ماذا يعني التخلص من اللاعقلانية في جزء صغير. "التحرر من اللاعقلانية في مقام الكسر" (الصف الثامن). مفهوم التحرر من اللاعقلانية في القاسم

عند دراسة تحويلات التعبير غير العقلاني، هناك سؤال مهم للغاية وهو كيفية التخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر. الغرض من هذه المقالة هو شرح هذا الإجراء باستخدام أمثلة محددة للمشكلات. في الفقرة الأولى سننظر إلى القواعد الأساسية لهذا التحول، وفي الثانية - أمثلة نموذجية مع شرح مفصل.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

مفهوم التحرر من اللاعقلانية في القاسم

لنبدأ بشرح معنى هذا التحول. للقيام بذلك، تذكر الأحكام التالية.

يمكننا التحدث عن اللاعقلانية في مقام الكسر إذا كان هناك جذر هناك، والمعروفة أيضًا بعلامة الجذر. الأرقام المكتوبة باستخدام هذه العلامة غالبًا ما تكون غير منطقية. الأمثلة هي 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. الكسور ذات المقامات غير المنطقية تشمل أيضًا تلك التي لها علامات جذور بدرجات مختلفة (مربع، مكعب، إلخ)، على سبيل المثال، 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y. يجب عليك التخلص من اللاعقلانية لتبسيط التعبير وتسهيل إجراء المزيد من العمليات الحسابية. دعونا صياغة التعريف الأساسي:

التعريف 1

حرر نفسك من اللاعقلانية في مقام الكسر- يعني تحويله عن طريق استبداله بكسر متساوٍ ومتماثل، لا يحتوي مقامه على جذور أو قوى.

يمكن أن يسمى هذا الإجراء التحرير أو التخلص من اللاعقلانية، لكن المعنى يبقى كما هو. لذلك، الانتقال من 1 2 إلى 2 2، أي. إلى كسر له قيمة متساوية بدون علامة الجذر في المقام وسيكون الإجراء الذي نحتاجه. لنعطي مثالا آخر: لدينا كسر x x - y. دعونا نجري التحويلات اللازمة ونحصل على كسر متساوي تمامًا x · x + y x - y ، ونحرر أنفسنا من اللاعقلانية في المقام.

بعد صياغة التعريف، يمكننا أن ننتقل مباشرة إلى دراسة تسلسل الإجراءات التي يتعين القيام بها لمثل هذا التحول.

الخطوات الأساسية للتخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر

للتخلص من الجذور، تحتاج إلى إجراء تحويلين متتاليين للكسر: ضرب كلا جزأين الكسر برقم آخر غير الصفر، ثم تحويل التعبير الذي تم الحصول عليه في المقام. دعونا ننظر في الحالات الرئيسية.

في أبسط الحالات، يمكنك القيام بذلك عن طريق تحويل المقام. على سبيل المثال، يمكننا أن نأخذ كسرًا مقامه يساوي جذر 9. بعد أن حسبنا 9، نكتب 3 في المقام وبالتالي نتخلص من اللاعقلانية.

ومع ذلك، في كثير من الأحيان يكون من الضروري أولاً ضرب البسط والمقام برقم يسمح بعد ذلك بإحضار المقام إلى الشكل المطلوب (بدون جذور). لذا، إذا ضربنا 1 x + 1 في x + 1، نحصل على الكسر x + 1 x + 1 x + 1 ويمكننا استبدال التعبير في مقامه بـ x + 1. لذلك قمنا بتحويل 1 x + 1 إلى x + 1 x + 1، للتخلص من اللاعقلانية.

في بعض الأحيان تكون التحويلات التي تحتاج إلى تنفيذها محددة تمامًا. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التوضيحية.

كيفية تحويل التعبير إلى مقام الكسر

وكما قلنا، أسهل طريقة للقيام بذلك هي تحويل المقام.

مثال 1

حالة:حرر الكسر 1 2 · 18 + 50 من اللاعقلانية في المقام.

