Крыльцо 

Устойчивость профиля поперечного сечения при редуцировании труб. Заготовка для редуцирования труб с натяжением. Описание алгоритма расчета

УДК 621.774.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ИЗМЕНЕНИЯ ТОЛЩИНЫ СТЕНКИ ТРУБ ПРИ РЕДУЦИРОВАНИИ

К.Ю. Яковлева, Б.В. Баричко, В.Н. Кузнецов

Приведены результаты экспериментального исследования динамики изменения толщины стенки труб при прокатке, волочении в монолитной и роликовой волоках. Показано, что при увеличении степени деформации более интенсивный прирост толщины стенки трубы наблюдается в процессах прокатки и волочения в роликовых волоках, что делает перспективным их использование.

Ключевые слова: холоднодеформированные трубы, толстостенные трубы, волочение труб, толщина стенки трубы, качество внутренней поверхности трубы.

Существующая технология изготовления хо-лоднодеформированных толстостенных труб малого диаметра из коррозионно-стойких сталей предусматривает применение процессов холодной прокатки на станах ХПТ и последующего безопра-вочного волочения в монолитных волоках. Известно, что получение труб малого диаметра холодной прокаткой сопряжено с рядом трудностей, обусловленных снижением жесткости системы «стержень-оправка». Поэтому для получения таких труб используют процесс волочения, преимущественно безоправочного. Характер изменения толщины стенки трубы при безоправочном волочении определяется соотношением толщины стенки S и наружного диаметра D, а абсолютная величина изменения не превышает 0,05-0,08 мм. При этом утолщение стенки наблюдается при соотношении S/D < 0,165-0,20 в зависимости от наружного диаметра заготовки . Для данных соотношений размеров S/D коэффициент вытяжки д при волочении труб из коррозионно-стойкой стали не превышает значения 1,30 , что предопределяет многоцикличность известной технологии и требует привлечения новых способов деформации.

Целью работы является сравнительное экспериментальное исследование динамики изменения толщины стенки труб в процессах редуцирования прокаткой, волочением в монолитной и роликовой волоках.

В качестве заготовок использовали холоднодеформированные трубы: размерами 12,0x2,0 мм (S/D = 0,176), 10,0x2,10 мм (S/D = 0,216) из стали 08Х14МФ; размерами 8,0x1,0 мм (S/D = 0,127) из стали 08Х18Н10Т. Все трубы были в отожженном состоянии.

Волочение в монолитных волоках осуществляли на цепном волочильном стане усилием 30 кН. Для роликового волочения использовали волоку со смещенными парами роликов ВР-2/2.180 . Волочение в роликовой волоке проводили с использованием системы калибров «овал - круг». Редуцирование труб прокаткой проводили по схеме калибровки «овал - овал» в двухвалковой клети с валками диаметром 110 мм.

На каждом этапе деформации отбирали образцы (5 шт. по каждому варианту исследования) для измерения наружного диаметра, толщины стенки и шероховатости внутренней поверхности. Измерение геометрических размеров и шероховатости поверхности труб выполняли с использованием электронного штангенциркуля ТТТЦ-ТТ. электронного точечного микрометра, профилометра Surftest SJ-201. Все инструменты и приборы прошли необходимую метрологическую поверку.

Параметры холодной деформации труб приведены в таблице.

На рис. 1 представлены графики зависимости величины относительного увеличения толщины стенки от степени деформации е.

Анализ графиков на рис. 1 показывает, что при прокатке и волочении в роликовой волоке по сравнению с процессом волочения в монолитной волоке наблюдается более интенсивное изменение толщины стенки трубы. Это, по мнению авторов, обусловлено различием в схеме напряженного состояния металла: при прокатке и роликовом волочении растягивающие напряжения в очаге деформации имеют меньшие значения. Расположение кривой изменения толщины стенки при роликовом волочении ниже кривой изменения толщины стенки при прокатке обусловлено несколько большими растягивающими напряжениями при роликовом волочении ввиду осевого приложения усилия деформации.

Наблюдаемый при прокатке экстремум функции изменения толщины стенки от степени деформации или относительного обжатия по наружному диаметру соответствует значению S/D = 0,30. По аналогии с горячим редуцированием прокаткой, где уменьшение толщины стенки наблюдается при S/D > 0,35 , можно предположить, что для холодного редуцирования прокаткой характерно уменьшение толщины стенки при соотношении S/D > 0,30.

