Čistá prémie. V tomto typu pojištění se čisté pojistné vypočítá podle vzorce Analýza homogenního pojistného kmene pomocí normální aproximace
Část pojistného, která slouží k úhradě pojistného za určitý druh pojištění po určitou dobu, se nazývá čisté pojistné. Jeho hodnota je přímo závislá na vývoji rizika. Parametr může odpovídat rizikové prémii za systematický vývoj nebezpečí.
K čemu slouží a co ovlivňuje?
Část pojistného je určena na kompenzační platby, jejichž účelem je úhrada škody. Jeho hodnota je určena parametrem čistého pojistného, které je součástí hrubého pojistného. Tvorba čistého pojistného je založena na riziku a pojistném. Stanovení hodnoty rizika se provádí pomocí pojistně-matematických výpočtů s přihlédnutím k části pojistné matematiky. K identifikaci hodnoty slouží informace o způsobené škodě za uplynulé období.
Parametr odpovídá součinu četnosti výskytu pojistné události za zvolené období a průměrné výše způsobené škody. Při jejím stanovení jsou do výpočtu zahrnuty škody způsobené pojištěnému v důsledku okolností klasifikovaných jako pojistná událost za celé analyzované časové období. Četnost poškození je vypočítána soukromým číslem celkové výše škod v jejich sledovaném souboru a počtem pozorovaných jednotek v něm zahrnutých. Průměrná výše škody je určena podílem její celkové výše a počtu případů poškození. Všechny parametry jsou brány v úvahu pro přidělený časový interval, interpretovaný jako dodržený.
Z jakých prvků se skládá?
Pojistné určuje průměrnou hodnotu čistého pojistného, která způsobuje kladné a záporné odchylky parametru. K její kompenzaci je do výše rizikové prémie zahrnuta garanční prémie, která slouží ke stabilizaci ukazatele. Jeho struktura se utváří podle druhu pojištění a jeho předmětu. V produktu pojištění majetku a osob se skládá z různých základních prvků. Čisté pojistné pojištění majetku je určeno rizikovým pojistným a stabilizačním pojistným. Osobní pojištění se vyznačuje pojistně-matematickým výpočtem, který zohledňuje rizikové pojistné a fondový příspěvek. V některých situacích se počítá s přirážkou za záruku.
Jak se provádějí vypořádací operace?
Čisté pojistné je relevantní pro pojišťovací operace, jejichž předmětem je majetek, zdraví a život osoby. Odpovídá rozdílu mezi celkovou výší pojistného a honorářem zprostředkovatele nebo zprostředkovatele. Pojistné je nutné k zajištění pojistné ochrany před případnými škodami. Nezahrnuje jeho část, jejíž výdaje jsou určeny k úhradě jiných výdajů. V životním pojištění je parametr interpretován jako rozdíl mezi počátečním pojistným a výší dividend vyplacených pojištěnému, pokud byly příjemcem použity k úhradě pojistného v rámci životního pojištění. Očekávaná hodnota čistého pojistného je určena vzorcem:
NP \u003d SS x NS / 100, kde:
- NP- čisté pojistné;
- SS- pojistná částka;
- NS- čistá sazba.
Čistá sázka je reprezentována procentem, které odráží pravděpodobnost ztráty. Parametr se vypočítá jako poměr způsobené škody k celkové pojistné částce pojištěných věcí. Výše škody je určena podílem z celkové výše škody a počtu evidovaných obdobných případů. Všechny hodnoty jsou brány v úvahu za sledované období.
Pro zvýšení spolehlivosti ochrany rozhodnutím pojistitele může být při výpočtu zohledněno rizikové pojistné. Nesmí být menší než směrodatná odchylka škodního poměru uplatňovaná na pojistnou částku. Účtování hodnoty ve výpočtech zvyšuje pravděpodobnost, že vybrané peníze na pojistném budou stačit na úhradu škody, kterou pojištěný utrpěl v důsledku vzniku pojistné události. Výpočet nové hodnoty pojistného bude vypadat jako součet základního čistého pojistného a pojistného.
