¿Qué es una ecuación lineal con uno. Ecuación con una variable. Ecuaciones lineales con dos variables

10.11.2020

Y así sucesivamente, es lógico familiarizarse con ecuaciones de otros tipos. Los siguientes en la fila son ecuaciones lineales, cuyo estudio con propósito comienza en lecciones de álgebra en el grado 7.

Está claro que primero debe explicar qué es una ecuación lineal, dar una definición de una ecuación lineal, sus coeficientes, mostrar su forma general. Luego, puede averiguar cuántas soluciones tiene una ecuación lineal según los valores de los coeficientes y cómo se encuentran las raíces. Esto le permitirá pasar a la resolución de ejemplos y, por lo tanto, consolidar la teoría estudiada. En este artículo haremos esto: nos detendremos en detalle en todos los puntos teóricos y prácticos relacionados con las ecuaciones lineales y su solución.

Digamos de inmediato que aquí consideraremos solo ecuaciones lineales con una variable, y en un artículo separado estudiaremos los principios para resolver ecuaciones lineales en dos variables.

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¿Qué es una ecuación lineal?

La definición de una ecuación lineal viene dada por la forma de su notación. Además, en diferentes libros de texto de matemáticas y álgebra, las formulaciones de las definiciones de ecuaciones lineales tienen algunas diferencias que no afectan la esencia del tema.

Por ejemplo, en un libro de texto de álgebra para el grado 7 de Yu. N. Makarycheva y otros, una ecuación lineal se define de la siguiente manera:

Definición.

Ecuación tipo hacha=b, donde x es una variable, a y b son algunos números, se llama ecuación lineal con una variable.

Demos ejemplos de ecuaciones lineales correspondientes a la definición expresada. Por ejemplo, 5 x=10 es una ecuación lineal con una variable x , aquí el coeficiente a es 5 y el número b es 10 . Otro ejemplo: −2.3 y=0 también es una ecuación lineal, pero con la variable y , donde a=−2.3 y b=0 . Y en las ecuaciones lineales x=−2 y −x=3.33 a no están explícitamente presentes y son iguales a 1 y −1, respectivamente, mientras que en la primera ecuación b=−2 , y en la segunda - b=3.33 .

Y un año antes, en el libro de texto de matemáticas de N. Ya. Vilenkin, las ecuaciones lineales con una incógnita, además de las ecuaciones de la forma a x = b, también se consideraron ecuaciones que pueden reducirse a esta forma transfiriendo términos de una parte de la ecuación a otra de signo contrario, así como reduciendo términos semejantes. Según esta definición, las ecuaciones de la forma 5 x=2 x+6 , etc. también son lineales.

A su vez, la siguiente definición se da en el libro de texto de álgebra para 7 clases de A. G. Mordkovich:

Definición.

Ecuación lineal con una variable x es una ecuación de la forma a x+b=0 , donde a y b son algunos números, llamados coeficientes de la ecuación lineal.

Por ejemplo, ecuaciones lineales de este tipo son 2 x−12=0, aquí el coeficiente a es igual a 2, b es igual a −12, y 0.2 y+4.6=0 con coeficientes a=0.2 y b =4.6. Pero al mismo tiempo, hay ejemplos de ecuaciones lineales que tienen la forma no x+b=0, sino x=b, por ejemplo, 3 x=12.

Vamos, para que no tengamos discrepancias en el futuro, bajo una ecuación lineal con una variable x y coeficientes a y b entenderemos una ecuación de la forma a x+b=0 . Este tipo de ecuación lineal parece ser el más justificado, ya que las ecuaciones lineales son ecuaciones algebraicas primer grado. Y todas las demás ecuaciones indicadas anteriormente, así como las ecuaciones que se reducen a la forma a x+b=0 con la ayuda de transformaciones equivalentes, se llamarán ecuaciones que se reducen a ecuaciones lineales. Con este enfoque, la ecuación 2 x+6=0 es una ecuación lineal, y 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, etc. son ecuaciones lineales.

¿Cómo resolver ecuaciones lineales?

Ahora es el momento de averiguar cómo se resuelven las ecuaciones lineales a x+b=0. En otras palabras, es hora de averiguar si la ecuación lineal tiene raíces y, de ser así, cuántas y cómo encontrarlas.

