C 2 suma y resta de fracciones. Restar fracciones con diferentes denominadores. Sumar y restar fracciones ordinarias. Sumar fracciones con diferentes denominadores usando el método del múltiplo común

21.11.2023

Esta lección cubrirá la suma y resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Ya sabemos sumar y restar fracciones comunes con distintos denominadores. Para ello, las fracciones deben reducirse a un denominador común. Resulta que las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas. Al mismo tiempo, ya sabemos cómo reducir fracciones algebraicas a un denominador común. Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores es uno de los temas más importantes y difíciles del curso de octavo grado. Además, este tema aparecerá en muchos temas del curso de álgebra que estudiarás en el futuro. Como parte de la lección, estudiaremos las reglas para sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores y también analizaremos una serie de ejemplos típicos.

Veamos el ejemplo más simple de fracciones ordinarias.

Ejemplo 1. Suma fracciones: .

Solución:

Recordemos la regla para sumar fracciones. Para empezar, las fracciones deben reducirse a un denominador común. El denominador común de las fracciones ordinarias es minimo común multiplo(MCM) de los denominadores originales.

Definición

El número natural más pequeño que es divisible por ambos números y.

Para encontrar el MCM, debes factorizar los denominadores en factores primos y luego seleccionar todos los factores primos que están incluidos en la expansión de ambos denominadores.

; . Entonces el MCM de números debe incluir dos de dos y dos de tres: .

Después de encontrar el denominador común, debes encontrar un factor adicional para cada fracción (de hecho, divide el denominador común por el denominador de la fracción correspondiente).

Luego, cada fracción se multiplica por el factor adicional resultante. Obtenemos fracciones con los mismos denominadores, que aprendimos a sumar y restar en lecciones anteriores.

Obtenemos: .

Respuesta:.

Consideremos ahora la suma de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Primero, veamos fracciones cuyos denominadores son números.

Ejemplo 2. Suma fracciones: .

Solución:

El algoritmo de solución es absolutamente similar al ejemplo anterior. Es fácil encontrar el denominador común de estas fracciones: y factores adicionales para cada una de ellas.

Respuesta:.

Entonces, formulemos algoritmo para sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores:

1. Encuentra el mínimo común denominador de fracciones.

2. Encuentra factores adicionales para cada una de las fracciones (dividiendo el denominador común por el denominador de la fracción dada).

3. Multiplica los numeradores por los factores adicionales correspondientes.

4. Sumar o restar fracciones usando las reglas para sumar y restar fracciones con denominadores similares.

Consideremos ahora un ejemplo con fracciones cuyo denominador contiene expresiones de letras.

Ejemplo 3. Suma fracciones: .

Solución:

Dado que las expresiones de letras en ambos denominadores son iguales, debes encontrar un denominador común para los números. El denominador común final será el siguiente: . Por tanto, la solución a este ejemplo es la siguiente:

Respuesta:.

Ejemplo 4. Restar fracciones: .

Solución:

Si no puedes “hacer trampa” al elegir un denominador común (no puedes factorizarlo ni usar fórmulas de multiplicación abreviadas), entonces debes tomar el producto de los denominadores de ambas fracciones como denominador común.

Respuesta:.

En general, al resolver este tipo de ejemplos, la tarea más difícil es encontrar un denominador común.

Veamos un ejemplo más complejo.

Ejemplo 5. Simplifica: .

Solución:

Al encontrar un denominador común, primero debes intentar factorizar los denominadores de las fracciones originales (para simplificar el denominador común).

En este caso particular:

Entonces es fácil determinar el denominador común: .

Determinamos factores adicionales y resolvemos este ejemplo:

Respuesta:.

Ahora establezcamos las reglas para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores.

Ejemplo 6. Simplifica: .

Solución:

Respuesta:.

Ejemplo 7. Simplifica: .

Solución:

Respuesta:.