Parametr rizikového pojistného je nutné zohlednit ve výpočtech při zjišťování určitých zákonitostí ve skutečnosti škody způsobené na pojištěné věci v důsledku nahodilých událostí v uplynulém období. Na základě statistických informací je možné předem predikovat nerentabilnost. Při analýze parametrů byste se měli vyvarovat diagnostických chyb, které spočívají ve zpracování informací, které nejsou in plně, stejně jako nespolehlivost prognózy, vyjádřená nemožností opakování minulosti v budoucím období. Aby nedocházelo k nepřesnostem a nadhodnocování výše platby, používá se průměrná statistická hodnota hodnoty, určená několika časovými epizodami.
Závěr
Očekávanou hodnotu čistého pojistného tak lze určit se znalostí výše pojistné částky a hodnoty čisté sazby. Čistá sazba je v tomto případě procento, které odráží pravděpodobnost ztráty (škody). Tato pravděpodobnost se vypočítá na základě poměru škody k celkové pojistné částce pojištěných věcí. Čisté čisté pojistné je stanoveno v rámci pojistně-matematických výpočtů, které vyžadují znalost statistických údajů za minulá období, včetně četnosti výskytu pojistných událostí a průměrné škody z nich.
Pojem a struktura hrubého pojistného
Definice 1
Hrubé pojistné je peněžní částka stanovená podmínkami pojistné smlouvy, kterou je pojištěný povinen po určitou dobu pojišťovně platit.
Ve struktuře hrubého pojistného se rozlišuje čisté pojistné a zatížení.
Čisté pojistné je nezbytné ke splnění povinností pojišťovny z pojistných smluv. Může se skládat z následujících prvků:
- rizikové pojistné určené ke krytí škody v případě pojistné události;
- riziková prémie požadovaná k náhradě zvýšené škody v případě možného zvýšení pravděpodobnosti rizikové události;
- spořicí vklad používaný pouze v životním pojištění a určený k nahromadění určitého množství peněz během trvání smlouvy s následnou výplatou.
Rizikové pojistné je vždy zahrnuto do čistého pojistného a je určeno k tvorbě pojistného rezervního fondu, přičemž rizikové pojistné je zohledněno při výpočtu čistého pojistného dle uvážení pojišťovny a jde do tvorby rezervního fondu.
Zátěž zahrnutá do struktury hrubého pojistného jsou náklady pojišťovny na výkon její činnosti a její zisk.
Náklady zahrnují tradiční náklady, které jsou typické pro jakýkoli podnik ( mzda, nájemné, cestovné, poplatky za energie atd.) a specifické náklady, které se vztahují pouze na pojišťovnictví (platba provizí pojišťovacím agentům a makléřům, provádění preventivních opatření, prohlídky ke zjištění výše škody atd.) .
Poznámka 1
V závislosti na typu pojištění, ale i nákladech pojišťovny na její činnost se může poměr čistého pojistného a zatížení lišit. Nejčastěji v celkovém hrubém pojistném je 70-80 % čisté pojistné, zbytek je náklad.
V obecném případě se hrubá sazba $Tb$ rovná:
$ Tb \u003d Tn / (100 - N) 100 $, kde:
$Tn$ – čistá sazba,
$H$ - zatížení, definované jako procento z hrubé sazby.
Pokud je zatížení definováno v rublech, pak je hrubá sazba:
$Tb = Tn + H$
Při výpočtu hrubého pojistného je nejdůležitější definice optimální velikostčisté pojistné, protože na tom závisí následná solventnost a finanční stabilita pojistitele. Proto je jeho výpočtu věnována zvýšená pozornost.
Výpočet čisté sazby pro rizikové typy pojištění
Definice 2
Čistá sazba je ukazatel rovný čistému pojistnému vypočtenému na jednotku (obvykle 100 rublů) pojistné částky.
Z metodiky výpočtu čisté sazby pro rizikové typy pojištění vyplývá dostupnost dostatečného množství statistických dat nezbytných pro přesné výpočty, závěr je predikován velký počet smlouvy (na stejné období), jakož i neexistenci událostí, které mohou znamenat platby za několik pojistných událostí najednou.