La presencia de raíces de una ecuación lineal depende de los valores de los coeficientes a y b. En este caso, la ecuación lineal a x+b=0 tiene

la única raíz en a≠0 ,
no tiene raíces para a=0 y b≠0 ,
tiene infinitas raíces para a=0 y b=0, en cuyo caso cualquier número es raíz de una ecuación lineal.

Expliquemos cómo se obtuvieron estos resultados.

Sabemos que para resolver ecuaciones es posible pasar de la ecuación original a ecuaciones equivalentes, es decir, a ecuaciones con las mismas raíces o, como la original, sin raíces. Para hacer esto, puede usar las siguientes transformaciones equivalentes:

transferencia de un término de una parte de la ecuación a otra con el signo opuesto,
y también multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número distinto de cero.

Entonces, en una ecuación lineal con una variable de la forma a x+b=0, podemos mover el término b del lado izquierdo al lado derecho con el signo opuesto. En este caso, la ecuación tomará la forma a x=−b.

Y entonces se sugiere la división de ambas partes de la ecuación por el número a. Pero hay una cosa: el número a puede ser igual a cero, en cuyo caso tal división es imposible. Para resolver este problema, primero supondremos que el número a es diferente de cero y consideraremos el caso de cero a por separado un poco más tarde.

Entonces, cuando a no es igual a cero, entonces podemos dividir ambas partes de la ecuación a x=−b por a , luego se convierte a la forma x=(−b): a , este resultado se puede escribir usando a línea continua como .

Así, para a≠0, la ecuación lineal a·x+b=0 es equivalente a la ecuación , de la que se ve su raíz.

Es fácil demostrar que esta raíz es única, es decir, la ecuación lineal no tiene otras raíces. Esto le permite hacer el método opuesto.

Denotemos la raíz como x 1 . Supongamos que hay otra raíz de la ecuación lineal, que denotamos x 2, y x 2 ≠ x 1, que, debido a definiciones de números iguales a través de la diferencia es equivalente a la condición x 1 − x 2 ≠0 . Dado que x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación lineal a x+b=0, entonces se cumplen las igualdades numéricas a x 1 +b=0 y a x 2 +b=0. Podemos restar las partes correspondientes de estas igualdades, lo que nos permiten hacer las propiedades de las igualdades numéricas, tenemos a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , de donde a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 y luego a (x 1 − x 2)=0 . Y esta igualdad es imposible, ya que tanto a≠0 como x 1 − x 2 ≠0. Entonces hemos llegado a una contradicción, que prueba la unicidad de la raíz de la ecuación lineal a·x+b=0 para a≠0.

Entonces hemos resuelto la ecuación lineal a x+b=0 con a≠0 . El primer resultado dado al comienzo de esta subsección está justificado. Hay dos más que cumplen la condición a=0.

Para a=0 la ecuación lineal a·x+b=0 se convierte en 0·x+b=0 . De esta ecuación y de la propiedad de multiplicar números por cero, se deduce que no importa qué número tomemos como x, cuando lo sustituimos en la ecuación 0 x+b=0, obtenemos la igualdad numérica b=0. Esta igualdad es verdadera cuando b=0 , y en otros casos cuando b≠0 esta igualdad es falsa.

Por lo tanto, con a=0 y b=0, cualquier número es la raíz de la ecuación lineal a x+b=0, ya que en estas condiciones, sustituir cualquier número en lugar de x da la igualdad numérica correcta 0=0. Y para a=0 y b≠0, la ecuación lineal a x+b=0 no tiene raíces, ya que en estas condiciones, sustituir cualquier número en lugar de x conduce a una igualdad numérica incorrecta b=0.

Las justificaciones anteriores permiten formar una secuencia de acciones que permite resolver cualquier ecuación lineal. Asi que, algoritmo para resolver una ecuacion lineal es:

Primero, al escribir una ecuación lineal, encontramos los valores de los coeficientes a y b.
Si a=0 y b=0, entonces esta ecuación tiene infinitas raíces, es decir, cualquier número es raíz de esta ecuación lineal.
Si a es diferente de cero, entonces

el coeficiente b se traslada al lado derecho con signo opuesto, mientras que la ecuación lineal se transforma a la forma a x=−b ,
después de lo cual ambas partes de la ecuación resultante se dividen por un número a distinto de cero, lo que da la raíz deseada de la ecuación lineal original.

