قواعد لرفع مجموع الأرقام إلى السلطة. الأس، القواعد، الأمثلة. رفع أحادية الحد إلى قوة
إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات! نحن نحصل:
دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة.
ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.
تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين.
ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!
دعنا نعود إلى المثال:
ومرة أخرى الصيغة:
جميعنحن نسمي الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.
عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.
الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.
أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:
وكما هو الحال دائمًا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا يحدث هذا؟
دعونا نفكر في درجة ما مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:
لذا، قمنا بضرب العدد في، وحصلنا على نفس النتيجة - . ما هو الرقم الذي يجب أن تضرب فيه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح، على. وسائل.
يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:
دعونا نكرر القاعدة:
أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.
ولكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كقاعدة).
من ناحية، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مدى ضرب الصفر في حد ذاته، فستظل تحصل على الصفر، فمن الواضح. لكن من ناحية أخرى، مثل أي عدد أس صفر، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما مدى صحة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التدخل ورفضوا رفع الصفر إلى الأس صفر. وهذا هو، الآن لا يمكننا القسمة على الصفر فحسب، بل نرفعه أيضا إلى قوة الصفر.
هيا لنذهب. بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية والأعداد، تتضمن الأعداد الصحيحة أيضًا أرقامًا سالبة. لفهم ما هي القوة السالبة، دعونا نفعل كما في المرة السابقة: ضرب عدد عادي في نفس الرقم إلى قوة سالبة:
من هنا يسهل التعبير عما تبحث عنه:
الآن دعونا نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:
لذلك، دعونا صياغة القاعدة:
الرقم الذي له قوة سالبة هو مقلوب نفس الرقم الذي له قوة موجبة. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنك لا تستطيع القسمة على).
دعونا نلخص:
I. لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.
ثانيا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا: .
ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا أسًا سالبًا هو معكوس نفس العدد أسًا موجبًا: .
مهام الحل المستقل:
حسنًا، كالعادة، أمثلة للحلول المستقلة:
تحليل المشاكل للحل المستقل:
أعلم، أعلم أن الأرقام مخيفة، ولكن في امتحان الدولة الموحدة، عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! قم بحل هذه الأمثلة أو تحليل حلولها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!
دعنا نستمر في توسيع نطاق الأرقام "المناسبة" كأساس.
الآن دعونا نفكر أرقام نسبية.ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟
الجواب: كل ما يمكن تمثيله ككسر، وأين هي الأعداد الصحيحة، و.
لفهم ما هو عليه "درجة كسرية"، النظر في الكسر:
لنرفع طرفي المعادلة إلى قوة:
الآن دعونا نتذكر القاعدة حول "درجة إلى درجة":
ما العدد الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟
هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة الرابعة.
اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة رقم () هو الرقم الذي يساوي عند رفعه إلى قوة.
أي أن جذر القوة th هو العملية العكسية للرفع إلى قوة: .
لقد أتضح أن. ومن الواضح أن هذه الحالة الخاصة يمكن توسيعها: .
الآن نضيف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة باستخدام قاعدة القدرة على السلطة:
لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.
لا أحد!
دعونا نتذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو عدد موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص حتى الجذور من الأعداد السالبة!
وهذا يعني أن هذه الأرقام لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي، أي أن التعبير ليس له معنى.
ماذا عن التعبير؟
ولكن هنا تنشأ مشكلة.
يمكن تمثيل العدد على شكل كسور أخرى قابلة للاختزال، على سبيل المثال، أو.
واتضح أنه موجود، لكنه غير موجود، لكن هذين مجرد سجلين مختلفين لنفس الرقم.
أو مثال آخر: مرة واحدة، يمكنك كتابتها. ولكن إذا كتبنا المؤشر بشكل مختلف، فسنقع في مشكلة مرة أخرى: (أي أننا حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).
لتجنب مثل هذه المفارقات، ونحن نعتبر الأس الأساسي الموجب فقط مع الأس الكسري.
حتى إذا:
- - عدد طبيعي؛
- - عدد صحيح؛
أمثلة:
تعتبر الأسس المنطقية مفيدة جدًا لتحويل التعبيرات ذات الجذور، على سبيل المثال:
5 أمثلة للممارسة
تحليل 5 أمثلة للتدريب
1. لا تنس الخصائص المعتادة للدرجات:
2. . وهنا نتذكر أننا نسينا أن نتعلم جدول الدرجات:
بعد كل شيء - هذا أو. تم العثور على الحل تلقائيًا: .
حسنًا، الآن يأتي الجزء الأصعب. الآن سوف نكتشف ذلك درجة مع الأس غير العقلاني.
جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، مع الاستثناء
بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث تكون أعداد صحيحة (أي أن الأرقام غير المنطقية هي جميع الأرقام الحقيقية باستثناء الأرقام العقلانية).
عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر.
على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛
...العدد إلى القوة صفر- يبدو أن هذا رقم مضروب في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة هي مجرد "رقم فارغ" معين. ، أي رقم؛
...درجة عدد صحيح سلبي- يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يُضرب في نفسه، بل تم تقسيمه.
بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا.
لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.
أين نحن متأكدون من أنك سوف تذهب! (إذا تعلمت حل هذه الأمثلة :))
على سبيل المثال:
تقرر لنفسك:
تحليل الحلول:
1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة لرفع قوة إلى قوة:
انظر الآن إلى المؤشر. ألا يذكرك بشيء؟ دعونا نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:
في هذه الحالة،
لقد أتضح أن:
إجابة: .
2. نقوم بتبسيط الكسور في الأسس إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال:
الجواب: 16
3. لا شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:
مستوى متقدم
تحديد الدرجة
الدرجة هي تعبير عن الشكل: ، حيث:
- — قاعدة الدرجة
- - الأس.
الدرجة ذات المؤشر الطبيعي (ن = 1، 2، 3،...)