V souladu s metodikou je vzorec pro výpočet čisté sazby $ Тн$ následující:
$Tn = To + Tr$, kde:
$To$ je riziková prémie (část) čisté sazby,
$Tr$ je riziková prémie.
Riziková prémie se vypočítá takto:
$To = Q Sb ⁄ S 100 $, kde:
$Q$ je pravděpodobnost, s jakou je možný výskyt pojistné události,
$Sb$ je průměrná částka pojistného,
$S$ je průměrná pojistná částka.
$Q = M ⁄ N$, kde:
$M$ je počet pojistných událostí, které nastaly,
$N$ - počet smluv uzavřených na určité časové období.
Průměrná pojistná platba se rovná poměru výše plateb ze všech smluv k počtu smluv:
$Sb = (∑Sbi) ⁄ M$
Průměrná pojistná částka se rovná poměru celkové výše pojistných částek za všechny smlouvy k počtu těchto smluv:
$S = (∑Si) ⁄ N$
Riziková prémie $Tr$ se rovná:
$Тр = Тo α(γ) √ ((1 – Q + (Rb ⁄ Sb)^2) / (N Q))$, kde:
$Rb$ je standardní odchylka průměrné platby pojištění,
$α(γ)$ je koeficient, který závisí na pravděpodobnosti γ zvolené pojišťovnou, že pojistné bude stačit na pokrytí škody. Hodnota je převzata z tabulky:
Obrázek 1. Hodnoty koeficientů. Author24 - online výměna studentských prací
Výpočet čisté sazby životního pojištění
Mezi hlavní faktory ovlivňující velikost čisté sazby u životního pojištění patří:
- věk a pohlaví pojištěného;
- dobu trvání smlouvy a postup placení poplatků;
- předpokládaný výnos z prostředků přijatých rezervním fondem životního pojištění, pokud jsou investovány.
Výpočet čisté míry vychází z údajů z tabulek o úmrtnosti obyvatel určitého věku a průměrné délce života.
Nejprve se vypočítají potřebné ukazatele
Pravděpodobnost úmrtí v daném roce života $Qx$ se vypočítá podle vzorce:
$Qx = Bx ⁄ Lx $, kde:
$Bx$ je počet lidí, kteří zemřou v období od $x$ do $x + 1 $ let,
$Lx$ je celkový počet lidí, kteří přežili x let;
Pravděpodobnost, s jakou se člověk dožije daného věku, $Px$, se rovná:
$Px = L(x+1) ⁄ Lx$, nebo:
S přihlédnutím ke skutečnosti, že smlouvy na tento typ pojištění mají dlouhou dobu platnosti a finanční prostředky získané od pojištěného může pojišťovna použít k investování za účelem vytvoření dodatečného příjmu, k úpravě konečné čisté sazby, multiplikátor $V^n$ je použit rovný:
$V_n = 1 ⁄ (1+i)_n$, kde:
$i$ je míra návratnosti investic,
$n$ je počet let, po které jsou prostředky investovány.
V důsledku toho bude velikost čistého pojistného $(Ex)_n$ za přežití rovna:
$(Ex)_n = (L(x+n) V_n) / Lx S$, kde:
$L(x+n)$ - počet osob, které přežily do konce doby, na kterou byla smlouva uzavřena,
$n$ - doba, na kterou byla smlouva uzavřena,
$S$ – pojistná částka.
Čistá sázka na možnost smrti $(Az)_n$ se rovná:
$(Az)_n = (Bx ∙ V + B(x+1) ∙ V_2 + ⋯ +B (x+n-1) ∙ V_n) / Lx ∙ 100 $, kde:
$Bx, B(x+1)…B(x+n-1)$ je počet lidí, kteří zemřou mezi $x$ roky a $x+1$, vypočítaný pro každý rok smluvního období.