El algoritmo escrito es una respuesta exhaustiva a la pregunta de cómo resolver ecuaciones lineales.

Como conclusión de este párrafo, vale la pena decir que se usa un algoritmo similar para resolver ecuaciones de la forma a x=b. Su diferencia radica en que cuando a≠0, ambas partes de la ecuación se dividen inmediatamente por este número, aquí b ya está en la parte deseada de la ecuación y no necesita ser transferida.

Para resolver ecuaciones de la forma a x=b, se utiliza el siguiente algoritmo:

Si a=0 y b=0, entonces la ecuación tiene infinitas raíces, que son números cualesquiera.
Si a=0 y b≠0, entonces la ecuación original no tiene raíces.
Si a es distinto de cero, entonces ambos lados de la ecuación se dividen por un número a distinto de cero, a partir del cual se encuentra la única raíz de la ecuación igual a b / a.

Ejemplos de resolución de ecuaciones lineales

Pasemos a la práctica. Analicemos cómo se aplica el algoritmo para resolver ecuaciones lineales. Presentemos soluciones de ejemplos típicos correspondientes a diferentes valores de los coeficientes de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación lineal 0 x−0=0 .

Solución.

En esta ecuación lineal, a=0 y b=−0, que es lo mismo que b=0. Por lo tanto, esta ecuación tiene infinitas raíces, cualquier número es la raíz de esta ecuación.

Responder:

x es cualquier número.

Ejemplo.

¿La ecuación lineal 0 x+2.7=0 tiene soluciones?

Solución.

En este caso, el coeficiente a es igual a cero, y el coeficiente b de esta ecuación lineal es igual a 2,7, es decir, es diferente de cero. Por lo tanto, la ecuación lineal no tiene raíces.

Al resolver ecuaciones lineales, nos esforzamos por encontrar una raíz, es decir, un valor para una variable que convertirá la ecuación en una igualdad correcta.

Para encontrar la raíz de la ecuación necesitas transformaciones equivalentes llevan la ecuación dada a nosotros a la forma

\(x=[número]\)

Este número será la raíz.

Es decir, transformamos la ecuación, haciéndola más fácil con cada paso, hasta reducirla a una ecuación completamente primitiva “x = número”, donde la raíz es obvia. Las más utilizadas en la resolución de ecuaciones lineales son las siguientes transformaciones:

Por ejemplo: suma \(5\) a ambos lados de la ecuación \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Tenga en cuenta que podríamos obtener el mismo resultado más rápido, simplemente escribiendo el cinco en el otro lado de la ecuación y cambiando su signo en el proceso. En realidad, así es exactamente como se hace la escuela “transferencia por igual con un cambio de signo al contrario”.

2. Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número o expresión.

Por ejemplo: Divide la ecuación \(-2x=8\) entre menos dos

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Por lo general, este paso se realiza al final, cuando la ecuación ya se ha reducido a \(ax=b\), y dividimos por \(a\) para eliminarla por la izquierda.

3. Uso de las propiedades y leyes de las matemáticas: apertura de paréntesis, reducción de términos semejantes, reducción de fracciones, etc.

Suma \(2x\) izquierda y derecha

Resta \(24\) de ambos lados de la ecuación

De nuevo, presentamos términos semejantes

Ahora dividimos la ecuación por \(-3\), quitando así antes la x del lado izquierdo.

Responder : \(7\)

Respuesta encontrada. Sin embargo, vamos a comprobarlo. Si el siete es realmente una raíz, entonces al sustituirlo en lugar de x en la ecuación original, se debe obtener la igualdad correcta: mismos numeros izquierda y derecha. Intentamos.

Examen:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Acordado. Esto significa que el siete es de hecho la raíz de la ecuación lineal original.

No sea perezoso para verificar las respuestas que encontró por sustitución, especialmente si está resolviendo una ecuación en una prueba o examen.