رفع العدد إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب العدد في نفسه مرات:
الدرجة ذات الأس الصحيح (0، ±1، ±2،...)
إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:
بناء إلى درجة الصفر:
التعبير غير محدد، لأنه من ناحية، إلى أي درجة هو هذا، ومن ناحية أخرى، أي رقم إلى الدرجة العاشرة هو هذا.
إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:
(لأنك لا تستطيع القسمة على).
مرة أخرى عن الأصفار: لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.
أمثلة:
القوة مع الأس العقلاني
- - عدد طبيعي؛
- - عدد صحيح؛
أمثلة:
خصائص الدرجات
ولتسهيل حل المشكلات، دعونا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.
دعونا نرى: ما هو و؟
أ-بريوري:
لذلك، على الجانب الأيمن من هذا التعبير نحصل على المنتج التالي:
ولكنها بحكم التعريف هي قوة عدد لها أس، أي:
Q.E.D.
مثال : تبسيط التعبير.
حل : .
مثال : تبسيط التعبير.
حل : ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب. ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:
ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتج القوى!
لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.
وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:
دعونا نعيد تجميع هذا العمل على النحو التالي:
اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:
في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي: !
دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟ ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.
السلطة مع قاعدة سلبية.
حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما ينبغي أن يكون عليه الأمر فِهرِسدرجات. ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟ في صلاحيات طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .
في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها قوى الأعداد الموجبة والسالبة؟
على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟
مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.
ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. لكن إذا ضربنا في () نحصل على - .
وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ستتغير العلامة. ويمكن صياغة القواعد البسيطة التالية:
- حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
- تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
- الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
- صفر مرفوعًا لأي قوة يساوي صفرًا.
حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
هل تستطيع فعلها؟ وهنا الإجابات:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
في الأمثلة الأربعة الأولى، آمل أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.
في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).
المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا عليك معرفة أيهما أقل: أم؟ وإذا تذكرنا ذلك، يتبين أن ذلك يعني أن الأساس أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة الثانية: النتيجة ستكون سلبية.
ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:
كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها على بعضها البعض ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:
قبل أن ننظر إلى القاعدة الأخيرة، دعونا نحل بعض الأمثلة.
حساب التعبيرات:
حلول :
إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات!
نحن نحصل:
دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فمن الممكن أن تنطبق القاعدة 3. ولكن كيف؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.
إذا ضربتها، فلن يتغير شيء، أليس كذلك؟ ولكن الآن اتضح مثل هذا:
تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين. ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!ولا يمكنك استبداله بتغيير عيب واحد فقط لا نحبه!
دعنا نعود إلى المثال:
ومرة أخرى الصيغة:
والآن القاعدة الأخيرة:
كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: دعونا نتوسع في مفهوم الدرجة ونبسطه:
حسنًا، الآن دعونا نفتح الأقواس. كم عدد الحروف هناك في المجموع؟ مرات بالمضاعفات - بماذا يذكرك هذا؟ وهذا ليس أكثر من تعريف للعملية عمليه الضرب: لم يكن هناك سوى مضاعفات هناك. وهذا هو، بحكم التعريف، قوة الرقم مع الأس:
مثال:
درجة مع الأس غير عقلاني
بالإضافة إلى معلومات حول درجات المستوى المتوسط، سنقوم بتحليل الدرجة ذات الأس غير العقلاني. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، باستثناء - بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث و هي أعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير النسبية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأعداد النسبية).
عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛ الرقم أس صفر هو كما لو كان رقمًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى عدد معين "رقم فارغ"، أي رقم؛ الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح - يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يتم ضربه في حد ذاته، بل تم تقسيمه.
من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). إنه بالأحرى كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.
بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا. لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.
فماذا نفعل إذا رأينا أسًا غير نسبي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)
على سبيل المثال:
تقرر لنفسك:
| 1) | 2) | 3) |
الإجابات:
- دعونا نتذكر الفرق بين صيغة المربعات. إجابة: .
- نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال: .
- لا يوجد شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:
ملخص القسم والصيغ الأساسية
درجةيسمى تعبيرا عن النموذج:، حيث:
درجة مع الأس الصحيح
الدرجة التي أسها هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).
القوة مع الأس العقلاني
الدرجة التي يكون أسها أرقامًا سالبة وكسرية.
درجة مع الأس غير عقلاني
الدرجة التي أسها هو كسر عشري لا نهائي أو جذر.
خصائص الدرجات
مميزات الدرجات.
- تم رفع الرقم السالب إلى حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
- تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
- الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
- الصفر يساوي أي قوة.
- أي عدد أس صفر يساوي.
الآن لديك الكلمة...
كيف تحب المقال؟ اكتب أدناه في التعليقات إذا أعجبك ذلك أم لا.
أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجة.
ربما لديك أسئلة. أو اقتراحات.
اكتب في التعليقات.
وبالتوفيق في امتحاناتك!
لقد اكتشفنا ما هي قوة الرقم في الواقع. الآن نحن بحاجة إلى فهم كيفية حسابها بشكل صحيح، أي. رفع الأرقام إلى القوى. سنقوم في هذه المادة بتحليل القواعد الأساسية لحساب الدرجات في حالة الأسس الصحيحة والطبيعية والكسرية والكسرية وغير العقلانية. وسيتم توضيح جميع التعريفات مع الأمثلة.
مفهوم الأس
لنبدأ بصياغة التعريفات الأساسية.
التعريف 1
الأس- هذا هو حساب قيمة قوة رقم معين.
أي أن عبارة "حساب قيمة القدرة" و"الرفع إلى القدرة" تعني نفس الشيء. لذا، إذا كانت المسألة تقول "ارفع الرقم 0، 5 إلى القوة الخامسة"، فيجب أن يفهم ذلك على أنه "احسب قيمة الأس (0، 5) 5".
نقدم الآن القواعد الأساسية التي يجب اتباعها عند إجراء مثل هذه الحسابات.