Při uzavření kombinované pojistné smlouvy pro dožití i možnost smrti bude čistá sazba rovna:
$Tn = (Ex)_n + (Az)_n$
Tento způsob výpočtu čisté sazby je použitelný za předpokladu okamžité úhrady celé částky pojistného za celé pojistné období. Pokud si pojistník přeje rozdělit částku pojistného na několik částí, které se rovnají počtu let pojištění, bude výše roční platby $P^x$ rovna:
$Р_x = (Ed)_x / α_x$, kde:
$(Ed)_x$ – částka vypočtené jednorázové platby,
$α_x$ – faktor splátek, což jsou náklady na platby ve výši jedné měnová jednotka. Ve skutečnosti se tento ukazatel svou velikostí blíží hodnotě počtu let, na které je smlouva uzavřena, ale ukazuje se, že je o něco nižší. V důsledku toho výše ročních plateb převyšuje hodnotu rovnající se prostému dělení jednorázové částky počtem let pojištění. V tomto případě pojistitel kompenzuje ztráty, které mu vzniknou nemožností investovat celou částku najednou a získat z toho příjem.
Hrubé pojistné, neboli pojistné, představuje výši pojistného plnění z pojistné smlouvy, kterou pojištěný platí pojistiteli (pojišťovně) za určité období z celé pojistné částky.
Hrubé pojistné závisí na pojistné částce, míře rizika a době, na kterou se toto pojistné sjednává. Tato doba trvání se nesmí shodovat s obecnou dobou pojištění. Struktura hrubého pojistného odráží ekonomický mechanismus pojištění.
Dá se to rozlišit dva prvky — čisté pojistné určené pro pojistné plnění podle podmínek pojistné smlouvy, a zatížení, určený k pokrytí nákladů na podnikání a dosahování zisku z pojišťovacích operací (obr. 1). Všimněte si, že se nazývá čisté pojistné vypočítané na jednotku pojistné částky, která se obvykle rovná 100 rublům čisté sazby.
Rýže. 1. Struktura hrubého pojistného
Poměr čistého pojistného a zatížení může být v závislosti na druhu a objemu pojištění a také na výši nákladů na podnikání různý.
V současné době se tento poměr mění ve směru zvyšování podílu zátěže na 15-20 %, jak je ve světové praxi zvykem. Tento trend je dán především nárůstem konstrukčního prvku nákladu - provize, což svědčí o nárůstu významu práce zprostředkovatele v pojištění (agent, makléř), a do značné míry odpovídá světové praxi.
Obecně čisté pojistné může zahrnovat následující strukturální prvky — rizikový příspěvek, riziková (garanční) prémie a příspěvek na spoření(obr. 2).
Rýže. 2. Možná struktura čistého pojistného
Je určen rizikový příspěvek ke krytí rizika u všech druhů pojištění, t.j. slouží k výplatě pojistného v případě pojistné události. Je vždy přítomen ve struktuře čistého pojistného.
Riziková (garanční nebo stabilizační) prémie je určena ke kompenzaci případného převýšení skutečných plateb nad vypočtenými, zohledněnými ve formě rizikového příspěvku. Toto pojistné nemusí být zahrnuto do struktury čistého pojistného – vše závisí na strategii řízení zvolené pojistitelem. Pokud je jejím cílem získat pojistný trh na úkor cen nižších než ostatní pojistitelé, není tento prvek (rizikové pojistné) zahrnut do struktury čistého pojistného. Pokud chce pojistitel posílit svou finanční stabilitu, je tento prvek zahrnut do čistého pojistného.
Kumulativní (spořící) příspěvek je určena k akumulaci vyplacené částky podle podmínek smlouvy o dlouhodobém životním pojištění - v případě, že pojištěný přežije do určitého data (v riziku dožití). Financovaný příspěvek musí být investován, aby generoval příjem. Jde o strukturální prvek čistého pojistného smluv dlouhodobého životního pojištění, např. u životního pojištění, smíšeného životního pojištění, penzijního pojištění (v tomto případě se používá ruská klasifikace druhů pojištění).
Výše rizikového příspěvku v čistém pojistném závisí na pojistné částce a pravděpodobnosti pojistné události.
Rizikové prémie závisí na přijaté pravděpodobnosti převýšení skutečných plateb nad vypočítanými. Čím menší je daná pravděpodobnost překročení skutečných plateb nad vypočítanými, tím vyšší je velikost rizikové prémie. Poměr mezi rizikovým příspěvkem a rizikovou prémií za odlišné typy pojištění může být jiné.