Consideremos ahora un ejemplo en el que no se suman dos, sino tres fracciones (después de todo, las reglas de suma y resta para un mayor número de fracciones siguen siendo las mismas).

Ejemplo 8. Simplifica: .

Sumar y restar fracciones con denominadores iguales

Comencemos mirando el ejemplo más simple: sumar y restar fracciones con los mismos denominadores. En este caso, solo necesita realizar operaciones con los numeradores: sumarlos o restarlos.

Al sumar y restar fracciones con el mismo denominador, ¡el denominador no cambia!

Lo principal es no realizar ninguna operación de suma o resta en el denominador, pero algunos escolares se olvidan de esto. Para entender mejor esta regla, recurramos al principio de visualización, o en palabras simples, consideremos un ejemplo de la vida real:

Tienes media manzana, eso es la mitad de la manzana entera. Te dan otra mitad, es decir, otro ½. Evidentemente, ahora tienes una manzana entera (sin contar que está cortada :)). Por lo tanto ½ + ½ = 1, y no algo así como 2/4. O te quitan esta mitad: ½ - ½ = 0. En el caso de restar con denominadores idénticos, se obtiene un caso especial: al restar denominadores idénticos, obtenemos 0, pero no podemos dividir entre 0, y esta fracción será no tiene sentido.

Pongamos un último ejemplo:

Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores

¿Qué hacer si los denominadores son diferentes? Para ello, primero debemos reducir las fracciones al mismo denominador y luego actuar como indiqué anteriormente.

Hay dos formas de reducir una fracción a un denominador común. Todos los métodos usan una regla: Al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, la fracción no cambia .

Hay dos maneras. El primero es el más simple: el llamado "entrecruzado". Consiste en que multiplicamos la primera fracción por el denominador de la segunda fracción (tanto el numerador como el denominador), y multiplicamos la segunda fracción por el denominador de la primera (de manera similar, el numerador y el denominador). Después de esto, procedemos como en el caso de denominadores idénticos: ¡ahora son realmente iguales!

El método anterior es universal, pero en la mayoría de los casos se pueden encontrar los denominadores de las fracciones. minimo común multiplo - un número que divide tanto el primer denominador como el segundo y el más pequeño. Con este método, es necesario poder ver dichos LOC, porque su búsqueda especial es bastante amplia e inferior en velocidad al método "entrecruzado". Pero en la mayoría de los casos, los NOC son bastante visibles si mantienes los ojos abiertos y practicas lo suficiente.

¡Espero que ahora sepas sumar y restar fracciones con fluidez!

Puedes realizar varias operaciones con fracciones, por ejemplo, sumar fracciones. La suma de fracciones se puede dividir en varios tipos. Cada tipo de suma de fracciones tiene sus propias reglas y algoritmo de acciones. Veamos cada tipo de suma en detalle.

Sumar fracciones con denominadores iguales.

Veamos un ejemplo de cómo sumar fracciones con un denominador común.

Los turistas hicieron una caminata desde el punto A hasta el punto E. El primer día, caminaron desde el punto A hasta B o \(\frac(1)(5)\) todo el camino. El segundo día caminaron desde el punto B al D o \(\frac(2)(5)\) todo el camino. ¿Qué distancia recorrieron desde el inicio del viaje hasta el punto D?

Para encontrar la distancia del punto A al punto D, necesitas sumar las fracciones \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Sumar fracciones con denominadores iguales significa que debes sumar los numeradores de estas fracciones, pero el denominador seguirá siendo el mismo.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

En forma literal, la suma de fracciones con el mismo denominador se verá así:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Respuesta: los turistas caminaron \(\frac(3)(5)\) todo el camino.

Sumar fracciones con diferentes denominadores.

Veamos un ejemplo:

Necesitas sumar dos fracciones \(\frac(3)(4)\) y \(\frac(2)(7)\).

Para sumar fracciones con diferentes denominadores, primero debes encontrar y luego usa la regla para sumar fracciones con denominadores similares.