دعونا نتذكر ما هي قوة الرقم ذو الأس الطبيعي. بالنسبة للقوة ذات الأساس a والأس n، سيكون هذا حاصل ضرب العدد n من العوامل، كل منها يساوي a. يمكن كتابة هذا مثل هذا:
لحساب قيمة الدرجة، يتعين عليك إجراء عملية الضرب، أي ضرب أساس الدرجة بعدد محدد من المرات. يعتمد مفهوم الدرجة ذات الأس الطبيعي على القدرة على الضرب بسرعة. دعونا نعطي أمثلة.
مثال 1
الحالة: رفع - 2 للقوة 4.
حل
باستخدام التعريف أعلاه، نكتب: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . بعد ذلك، علينا فقط اتباع هذه الخطوات والحصول على 16.
لنأخذ مثالا أكثر تعقيدا.
مثال 2
احسب القيمة 3 2 7 2
حل
يمكن إعادة كتابة هذا الإدخال بالشكل 3 2 7 · 3 2 7 . لقد نظرنا سابقًا في كيفية ضرب الأعداد الكسرية المذكورة في الشرط بشكل صحيح.
لنقم بهذه الخطوات ونحصل على الإجابة: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
إذا كانت المسألة تشير إلى الحاجة إلى رفع الأعداد غير النسبية إلى قوة طبيعية، فسنحتاج أولاً إلى تقريب قواعدها إلى الرقم الذي سيسمح لنا بالحصول على إجابة بالدقة المطلوبة. لنلقي نظرة على مثال.
مثال 3
قم بإجراء مربع π.
حل
أولًا، دعونا نقربه إلى أجزاء من المئات. ثم π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. إذا π ≈ 3. 14159، فسنحصل على نتيجة أكثر دقة: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
لاحظ أن الحاجة إلى حساب قوى الأعداد غير النسبية تنشأ نادرًا نسبيًا في الممارسة العملية. يمكننا بعد ذلك كتابة الإجابة على صورة الأس (ln 6) 3 نفسه، أو تحويله إن أمكن: 5 7 = 125 5 .
بشكل منفصل، يجب الإشارة إلى القوة الأولى للرقم. هنا يمكنك ببساطة أن تتذكر أن أي رقم مرفوع إلى القوة الأولى سيظل كما هو:
وهذا واضح من التسجيل 
.
لا يعتمد على أساس الدرجة.
مثال 4
إذن (− 9) 1 = − 9، و7 3 مرفوعًا للأس الأول سيظل يساوي 7 3.
وللتيسير، سنفحص ثلاث حالات بشكل منفصل: إذا كان الأس عددًا صحيحًا موجبًا، وإذا كان صفرًا، وإذا كان عددًا صحيحًا سالبًا.
في الحالة الأولى، هذا هو نفس رفع القوة الطبيعية: بعد كل شيء، الأعداد الصحيحة الموجبة تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. لقد تحدثنا بالفعل أعلاه عن كيفية العمل بهذه الدرجات.
الآن دعونا نرى كيفية رفع القوة إلى الصفر بشكل صحيح. بالنسبة للقاعدة غير الصفر، فإن هذا الحساب ينتج دائمًا 1. لقد أوضحنا سابقًا أنه يمكن تعريف القوة الصفرية لأي عدد حقيقي لا يساوي 0، و0 = 1.
مثال 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - غير محدد.
لم يتبق لدينا سوى حالة الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح. لقد ناقشنا بالفعل أن هذه الدرجات يمكن كتابتها في صورة كسر 1 a z، حيث a هو أي رقم، وz هو عدد صحيح سالب. نرى أن مقام هذا الكسر ليس أكثر من قوة عادية ذات أس عدد صحيح موجب، وقد تعلمنا بالفعل كيفية حسابها. دعونا نعطي أمثلة على المهام.
مثال 6
ارفع 2 إلى القوة - 3.
حل
باستخدام التعريف أعلاه نكتب: 2 - 3 = 1 2 3
لنحسب مقام هذا الكسر ونحصل على 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.
فالجواب هو: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
مثال 7
ارفع 1.43 إلى القوة -2.
حل
لنعيد الصياغة: 1، 43 - 2 = 1 (1، 43) 2
نحسب المربع في المقام: 1.43·1.43. يمكن ضرب الأعداد العشرية بهذه الطريقة: 
ونتيجة لذلك، حصلنا على (1، 43) - 2 = 1 (1، 43) 2 = 1 2، 0449. كل ما علينا فعله هو كتابة هذه النتيجة على شكل كسر عادي، والذي نحتاج إلى ضربه في 10 آلاف (انظر المادة الخاصة بتحويل الكسور).
الجواب: (1، 43) - 2 = 10000 20449
هناك حالة خاصة وهي رفع رقم إلى القوة الأولى ناقص. وقيمة هذه الدرجة تساوي مقلوب القيمة الأصلية للأساس: أ - 1 = 1 أ 1 = 1 أ.
مثال 8
مثال: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
كيفية رفع رقم إلى قوة كسرية
لإجراء مثل هذه العملية، نحتاج إلى تذكر التعريف الأساسي للدرجة ذات الأس الكسري: a m n = a m n لأي موجب a، عدد صحيح m وn طبيعي.
التعريف 2
وبالتالي، حساب القوة الكسرية يجب أن يتم في خطوتين: رفع القوة إلى عدد صحيح وإيجاد جذر القوة n.
لدينا المساواة a m n = a m n ، والتي، مع الأخذ في الاعتبار خصائص الجذور، تستخدم عادةً لحل المشكلات في النموذج a m n = a n m . هذا يعني أنه إذا قمنا برفع رقم a إلى قوة كسرية m / n، فإننا نأخذ أولاً الجذر n لـ a، ثم نرفع النتيجة إلى قوة ذات أس صحيح m.
دعونا نوضح مع مثال.
مثال 9
احسب 8 - 2 3 .