La pregunta sigue siendo: ¿cómo determinar qué hacer con la ecuación en el siguiente paso? ¿Cómo convertirlo exactamente? ¿Comparte algo? ¿O restar? ¿Y qué restar exactamente? ¿Qué compartir?

La respuesta es simple:

Su objetivo es llevar la ecuación a la forma \(x=[número]\), es decir, a la izquierda x sin coeficientes ni números, ya la derecha, solo un número sin variables. Así que mira lo que te detiene y hacer lo contrario de lo que hace el componente que interfiere.

Para entender esto mejor, tomemos una solución paso a paso a la ecuación lineal \(x+3=13-4x\).

Pensemos: ¿en qué se diferencia esta ecuación de \(x=[número]\)? ¿Qué nos detiene? ¿Qué ocurre?

Bueno, en primer lugar, el triple interfiere, ya que debería haber solo una X solitaria a la izquierda, sin números. ¿Y qué hace el trío? Adicional a xx. Entonces, para eliminarlo - sustraer el mismo trío. Pero si restamos un triple de la izquierda, entonces debemos restarlo de la derecha para que no se viole la igualdad.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Bien. Ahora, ¿qué te detiene? \(4x\) a la derecha, porque solo debe contener números. \(4x\) sustraído- retirar agregando.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Ahora damos términos semejantes a la izquierda ya la derecha.

Está casi listo. Queda por quitar los cinco de la izquierda. Qué está haciendo"? multiplica en x. Así que lo eliminamos división.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

La solución es completa, la raíz de la ecuación es dos. Se puede consultar por sustitución.

Darse cuenta de la mayoría de las veces solo hay una raíz en las ecuaciones lineales. Sin embargo, pueden ocurrir dos casos especiales.

Caso especial 1: no hay raíces en una ecuación lineal.

Ejemplo . Resuelve la ecuación \(3x-1=2(x+3)+x\)

Solución :

Responder : sin raíces.

De hecho, el hecho de que llegaremos a tal resultado se vio antes, incluso cuando obtuvimos \(3x-1=3x+6\). Piénsalo: ¿cómo puede ser igual \(3x\), de la cual se restó \(1\) y \(3x\) a la que se sumó \(6\)? ¡Obviamente, de ninguna manera, porque hicieron diferentes acciones con la misma cosa! Está claro que los resultados serán diferentes.

Caso especial 2: una ecuación lineal tiene un número infinito de raíces.

Ejemplo . Resuelve la ecuación lineal \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Solución :

Responder : cualquier número.

Por cierto, esto se notó incluso antes, en la etapa: \(8x+12=8x+12\). De hecho, izquierda y derecha son las mismas expresiones. Sea cual sea la x que sustituyas, habrá el mismo número tanto allí como allí.

Ecuaciones lineales más complejas.

La ecuación original no siempre parece inmediatamente lineal, a veces está "disfrazada" como otras ecuaciones más complejas. Sin embargo, en el proceso de transformación, el enmascaramiento desaparece.

Ejemplo . Encuentra la raíz de la ecuación \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Solución :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Parecería que hay una x al cuadrado aquí, ¡esta no es una ecuación lineal! Pero no te apresures. Apliquemos
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		¿Por qué el resultado de la expansión \((x-4)^(2)\) está entre paréntesis, pero el resultado de \((3+x)^(2)\) no lo está? Porque hay un menos antes del primer cuadrado, que cambiará todos los signos. Y para no olvidarlo, tomamos el resultado entre paréntesis, que ahora abrimos.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Damos términos similares
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Una vez más, aquí hay otros similares.
		Como esto. Resulta que la ecuación original es bastante lineal, y x al cuadrado no es más que una pantalla para confundirnos. :) Completamos la solución dividiendo la ecuación por \(2\), y obtenemos la respuesta.

Responder : \(x=5\)

Ejemplo . Resuelve la ecuación lineal \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Solución :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		La ecuación no parece lineal, algunas fracciones ... Sin embargo, eliminemos los denominadores multiplicando ambas partes de la ecuación por el denominador común de todos: seis
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cdot 6\)		Soporte abierto a la izquierda
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		ahora reducimos los denominadores
\(3(x+2)-2=9+7x\)		¡Ahora parece uno lineal regular! Vamos a resolverlo.
		Al transferir a través de iguales, recopilamos x a la derecha y números a la izquierda.

