أصغر قيمة للدالة f x. أكبر وأصغر قيمة للدالة. مخطط لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة $ f (x) $ على الفاصل الزمني $$

توضح الأشكال أدناه المكان الذي يمكن أن تصل فيه الوظيفة إلى أصغر وأكبر قيمة لها. في الشكل الأيسر ، تم إصلاح أصغر وأكبر قيم عند نقطتي الحد الأدنى والأقصى المحلي للدالة. في الشكل الصحيح - في نهايات المقطع.

إذا كانت الوظيفة ذ = F(x) مستمر على الفاصل الزمني [ أ, ب] ، ثم تصل إلى هذا الجزء الأقل و أعلى القيم . هذا ، كما ذكرنا سابقًا ، يمكن أن يحدث إما في النقاط القصوىأو في نهايات المقطع. لذلك ، لتجد الأقل و أكبر قيم الدالة ، مستمر على الفاصل الزمني [ أ, ب] ، تحتاج إلى حساب قيمها بالكامل نقاط حرجةوفي نهايات المقطع ، ثم اختر أصغرها وأكبرها.

دعنا ، على سبيل المثال ، مطلوب تحديد الحد الأقصى لقيمة الوظيفة F(x) في المقطع [ أ, ب]. للقيام بذلك ، ابحث عن جميع نقاطه الحرجة التي تقع على [ أ, ب] .

نقطة حرجة يسمى النقطة التي وظيفة محددة، وهي المشتقإما أن يكون صفرًا أو غير موجود. ثم يجب عليك حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة. وأخيرًا ، يجب على المرء أن يقارن قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة وفي نهايات المقطع ( F(أ) و F(ب)). سيكون أكبر هذه الأرقام أكبر قيمة للدالة في المقطع [أ, ب] .

مشكلة البحث أصغر قيم الدالة .

نحن نبحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة معًا

مثال 1. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء [-1, 2] .

قرار. نجد مشتقة هذه الدالة. ساوي المشتق بصفر () واحصل على نقطتين حرجتين: و. للعثور على أصغر وأكبر قيم لدالة في مقطع معين ، يكفي حساب قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة ، نظرًا لأن النقطة لا تنتمي إلى المقطع [-1 ، 2]. قيم الوظائف هذه هي كما يلي: ، ،. إنه يتبع هذا أصغر قيمة للدالة(مميزة باللون الأحمر على الرسم البياني أدناه) ، تساوي -7 ، يتم الوصول إليها في الطرف الأيمن من المقطع - عند النقطة ، و أعظم(أحمر أيضًا على الرسم البياني) يساوي 9 ، - عند النقطة الحرجة.

إذا كانت الوظيفة متصلة في فاصل زمني معين ولم يكن هذا الفاصل الزمني مقطعًا (ولكنه ، على سبيل المثال ، فاصل زمني ؛ الفرق بين الفاصل الزمني والمقطع: لم يتم تضمين نقاط حدود الفاصل في الفاصل الزمني ، ولكن يتم تضمين نقاط حدود المقطع في المقطع) ، ثم من بين قيم الوظيفة قد لا يكون هناك أصغر وأكبر. لذلك ، على سبيل المثال ، الوظيفة الموضحة في الشكل أدناه متصلة على]-، + ∞ [وليس لها أكبر قيمة.

ومع ذلك ، بالنسبة لأي فترة زمنية (مغلقة أو مفتوحة أو لانهائية) ، فإن الخاصية التالية للوظائف المستمرة تبقى ثابتة.

للفحص الذاتي أثناء العمليات الحسابية ، يمكنك استخدام مشتقات الإنترنت حاسبة .

مثال 4. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء [-1, 3] .

قرار. نجد مشتق هذه الدالة كمشتق من حاصل القسمة:

.

نحن نساوي المشتقة بالصفر ، وهو ما يعطينا نقطة حرجة واحدة:. إنه ينتمي إلى الفاصل الزمني [-1 ، 3]. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

دعونا نقارن هذه القيم. الخلاصة: تساوي -5 / 13 عند النقطة و أعظم قيمةيساوي 1 عند هذه النقطة.