حل

أولًا، دعونا نفتح الأقواس ونحصل على التعبير 1 2 18 + 2 50. باستخدام الخصائص الأساسية للجذور، ننتقل إلى التعبير 1 2 18 + 2 50. نحسب قيم كلا التعبيرين تحت الجذور ونحصل على 1 36 + 100. هنا يمكنك بالفعل استخراج الجذور. ونتيجة لذلك، حصلنا على الكسر 1 6 + 10، يساوي 1 16. يمكن إكمال التحول هنا.

دعنا نكتب التقدم المحرز في الحل بأكمله دون تعليق:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

إجابة: 1 2 18 + 50 = 1 16.

مثال 2

حالة:بالنظر إلى الكسر 7 - س (س + 1) 2. التخلص من اللاعقلانية في القاسم.

حل

في وقت سابق من المقالة المخصصة لتحويلات التعبيرات غير المنطقية باستخدام خصائص الجذور، ذكرنا أنه لأي A وحتى n يمكننا استبدال التعبير A n n بـ | أ | على كامل نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات. لذلك، في حالتنا يمكننا كتابتها هكذا: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. وبهذه الطريقة حررنا أنفسنا من اللاعقلانية في القاسم.

إجابة: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .

التخلص من اللاعقلانية عن طريق الضرب بالجذر

إذا كان مقام الكسر يحتوي على تعبير بالشكل A والتعبير A نفسه لا يحتوي على علامات جذور، فيمكننا تحرير أنفسنا من اللاعقلانية ببساطة عن طريق ضرب طرفي الكسر الأصلي في A. يتم تحديد إمكانية هذا الإجراء من خلال حقيقة أن A لن تتحول إلى 0 في نطاق القيم المقبولة. بعد الضرب سيحتوي المقام على عبارة على الصورة A · A مما يسهل التخلص من الجذور: A · A = A 2 = A. دعونا نرى كيفية تطبيق هذه الطريقة بشكل صحيح في الممارسة العملية.

مثال 3

حالة:الكسور المعطاة x 3 و - 1 x 2 + y - 4. تخلص من اللاعقلانية في قواسمها.

حل

دعونا نضرب الكسر الأول في الجذر الثاني لـ 3. نحصل على ما يلي:

س 3 = س 3 3 3 = س 3 3 2 = س 3 3

في الحالة الثانية، نحتاج إلى الضرب في x 2 + y - 4 وتحويل التعبير الناتج إلى المقام:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 × 2 + ص - 4

إجابة: x 3 = x · 3 3 و - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

إذا كان مقام الكسر الأصلي يحتوي على تعبيرات من الصيغة A n m أو A m n (تخضع للطبيعي m و n)، نحتاج إلى اختيار عامل بحيث يمكن تحويل التعبير الناتج إلى A n n k أو A n k n (خاضعة للطبيعي ك) . بعد ذلك، سيكون من السهل التخلص من اللاعقلانية. دعونا ننظر إلى هذا المثال.

مثال 4

حالة:الكسور المعطاة 7 6 3 5 و x x 2 + 1 4 15. التخلص من اللاعقلانية في القواسم.

حل

علينا أن نأخذ عددًا طبيعيًا يمكن قسمته على خمسة، ويجب أن يكون أكبر من ثلاثة. لكي يصبح الأس 6 يساوي 5، علينا الضرب في 6 2 5. لذلك، سيتعين علينا ضرب كلا جزأين الكسر الأصلي في 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

وفي الحالة الثانية، نحتاج إلى عدد أكبر من 15، والذي يمكن قسمته على 4 بدون باقي. نحن نأخذ 16. للحصول على هذا الأس في المقام، علينا أن نأخذ x 2 + 1 4 كعامل. ولنوضح أن قيمة هذا التعبير لن تكون صفراً بأي حال من الأحوال. نحسب:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = س س 2 + 1 4 × 2 + 1 4

إجابة: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 و x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

التخلص من اللاعقلانية عن طريق الضرب بالتعبير المرافق

الطريقة التالية مناسبة لتلك الحالات التي يحتوي فيها مقام الكسر الأصلي على التعبيرات a + b، a - b، a + b، a - b، a + b، a - b. في مثل هذه الحالات، علينا أن نأخذ التعبير المرافق كعامل. دعونا نوضح معنى هذا المفهوم.