حل
الطريقة الأولى: وفقًا للتعريف الأساسي، يمكننا تمثيل ذلك على النحو التالي: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
الآن لنحسب الدرجة تحت الجذر ونستخرج الجذر الثالث من النتيجة: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
الطريقة الثانية: تحويل المساواة الأساسية: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
بعد ذلك نستخرج جذر 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ونربع النتيجة: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
نرى أن الحلول متطابقة. يمكنك استخدامه بأي طريقة تريدها.
هناك حالات عندما يكون للدرجة مؤشر يتم التعبير عنه كرقم مختلط أو كسر عشري. لتبسيط العمليات الحسابية، من الأفضل استبداله بكسر عادي وحسابه كما هو موضح أعلاه.
مثال 10
ارفع 44، 89 إلى قوة 2، 5.
حل
دعونا نحول قيمة المؤشر إلى كسر عادي: 44، 89 2، 5 = 44، 89 5 2.
الآن نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات المذكورة أعلاه بالترتيب: 44، 89 5 2 = 44، 89 5 = 44، 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501، 25107
الجواب: 13501، 25107.
إذا كان بسط ومقام الأس الكسري يحتوي على أعداد كبيرة، فإن حساب هذه الأسس باستخدام الأسس العقلانية يعد مهمة صعبة إلى حد ما. وعادة ما يتطلب تكنولوجيا الكمبيوتر.
دعونا نتحدث بشكل منفصل عن القوى ذات الأساس الصفري والأس الكسري. يمكن إعطاء تعبير بالشكل 0 m n المعنى التالي: إذا m n > 0، إذن 0 m n = 0 m n = 0؛ إذا م ن< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
كيفية رفع رقم إلى قوة غير عقلانية
إن الحاجة إلى حساب قيمة القوة التي يكون أسها عددًا غير نسبي لا تنشأ كثيرًا. من الناحية العملية، تقتصر المهمة عادةً على حساب قيمة تقريبية (حتى عدد معين من المنازل العشرية). يتم حساب ذلك عادة على جهاز كمبيوتر بسبب تعقيد هذه الحسابات، لذلك لن نتوقف عند هذا بالتفصيل، سنشير فقط إلى الأحكام الرئيسية.
إذا أردنا حساب قيمة القوة a بأس غير منطقي a، فإننا نأخذ التقريب العشري للأس ونحسب منه. وستكون النتيجة إجابة تقريبية. كلما كان التقريب العشري أكثر دقة، كلما كانت الإجابة أكثر دقة. دعونا نعرض مع مثال:
مثال 11
احسب تقريب 2 للقوة 1.174367....
حل
دعونا نقتصر على التقريب العشري a n = 1, 17. لنجري العمليات الحسابية باستخدام هذا الرقم: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. إذا أخذنا، على سبيل المثال، التقريب a n = 1, 1743، فستكون الإجابة أكثر دقة: 2 1، 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
متىالعدد يضاعف نفسه لنفسي, عملمُسَمًّى درجة.
إذن 2.2 = 4، أي المربع أو القوة الثانية لـ 2
2.2.2 = 8، مكعب أو القوة الثالثة.
2.2.2.2 = 16 درجة رابعة.
وكذلك 10.10 = 100، أي الأس الثاني للعدد 10.
10.10.10 = 1000 الدرجة الثالثة.
10.10.10.10 = 10000 القوة الرابعة.
و a.a = aa، القوة الثانية لـ a
a.a.a = aaa، القوة الثالثة لـ a
a.a.a.a = aaaa، القوة الرابعة لـ a
الرقم الأصلي يسمى جذرصلاحيات هذا العدد لأنه هو الرقم الذي خلقت القوى منه.
ومع ذلك، ليس من المناسب تمامًا، خاصة في حالة القوى العليا، تدوين جميع العوامل التي تشكل القوى. لذلك، يتم استخدام طريقة التدوين المختصرة. جذر الدرجة يكتب مرة واحدة فقط وعلى اليمين واعلى قليلا بالقرب منه ولكن بخط اصغر قليلا يكتب كم مرة يعمل الجذر كعامل. يسمى هذا الرقم أو الحرف الأسأو درجةأعداد. إذن، 2 يساوي a.a أو aa، لأن الجذر a يجب أن يُضرب في نفسه مرتين للحصول على القوة aa. أيضًا، الرقم 3 يعني aaa، أي أن a يتكرر هنا ثلاث مراتكمضاعف.
أس الدرجة الأولى هو 1، لكن لا يتم تدوينه عادةً. لذلك، يتم كتابة 1 ك.
يجب أن لا تخلط بين الدرجات العلمية و معاملات. يوضح المعامل عدد المرات التي يتم فيها أخذ القيمة جزءالكل. تُظهر القوة عدد المرات التي يتم فيها أخذ الكمية عاملفي العمل.
إذن، 4أ = أ + أ + أ + أ. لكن 4 = a.a.a.a
يتمتع نظام تدوين القوة بميزة خاصة تتمثل في السماح لنا بالتعبير مجهولدرجة. ولهذا الغرض، يتم كتابة الأس بدلاً من الرقم خطاب. في عملية حل مسألة ما، يمكننا الحصول على الكمية التي نعرفها بعضدرجة من حجم آخر. لكن حتى الآن لا نعرف هل هو مربع أم مكعب أم درجة أخرى أعلى. لذا، في التعبير x، الأس يعني أن هذا التعبير له بعضدرجة، على الرغم من عدم تحديدها ما درجة. لذلك، يتم رفع b m وd n إلى قوى m وn. عندما يتم العثور على الأس ، رقميتم استبداله بدلا من الرسالة. لذا، إذا كانت m=3، فإن b m = b 3 ؛ ولكن إذا كانت م = 5، فإن ب م = ب 5.
تعد طريقة كتابة القيم باستخدام القوى أيضًا ميزة كبيرة عند الاستخدام التعبيرات. وبالتالي، (أ + ب + د) 3 هو (أ + ب + د).(أ + ب + د).(أ + ب + د)، أي مكعب ثلاثي الحدود (أ + ب + د) . لكن إذا كتبنا هذا التعبير بعد رفعه إلى المكعب، فسيبدو كذلك
أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ 2 د + 3 أ ب 2 + 6 عبد + 3 أ 2 + ب 3 + د 3 .