نواصل البحث عن القيم الأصغر والأكبر للوظيفة معًا

يوجد مدرسون ، فيما يتعلق بموضوع العثور على أصغر وأكبر قيم للدالة ، لا يقدمون للطلاب أمثلة أكثر تعقيدًا من تلك التي تم أخذها في الاعتبار للتو ، أي تلك التي تكون فيها الوظيفة كثيرة الحدود أو الكسر ، البسط ومقامها كثيرات الحدود. لكننا لن نقتصر على مثل هذه الأمثلة ، حيث يوجد بين المعلمين عشاق لجعل الطلاب يفكرون بالكامل (جدول المشتقات). لذلك ، سيتم استخدام اللوغاريتم والدالة المثلثية.

مثال 8. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء .

قرار. نجد مشتقة هذه الدالة كـ مشتق من المنتج :

نحن نساوي المشتق بالصفر ، وهو ما يعطينا نقطة حرجة واحدة:. إنه ينتمي إلى الجزء. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

نتيجة جميع الإجراءات: تصل الدالة إلى أدنى قيمة لها، تساوي 0 ، عند نقطة وعند نقطة و أعظم قيمةيساوي ه² ، عند هذه النقطة.

للفحص الذاتي أثناء العمليات الحسابية ، يمكنك استخدام مشتقات الإنترنت حاسبة .

مثال 9. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء .

قرار. نجد مشتق هذه الوظيفة:

يساوي المشتق بصفر:

النقطة الحرجة الوحيدة تنتمي إلى المقطع. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

خاتمة: تصل الدالة إلى أدنى قيمة لها، يساوي ، عند النقطة و أعظم قيمة، يساوي ، عند هذه النقطة.

في المسائل المتطرفة المطبقة ، يتم تقليل إيجاد أصغر (أكبر) قيم دالة ، كقاعدة عامة ، لإيجاد الحد الأدنى (الحد الأقصى). لكن ليست الحدود الدنيا أو القصوى نفسها هي التي لها أهمية عملية أكبر ، ولكن قيم الحجة التي يتم تحقيقها من خلالها. عند حل المشكلات التطبيقية ، تنشأ صعوبة إضافية - تجميع الوظائف التي تصف الظاهرة أو العملية قيد الدراسة.

المثال 10يجب أن يكون الخزان بسعة 4 ، على شكل خط متوازي بقاعدة مربعة ومفتوح من الأعلى ، معلبًا. ماذا يجب أن تكون أبعاد الخزان لتغطيته بأقل كمية من المواد؟

قرار. اسمحوا ان x- جانب القاعدة ح- ارتفاع الخزان ، س- مساحة سطحه بدون غطاء ، الخامس- حجمه. يتم التعبير عن مساحة سطح الخزان بالصيغة ، أي هي دالة لمتغيرين. للتعبير سكدالة لمتغير واحد ، نستخدم حقيقة أنه من أين. استبدال التعبير الموجود حفي صيغة س:

دعونا نفحص هذه الوظيفة لأقصى حد. يتم تعريفه وقابل للتفاضل في كل مكان في] 0 و + [و

.

نحن نساوي المشتق بصفر () ونوجد النقطة الحرجة. بالإضافة إلى ذلك ، عندما لا يكون المشتق موجودًا ، ولكن هذه القيمة غير مدرجة في مجال التعريف وبالتالي لا يمكن أن تكون نقطة نهائية. لذا ، - النقطة الحرجة الوحيدة. دعنا نتحقق من وجود حد أقصى باستخدام الإشارة الكافية الثانية. لنجد المشتق الثاني. عندما يكون المشتق الثاني أكبر من صفر (). هذا يعني أنه عندما تصل الوظيفة إلى الحد الأدنى . لأن هذا الحد الأدنى - الحد الأقصى الوحيد لهذه الوظيفة ، هو أصغر قيمة لها. لذلك ، يجب أن يكون جانب قاعدة الخزان مساويًا لـ 2 متر وارتفاعه.

للفحص الذاتي أثناء العمليات الحسابية ، يمكنك استخدام

أحيانًا في المسائل B15 توجد وظائف "سيئة" يصعب العثور على مشتقاتها. في السابق ، كان هذا يقتصر على المسابير فقط ، ولكن الآن أصبحت هذه المهام شائعة جدًا لدرجة أنه لم يعد من الممكن تجاهلها عند التحضير لهذا الاختبار.