للتعبير الأول a + b سيكون المرافق a - b، وللتعبير الثاني a - b - a + b. من أجل أ + ب - أ - ب، من أجل أ - ب - أ + ب، من أجل أ + ب - أ - ب، ومن أجل أ - ب - أ + ب. بمعنى آخر، التعبير المرافق هو تعبير تظهر فيه الإشارة المقابلة قبل الحد الثاني.

دعونا نلقي نظرة على ما هي هذه الطريقة بالضبط. لنفترض أن لدينا منتج بالصيغة a - b · a + b. يمكن استبداله بفرق المربعات أ - ب · أ + ب = أ 2 - ب 2، وبعد ذلك ننتقل إلى التعبير أ - ب، خاليًا من الجذور. وهكذا حررنا أنفسنا من اللاعقلانية في مقام الكسر عن طريق الضرب في التعبير المرافق. لنأخذ بعض الأمثلة التوضيحية.

مثال 5

حالة:تخلص من اللاعقلانية في التعبيرات 3 7 - 3 و x - 5 - 2.

حل

في الحالة الأولى، نأخذ التعبير المرافق الذي يساوي 7 + 3. الآن نضرب كلا جزأين الكسر الأصلي به:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

وفي الحالة الثانية، نحتاج إلى التعبير - 5 + 2، وهو مرافق التعبير - 5 - 2. اضرب البسط والمقام به واحصل على:

س - 5 - 2 = س · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = س · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = س · - 5 + 2 5 - 2 = س · 2 - 5 3

من الممكن أيضًا إجراء تحويل قبل الضرب: إذا قمنا أولاً بإزالة الطرح من المقام، فسيكون الحساب أكثر ملاءمة:

س - 5 - 2 = - س 5 + 2 = - س 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - س 5 - 2 5 2 - 2 2 = - س 5 - 2 5 - 2 = - س · 5 - 2 3 = = س · 2 - 5 3

إجابة: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 و س - 5 - 2 = س 2 - 5 3.

ومن المهم الانتباه إلى أن التعبير الذي تم الحصول عليه نتيجة الضرب لا يتحول إلى 0 لأي متغيرات في نطاق القيم المقبولة لهذا التعبير.

مثال 6

حالة:بالنظر إلى الكسر x x + 4 . قم بتحويله بحيث لا توجد تعبيرات غير منطقية في المقام.

حل

لنبدأ بإيجاد نطاق القيم المقبولة للمتغير x. يتم تعريفه بالشروط x ≥ 0 و x + 4 ≠ 0. منهم يمكننا أن نستنتج أن المنطقة المطلوبة هي مجموعة x ≥ 0.

مرافق المقام هو x - 4 . متى يمكننا الضرب به؟ فقط إذا كان x - 4 ≠ 0. في نطاق القيم المقبولة، سيكون هذا معادلاً للشرط x≠16. ونتيجة لذلك نحصل على ما يلي:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

إذا كانت x تساوي 16 نحصل على:

س س + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

ولذلك فإن x x + 4 = x · x - 4 x - 16 لجميع قيم x التي تنتمي إلى نطاق القيم المقبولة، باستثناء 16. عند x = 16 نحصل على x x + 4 = 2.

إجابة: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

تحويل الكسور غير المنطقية في المقام باستخدام صيغ مجموع وفرق المكعبات

في الفقرة السابقة، قمنا بالضرب في التعبيرات المترافقة لكي نستخدم بعد ذلك صيغة فرق المربعات. في بعض الأحيان، للتخلص من اللاعقلانية في المقام، من المفيد استخدام صيغ ضرب مختصرة أخرى، على سبيل المثال، الفرق بين المكعبات أ 3 − ب 3 = (أ − ب) (أ 2 + أ ب + ب 2). هذه الصيغة ملائمة للاستخدام إذا كان مقام الكسر الأصلي يحتوي على تعبيرات ذات جذور من الدرجة الثالثة للصيغة A 3 - B 3، A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2. إلخ. لتطبيقها، نحتاج إلى ضرب مقام الكسر في المربع الجزئي للمجموع A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 أو الفرق A 3 - B 3. يمكن تطبيق صيغة المبلغ بنفس الطريقة أ 3 + ب 3 = (أ) (أ 2 − أ ب + ب 2).