Para los denominadores 4 y 7, el denominador común será el número 28. La primera fracción \(\frac(3)(4)\) debe multiplicarse por 7. La segunda fracción \(\frac(2)(7)\ ) debe multiplicarse por 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(rojo) (7) + 2 \times \color(rojo) (4))(4 \ veces \color(rojo) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

De forma literal obtenemos la siguiente fórmula:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Sumar números mixtos o fracciones mixtas.

La suma se produce según la ley de la suma.

Para fracciones mixtas, sumamos las partes enteras con las partes enteras y las partes fraccionarias con las fracciones.

Si las partes fraccionarias de números mixtos tienen los mismos denominadores, entonces sumamos los numeradores, pero el denominador sigue siendo el mismo.

Sumemos los números mixtos \(3\frac(6)(11)\) y \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(rojo) (3) + \color(azul) (\frac(6)(11))) + ( \color(rojo) (1) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = (\color(rojo) (3) + \color(rojo) (1)) + (\color( azul) (\frac(6)(11)) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = \color(rojo)(4) + (\color(azul) (\frac(6 + 3)(11))) = \color(rojo)(4) + \color(azul) (\frac(9)(11)) = \color(rojo)(4) \color(azul) (\frac (9)(11))\)

Si las partes fraccionarias de números mixtos tienen denominadores diferentes, entonces encontramos el denominador común.

Realicemos la suma de números mixtos \(7\frac(1)(8)\) y \(2\frac(1)(6)\).

El denominador es diferente, por lo que necesitamos encontrar el denominador común, que es igual a 24. Multiplica la primera fracción \(7\frac(1)(8)\) por un factor adicional de 3, y la segunda fracción \( 2\frac(1)(6)\) por 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(rojo) (3))(8 \times \color(rojo) (3) ) = 2\frac(1\times \color(rojo) (4))(6\times \color(rojo) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Preguntas relacionadas:
¿Cómo sumar fracciones?
Respuesta: primero debes decidir qué tipo de expresión es: las fracciones tienen el mismo denominador, diferentes denominadores o fracciones mixtas. Dependiendo del tipo de expresión, procedemos al algoritmo de solución.

¿Cómo resolver fracciones con diferentes denominadores?
Respuesta: necesitas encontrar un denominador común y luego seguir la regla para sumar fracciones con denominadores similares.

¿Cómo resolver fracciones mixtas?
Respuesta: sumamos partes enteras con números enteros y partes fraccionarias con fracciones.

Ejemplo 1:
¿Puede la suma de dos dar como resultado una fracción propia? ¿Fracción impropia? Dar ejemplos.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

La fracción \(\frac(5)(7)\) es una fracción propia, es el resultado de la suma de dos fracciones propias \(\frac(2)(7)\) y \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

La fracción \(\frac(58)(45)\) es una fracción impropia es el resultado de la suma de las fracciones propias \(\frac(2)(5)\) y \(\frac(8) (9)\).

Respuesta: La respuesta a ambas preguntas es sí.

Ejemplo #2:
Suma las fracciones: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(rojo) (3))(3 \times \color(rojo) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Ejemplo #3:
Escribe la fracción mixta como la suma de un número natural y una fracción propia: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Ejemplo #4:
Calcula la suma: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 (13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Tarea 1:
En el almuerzo comimos \(\frac(8)(11)\) del pastel, y por la noche en la cena comimos \(\frac(3)(11)\). ¿Crees que el pastel se comió por completo o no?

Solución:
El denominador de la fracción es 11, indica en cuántas partes se dividió el pastel. En el almuerzo comimos 8 trozos de bizcocho de 11. En la cena comimos 3 trozos de bizcocho de 11. Sumemos 8 + 3 = 11, nos comimos trozos de bizcocho de 11, es decir, el bizcocho entero.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Respuesta: se comió todo el pastel.