		Bueno, dividiendo por \(-4\) las partes derecha e izquierda, obtenemos la respuesta

Responder : \(x=-1.25\)

Primero necesitas entender qué es.

hay una definicion sencilla ecuación lineal, que se da en una escuela ordinaria: "una ecuación en la que una variable ocurre solo en primer grado". Pero no es del todo cierto: la ecuación no es lineal, ni siquiera se reduce a tal, se reduce a cuadrática.

Una definición más precisa es: ecuación lineal es una ecuacion que transformaciones equivalentes se puede reducir a la forma donde title="(!LANG:a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

De hecho, para comprender si una ecuación es lineal o no, primero debe simplificarse, es decir, llevarse a una forma en la que su clasificación no sea ambigua. Recuerda, puedes hacer cualquier cosa con la ecuación que no cambie sus raíces - esto es transformación equivalente. De las transformaciones equivalentes más simples, podemos distinguir:

expansión de paréntesis
trayendo similares
multiplicación y/o división de ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero
suma y/o resta de ambas partes del mismo número o expresión*

Puedes hacer estas transformaciones sin dolor, sin pensar si "estropeas" la ecuación o no.
*Una interpretación particular de la última transformación es la "transferencia" de términos de una parte a otra con cambio de signo.

Ejemplo 1:
(paréntesis abiertos)
(sumar a ambas partes y restar/transferir con cambio de signo del número a la izquierda, y variables a la derecha)
(Dé otros similares)
(dividir por 3 ambos lados de la ecuación)

Entonces obtuvimos una ecuación que tiene las mismas raíces que la original. Le recordamos al lector que "resolver ecuación" significa encontrar todas sus raíces y probar que no hay otras, y "raíz de la ecuación"- este es un número que, cuando se sustituye por la incógnita, convertirá la ecuación en una verdadera igualdad. Bueno, en la última ecuación, encontrar un número que convierta la ecuación en la igualdad correcta es muy simple: este es el número. Ningún otro número hará de esta ecuación una identidad. Responder:

Ejemplo 2:
(multiplique ambos lados de la ecuación por , asegurándonos de no multiplicar por: title="(!LANG:x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(paréntesis abiertos)
(mover términos)
(Dé otros similares)
(dividir ambas partes por )

Así se resuelven todas las ecuaciones lineales. Para los lectores más jóvenes, lo más probable es que esta explicación parezca complicada, por lo que ofrecemos la versión "ecuaciones lineales para el grado 5"

En esta lección, aprenderá cómo resolver ecuaciones lineales y comprenderá cómo hacer dos tipos de transformaciones para que la resolución de ecuaciones lineales sea ¡MÁS FÁCIL!

¿Cuántas manzanas recibió cada amigo?

Cada uno de nosotros, sin dudarlo, responderá: "Cada amigo recibió una manzana".

Pero ahora propongo pensarlo igual... Sí, sí. Resulta que al responder una pregunta tan simple, decides en tu cabeza ecuación lineal!

o verbalmente: a tres amigos se les dieron manzanas a cada uno, basándose en el hecho de que Vasya tiene todas las manzanas.

Y ahora has decidido ecuación lineal.

Ahora demos a este término una definición matemática.

¿Qué son las "ecuaciones lineales"?

Ecuación lineal - es una ecuación algebraica cuyo grado total de sus polinomios constituyentes es. Se parece a esto:

¿Dónde y están los números y

Para nuestro caso con Vasya y manzanas, escribiremos:

- "si Vasya les da a los tres amigos la misma cantidad de manzanas, no le quedarán manzanas"

Ecuaciones lineales "ocultas", o la importancia de las transformaciones idénticas

A pesar de que a primera vista todo es extremadamente simple, al resolver ecuaciones, debe tener cuidado, porque las ecuaciones lineales se llaman no solo ecuaciones de la forma, sino también cualquier ecuación que sea una transformación y simplificación. se reducen a este tipo.

Por ejemplo:

Vemos que está a la derecha, lo que, en teoría, ya indica que la ecuación no es lineal.