إذا أخذنا سلسلة من القوى التي تزيد أسسها أو تنقص بمقدار 1، نجد أن حاصل الضرب يزيد بمقدار المضاعف المشتركأو ينقص بمقدار القاسم المشتركوهذا العامل أو المقسوم عليه هو الرقم الأصلي المرفوع إلى قوة.
لذلك، في السلسلة آآآآآآآآآآآآ؛
أو 5، أ 4، أ 3، أ 2، أ 1؛
المؤشرات، إذا تم حسابها من اليمين إلى اليسار، هي 1، 2، 3، 4، 5؛ والفرق بين قيمهم هو 1. إذا بدأنا على اليمين تتضاعفبواسطة a، سوف نحصل بنجاح على قيم متعددة.
إذن a.a = a 2 ، الحد الثاني. و 3.أ = أ 4
أ 2 .أ = أ 3 ، الحد الثالث. أ 4 .أ = أ 5 .
إذا بدأنا غادر يقسمإلى،
نحصل على 5:a = a 4 و 3:a = a 2 .
أ 4:أ = أ 3 أ 2:أ = أ 1
لكن عملية التقسيم هذه يمكن أن تستمر أكثر، ونحصل على مجموعة جديدة من القيم.
لذلك، أ:أ = أ/أ = 1. (1/أ):أ = 1/أأ
1:أ = 1/أ (1/أأ):أ = 1/أأ.
الصف الكامل سيكون: aaaa، aaaa، aaa، aa، a، 1، 1/a، 1/aa، 1/aaa.
أو 5، أ 4، أ 3، أ 2، أ، 1، 1/أ، 1/أ 2، 1/أ 3.
هنا القيم على اليمينمن واحد هناك يعكسالقيم على يسار واحد. لذلك يمكن تسمية هذه الدرجات القوى العكسيةأ. يمكننا أيضًا القول إن القوى الموجودة على اليسار هي معكوس القوى الموجودة على اليمين.
إذن، 1:(1/أ) = 1.(أ/1) = أ. و1:(1/أ3) = أ3.
يمكن تطبيق نفس خطة التسجيل على كثيرات الحدود. لذلك، بالنسبة لـ a + b، نحصل على المجموعة،
(أ + ب) 3 , (أ + ب) 2 , (أ + ب), 1, 1/(أ + ب), 1/(أ + ب) 2 , 1/(أ + ب) 3 .
وللتيسير، يتم استخدام شكل آخر من أشكال كتابة الصلاحيات المتبادلة.
ووفقا لهذا النموذج، 1/أ أو 1/أ 1 = أ -1. و 1/aaa أو 1/a 3 = a -3 .
1/أأ أو 1/أ 2 = أ -2 . 1/aaaa أو 1/أ 4 = أ -4 .
ومن أجل عمل سلسلة كاملة مع 1 كفرق إجمالي مع الأسس، يعتبر a/a أو 1 شيئًا ليس له درجة ويتم كتابته كـ 0 .
ثم مع الأخذ في الاعتبار القوى المباشرة والعكسية
بدلاً من aaa، aaa، aa، a، a/a، 1/a، 1/aa، 1/aaa، 1/aaaa
يمكنك كتابة 4، أ 3، أ 2، أ 1، أ 0، أ -1، أ -2، أ -3، أ -4.
أو +4، أ +3، أ +2، أ +1، أ 0، أ -1، أ -2، أ -3، أ -4.
وستبدو سلسلة الدرجات الفردية فقط كما يلي:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
يمكن التعبير عن جذر الدرجة بأكثر من حرف واحد.
وبالتالي فإن aa.aa أو (aa) 2 هي القوة الثانية لـ aa.
وaa.aa.aa أو (aa) 3 هي القوة الثالثة لـ aa.
جميع قوى الرقم 1 هي نفسها: 1.1 أو 1.1.1. سيكون مساوياً لـ 1.
الأس هو إيجاد قيمة أي رقم عن طريق ضرب هذا الرقم في نفسه. قاعدة الأس:
اضرب الكمية في نفسها عدة مرات كما هو مبين في قوة الرقم.
هذه القاعدة شائعة في جميع الأمثلة التي قد تنشأ أثناء عملية الأس. لكن من الصواب تقديم تفسير لكيفية تطبيقه على حالات معينة.
إذا تم رفع حد واحد فقط إلى قوة، فإنه يتم ضربه في نفسه عدة مرات كما يشير الأس.
القوة الرابعة لـ a هي 4 أو aaaa. (المادة 195.)
القوة السادسة لـ y هي y 6 أو yyyyyy.
القوة n لـ x هي x n أو xxx ..... n متكررة.
إذا كان من الضروري رفع عبارة من عدة مصطلحات إلى قوة، فإن مبدأ ذلك قوة منتج عدة عوامل تساوي منتج هذه العوامل مرفوعة إلى قوة.
إذًا (ay) 2 =a 2 y 2 ; (آي) 2 = آي.آي.
لكن ay.ay = aayy = aayy = a 2 y 2 .
إذن (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .
لذلك، في إيجاد قوة منتج ما، يمكننا إما أن نتعامل مع المنتج بأكمله مرة واحدة، أو يمكننا أن نتعامل مع كل عامل على حدة، ثم نضرب قيمهم في القوى.
مثال 1. القوة الرابعة لـ dhy هي (dhy) 4، أو d 4 h 4 y 4.
مثال 2. القوة الثالثة هي 4b، هناك (4b) 3، أو 4 3 b 3، أو 64b 3.
مثال 3. القوة النونية للعدد 6ad هي (6ad) n أو 6 n a n d n.
مثال 4. القوة الثالثة لـ 3m.2y هي (3m.2y) 3، أو 27m 3 .8y 3.
