D 1, encuentre la distancia desde el punto C 1 al plano AB 1 C.
Queda por calcular el valor de la longitud del segmento O 1 N.
№2. En un prisma hexagonal regular A...F 1, cuyas aristas son iguales a 1, encuentre la distancia desde el punto A al plano DEA 1.
Siguiente método: método de volumen.
Si el volumen de la pirámide ABCM es igual a V, entonces la distancia desde el punto M al plano α que contiene ∆ABC se calcula mediante la fórmula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Al resolver problemas utilizamos la igualdad de volúmenes de una figura, expresada de dos formas diferentes.
Resolvamos el siguiente problema:
№3. El borde AD de la pirámide DABC es perpendicular al plano base ABC. Encuentre la distancia de A al plano que pasa por los puntos medios de los bordes AB, AC y AD, si.
Al resolver problemas método de coordenadas la distancia desde el punto M al plano α se puede calcular usando la fórmula ρ(M; α) = 
, donde M(x 0; y 0; z 0), y el plano viene dado por la ecuación ax + by + cz + d = 0
Resolvamos el siguiente problema:
№4. En un cubo unitario A...D 1, encuentre la distancia desde el punto A 1 al plano BDC 1.
Introduzcamos un sistema de coordenadas con el origen en el punto A, el eje y correrá a lo largo del borde AB, el eje x a lo largo del borde AD y el eje z a lo largo del borde AA 1. Entonces las coordenadas de los puntos B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Creemos una ecuación para un avión que pasa por los puntos B, D, C 1.
Entonces – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Por lo tanto, ρ = 
El siguiente método que se puede utilizar para resolver problemas de este tipo es Método de problemas de soporte.
La aplicación de este método consiste en el uso de problemas de referencia conocidos, que se formulan como teoremas.
Resolvamos el siguiente problema:
№5. En un cubo unitario A...D 1, encuentre la distancia desde el punto D 1 al plano AB 1 C.
Consideremos la aplicación. método vectorial.
№6. En un cubo unitario A...D 1, encuentre la distancia desde el punto A 1 al plano BDC 1.
Entonces, analizamos varios métodos que pueden usarse para resolver este tipo de problema. La elección de un método u otro depende de la tarea concreta y de tus preferencias.
IV. Trabajo en equipo
Intente resolver el problema de diferentes maneras.
№1. La arista del cubo A...D 1 es igual a . Encuentre la distancia desde el vértice C al plano BDC 1.
№2. En un tetraedro regular ABCD con arista, encuentre la distancia del punto A al plano BDC.
№3. En un prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1 cuyas aristas son iguales a 1, encuentre la distancia de A al plano BCA 1.
№4. En una pirámide cuadrilátera regular SABCD, cuyas aristas son iguales a 1, encuentre la distancia de A al plano SCD.
V. Resumen de la lección, tarea, reflexión.