مثال 7

حالة:حول الكسور 1 7 3 - 2 3 و 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 وذلك للتخلص من اللاعقلانية في المقام.

حل

بالنسبة للكسر الأول، نحتاج إلى استخدام طريقة ضرب كلا الجزأين في المربع الجزئي للمجموع 7 3 و2 3، حيث يمكننا بعد ذلك التحويل باستخدام صيغة فرق المكعبات:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

في الكسر الثاني، نمثل المقام بالشكل 2 2 - 2 x 3 + x 3 2. يوضح هذا التعبير المربع غير الكامل للفرق 2 وx 3، مما يعني أنه يمكننا ضرب جزأي الكسر في المجموع 2 + x 3 واستخدام صيغة مجموع المكعبات. للقيام بذلك، يجب استيفاء الشرط 2 + x 3 ≠ 0، أي ما يعادل x 3 ≠ - 2 و x ≠ − 8:

3 4 - 2 س 3 + س 2 3 = 3 2 2 - 2 س 3 + س 3 2 = = 3 2 + س 3 2 2 - 2 س 3 + س 3 2 2 + س 3 = 6 + 3 × 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

لنعوض بـ 8 في الكسر ونجد القيمة:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

دعونا نلخص. لجميع x المدرجة في نطاق قيم الكسر الأصلي (المجموعة R)، باستثناء - 8، نحصل على 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x. إذا كانت x = 8، فإن 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

إجابة: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

التطبيق المتسق لطرق التحويل المختلفة

غالبًا ما تكون هناك أمثلة أكثر تعقيدًا في الممارسة العملية عندما لا نستطيع تحرير أنفسنا من اللاعقلانية في المقام باستخدام طريقة واحدة فقط. بالنسبة لهم، تحتاج إلى إجراء العديد من التحولات باستمرار أو اختيار الحلول غير القياسية. لنأخذ واحدة من هذه المشاكل.

مثال ن

حالة:حوّل 5 7 4 - 2 4 للتخلص من علامات الجذور في المقام.

حل

لنضرب طرفي الكسر الأصلي في التعبير المرافق 7 4 + 2 4 بقيمة غير الصفر. نحصل على ما يلي:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

والآن لنستخدم نفس الطريقة مرة أخرى:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

إجابة: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

في هذا الموضوع، سوف نتناول المجموعات الثلاث للنهايات غير العقلانية المذكورة أعلاه. لنبدأ بالحدود التي تحتوي على عدم اليقين من النموذج $\frac(0)(0)$.

الكشف عن عدم اليقين $\frac(0)(0)$.

عادةً ما يتكون حل الأمثلة القياسية من هذا النوع من خطوتين:

• نتخلص من اللاعقلانية التي تسببت في عدم اليقين عن طريق الضرب بما يسمى بالتعبير "المترافق"؛
• إذا لزم الأمر، قم بتحليل التعبير في البسط أو المقام (أو كليهما)؛
• نقوم بتقليل العوامل التي تؤدي إلى عدم اليقين ونحسب القيمة المطلوبة للحد.

سيتم شرح مصطلح "التعبير المترافق" المستخدم أعلاه بالتفصيل في الأمثلة. في الوقت الحالي ليس هناك سبب للخوض في الأمر بالتفصيل. بشكل عام، يمكنك الذهاب في الاتجاه الآخر، دون استخدام التعبير المترافق. في بعض الأحيان، يمكن للبديل المختار جيدًا القضاء على اللاعقلانية. مثل هذه الأمثلة نادرة في الاختبارات القياسية، لذلك سنتناول مثال واحد فقط رقم 6 لاستخدام الاستبدال (راجع الجزء الثاني من هذا الموضوع).