Výše příspěvku na spoření závisí na přijatém pravidle peněžního obratu (jednoduché nebo složené úročení), výši pojistné (akumulované) částky vyplácené při riziku dožití, míře příjmu přislíbeného pojištěnému a době trvání smlouvy (akumulační době). U kumulativního typu pojištění je poměr rizikovosti a kumulativních příspěvků stanoven smluvními podmínkami.
Zahrnutí rizikových a kapitalizovaných příspěvků do struktury čistého pojistného je dáno typem pojištění - rizikové opotřebení je prakticky zahrnuto ve všech typech pojištění, protože zajišťuje krytí rizik, a financované - pouze u dlouhodobých smluv životního pojištění.
V případě krátkodobého pojištění úrazu a nemoci, pojištění léčebných nebo úmrtí, pojištění majetku a odpovědnosti (rizikové typy pojištění) tak struktura čistého pojistného nutně zahrnuje rizikové pojistné a v závislosti na zvolené strategii řízení může společnost nebo nemusí zahrnovat rizikovou prémii.
Při pojištění penzí (dlouhodobý typ životního pojištění) je ve struktuře čistého pojistného zahrnut fondový příspěvek, který je určen k výplatám pojištěnému s rizikem dožití do určitého data, např. do dne další platba. Upozorňujeme, že u dlouhodobých smluv životního pojištění, které počítají jak s krytím rizik (riziko smrti a případně i rizika úrazu), tak s akumulací prostředků pro případ dožití, např. u smíšených smluv životního pojištění, odpadá nutnost zahrnutí rizikového pojistného do čistého pojistného - roli rizikového (garančního) pojistného plní kumulativní příspěvek.
V tabulce. Tabulka 1 uvádí možnosti možných struktur hrubého pojistného pro různé druhy pojištění.
stůl 1
Možnosti struktury hrubého pojistného pro různé typy pojištění
Čisté prémiové prvky- rizikový příspěvek, rizikové pojistné a fondový příspěvek - jsou zdroji tvorby zvláštních pojistných fondů - pojistné rezervy určené k platbám podle podmínek pojistné smlouvy.
Jak již bylo uvedeno, náklad je součástí hrubého pojistného určeného k pokrytí nákladů podnikání a zisku z pojišťovací činnosti (obr. 3).
Rýže. 3. Struktura zatížení
První konstrukční prvek nákladu — obchodní náklady- týká se nákladů na pojistné služby, druhým prvkem je plánovaný zisk pojišťovny z pojišťovacích operací.
Náklady na podnikání se dělí na tradiční, které mají místo pro jakýkoli druh podnikání, a charakteristický specifické pro pojišťovnictví.
Mezi konkrétní typy nákladů patří provize agentům a makléřům za zprostředkovatelskou činnost při distribuci pojistných produktů, výdaje na preventivní (preventivní) opatření, náklady spojené např. s vstupní prohlídkou (při uzavření smlouvy), ale i s prohlídkou spojenou s vznik pojistné události apod.
Zkušenosti ekonomicky vyspělých zemí ukazuje, že podíl výdajů na preventivní opatření může být 4-6 % z hrubého pojistného a podíl provizí může být až 20 % z hrubého pojistného.
Ekonomický růst a ekonomická bezpečnost
nleté smíšené životní pojištění
Čisté pojistné se vypočítá podle vzorce:
Plné životní pojištění odložené na t let
V tomto typu pojištění se čisté pojistné vypočítá podle vzorce:
n-leté životní pojištění odložené na t let
Plné životní pojištění s neustále se zvyšujícími benefity
19. Výpočet čistého pojistného za plné životní pojištění s výplatou pojistného plnění na konci minulý rokživot.
VÝPOČET ČISTÉHO PRÉMIE PRO ZÁKLADNÍ DISKRÉTNÍ
TYPY POJIŠTĚNÍ
Na základě definice jednotlivých typů pojištění a konceptu pojistně-matematické hodnoty lze pro výpočet čistého pojistného získat následující vzorce:
1. Plné životní pojištění s výplatou pojistného plnění na konci posledního roku života.
Čisté pojistné se vypočítá jako
je diskrétní analýza spojité zjednodušující funkce.