يتم حساب درجة ذات الحدين، التي تتكون من حدود متصلة بواسطة + و-، عن طريق ضرب حدودها. نعم،
(أ + ب) 1 = أ + ب، الدرجة الأولى.
(أ + ب) 1 = أ 2 + 2أ + ب 2، القوة الثانية (أ + ب).
(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3، القوة الثالثة.
(أ + ب) 4 = أ 4 + 4 أ 3 ب + 6 أ 2 ب 2 + 4 أ ب 3 + ب 4، القوة الرابعة.
مربع أ - ب هو أ 2 - 2آب + ب 2.
مربع أ + ب + ح هو أ 2 + 2ab + 2ah + ب 2 + 2bh + h 2
التمرين 1. أوجد المكعب a + 2d + 3
التمرين 2. أوجد القوة الرابعة لـ b + 2.
التمرين 3. أوجد القوة الخامسة لـ x + 1.
التمرين 4. أوجد القوة السادسة 1 - ب.
مجموع المربعات كمياتو اختلافاتتحدث ذوات الحدين في كثير من الأحيان في الجبر بحيث يكون من الضروري معرفتها جيدًا.
إذا ضربنا a + h في نفسه أو a - h في نفسه،
نحصل على: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 أيضًا، (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .
يوضح هذا أنه في كل حالة، يكون الحدان الأول والأخير هما مربعي a وh، والحد الأوسط هو ضعف حاصل ضرب a وh. من هنا، يمكن إيجاد مربع مجموع وفرق ذوات الحدين باستخدام القاعدة التالية.
مربع ذات الحدين، وكلا الحدين موجب، يساوي مربع الحد الأول + ضعف حاصل ضرب الحدين + مربع الحد الأخير.
مربع اختلافاتذات الحدين تساوي مربع الحد الأول ناقص ضعف حاصل ضرب كلا الحدين بالإضافة إلى مربع الحد الثاني.
مثال 1. المربع 2أ + ب، هناك 4أ2 + 4أب + ب2.
مثال 2. المربع ab + cd، يوجد a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.
مثال 3. مربع 3d - h، هناك 9d 2 + 6dh + h 2.
مثال 4. المربع أ - 1 هو 2 - 2أ + 1.
للحصول على طريقة للعثور على القوى العليا من ذات الحدين، راجع الأقسام التالية.
في كثير من الحالات يكون من الفعال الكتابة درجاتبدون الضرب.
إذن مربع أ + ب هو (أ + ب) 2.
القوة النونية لـ bc + 8 + x هي (bc + 8 + x) n
في مثل هذه الحالات، تغطي الأقواس الجميعأعضاء تحت الدرجة.
أما إذا كان جذر الدرجة يتكون من عدة مضاعفات، قد تغطي الأقواس التعبير بأكمله، أو يمكن تطبيقها بشكل منفصل على العوامل اعتمادًا على الملاءمة.
وبالتالي فإن المربع (أ + ب)(ج + د) هو إما [(أ + ب).(ج + د)] 2 أو (أ + ب) 2 .(ج + د) 2.
في أول هذين التعبيرين، النتيجة هي مربع حاصل ضرب عاملين، وفي الثانية، النتيجة هي حاصل ضرب مربعيهما. لكنهم متساوون مع بعضهم البعض.
المكعب أ.(ب + د) يساوي 3، أو أ 3.(ب + د) 3.
ويجب أيضًا أن تؤخذ في الاعتبار اللافتة الموجودة أمام الأعضاء المشاركين. من المهم جدًا أن نتذكر أنه عندما يكون جذر الدرجة موجبًا، فإن جميع قوىها الإيجابية تكون موجبة أيضًا. ولكن عندما يكون الجذر سالبًا، تكون القيم مع غريبالقوى سلبية، في حين أن القيم حتىدرجات إيجابية.
الدرجة الثانية (- أ) هي + أ 2
الدرجة الثالثة (-أ) هي -أ 3
القوة الرابعة (-a) هي +a 4
القوة الخامسة (-a) هي -a 5
وبالتالي أي غريبالدرجة لها نفس علامة الرقم. لكن حتىالدرجة موجبة بغض النظر عما إذا كان الرقم يحمل إشارة سالبة أو موجبة.
لذا، +أ.+أ = +أ 2
و -a.-a = +a 2
الكمية التي تم رفعها بالفعل إلى قوة يتم رفعها إلى قوة أخرى عن طريق ضرب الأسس.
القوة الثالثة لـ 2 هي 2.3 = أ 6.
ل 2 = أأ؛ المكعب aa هو aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ؛ وهي القوة السادسة لـ a، ولكن القوة الثالثة لـ 2.
القوة الرابعة لـ أ 3 ب 2 هي أ 3.4 ب 2.4 = أ 12 ب 8
القوة الثالثة لـ 4a 2 x هي 64a 6 x 3.
القوة الخامسة لـ (أ + ب) 2 هي (أ + ب) 10.
القوة n للعدد 3 هي 3n
القوة n لـ (x - y) m هي (x - y) mn
(أ 3 .ب 3) 2 = أ 6 .ب 6
(أ 3 ب 2 ح 4) 3 = أ 9 ب 6 ح 12
تنطبق القاعدة بالتساوي على سلبيدرجات.
مثال 1. القوة الثالثة لـ -2 هي -3.3 =a -6.
لـ -2 = 1/aa، والقوة الثالثة لهذا
(1/أأ).(1/أأ).(1/أأ) = 1/أأأ = 1/أ 6 = أ -6
القوة الرابعة لـ a 2 b -3 هي 8 b -12 أو 8 /b 12.
المربع هو ب 3 × -1، وهناك ب 6 × -2.
القوة N للفأس -m هي x -mn أو 1/x.
ومع ذلك، يجب أن نتذكر هنا أنه إذا كانت العلامة سابقالدرجة هي "-"، فيجب تغييرها إلى "+" عندما تكون الدرجة عددًا زوجيًا.