سنحتاج إلى العديد من الصيغ، والتي سأكتبها أدناه:

\begin(معادلة) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(معادلة) \begin(معادلة) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2) +ab+b^2) \end(معادلة) \begin(معادلة) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(معادلة) \begin (معادلة) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(معادلة)

بالإضافة إلى ذلك، نفترض أن القارئ يعرف صيغ حل المعادلات التربيعية. إذا كان $x_1$ و$x_2$ هما جذور ثلاثية الحدود $ax^2+bx+c$، فيمكن تحليلها باستخدام الصيغة التالية:

\begin(معادلة) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(معادلة)

الصيغ (1)-(5) كافية لحل المسائل القياسية، والتي سننتقل إليها الآن.

المثال رقم 1

ابحث عن $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

بما أن $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ و $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$، ففي النهاية المعطاة لدينا حالة عدم يقين بالصيغة $\frac(0)(0)$. الفرق $\sqrt(7-x)-2$ يمنعنا من الكشف عن عدم اليقين هذا. ومن أجل التخلص من هذه اللاعقلانية، يتم استخدام الضرب بما يسمى "التعبير المترافق". سننظر الآن في كيفية عمل هذا الضرب. اضرب $\sqrt(7-x)-2$ في $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

لفتح الأقواس، قم بتطبيق ، مع استبدال $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ في الجانب الأيمن من الصيغة المذكورة:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

كما ترون، إذا قمت بضرب البسط في $\sqrt(7-x)+2$، فسيختفي الجذر (أي اللاعقلانية) في البسط. سيكون هذا التعبير $\sqrt(7-x)+2$ المترافقةللتعبير $\sqrt(7-x)-2$. ومع ذلك، لا يمكننا ببساطة ضرب البسط في $\sqrt(7-x)+2$، لأن هذا سيغير الكسر $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$، وهو تحت الحد . تحتاج إلى ضرب كل من البسط والمقام في نفس الوقت:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

تذكر الآن أن $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ وافتح الأقواس. وبعد فتح الأقواس وإجراء تحويل صغير $3-x=-(x-3)$، نقوم بتبسيط الكسر بمقدار $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1) )(\sqrt(7-x)+2) $$

اختفت حالة عدم اليقين $\frac(0)(0)$. الآن يمكنك بسهولة الحصول على إجابة هذا المثال:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

ألاحظ أن التعبير المترافق يمكن أن يغير بنيته، اعتمادًا على نوع اللاعقلانية الذي يجب إزالته. في المثالين رقم 4 ورقم 5 (راجع الجزء الثاني من هذا الموضوع) سيتم استخدام نوع مختلف من التعبير المترافق.

إجابة: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

المثال رقم 2

ابحث عن $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

بما أن $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ و $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$، ثم نحن نتعامل مع عدم اليقين من النموذج $\frac(0)(0)$. دعونا نتخلص من اللاعقلانية في مقام هذا الكسر. للقيام بذلك، نضيف كلاً من البسط والمقام للكسر $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ إلى التعبير $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ مقترن بالمقام:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0) )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

مرة أخرى، كما في المثال رقم 1، تحتاج إلى استخدام الأقواس للتوسيع. بالتعويض $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ في الجانب الأيمن من الصيغة المذكورة، نحصل على التعبير التالي للمقام:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ يمين)=\\ =\يسار(\sqrt(x^2+5)\يمين)^2-\يسار(\sqrt(7x^2-19)\يمين)^2=x^2+5-(7x) ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

دعنا نعود إلى حدنا:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ فارك(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(س ^ 2-4) $$

في المثال رقم 1، تم تقليل الكسر مباشرة بعد الضرب بالتعبير المرافق. هنا، قبل التخفيض، سيتعين عليك تحليل التعبيرات $3x^2-5x-2$ و$x^2-4$، وعندها فقط انتقل إلى التخفيض. لتحليل التعبير $3x^2-5x-2$ تحتاج إلى استخدام . أولاً، دعونا نحل المعادلة التربيعية $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(محاذاة) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ فارك(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(محاذاة) $$