20. Výpočet čistého pojistného pro nleté přechodné a smíšené životní pojištění s
výplata pojistného plnění na konci posledního roku života.
P-letní životní pojištění s výplatou pojistného plnění na konci roku úmrtí
3. P-letní smíšené životní pojištění s výplatou pojistného plnění na konci roku úmrtí
4. Plné životní pojištění s výplatou pojistného plnění na konci posledního roku života, odložené o t let
5. Plné životní pojištění s každoročním navýšením plnění a výplatou plnění na konci posledního roku života
Označení , můžeme psát ve tvaru
Zde je diskrétní zjednodušující funkce.
21. Vztah mezi kontinuálním a diskrétním typem životního pojištění.
Diskrétní životní pojištění - pojistná částka se vyplácí na konci roku úmrtí. Výpočty lze provádět přímo z tabulek úmrtnosti.
Po výpočtu čistého pojistného pro diskrétní životní pojištění je možné vypočítat čisté pojistné pro odpovídající typy průběžného pojištění. Aby bylo možné spojit spojité a diskrétní typy pojištění, je nutné učinit určité předpoklady o rozložení doby života pro zlomkové věky.
Obvykle se předpokládá, že tento zákon je jednotný. Je známo, že v tomto případě náhodné veličiny a jsou nezávislé a mají rovnoměrné rozdělení na . Pak můžeme získat následující vzorce spojující čisté pojistné pro odpovídající kontinuální a diskrétní typy pojištění:
Výše uvedené vzorce umožňují vypočítat jednorázové čisté pojistné u souvislých typů pojištění prostřednictvím charakteristik , , , které se zcela jednoduše vypočítají z údajů uvedených v obecných tabulkách naděje dožití.
22. .Analýza celkového plnění v modelu dlouhodobého životního pojištění.
Nechť v okamžiku, kdy má pojišťovna uzavřeny smlouvy o životním pojištění. Označme průběžné pojistné a průběžné - hodnotu pojistného plnění vyplaceného na základě -té smlouvy v náhodném časovém okamžiku . Uspořádejte hodnoty ve vzestupném pořadí: . Poté lze v určitém okamžiku vypočítat kapitál společnosti jako
a společnost nebude v úpadku, pokud bude splněna tato podmínka:
kde jsou aktuální náklady na platbu podle -té pojistné smlouvy. Pravděpodobnost nezruinování se vypočítá podle vzorce:
který je podobný odpovídajícímu vzorci pro krátkodobé životní pojištění. To znamená, že výpočet pravděpodobnosti nezruinování u dlouhodobého pojištění probíhá stejně jako u krátkodobého pojištění se škodovými hodnotami.
Poté bude pojistné vypadat takto:
kde je čisté pojistné podle -té smlouvy a je odpovídající pojistné, které se počítá podobně jako u krátkodobého životního pojištění.
V nejjednodušším případě, kdy se pojistné rozdělí v poměru k matematickým očekáváním, dostaneme:
U složitějších modelů dlouhodobého pojištění není vždy možné vyjádřit:
a) pravděpodobnost nezruinování ve formě jednoduchého vzorce ve tvaru (32);
b) čisté pojistné a pojistné ve tvaru (34).
Čistá prémie
Ukazuje se tedy, že čisté pojistné zajišťující rentabilitu pojištění by mělo být vyšší než rizikové pojistné vypočítané na základě zásady ekvivalence závazků stran. Rozdíl mezi nimi se nazývá riziková prémie a poměr tohoto rozdílu k rizikové prémii se nazývá relativní riziková prémie. Podívejme se na postup pro tvorbu čistého pojistného ve smlouvách s rozdělenou škodou.
V pojištění je zvykem operovat se zvláštní peněžní částkou - jednotkou pojistné částky (u.c.c.), v závislosti na měně země, např. 1 u.s.c. = 100 rublů.
Zvažte příklad. Individuální nárok má tři hodnoty: 0; jeden; 4 e.s.s. s pravděpodobnostmi 0,9965, 0,0030, 0,0005 resp. Najděte čisté pojistné.