في هذه الحالة ، تعمل الحيل الأخرى ، إحداها - روتيني.

تسمى الوظيفة f (x) زيادة رتيبة على المقطع إذا كان ما يلي صحيحًا لأي نقطة x 1 و x 2 من هذا المقطع:

× 1< x 2 ⇒ f (× 1) < f (x2).

تسمى الوظيفة f (x) متناقصة بشكل رتيب على المقطع إذا كان ما يلي صحيحًا لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع:

× 1< x 2 ⇒ f (× 1)> و ( x2).

بمعنى آخر ، بالنسبة للدالة المتزايدة ، كلما كان x أكبر ، كلما كان f (x) أكبر. بالنسبة للدالة المتناقصة ، يكون العكس هو الصحيح: كلما زاد عدد x ، كلما زاد حجم الأصغرو (خ).

على سبيل المثال ، يزيد اللوغاريتم بشكل رتيب إذا كانت القاعدة a> 1 وتنخفض بشكل رتيب إذا كانت 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

و (س) = السجل أ س (أ> 0 ؛ أ ≠ 1 ؛ س> 0)

يزيد الجذر التربيعي الحسابي (وليس فقط التربيعي) بشكل رتيب على نطاق التعريف بالكامل:

تتصرف الدالة الأسية بشكل مشابه للوغاريتم: فهي تزيد لـ a> 1 وتنقص لـ 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

و (س) = أ س (أ> 0)

أخيرًا ، الدرجات ذات الأس السالب. يمكنك كتابتها على شكل كسر. لديهم نقطة انقطاع حيث يتم كسر الرتابة.

لم يتم العثور على كل هذه الوظائف في شكلها النقي. تتم إضافة كثيرات الحدود والكسور وغير ذلك من الهراء إليها ، مما يجعل من الصعب حساب المشتق. ماذا يحدث في هذه الحالة - الآن سنحلل.

إحداثيات رأس القطع المكافئ

في أغلب الأحيان ، يتم استبدال وسيطة الوظيفة بـ ثلاثي الحدود مربعمن الشكل y = ax 2 + bx + c. الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ قياسي ، ونحن مهتمون به:

1. فروع القطع المكافئ - يمكن أن ترتفع (لـ> 0) أو لأسفل (أ< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. رأس القطع المكافئ هو النقطة القصوى للدالة التربيعية ، حيث تأخذ هذه الوظيفة أصغرها (ل> 0) أو أكبرها (أ< 0) значение.

الأكثر أهمية قمة القطع المكافئ، يتم حساب الحد الفاصل بواسطة الصيغة:

إذن ، وجدنا النقطة القصوى للدالة التربيعية. ولكن إذا كانت الوظيفة الأصلية رتيبة ، فإن النقطة x 0 ستكون أيضًا نقطة نهائية. وبالتالي ، فإننا نصوغ القاعدة الأساسية:

تتطابق النقاط القصوى للمربع ثلاثي الحدود مع الوظيفة المعقدة التي تدخلها. لذلك ، يمكنك البحث عن x 0 لمربع ثلاثي الحدود ، وتجاهل الدالة.

من المنطق أعلاه ، لا يزال من غير الواضح نوع النقطة التي نحصل عليها: الحد الأقصى أو الحد الأدنى. ومع ذلك ، تم تصميم المهام على وجه التحديد بحيث لا يهم. أحكم لنفسك:

1. لا يوجد جزء في حالة المشكلة. لذلك ، ليس مطلوبًا حساب f (a) و f (b). يبقى فقط النظر في النقاط القصوى ؛
2. ولكن لا توجد سوى نقطة واحدة من هذا القبيل - هذه هي قمة القطع المكافئ × 0 ، ويتم حساب إحداثياتها شفهيًا وبدون أي مشتقات.

وبالتالي ، يتم تبسيط حل المشكلة إلى حد كبير وتقليله إلى خطوتين فقط:

1. اكتب معادلة القطع المكافئ y = ax 2 + bx + c وابحث عن رأسه باستخدام الصيغة: x 0 = −b / 2a؛
2. أوجد قيمة الوظيفة الأصلية في هذه المرحلة: f (x 0). إذا لم تكن هناك شروط إضافية ، فسيكون هذا هو الحل.