استبدال $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ في ، سيكون لدينا:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ فارك (1)(3)\يمين)(x-2)=\يسار (3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\يمين)(x-2) =(3x+1)( س-2). $$

حان الوقت الآن لتحليل التعبير $x^2-4$. دعنا نستخدم، ونستبدل $a=x$, $b=2$ به:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

دعونا نستخدم النتائج التي تم الحصول عليها. بما أن $x^2-4=(x-2)(x+2)$ و$3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$، إذن:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

بالتبسيط بين القوسين $x-2$ نحصل على:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^) 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

الجميع! لقد اختفى عدم اليقين. خطوة أخرى ونأتي للإجابة:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19))))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

إجابة: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

في المثال التالي، فكر في الحالة التي توجد فيها اللاعقلانية في كل من بسط ومقام الكسر.

المثال رقم 3

ابحث عن $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

بما أن $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ و$\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$، إذن لدينا حالة عدم يقين من النموذج $ \frac (0)(0)$. نظرًا لأن الجذور في هذه الحالة موجودة في كل من المقام والبسط، فمن أجل التخلص من عدم اليقين، سيتعين عليك الضرب بين قوسين في وقت واحد. أولاً، اقترن التعبير $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ بالبسط. وثانيًا، يرتبط التعبير $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ بالمقام.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) )=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(محاذاة) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

للتعبير $x^2-8x+15$ نحصل على:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(محاذاة) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(محاذاة)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

استبدال التوسعات الناتجة $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ و $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ في الحد قيد النظر، سيكون:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

إجابة: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) )=-6$.

في الجزء (الثاني) التالي، سننظر في بضعة أمثلة أخرى يكون فيها التعبير المترافق بشكل مختلف عما كان عليه في المسائل السابقة. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أن الغرض من استخدام التعبير المترافق هو التخلص من اللاعقلانية التي تسبب عدم اليقين.

التحرر من اللاعقلانية في مقام الكسر

2015-06-13

التعبير غير العقلاني المترافق

عند تحويل تعبير جبري كسري يحتوي مقامه على تعبير غير منطقي، يحاول المرء عادةً تمثيل الكسر بحيث يكون مقامه عقلانيًا. إذا كانت $A، B، C، D، \cdots$ عبارة عن بعض التعبيرات الجبرية، فيمكنك تحديد القواعد التي يمكنك من خلالها التخلص من العلامات الجذرية في مقام تعبيرات النموذج

$\frac(A)(\sqrt[n](B)))، \frac(A)(B+C \sqrt(D))، \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D) )))، \frac(A)( \sqrt(B) \pm \sqrt(C))$، إلخ.

وفي جميع هذه الحالات يتم التحرر من اللاعقلانية عن طريق ضرب بسط الكسر ومقامه بعامل مختار بحيث يكون حاصل ضربه بمقام الكسر عقلانيا.

1) للتخلص من اللاعقلانية في مقام جزء من الصورة $A/ \sqrt[n](B)$، اضرب البسط والمقام بـ $\sqrt[n](B^(n-1)) $.
$\frac(A)(\sqrt[n](B)) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(\sqrt[n](B) \sqrt[n] (B^(n-1))) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(B)$.

مثال 1. $\frac(4a^(2)b)(\sqrt(2ac)) = \frac(4a^(2)b \sqrt(4a^(2)c^(2)))(2ac) = \frac(2ab)(c) \sqrt(4a^(2)c^(2))$.

في حالة الكسور ذات الشكل $\frac(A)(B+ C \sqrt(D)))، \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D))$ اضرب البسط والمقام ب عامل غير عقلاني
$B – C \sqrt(D)$ أو $\sqrt(B) – c \sqrt(D)$
على التوالي، أي إلى التعبير غير العقلاني المترافق.