Sumar y restar fracciones con denominadores iguales
Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores
Concepto de CON
Reducir fracciones al mismo denominador.
Cómo sumar un número entero y una fracción

1 Sumar y restar fracciones con denominadores iguales

Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debes sumar sus numeradores, pero dejar el mismo denominador, por ejemplo:

Para restar fracciones con los mismos denominadores, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual, por ejemplo:

Para sumar fracciones mixtas, debe sumar por separado sus partes enteras y luego sumar sus partes fraccionarias y escribir el resultado como una fracción mixta.

Si al sumar partes fraccionarias obtienes una fracción impropia, selecciona la parte entera y súmala a la parte entera, por ejemplo:

2 Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores

Para poder sumar o restar fracciones con distintos denominadores, primero debes reducirlas al mismo denominador, y luego proceder como se indica al inicio de este artículo. El denominador común de varias fracciones es el MCM (mínimo común múltiplo). Para el numerador de cada fracción, se encuentran factores adicionales dividiendo el MCM por el denominador de esta fracción. Veremos un ejemplo más adelante, una vez que entendamos qué es un NOC.

3 Mínimo común múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo de dos números (MCM) es el número natural más pequeño que es divisible por ambos números sin dejar resto. A veces, el MCM se puede encontrar de forma oral, pero con mayor frecuencia, especialmente cuando se trabaja con números grandes, es necesario encontrar el MCM por escrito, utilizando el siguiente algoritmo:

Para encontrar el MCM de varios números, necesitas:

Factoriza estos números en factores primos
Toma la expansión más grande y escribe estos números como un producto.
Selecciona en otras descomposiciones los números que no aparecen en la descomposición más grande (o aparecen menos veces en ella), y súmalos al producto.
Multiplica todos los números del producto, este será el MCM.

Por ejemplo, encontremos el MCM de los números 28 y 21:

4Reducir fracciones al mismo denominador

Volvamos a sumar fracciones con diferentes denominadores.

Cuando reducimos fracciones al mismo denominador, igual al MCM de ambos denominadores, debemos multiplicar los numeradores de estas fracciones por multiplicadores adicionales. Puedes encontrarlos dividiendo el MCM por el denominador de la fracción correspondiente, por ejemplo:

Por lo tanto, para reducir fracciones al mismo exponente, primero debes encontrar el MCM (es decir, el número más pequeño que es divisible por ambos denominadores) de los denominadores de estas fracciones y luego poner factores adicionales a los numeradores de las fracciones. Puedes encontrarlos dividiendo el denominador común (CLD) por el denominador de la fracción correspondiente. Luego debes multiplicar el numerador de cada fracción por un factor adicional y poner el MCM como denominador.

5Cómo sumar un número entero y una fracción

Para sumar un número entero y una fracción, solo necesitas sumar este número delante de la fracción, lo que dará como resultado una fracción mixta, por ejemplo.

Las fracciones son números ordinarios y también se pueden sumar y restar. Pero como tienen un denominador, requieren reglas más complejas que las de los números enteros.

Consideremos el caso más simple, cuando hay dos fracciones con el mismo denominador. Entonces:

Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios.

Para restar fracciones con los mismos denominadores, debes restar el numerador de la segunda del numerador de la primera fracción y nuevamente dejar el denominador sin cambios.

Dentro de cada expresión, los denominadores de las fracciones son iguales. Por definición de suma y resta de fracciones obtenemos:

Como ves, no es nada complicado: simplemente sumamos o restamos los numeradores y listo.

Pero incluso en acciones tan simples, la gente logra cometer errores. Lo que más se olvida es que el denominador no cambia. Por ejemplo, al sumarlos, también comienzan a sumar, y esto es fundamentalmente incorrecto.

Deshacerse del mal hábito de sumar denominadores es bastante sencillo. Prueba lo mismo al restar. Como resultado, el denominador será cero y la fracción (¡de repente!) perderá su significado.