للوهلة الأولى ، قد تبدو هذه الخوارزمية ومبرراتها معقدة. لا أنشر عمداً مخطط حل "مكشوف" ، لأن التطبيق غير المدروس لمثل هذه القواعد محفوف بالأخطاء.

ضع في اعتبارك المهام الحقيقية من الاختبار التجريبي في الرياضيات - هذا هو المكان الأكثر شيوعًا لهذه التقنية. في الوقت نفسه ، سوف نتأكد من أنه بهذه الطريقة تصبح العديد من مشاكل B15 شفهية تقريبًا.

تحت الجذر دالة تربيعية y \ u003d x 2 + 6x + 13. الرسم البياني لهذه الوظيفة عبارة عن قطع مكافئ بفروع لأعلى ، حيث أن المعامل a \ u003d 1 \ u003e 0.

قمة القطع المكافئ:

× 0 \ u003d -b / (2a) \ u003d -6 / (2 1) \ u003d -6 / 2 \ u003d -3

نظرًا لأن فروع القطع المكافئ موجهة لأعلى ، عند النقطة x 0 \ u003d −3 ، تأخذ الوظيفة y \ u003d x 2 + 6x + 13 أصغر قيمة.

يتزايد الجذر بشكل رتيب ، لذا فإن x 0 هي النقطة الدنيا للدالة بأكملها. نملك:

مهمة. ابحث عن أصغر قيمة للدالة:

ص = سجل 2 (س 2 + 2 س + 9)

تحت اللوغاريتم مرة أخرى دالة تربيعية: y \ u003d x 2 + 2x + 9. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى ، لأن أ = 1> 0.

قمة القطع المكافئ:

× 0 \ u003d -b / (2a) \ u003d -2 / (2 1) \ u003d -2/2 \ u003d -1

لذلك ، عند النقطة x 0 = −1 ، تأخذ الدالة التربيعية أصغر قيمة. لكن الوظيفة y = log 2 x رتيبة ، لذلك:

y min = y (−1) = log 2 ((1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

الأس هو دالة تربيعية y = 1 - 4x - x 2. دعونا نعيد كتابته بالصيغة العادية: y = −x 2 - 4x + 1.

من الواضح أن الرسم البياني لهذه الوظيفة هو قطع مكافئ ، يتفرع لأسفل (أ = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

س 0 = −b / (2a) = - (- 4) / (2 (−1)) = 4 / (- 2) = −2

الوظيفة الأصلية أسية ، فهي رتيبة ، لذا ستكون القيمة الأكبر عند النقطة الموجودة × 0 = −2:

سيلاحظ القارئ اليقظ بالتأكيد أننا لم نكتب منطقة القيم المسموح بها للجذر واللوغاريتم. لكن هذا لم يكن مطلوبًا: يوجد بالداخل وظائف تكون قيمها دائمًا موجبة.

النتائج من نطاق الوظيفة

في بعض الأحيان ، لحل المسألة B15 ، لا يكفي مجرد إيجاد رأس القطع المكافئ. قد تكمن القيمة المطلوبة في نهاية المقطع، ولكن ليس في أقصى نقطة. إذا لم تحدد المهمة مقطعًا على الإطلاق ، فراجع مجموعة التسامحالوظيفة الأصلية. يسمى:

انتبه مرة أخرى: قد يكون الصفر تحت الجذر ، ولكن ليس في لوغاريتم أو مقام كسر. دعونا نرى كيف يعمل مع أمثلة محددة:

مهمة. أوجد أكبر قيمة للدالة:

تحت الجذر مرة أخرى وظيفة تربيعية: y \ u003d 3 - 2x - x 2. التمثيل البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ ، لكنه يتفرع إلى الأسفل حيث أن a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

نكتب منطقة القيم المسموح بها (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3 ؛ واحد]

الآن ابحث عن رأس القطع المكافئ:

س 0 = b / (2a) = - (- 2) / (2 (−1)) = 2 / (- 2) = 1

النقطة x 0 = −1 تنتمي إلى مقطع ODZ - وهذا جيد. الآن نعتبر قيمة الوظيفة عند النقطة x 0 ، وكذلك في نهايات ODZ:

ص (−3) = ص (1) = 0

إذن ، حصلنا على العددين 2 و 0. مطلوب منا إيجاد أكبرهما - هذا هو الرقم 2.