Průměr a odchylka jednotlivého nároku:
Poté budou získány podmínky pro zajištění 95% spolehlivosti (pravděpodobnosti přežití) pomocí normální aproximace: pomocí rizikové prémie a zohlednění počtu smluv; najít čisté pojistné:
Potom relativní prémie je:
Riziková prémie je tedy 0,0050; riziková prémie je 0,0017; čisté pojistné je 0,0067; hrubé pojistné (at) bude: 0,0067/0,88=0,76, což 1,5krát převýší rizikové pojistné.
Analýza homogenního pojistného portfolia pomocí normální aproximace
Pokračujeme v zvažování výše uvedeného problému (o rizikové prémii).
Připomeňme si: musíme prozkoumat proces:
Vybrané čisté pojistné zajišťuje schopnost dostát svým závazkům vyplácet odškodnění, pokud počet pojistných událostí nepřesáhne 110. Pro spolehlivost 96 % (pokud ano) je nutné mít možnost uhradit události do výše včetně 117. Všimněte si, že 117. výskyt buď nastane, nebo ne, takže 116,6 je třeba zaokrouhlit nahoru na nejbližší vyšší celé číslo. Možnost vyplacení pojistné částky je nutné zajistit ve 117 případech. Skutečná pravděpodobnost krachu v tomto případě bude:
Spolehlivost je o něco vyšší, než požaduje pojišťovna.
Pokud je na trhu stanovena průměrná relativní riziková prémie ve výši 10 %, pak ji pojistitel nemůže z důvodu konkurence libovolně zvýšit na 16,6 % (resp. až na 17 %). Proto je pro zvýšení své spolehlivosti nucen buď investovat své prostředky (tj. kapitál) – vytvořit si počáteční rezervu, nebo sáhnout po zajištění.
Zvažme první možnost. Pojistitel tedy nemá dostatek prostředků na vyplacení 7 pojistných událostí, tzn. potřebuje kapitál ve výši 7 pojistných událostí. Pokud je například pojistná částka 500, pak se kapitál, při kterém je daná spolehlivost garantována, rovná a ne
Pojďme analyzovat druhou možnost. Předpokládejme, že k zajištění se převádějí případy ze 111. na 117. včetně. To znamená, že pokud počet případů přesáhne 117, pak za indikované případy hradí zajistitel a všechny následující proplácí postupitel. Proto použijeme místní Laplaceovu větu (protože velikost plateb je pevná) a zjistíme pravděpodobnosti:
Například,
Získají se tedy pravděpodobnosti: 0,0021; 0,0019; 0,0016; 0,0014; 0,0012; 0,0010; 0,0008. Pravděpodobnost budeme muset hledat pomocí Laplaceova integrálního teorému:
Potom je matematické očekávání plateb zajistitele:
Jedná se o rizikovou přirážku v zajistné smlouvě.
Pokud je známo relativní pojistné od zajistitele, pak čisté pojistné naleznete v této smlouvě. Například pak: (Asi 2/3 z jedné pojistné částky.) Postupitel má tedy alternativu: buď si ponechat rezervu ve výši 7 pojistných částek, nebo nevratně zaplatit zajistiteli 2/3 jedné pojistné částky. Pokud může postupitel investovat své dočasně volné finanční prostředky s úrokovou sazbou vyšší než 0,654 / 7,0 = 9,4 %, pak lze na úkor zisku platit zajištění.
Pokud pojistitel nedisponuje vlastními prostředky na rezervu (nebo považuje za účelné dát své prostředky do oběhu), je uzavřena zajišťovací smlouva. Rozdělme oblasti odpovědnosti.
Když pojistitel vyplácí náhradu na úkor vybraného čistého pojistného. Když je odpovědnost sdílena mezi pojistitelem a zajistitelem. První platí pevný počet refundací: , a druhý - vše ostatní: . A konečně, pokud riziko není zajištěno, představuje to podnikatelské riziko pojistitele. (Pojistitel se domnívá, že v jeho portfoliu nemůže nastat více než 117 případů. Proto v případě této situace nepřijímá opatření. Nevytváří rezervu a neuzavírá do zajišťovací smlouvy podmínku, aby zajistitel vyplatil náhradu při 118. pojistné události Při 118. pojistné události zajistí zajistitel výplatu pouze 7 případů, dochází k technickému krachu postupitele).