Además, si abrimos los paréntesis, obtendremos dos términos más en los que será, pero no saques conclusiones precipitadas!

Antes de juzgar si la ecuación es lineal, es necesario hacer todas las transformaciones y así simplificar el ejemplo original.

En este caso, las transformaciones pueden cambiar apariencia, pero no la esencia misma de la ecuación.

En otras palabras, estas transformaciones deben ser idéntico o equivalente.

Solo hay dos transformaciones de este tipo, pero juegan un papel muy, MUY importante en la resolución de problemas. Consideremos ambas transformaciones en ejemplos concretos.

Mover a la izquierda - derecha.

Digamos que necesitamos resolver la siguiente ecuación:

También en escuela primaria nos dijeron: "con X - a la izquierda, sin X - a la derecha".

¿Qué expresión con x está a la derecha?

Cierto, no como no.

Y esto es importante, porque si se malinterpreta esta pregunta aparentemente simple, sale la respuesta equivocada.

¿Y cuál es la expresión con x a la izquierda?

Correctamente, .

Ahora que hemos tratado con esto, transferimos todos los términos con incógnitas a lado izquierdo, y todo lo que se sabe - a la derecha.

Y recordando que si no hay signo antes del número, por ejemplo, entonces el número es positivo, es decir, está precedido por el signo "".

¿Movido? ¿Qué obtuviste?

Todo lo que queda por hacer es traer términos similares. Nosotros presentamos:

Entonces, analizamos con éxito la primera transformación idéntica, aunque estoy seguro de que ya la conocías y la usaste activamente sin mí.

Lo principal: no te olvides de los signos de números y ¡cámbielos al opuesto cuando transfiera a través del signo igual!

Multiplicación-división.

Comencemos de inmediato con un ejemplo.

Miramos y pensamos: ¿qué no nos gusta de este ejemplo?

Lo desconocido está todo en una parte, lo conocido en la otra, pero algo nos detiene...

Y este algo es un cuatro, porque si no estuviera allí, todo sería perfecto: x es igual a un número, ¡exactamente como lo necesitamos!

¿Cómo puedes deshacerte de él?

No podemos transferir a la derecha, porque entonces necesitamos transferir todo el multiplicador (no podemos tomarlo y arrancarlo), y transferir todo el multiplicador tampoco tiene sentido ...

¡Es hora de recordar sobre la división, en relación con la cual dividiremos todo solo en!

Todo: esto significa tanto el lado izquierdo como el derecho. ¡Así y sólo así!

¿Qué obtenemos?

Aquí está la respuesta.

Veamos ahora otro ejemplo:

¿Adivina qué hacer en este caso? ¡Así es, multiplica las partes izquierda y derecha por! ¿Qué respuesta obtuviste? Correctamente. .

Seguramente ya sabías todo sobre transformaciones idénticas. Considere que acabamos de actualizar este conocimiento en su memoria y es hora de algo más, por ejemplo, para resolver nuestro gran ejemplo:

Como dijimos antes, mirándolo, no se puede decir que esta ecuación es lineal, pero necesitamos abrir los paréntesis y realizar transformaciones idénticas. ¡Entonces empecemos!

Para empezar, recordamos las fórmulas de la multiplicación abreviada, en particular, el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia. Si no recuerdas qué es y cómo se abren los corchetes, te recomiendo leer el tema, ya que estas habilidades te serán útiles para resolver casi todos los ejemplos que se encuentran en el examen.
¿Reveló? Comparar:

Ahora es el momento de traer términos similares. ¿Os acordáis como en las mismas clases de primaria nos decían “no ponemos moscas con chuletas”? Aquí les estoy recordando esto. Agregamos todo por separado: factores que tienen, factores que tienen y otros factores que no tienen incógnitas. A medida que trae términos similares, mueva todas las incógnitas a la izquierda y todo lo que se conoce a la derecha. ¿Qué obtuviste?

Como puede ver, el cuadrado x ha desaparecido, y vemos un completamente ordinario ecuación lineal. ¡Solo queda encontrar!