مهمة. ابحث عن أصغر قيمة للدالة:

ص = تسجيل 0.5 (6 س - س 2-5)

يوجد داخل اللوغاريتم دالة تربيعية y \ u003d 6x - x 2 - 5. هذا قطع مكافئ بفروع لأسفل ، لكن لا يمكن أن يكون هناك أرقام سالبة في اللوغاريتم ، لذلك نكتب ODZ:

6x - x 2-5> 0 x 2-6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

يرجى ملاحظة: عدم المساواة صارم ، وبالتالي فإن النهايات لا تنتمي إلى ODZ. بهذه الطريقة ، يختلف اللوغاريتم عن الجذر ، حيث تناسبنا نهايات المقطع تمامًا.

البحث عن قمة القطع المكافئ:

س 0 = b / (2a) = −6 / (2 (−1)) = −6 / (- 2) = 3

الجزء العلوي من القطع المكافئ يناسب طول ODZ: x 0 = 3 ∈ (1 ؛ 5). ولكن نظرًا لأن نهايات المقطع لا تهمنا ، فإننا نعتبر قيمة الوظيفة فقط عند النقطة × 0:

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 - 3 2-5) = log 0.5 (18-9-5) = log 0.5 4 = −2

في المهمة B14 من الاستخدام في الرياضيات ، تحتاج إلى إيجاد أصغر أو أكبر قيمة لدالة لمتغير واحد. هذه مشكلة تافهة إلى حد ما من التحليل الرياضي ، ولهذا السبب يمكن لكل خريج في المدرسة الثانوية ويجب أن يتعلم كيفية حلها بشكل طبيعي. دعونا نحلل بعض الأمثلة التي حلها تلاميذ المدارس في العمل التشخيصي في الرياضيات ، والذي حدث في موسكو في 7 ديسمبر 2011.

اعتمادًا على الفاصل الزمني الذي تريد العثور فيه على القيمة القصوى أو الدنيا للوظيفة ، يتم استخدام إحدى الخوارزميات القياسية التالية لحل هذه المشكلة.

1. خوارزمية لإيجاد أكبر أو أصغر قيمة لدالة في مقطع ما:

• أوجد مشتق دالة.
• حدد من النقاط المشتبه في وجودها حدًا أقصى تلك التي تنتمي إلى مقطع معين ومجال الوظيفة.
• احسب القيم المهام(ليس مشتقًا!) في هذه النقاط.
• من بين القيم التي تم الحصول عليها ، اختر الأكبر أو الأصغر ، ستكون القيمة المطلوبة.

مثال 1أوجد أصغر قيمة للدالة
ذ = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 في المقطع.

قرار:نتصرف وفقًا للخوارزمية لإيجاد أصغر قيمة لدالة في مقطع ما:

• نطاق الوظيفة غير محدود: د (ذ) = تم العثور على R.
• مشتق الوظيفة هو: ذ = 3x 2 – 36x+ 81. لا يقتصر نطاق مشتق الوظيفة أيضًا: د (ذ ') = تم العثور على R.
• أصفار المشتق: ذ = 3x 2 – 36x+ 81 = 0 ، إذن x 2 – 12x+ 27 = 0 ، من أين x= 3 و x= 9 ، الفاصل الزمني لدينا يشمل فقط x= 9 (نقطة واحدة مشبوهة بالنسبة للأطراف المتطرفة).
• نجد قيمة الدالة عند نقطة مشبوهة في الطرف الأقصى وعند حواف الفترة. لتسهيل العمليات الحسابية ، فإننا نمثل الوظيفة بالشكل: ذ = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • ذ(8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31 ؛
  • ذ(9) = 9 (9-9) 2 + 23 = 23 ؛
  • ذ(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

لذلك ، من القيم التي تم الحصول عليها ، الأصغر هو 23. الجواب: 23.