Por eso, recuerda de una vez por todas: ¡al sumar y restar, el denominador no cambia!

Mucha gente también comete errores al sumar varias fracciones negativas. Hay confusión con los signos: dónde poner un menos y dónde poner un más.

Este problema también es muy fácil de resolver. Basta recordar que el menos antes del signo de una fracción siempre se puede transferir al numerador, y viceversa. Y por supuesto, no olvides dos sencillas reglas:

Más por menos da menos;
Dos negativos hacen una afirmativa.

Veamos todo esto con ejemplos concretos:

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

En el primer caso todo es sencillo, pero en el segundo sumamos menos a los numeradores de las fracciones:

Qué hacer si los denominadores son diferentes

No puedes sumar fracciones con diferentes denominadores directamente. Al menos, este método me resulta desconocido. Sin embargo, las fracciones originales siempre se pueden reescribir para que los denominadores sean los mismos.

Hay muchas formas de convertir fracciones. Tres de ellos se analizan en la lección “Reducir fracciones a un denominador común”, por lo que no nos detendremos en ellos aquí. Veamos algunos ejemplos:

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

En el primer caso, reducimos las fracciones a un denominador común mediante el método “entrecruzado”. En el segundo buscaremos al CON. Tenga en cuenta que 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Los últimos factores de estas expansiones son iguales y los primeros son primos relativos. Por lo tanto, MCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Qué hacer si una fracción tiene una parte entera

Puedo complacerte: diferentes denominadores en fracciones no son el mayor mal. Se producen muchos más errores cuando la parte completa se resalta en las fracciones del sumando.

Por supuesto, existen algoritmos propios de suma y resta para este tipo de fracciones, pero son bastante complejos y requieren un largo estudio. Mejor utilice el diagrama simple a continuación:

Convierte todas las fracciones que contengan una parte entera en fracciones impropias. Obtenemos términos normales (incluso con distintos denominadores), que se calculan según las reglas comentadas anteriormente;
En realidad, calcula la suma o diferencia de las fracciones resultantes. Como resultado, prácticamente encontraremos la respuesta;
Si esto es todo lo que se requiere en el problema, realizamos la transformación inversa, es decir Nos deshacemos de una fracción impropia resaltando la parte entera.

Las reglas para pasar a fracciones impropias y resaltar la parte completa se describen en detalle en la lección "¿Qué es una fracción numérica?". Si no lo recuerdas, asegúrate de repetirlo. Ejemplos:

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Aquí todo es sencillo. Los denominadores dentro de cada expresión son iguales, así que todo lo que queda es convertir todas las fracciones a impropias y contar. Tenemos:

Para simplificar los cálculos, me salté algunos pasos obvios en los últimos ejemplos.

Una pequeña nota sobre los dos últimos ejemplos, donde se restan fracciones con la parte entera resaltada. El menos antes de la segunda fracción significa que se resta la fracción completa, y no solo su parte completa.

Vuelve a leer esta frase, mira los ejemplos y piensa en ello. Aquí es donde los principiantes cometen una gran cantidad de errores. Les encanta dar esos problemas en los exámenes. También los encontrará varias veces en las pruebas de esta lección, que se publicarán en breve.

Resumen: esquema de cálculo general

En conclusión, te daré un algoritmo general que te ayudará a encontrar la suma o diferencia de dos o más fracciones:

Si una o más fracciones tienen una parte entera, convierta estas fracciones en impropias;
Lleve todas las fracciones a un denominador común de la forma que más le convenga (a menos, por supuesto, que los redactores de los problemas hicieran esto);
Sumar o restar los números resultantes de acuerdo con las reglas para sumar y restar fracciones con denominadores iguales;
Si es posible, acorte el resultado. Si la fracción es incorrecta, seleccione la parte entera.

Recuerde que es mejor resaltar toda la parte al final del problema, inmediatamente antes de escribir la respuesta.