معنى الإجراء الأخير هو أنه في المقام يتم تحويل ناتج المجموع والفرق إلى فرق بين المربعات، والذي سيكون بالفعل تعبيرًا عقلانيًا.

مثال 2. حرر نفسك من اللاعقلانية في مقام التعبير:
أ) $\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x)$; ب) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3))$.

الحل: أ) اضرب بسط الكسر ومقامه في
التعبير $\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x$. نحصل على (بشرط أن $y \neq 0$)
$\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x) = \frac(xy (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)) ((x^(2) + y^(2)) – x^(2)) = \frac(x)(y) (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)$ ;
ب) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3)) = \frac(2(\sqrt(5) + \sqrt(3)))(5 - 3) = \sqrt(5) ) + \sqrt(3)$.
3) في حالة عبارات مثل
$\frac(A)(B \pm C \sqrt(D)))، \frac(A)(\sqrt(B) \pm C \sqrt(D))$
يتم التعامل مع المقام كمجموع (الفرق) وضربه في المربع الجزئي للفرق (المجموع) للحصول على مجموع (الفرق) من المكعبات. يتم ضرب البسط أيضًا بنفس العامل.

مثال 3. حرر نفسك من اللاعقلانية في مقام التعبيرات:
أ)$\frac(3)(\sqrt(5) + 1)$; ب)$\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b))$

الحل، أ) باعتبار مقام هذا الكسر هو مجموع الأرقام $\sqrt(5)$ و$1$، اضرب البسط والمقام في المربع الجزئي للفرق بين هذه الأرقام:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3 (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) +1))((\sqrt(5) + 1) (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) + 1)) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))((\sqrt(5))^ (3) +1)$،
أو أخيرًا:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))(6) = \frac(\sqrt(25) - \ الجذر التربيعي(5) + 1)(2)$
ب) $\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b)) = \frac(\sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^( 2)))((\sqrt(a))^(3) – (2 \sqrt(b))^(3)) = \frac( \sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^(2)))(a-8b)$.

في بعض الحالات، من الضروري إجراء تحويل ذو طبيعة معاكسة: لتحرير الكسر من اللاعقلانية في البسط. يتم تنفيذه بنفس الطريقة تمامًا.

مثال 4. حرر نفسك من اللاعقلانية في البسط $\frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b)$.
حل. $ \frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b) = \frac((a+b) – (a-b))(2b(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b) ))) = \frac(1)(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b))$

الدرس رقم 1 موضوع الدرس: "التحرر من اللاعقلانية في مقام الكسر"

الأهداف:

التعليمية:

التنموية:

التعليمية:تعزيز الاتساق في أفعالك.

نوع الدرس:تعلم اشياء جديده

معيار الدرس:

تكون قادرة على إيجاد وسيلة للتخلص من اللاعقلانية

فهم معنى "التعبير المترافق"

تكون قادرة على التخلص من اللاعقلانية في القاسم.

معدات: بطاقات للعمل المستقل.

خلال الفصول الدراسية

القليل من الفكاهة:

هل تعرف كيفية استخراج الجذور؟ - يسأل المعلم

نعم بالتأكيد. تحتاج إلى سحب ساق النبات بقوة أكبر، وستتم إزالة جذره من التربة.

لا، قصدت جذرًا آخر، على سبيل المثال، من تسعة.

سيكون "تسعة" لأن "th" لاحقة.

أعني الجذر التربيعي.

لا توجد جذور تربيعية. فهي ليفية وتشبه القضيب.

الجذر التربيعي الحسابي لتسعة.

هذا ما سيقولونه! الجذر التربيعي لتسعة = 3!

هل تعرف كيفية استخراج الجذور؟

2. "التكرار أم التعلم."

(8 دقائق)

2. فحص المنزل/ المنزل№ 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8

3. الاحماء.اتبع الخطوات (الشريحة 1). تحقق في دائرة عكس اتجاه عقارب الساعة.

1. اختر عاملاً غير معروف (الشريحة2)

التقسيم إلى مجموعات: حسب الأرقام المختارة.