ثانيًا. الخوارزمية لإيجاد أكبر أو أصغر قيمة للدالة:

• ابحث عن نطاق الوظيفة.
• أوجد مشتق دالة.
• حدد النقاط المشكوك فيها بحد أقصى (تلك النقاط التي يختفي عندها مشتق الدالة ، والنقاط التي لا يوجد عندها مشتق محدود ذو وجهين).
• حدد هذه النقاط ومجال الوظيفة على خط الأعداد وحدد العلامات المشتق(لا وظائف!) على الفترات الناتجة.
• تحديد القيم المهام(ليس مشتقًا!) عند الحد الأدنى من النقاط (تلك النقاط التي تتغير فيها علامة المشتق من سالب إلى زائد) ، ستكون أصغر هذه القيم هي أصغر قيمة للدالة. إذا لم يكن هناك حد أدنى من النقاط ، فلن يكون للوظيفة قيمة دنيا.
• تحديد القيم المهام(ليس مشتقًا!) عند الحد الأقصى للنقاط (تلك النقاط التي تتغير فيها علامة المشتق من موجب إلى سالب) ، ستكون أكبر هذه القيم هي أكبر قيمة للدالة. إذا لم تكن هناك نقاط قصوى ، فلن يكون للوظيفة قيمة قصوى.

مثال 2أوجد أكبر قيمة للدالة.

مع هذه الخدمة ، يمكنك العثور على أكبر وأصغر قيمة للدالةمتغير واحد f (x) مع تصميم الحل في Word. إذا كانت الدالة f (x ، y) معطاة ، فمن الضروري إيجاد الحد الأقصى لدالة متغيرين. يمكنك أيضًا العثور على فترات الزيادة والنقصان للوظيفة.

قواعد دخول الوظيفة:

شرط ضروري لحد أقصى لدالة متغير واحد

المعادلة f "0 (x *) = 0 هي شرط ضروريالطرف الأقصى لدالة متغير واحد ، أي عند النقطة x * يجب أن يختفي المشتق الأول للدالة. يحدد النقاط الثابتة x c التي لا تزيد أو تنقص عندها الوظيفة.

شرط كافٍ لحد أقصى لدالة متغير واحد

افترض أن f 0 (x) قابلة للاشتقاق مرتين بالنسبة إلى x التي تنتمي إلى المجموعة D. إذا تم استيفاء الشرط عند النقطة x *:

F "0 (x *) = 0
f "0 (x *)> 0

ثم النقطة x * هي نقطة الحد الأدنى المحلي (العالمي) للدالة.

إذا تم استيفاء الشرط عند النقطة x *:

F "0 (x *) = 0
f "0 (x *)< 0

هذه النقطة x * هي حد أقصى محلي (عالمي).

مثال 1. أوجد أكبر وأصغر قيم للدالة: في المقطع.
قرار.

النقطة الحرجة هي واحد x 1 = 2 (f '(x) = 0). هذه النقطة تنتمي إلى المقطع. (النقطة س = 0 ليست حرجة ، منذ 0∉).
نحسب قيم الوظيفة في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة.
و (1) = 9 ، و (2) = 5/2 ، و (3) = 3 8/81
الجواب: f min = 5/2 لـ x = 2 ؛ f max = 9 عند x = 1

المثال رقم 2. باستخدام المشتقات ذات الترتيب الأعلى ، أوجد الحد الأقصى للدالة y = x-2sin (x).
قرار.
أوجد مشتق الدالة: y ’= 1-2cos (x). لنجد النقاط الحرجة: 1-cos (x) = 2، cos (x) = 1، x = ± π / 3 + 2πk، k∈Z. نجد y '' = 2sin (x) ، نحسب ، لذا فإن x = π / 3 + 2πk ، k∈Z هي الحد الأدنى من نقاط الدالة ؛ ، لذا فإن x = - / 3 + 2πk ، k∈Z هي النقاط القصوى للدالة.