مثال 1. المربع -a 3 هو +a 6. مربع -a 3 هو -a 3 .-a 3، والذي، وفقًا لقواعد علامات الضرب، هو +a 6.
2. لكن المكعب -a 3 هو -a 9. ل -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .
3. القوة ن -a 3 هي 3n.
هنا يمكن أن تكون النتيجة إيجابية أو سلبية اعتمادًا على ما إذا كانت n زوجية أو فردية.
لو جزءمرفوعًا إلى قوة، ثم يتم رفع البسط والمقام إلى قوة.
مربع a/b هو 2 /b 2 . وفقا لقاعدة ضرب الكسور،
(أ/ب)(أ/ب) = أأ/ب = أ 2 ب 2
القوى الثانية والثالثة والرقمية لـ 1/a هي 1/a2 و1/a3 و1/an.
أمثلة ذات الحدين، حيث يكون أحد المصطلحات كسرًا.
1. أوجد مربع x + 1/2 و x - 1/2.
(س + 1/2) 2 = س 2 + 2.س (1/2) + 1/2 2 = س 2 + س + 1/4
(س - 1/2) 2 = س 2 - 2.س (1/2) + 1/2 2 = س 2 - س + 1/4
2. مربع أ + 2/3 هو 2 + 4أ/3 + 4/9.
3. المربع س + ب/2 = س 2 + ب س + ب 2 /4.
4 مربع x - b/m هو x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .
وقد تبين ذلك سابقا معامل كسوريمكن نقلها من البسط إلى المقام أو من المقام إلى البسط. وباستخدام مخطط كتابة الصلاحيات المتبادلة، فمن الواضح أن أي مضاعفيمكن أيضًا نقلها، إذا تغيرت علامة الدرجة.
لذا، في الكسر ax -2 /y، يمكننا نقل x من البسط إلى المقام.
ثم ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .
في الكسر a/by 3، يمكننا نقل y من المقام إلى البسط.
ثم أ/بواسطة 2 = (أ/ب).(1/ص 3) = (أ/ب).y -3 = ع -3 /ب.
بالطريقة نفسها، يمكننا نقل عامل له أس موجب للبسط أو عامل له أس سالب للمقام.
لذا، الفأس 3 /ب = أ/بكس -3. بالنسبة لـ x 3 المعكوس هو x -3 ، وهو x 3 = 1/x -3 .
لذلك، يمكن إزالة مقام أي كسر بالكامل، أو تقليل البسط إلى واحد، دون تغيير معنى التعبير.
لذا، a/b = 1/ba -1 أو ab -1 .
الأس هو عملية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالضرب؛ هذه العملية هي نتيجة ضرب الرقم بشكل متكرر في نفسه. لنمثلها بالصيغة: a1 * a2 * … * an = an.
على سبيل المثال، a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
بشكل عام، غالبًا ما يتم استخدام الأسي في صيغ مختلفة في الرياضيات والفيزياء. هذه الوظيفة لها غرض علمي أكثر من الوظائف الأربعة الرئيسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة.
رفع رقم إلى قوة
إن رفع رقم إلى قوة ليس عملية معقدة. ويرتبط بالضرب بطريقة مماثلة للعلاقة بين الضرب والجمع. الترميز an عبارة عن تدوين قصير للعدد n من الأرقام "a" مضروبًا في بعضها البعض.
فكر في الأس باستخدام أبسط الأمثلة، ثم انتقل إلى الأمثلة المعقدة.
على سبيل المثال، 42. 42 = 4 * 4 = 16. أربعة تربيع (للأس الثانية) يساوي ستة عشر. إذا كنت لا تفهم الضرب 4 * 4، فاقرأ مقالتنا حول الضرب.
دعونا ننظر إلى مثال آخر: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . خمسة تكعيب (أس ثالث) يساوي مائة وخمسة وعشرين.
مثال آخر: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . تسعة مكعبات يساوي سبعمائة وتسعة وعشرون.
صيغ الأس
لرفع مستوى القوة بشكل صحيح، عليك أن تتذكر وتعرف الصيغ الواردة أدناه. لا يوجد شيء غير طبيعي في هذا، والشيء الرئيسي هو فهم الجوهر ومن ثم لن يتم تذكرهم فحسب، بل سيبدو سهلا أيضا.
رفع أحادية الحد إلى قوة
ما هو أحادي الحد؟ هذا هو نتاج الأرقام والمتغيرات بأي كمية. على سبيل المثال، اثنان هو أحادي الحد. وهذه المقالة تدور بالتحديد حول رفع مثل هذه الأحاديات إلى القوى.
باستخدام صيغ الأس، لن يكون من الصعب حساب الأسي لأحادية الحد.
على سبيل المثال، (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; إذا قمت برفع وحدة الحد إلى قوة، فسيتم رفع كل مكون من وحدة الحد إلى قوة.
من خلال رفع المتغير الذي لديه بالفعل قوة إلى قوة، يتم مضاعفة القوى. على سبيل المثال، (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
رفع إلى قوة سلبية
القوة السالبة هي مقلوب الرقم. ما هو الرقم المتبادل؟ مقلوب أي عدد X هو 1/X. أي أن X-1=1/X. هذا هو جوهر الدرجة السلبية.
خذ بعين الاعتبار المثال (3Y)^-3:
(3ص)^-3 = 1/(27ص^3).
لماذا هذا؟ نظرًا لوجود علامة ناقص في الدرجة، فإننا ببساطة ننقل هذا التعبير إلى المقام، ثم نرفعه إلى القوة الثالثة. بسيطة أليس كذلك؟
رفع إلى قوة كسرية
لنبدأ بالنظر إلى المشكلة بمثال محدد. 43/2. ماذا تعني الدرجة 3/2؟ 3 - البسط، يعني رفع الرقم (في هذه الحالة 4) إلى المكعب. الرقم 2 هو المقام، وهو استخراج الجذر الثاني لعدد (في هذه الحالة، 4).
ثم نحصل على الجذر التربيعي لـ 43 = 2^3 = 8. الجواب: 8.