تحقق في أزواج من تكوين الاستبدال.

إنهم يعملون بشكل فردي ويتحققون ويقيمون النقاط.

(المرفق 1)

3. "الكتاب هو كتاب، لكن استخدم عقلك" (5 دقائق)

(الشريحة 3) قام صديقان بحل معادلة
وتلقى إجابات مختلفة. اختار واحد منهم س = ، قمت بالفحص. والثاني وجد العامل المجهول بقسمة الناتج على
وحصلت على س = . ايهم الاصح؟ هل يمكن للمعادلة الخطية أن يكون لها جذرين؟ التعبير الأكثر ملاءمة للحسابات هو التعبير الذي لا يحتوي على عدم عقلانية في المقام.

موضوع الدرس(الشريحة 4) : التحرر من اللاعقلانية في مقام الكسر

الأهداف(الشريحة 5) : التعرف على طرق التخلص من اللاعقلانية في مقامات الكسر. تنمية القدرة على تحرير القاسم من اللاعقلانية؛

حل وتحقق في أزواج من التحولات.

يناقشون الوضع ويتوصلون إلى نتيجة.

اكتب الموضوع

صياغة الأهداف: التعرف على طرق التخلص من اللاعقلانية في مقامات الكسر.

تطوير القدرة على تحديد الطريق لتحرير نفسك من اللاعقلانية؛

4. العمل على مواد جديدة.

(10 دقائق)

كيف تتخلص من اللاعقلانية في القاسم؟ هل تريد أن تعرف؟

العمل في مجموعات على مواد جديدة

أداء المجموعة

التثبيت (الشريحة 6)

إنهم يعملون مع مخطط داعم. (الملحق 2)

حل الأمثلة.

(الملحق 3)

تبادل المعلومات.

5. الشحن (3 دقيقة)

عمل التمارين

6. العمل المستقل

(10 دقائق)

بواسطة بطاقات متعددة المستويات

1 في:

2 بوصة:

3 بوصة:

قم بالتنفيذ بشكل فردي، وتحقق من خلال تبادل دفاتر الملاحظات مع مجموعة أخرى.

يتم إدخال النقاط في بطاقة أداء المجموعة.

(المرفق 1)

7. المهمة الإبداعية

(2 دقيقة)

القرد - بائعة برتقالية (الشريحة 7)

بعد أن وصلت ذات مرة إلى داشا الخاص بي ،

لقد وجدت مشكلة هناك مع المتطرفين.

بدأت في رميهم في كل مكان.

نسألكم يا بنات ويا شباب

حل المشكلة على ذيل القرد.

هل تعتقد أننا انتهينا من دراسة هذا الموضوع؟ دعونا نواصل في الدرس التالي.

يتحدثون عما سيتعلمونه عن هذا في الدرس التالي.

8. الواجبات المنزلية: (2 دقيقة)

ص.19 (الشريحة 7)

المستوى 1: رقم 170 (1-6)

المستوى 2: رقم 170 (1-6 و 9.12)

المهمة الإبداعية: مهمة مارتيشكين.

اكتب

9. ملخص الدرس. انعكاس

(3 دقيقة)

تم إرفاق نجمتين ورغبة على الملصقات بالرمز المحدد (الشريحة 7)

يتم تحويل النقاط إلى درجة ويتم إعطاء بطاقة أداء جماعية للمعلم.

المرفق 1

بطاقة أداء المجموعة.

0-8 نقاط

اختر المضاعف

0-8 نقاط

العمل ضمن مجموعة على مواد جديدة

0-5 نقاط

نفسي. وظيفة

0-5 نقاط

نشاط الدرس

0-5 نقاط

الملحق 2

الملاحظات الداعمة

إذا كان مقام الكسر الجبري يحتوي على علامة الجذر التربيعي، يقال أن المقام يحتوي على غير عقلانية. يُطلق على تحويل التعبير إلى شكل لا توجد فيه علامات الجذر التربيعي في مقام الكسر التحرر من اللاعقلانية في القاسم