المثال رقم 3. تحقق من الدالة القصوى في المنطقة المجاورة للنقطة x = 0.
قرار. هنا من الضروري إيجاد الحد الأقصى للدالة. إذا كانت القيمة القصوى x = 0 ، فاكتشف نوعها (الحد الأدنى أو الحد الأقصى). إذا لم يكن هناك x = 0 من بين النقاط التي تم العثور عليها ، فاحسب قيمة الدالة f (x = 0).
تجدر الإشارة إلى أنه عندما لا يغير المشتق على كل جانب من نقطة معينة علامته ، فإن المواقف المحتملة لا يتم استنفادها حتى بالنسبة للوظائف القابلة للتفاضل: قد يحدث ذلك بالنسبة إلى حي صغير بشكل تعسفي على جانب واحد من النقطة × 0 أو على كلا الجانبين ، علامة تغير المشتق. في هذه النقاط ، يتعين على المرء أن يطبق طرقًا أخرى لدراسة الوظائف في أقصى حد.

المثال رقم 4. قسّم الرقم 49 إلى فترتين ، يكون حاصل ضربهما هو الأكبر.
قرار. دع x يكون الحد الأول. ثم (49-x) هو الحد الثاني.
سيكون المنتج بحد أقصى: x (49-x) → max

في يوليو 2020 ، أطلقت ناسا رحلة استكشافية إلى المريخ. ستسلم المركبة الفضائية إلى المريخ ناقلًا إلكترونيًا بأسماء جميع الأعضاء المسجلين في البعثة.

إذا أدى هذا المنشور إلى حل مشكلتك أو أعجبك ذلك ، فقم بمشاركة الرابط الخاص به مع أصدقائك على الشبكات الاجتماعية.

يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقه في رمز صفحة الويب الخاصة بك ، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات وأو بعد العلامة مباشرة . وفقًا للخيار الأول ، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويقلل من إبطاء الصفحة. لكن الخيار الثاني يتتبع ويحمل تلقائيًا أحدث إصدارات MathJax. إذا أدخلت الرمز الأول ، فسيلزم تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بلصق الرمز الثاني ، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.

أسهل طريقة لتوصيل MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة التحكم بالموقع ، أضف عنصر واجهة مستخدم مصمم لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية ، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التحميل المقدم أعلاه فيه ، ثم ضع الأداة في مكان أقرب إلى بداية القالب (بالمناسبة ، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق ، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. تعرف الآن على صيغة الترميز MathML و LaTeX و ASCIIMathML ، وستكون جاهزًا لتضمين الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بك.

ليلة رأس السنة الجديدة ... الطقس الفاتر والثلج على زجاج النافذة ... دفعني كل هذا إلى الكتابة مرة أخرى عن الفركتلات ، وما يعرفه ولفرام ألفا عنها. في هذه المناسبة ، هناك مقال مثير للاهتمام حيث توجد أمثلة على الهياكل الكسورية ثنائية الأبعاد. هنا سننظر في أمثلة أكثر تعقيدًا للفركتلات ثلاثية الأبعاد.

يمكن تمثيل (وصف) كسورية بصريًا كشكل أو جسم هندسي (بمعنى أن كلاهما مجموعة ، في هذه الحالة ، مجموعة من النقاط) ، وتفاصيلها لها نفس شكل الشكل الأصلي نفسه. أي أنه هيكل متشابه ذاتيًا ، مع الأخذ في الاعتبار التفاصيل التي ، عند تكبيرها ، سنرى نفس الشكل بدون تكبير. بينما في حالة المعتاد الشكل الهندسي(ليس كسورية) ، عند التكبير ، سنرى تفاصيل لها شكل أبسط من الشكل الأصلي نفسه. على سبيل المثال ، عند التكبير العالي بدرجة كافية ، يبدو جزء من القطع الناقص مثل قطعة خط مستقيم. هذا لا يحدث مع الفركتلات: مع أي زيادة فيها ، سنرى مرة أخرى نفس الشكل المعقد ، والذي سيتكرر مع كل زيادة مرارًا وتكرارًا.

كتب بينوا ماندلبروت ، مؤسس علم الفركتلات ، في مقالته: الفركتلات والفركتلات: "الفركتلات هي أشكال هندسية معقدة في تفاصيلها كما هي في شكلها العام. أي إذا كان جزءًا من الإرادة الكسورية أن تتضخم إلى حجم الكل ، سيبدو مثل الكل ، أو بالضبط ، أو ربما مع تشوه طفيف.