Y finalmente, diré una cosa más muy importante sobre las transformaciones idénticas: las transformaciones idénticas son aplicables no solo para ecuaciones lineales, sino también para cuadrados, racionales fraccionarios y otros. Solo debes recordar que al transferir factores a través del signo igual, cambiamos el signo al opuesto, y al dividir o multiplicar por algún número, multiplicamos/dividimos ambos lados de la ecuación por el MISMO número.

¿Qué más te llevaste de este ejemplo? Que mirando una ecuación no siempre es posible determinar de forma directa y precisa si es lineal o no. Primero debe simplificar completamente la expresión, y solo luego juzgar qué es.

Ecuaciones lineales. 3 ejemplos

Aquí hay un par de ejemplos más para que practiques por tu cuenta: determina si la ecuación es lineal y, de ser así, encuentra sus raíces:

Respuestas:

1. Es.

2. No es.

Abramos los paréntesis y demos términos semejantes:

Hagamos una transformación idéntica: dividimos las partes izquierda y derecha en:

Vemos que la ecuación no es lineal, por lo que no hay necesidad de buscar sus raíces.

3. Es.

Hagamos una transformación idéntica: multiplique las partes izquierda y derecha por para eliminar el denominador.

Piense por qué es tan importante? Si conoce la respuesta a esta pregunta, pasamos a resolver la ecuación, si no, asegúrese de investigar el tema para no cometer errores en ejemplos más complejos. Por cierto, como puedes ver, una situación en la que es imposible. ¿Por qué?
Así que sigamos adelante y reorganicemos la ecuación:

Si hiciste frente a todo sin dificultad, hablemos de ecuaciones lineales con dos variables.

Ecuaciones lineales con dos variables

Ahora pasemos a una un poco más complicada: ecuaciones lineales con dos variables.

Ecuaciones lineales con dos variables se ven como:

Donde, y son los números y.

Como puede ver, la única diferencia es que se agrega una variable más a la ecuación. Y entonces todo es igual: no hay x al cuadrado, no hay división por una variable, etc. etc.

¿Cuál sería un ejemplo de la vida real para ti...

Tomemos el mismo Vasya. Supongamos que decide que le dará a cada uno de sus 3 amigos la misma cantidad de manzanas y se quedará con las manzanas.

¿Cuántas manzanas necesita comprar Vasya si le da una manzana a cada amigo? ¿Qué pasa? ¿Y si por?

La dependencia de la cantidad de manzanas que recibirá cada persona con respecto a la cantidad total de manzanas que se deben comprar se expresará mediante la ecuación:

- el número de manzanas que recibirá una persona (, o, o);
- la cantidad de manzanas que Vasya tomará para sí mismo;
- cuántas manzanas necesita comprar Vasya, teniendo en cuenta la cantidad de manzanas por persona.

Resolviendo este problema, obtenemos que si Vasya le da una manzana a un amigo, entonces necesita comprar piezas, si le da manzanas, y así sucesivamente.

Y en general. Tenemos dos variables.

¿Por qué no trazar esta dependencia en un gráfico?

Construimos y marcamos el valor de los nuestros, es decir, puntos, con coordenadas, y!

Como se puede ver, y dependen unos de otros linealmente, de ahí el nombre de las ecuaciones - “ lineal».

Hacemos abstracción de las manzanas y consideramos gráficamente diferentes ecuaciones.

Mire cuidadosamente los dos gráficos construidos: una línea recta y una parábola, dados por funciones arbitrarias:

Encuentra y marca los puntos correspondientes en ambas figuras.
¿Qué obtuviste?

Puedes ver que en la gráfica de la primera función solo corresponde una, es decir, y dependen linealmente entre sí, lo que no se puede decir de la segunda función.

Por supuesto, puedes objetar que en el segundo gráfico, x también corresponde a - , pero esto es solo un punto, es decir, un caso especial, ya que todavía puedes encontrar uno que corresponda a más de uno.

Y el gráfico construido no se parece en nada a una línea, sino a una parábola.

Repito, una vez más: la gráfica de una ecuación lineal debe ser una línea RECTA.

Con el hecho de que la ecuación no será lineal, si llegamos a algún punto, esto es comprensible usando el ejemplo de una parábola, aunque usted mismo puede construir algunos gráficos más simples, por ejemplo o.