Upozorňujeme, že levá hranice odpovědnosti zajistitele může být posunuta. Za zajištění musíte platit, pojistitel nemá vlastní prostředky, tak se snaží platit penězi svých klientů. (Pojistitel v zásadě vždy používá peníze klientů k řešení vznikajících problémů. Zde máme na mysli jednorázové celkové čisté pojistné vybrané v letošním roce).
Inkasoval příspěvky ve výši: , a průměrné očekávané platby jsou, takže očekávaný zisk (před zajištěním) bude 5000. Pojistitel se o očekávaný zisk dělí se zajistitelem pro zvýšení jeho spolehlivosti. To ale znamená, že vybrané prostředky nestačí na úhradu úhrady minimálně 110. případu.
Všechna rizika X lze rozdělit do tří částí: Y - riziko pojistitele, Z - riziko zajistitele, W - nezajištěné riziko. Je zřejmé, že X=Y+Z+W, potom M(X)=M(Y)+M(Z)+M(W). Při výpočtu rozptylů je třeba vzít v úvahu kovarianci. Pro analýzu rozptylu (a procesu jako celku) je třeba zvolit aproximaci. Protože je nemožné použít Poissonův zákon, ale normální aproximace je přípustná.
Je však třeba se připravit na to, že se objeví nepřesnosti způsobené změnou distribučního zákona. Například ztráta „ocasů“ normálního rozdělení, neschopnost přijímat záporné hodnoty, chyby při nahrazení diskrétního rozdělení spojitými, rozdíl ve výsledcích při použití lokální Laplaceovy věty a Laplaceovy integrální věty atd. (Mimochodem, pokud je ztráta fixní, tj. celková ztráta v portfoliu je násobkem počtu pojistných událostí, pak je výhodnější lokální teorém!). Nakonec jsou zde také výpočetní chyby.
Tato okolnost ilustruje složitost pojistně-matematických problémů. Školicí kurz demonstruje pouze principiální přístup. Na civilizovaném pojistný trh v podmínkách ostré konkurence vyhrává (!) ten, kdo počítá přesněji.
Potřebujeme tedy najít M(X), M(Y), M(Z) (a možná M(W)).
Pro zákon normálního rozdělení hustota
podmínka splněna:
pak je jasné, že při zúžení integračního intervalu na (0,n) se integrál kladné funkce sníží, takže matematické očekávání celého rizika X bude o něco menší než
Pro to, co následuje, budeme potřebovat různé
Označme tento integrál pomocí
Bylo tedy zjištěno, že
Pro výpočet integrálu typu J provedeme změnu proměnných, která je tradiční při práci s normálním rozdělením:
pak: tedy:
Je tedy nutné pouze vypočítat a použít vlastnosti exponentu a Laplaceovy funkce.
1. v praxi:
a s velkým portfoliem
Riziko pojistitele po zajištění tedy bylo:
proto,
poškození smlouvy pojišťovny
V praxi je tedy nutné uvést, kdo proplácí 110. případ
Riziko zajistitele je poměrně malé, což se vysvětluje relativně velkým. Zajímavé je, že celkové riziko pojistitele a zajistitele se rovná Je to způsobeno odmítnutím 100% spolehlivosti. Rozdíl 4,06 by měl představovat nezajištěné riziko.
Abych to shrnul: Nesrovnalost je vysvětlena faktory citovanými na začátku oddílu. Všimněte si, že pojistitel může očekávat, že zvýší svůj očekávaný zisk před pojistnými událostmi (7370). A za zajištění budete muset platit pouze u.s.c. (391 konvenčních jednotek), což je docela přijatelné! Rozdíl je připsán do rezervy, což v budoucnu umožní obejít se bez zajištění (buď zvýšení spolehlivosti, nebo snížení pojistného, čímž se zvýší jeho konkurenceschopnost).