لذلك، يمكن أن يكون مقام القوة الكسرية إما 3 أو 4 وحتى ما لا نهاية لأي رقم، وهذا الرقم يحدد درجة الجذر التربيعي المأخوذة من رقم معين. وبالطبع، لا يمكن أن يكون المقام صفرًا.
رفع الجذر إلى القوة
فإذا رفع الجذر إلى درجة مساوية لدرجة الجذر نفسه، فإن الإجابة ستكون تعبيرًا جذريًا. على سبيل المثال، (√س)2 = س. وعلى أية حال، فإن درجة الجذر ودرجة رفع الجذر متساويتان.
إذا (√x)^4. ثم (√x)^4=x^2. للتحقق من الحل، نقوم بتحويل التعبير إلى تعبير بقوة كسرية. بما أن الجذر مربع، فإن المقام هو 2. وإذا تم رفع الجذر إلى القوة الرابعة، فإن البسط هو 4. نحصل على 4/2=2. الجواب: س = 2.
على أية حال، الخيار الأفضل هو ببساطة تحويل التعبير إلى تعبير بقوة كسرية. إذا لم يُلغى الكسر، فهذا هو الجواب، بشرط عدم عزل جذر الرقم المعطى.
رفع عدد مركب إلى القوة
ما هو العدد المركب؟ العدد المركب هو تعبير له الصيغة a + b * i؛ a,b أعداد حقيقية. i هو الرقم الذي عند تربيعه يعطي الرقم -1.
لنلقي نظرة على مثال. (2 + 3ط)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
قم بالتسجيل في دورة "تسريع الحساب الذهني، وليس الحساب الذهني" لتتعلم كيفية الجمع والطرح والضرب والقسمة والأعداد التربيعية وحتى استخراج الجذور بسرعة وبشكل صحيح. في غضون 30 يومًا، ستتعلم كيفية استخدام الحيل السهلة لتبسيط العمليات الحسابية. يحتوي كل درس على تقنيات جديدة وأمثلة واضحة ومهام مفيدة.
الأس على الانترنت
باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا، يمكنك حساب رفع الرقم إلى قوة:
الأس الصف السابع
يبدأ تلاميذ المدارس في الارتقاء إلى مستوى القوة فقط في الصف السابع.
الأس هو عملية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالضرب؛ هذه العملية هي نتيجة ضرب الرقم بشكل متكرر في نفسه. لنمثلها بالصيغة: a1 * a2 * … * an=an.
على سبيل المثال، أ=2، ن=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
أمثلة للحل:
العرض الأسي
عرض تقديمي عن الارتقاء إلى القدرات، مصمم لطلاب الصف السابع. قد يوضح العرض بعض النقاط غير الواضحة، ولكن ربما لن يتم توضيح هذه النقاط بفضل مقالنا.
الحد الأدنى
لقد نظرنا إلى قمة جبل الجليد فقط، لفهم الرياضيات بشكل أفضل - قم بالتسجيل في دورتنا: تسريع الحساب الذهني - وليس الحساب الذهني.
من الدورة لن تتعلم فقط العشرات من التقنيات للضرب المبسط والسريع والجمع والضرب والقسمة وحساب النسب المئوية، ولكنك ستمارسها أيضًا في المهام الخاصة والألعاب التعليمية! يتطلب الحساب الذهني أيضًا الكثير من الاهتمام والتركيز، والذي يتم تدريبه بشكل فعال عند حل المشكلات المثيرة للاهتمام.
صيغ الدرجةتستخدم في عملية اختزال وتبسيط التعابير المعقدة، وفي حل المعادلات والمتباينات.
رقم جيكون ن-القوة رقم أمتى:
العمليات بالدرجات.
1. بضرب الدرجات بنفس الأساس تضاف مؤشراتها:
أكون· أ ن = أ م + ن .
2. عند قسمة الدرجات ذات الأساس نفسه يتم طرح أسسها:
3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذه العوامل:
(اي بي سي…) ن = أ ن · ب ن · ج ن …
4. درجة الكسر تساوي نسبة درجات المقسوم إلى المقسوم عليه:
(أ/ب) ن = أ ن /ب ن .
5. برفع قوة إلى قوة، يتم ضرب الأسس:
(أ م) ن = أ م ن .
كل صيغة أعلاه صحيحة في الاتجاهات من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.
على سبيل المثال. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
العمليات مع الجذور.
1. جذر منتج عدة عوامل يساوي منتج جذور هذه العوامل:
2. جذر النسبة يساوي نسبة المقسوم على الجذور ومقسومها:
3. عند رفع الجذر إلى قوة ما، يكفي رفع العدد الجذري إلى هذه القوة:
4. إذا قمت بزيادة درجة الجذر في نمرة واحدة وفي نفس الوقت بناء على نالقوة رقم جذري، فإن قيمة الجذر لن تتغير:
5. إذا قمت بتقليل درجة الجذر في ناستخراج الجذر في نفس الوقت ن-القوة رقم جذري، فإن قيمة الجذر لن تتغير:
درجة ذات أس سلبي.يتم تعريف قوة رقم معين مع الأس غير الموجب (عدد صحيح) على أنها مقسومة على قوة نفس الرقم مع الأس يساوي القيمة المطلقة للأس غير الموجب:
معادلة أكون:أ ن =أ م - نيمكن استخدامها ليس فقط ل م> ن، ولكن أيضًا مع م< ن.
على سبيل المثال. أ4:أ 7 = أ 4 - 7 = أ -3.
إلى الصيغة أكون:أ ن =أ م - نأصبح عادلا عندما م = ن، يشترط وجود درجة الصفر.
درجة بمؤشر صفر.أس أي عدد لا يساوي صفرًا وأسه صفر يساوي واحدًا.
على سبيل المثال. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
درجة مع الأس الكسرية.لرفع عدد حقيقي أإلى درجة م / ن، تحتاج إلى استخراج الجذر نالدرجة ال م-القوة رقم هذا الرقم أ.