Pero les aseguro que ninguno de ellos será una LÍNEA RECTA.

¿No confíes? Construir y luego comparar con lo que tengo:

¿Y qué pasa si dividimos algo por, por ejemplo, algún número?

¿Habrá una dependencia lineal y?

¡No discutiremos, pero construiremos! Por ejemplo, tracemos un gráfico de función.

De alguna manera no parece una línea recta construida... en consecuencia, la ecuación no es lineal.

Resumamos:

Ecuación lineal - es una ecuación algebraica en la que el grado total de sus polinomios constituyentes es igual.
Ecuación lineal con una variable se parece a:
, donde y son números;
Ecuación lineal con dos variables:
, donde y son números cualesquiera.
No siempre es posible determinar inmediatamente si una ecuación es lineal o no. A veces, para entender esto, es necesario realizar transformaciones idénticas, mover términos similares a la izquierda/derecha, sin olvidar cambiar el signo, o multiplicar/dividir ambas partes de la ecuación por el mismo número.

ECUACIONES LINEALES. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

1. Ecuación lineal

Esta es una ecuación algebraica en la que el grado total de sus polinomios constituyentes es igual.

2. Ecuación lineal con una variable parece:

Donde y son números;

3. Ecuación lineal con dos variables parece:

Dónde, y son números.

4. Transformaciones de identidad

Para determinar si la ecuación es lineal o no, es necesario hacer transformaciones idénticas:

mover términos similares a la izquierda/derecha, sin olvidar cambiar el signo;
multiplicar/dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número.

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Una ecuación lineal con una variable tiene la forma general
hacha + b = 0.
Aquí x es una variable, ayb son coeficientes. De otra manera, a se llama el "coeficiente de la incógnita", b es el "término libre".

Los coeficientes son algunos números, y resolver la ecuación significa encontrar el valor x para el cual la expresión ax + b = 0 es verdadera. Por ejemplo, tenemos una ecuación lineal 3x - 6 \u003d 0. Resolverla significa encontrar a qué debe ser igual x para que 3x - 6 sea igual a 0. Realizando transformaciones, obtenemos:
3x=6
x=2

Por tanto, la expresión 3x - 6 = 0 es verdadera para x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 es la raiz de esta ecuacion. Cuando resuelves una ecuación, encuentras sus raíces.

Los coeficientes a y b pueden ser cualquier número, sin embargo, existen tales valores cuando hay más de una raíz de una ecuación lineal con una variable.

Si a = 0, entonces ax + b = 0 se convierte en b = 0. Aquí x se "destruye". La expresión b = 0 en sí misma puede ser verdadera solo si el conocimiento de b es 0. Es decir, la ecuación 0*x + 3 = 0 es falsa, porque 3 = 0 es un enunciado falso. Sin embargo, 0*x + 0 = 0 es la expresión correcta. De aquí se concluye que si a \u003d 0 y b ≠ 0, una ecuación lineal con una variable no tiene raíces, pero si a \u003d 0 y b \u003d 0, entonces la ecuación tiene un número infinito de raíces.

Si b \u003d 0, y a ≠ 0, entonces la ecuación tomará la forma ax \u003d 0. Está claro que si a ≠ 0, pero el resultado de la multiplicación es 0, entonces x \u003d 0. Es decir, el la raíz de esta ecuación es 0.

Si ni a ni b son iguales a cero, entonces la ecuación ax + b = 0 se transforma a la forma
x \u003d -b / a.
El valor de x en este caso dependerá de los valores de a y b. Sin embargo, será el único. Es decir, es imposible obtener dos o más valores de x diferentes para los mismos coeficientes. Por ejemplo,
-8.5x - 17 = 0
x = 17 / -8,5
x = -2
No se puede obtener ningún número que no sea -2 dividiendo 17 por -8,5.

Hay ecuaciones que a primera vista no parecen la forma general de una ecuación lineal con una variable, pero se convierten fácilmente en ella. Por ejemplo,
-4,8 + 1,3x = 1,5x + 12

Si movemos todo al lado izquierdo, entonces 0 permanecerá a la derecha:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0

Ahora la ecuación se reduce a la forma estándar y puedes resolverla:
x = 16,8 / 0,2
x=84