Так как одним из факторов, определяющих характер изменения толщины стенки, является соотношение растягивающих и радиальных напряжений, которое в свою очередь зависит от парамет-

№ прохода Размеры труб, мм S,/D, Si/Sc Di/Do є

Редуцирование прокаткой (трубы из стали марки 08Х14МФ)

О 9,98 2,157 О,216 1,О 1,О 1,О О

1 9,52 2,2ЗО О,2З4 1,ОЗ4 О,954 1 ,ОЗ 8 О,О4

2 8,1О 2,З5О О,29О 1 ,О89 О,812 1,249 О,2О

З 7,О1 2,З24 О,ЗЗ2 1,О77 О,7О2 1,549 О,З5

Редуцирование прокаткой (трубы из стали марки 08Х18Н10Т)

О 8,О6 1,О2О О,127 1,О 1,О 1,О О

1 7,ОЗ 1,1ЗО О,161 1,1О8 О,872 1,О77 О,О7

2 6,17 1,225 0,199 1,201 О,766 1,185 О,16

З 5,21 1,З1О О,251 1,284 О,646 1,4О6 О,29

Редуцирование волочением в роликовой волоке (трубы из стали марки 08Х14МФ)

О 12,ОО 2,11 О,176 1,О 1,О 1,О О

1 1О,98 2,2О О,2ОО 1 ,О4З О,915 1,О8О О,О7

2 1О,О8 2,27 О,225 1,О76 О,84О 1,178 О,15

З 9,О1 2,ЗО О,2О1 1,О9О О,751 1,З52 О,26

Редуцирование волочением в монолитной волоке (трубы из стали марки 08Х14МФ)

О 12,ОО 2,11О О,176 1,О 1,О 1,О О

1 1О,97 2,1З5 0,195 1,О12 О,914 1,1О6 О,1О

2 9,98 2,157 О,216 1,О22 О,8З2 1,118 О,19

З 8,97 2,16О О,241 1,О24 О,748 1,147 О,ЗО

Di, Si - соответственно наружный диаметр и толщина стенки трубы в г-м проходе.

Рис. 1. Зависимость величины относительного увеличения толщины стенки труб от степени деформации

ра S/D, то важным является исследование влияния соотношения S/D на положение экстремума функции изменения толщины стенки трубы в процессе редуцирования. Согласно данным работы , при меньших соотношениях S/D максимальное значение толщины стенки трубы наблюдается при больших деформациях. Данный факт был исследован на примере процесса редуцирования прокаткой труб размерами 8,0x1,0 мм (S/D = 0,127) стали 08Х18Н10Т в сравнении с данными по прокатке труб размерами 10,0x2,10 мм (S/D = 0,216) стали 08Х14МФ. Результаты измерений приведены на рис. 2.

Критическая степень деформации, при которой наблюдалось максимальное значение толщины стенки при прокатке труб с соотношением

S/D = 0,216, составила 0,23. При прокатке труб из стали 08Х18Н10Т экстремум нарастания толщины стенки не достигнут, так как соотношение размеров трубы S/D даже при максимальной степени деформации не превысило значения 0,3. Важным обстоятельством является то, что динамика увеличения толщины стенки при редуцировании труб прокаткой находится в обратной зависимости от соотношения размеров S/D исходной трубы, что демонстрируют графики, приведенные на рис. 2, а.

Анализ кривых на рис. 2, б показывает также, что изменение соотношения S/D в процессе прокатки труб из стали марки 08Х18Н10Т и труб из стали марки 08Х14МФ имеет сходный качественный характер.

S0/A)=O,127 (08Х18Н10Т)

S0/00=0,216 (08Х14МФ)

Степень деформации, б

VA=0;216 (08Х14МФ)

(So/Da=0A21 08X18H10T) _

Степень деформации, є

Рис. 2. Изменение толщины стенки (а) и соотношения S/D (б) в зависимости от степени деформации при прокатке труб с различным исходным соотношением S/D

Рис. 3. Зависимость относительной величины шероховатости внутренней поверхности труб от степени деформации

В процессе редуцирования различными способами также была проведена оценка шероховатости внутренней поверхности труб по величине среднеарифметического отклонения высоты микронеровностей Ra. На рис. 3 приведены графики зависимости относительной величины параметра Ra от степени деформации при редуцировании труб прокаткой и волочением в монолитных волоках ^аг, Ra0 - соответственно параметры шерохо-

ватости внутренней поверхности труб в г-м проходе и на исходной трубе).

Анализ кривых на рис. 3 показывает, что в обоих случаях (прокатка, волочение) увеличение степени деформации при редуцировании ведет к увеличению параметра Ra, то есть ухудшает качество внутренней поверхности труб. Динамика изменения (увеличения) параметра шероховатости при увеличении степени деформации в случае ре-

дуцирования труб прокаткой в двухвалковых калибрах значительно (примерно в два раза) превышает аналогичный показатель в процессе волочения в монолитных волоках.

Следует отметить также, что динамика изменения параметра шероховатости внутренней поверхности согласуется с приведенным выше описанием динамики изменения толщины стенки для рассмотренных способов редуцирования.

По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

1. Динамика изменения толщины стенки труб для рассмотренных способов холодного редуцирования однотипна - интенсивное утолщение с увеличением степени деформации, последующее замедление прироста толщины стенки с достижением некоторого максимального значения при определенном соотношении размеров трубы S/D и последующее снижение прироста толщины стенки.

2. Динамика изменения толщины стенки труб находится в обратной зависимости от соотношения размеров исходной трубы S/D.

3. Наибольшая динамика увеличения толщины стенки наблюдается в процессах прокатки и волочения в роликовых волоках.

4. Увеличение степени деформации при редуцировании прокаткой и волочением в монолитных волоках ведет к ухудшению состояния внутренней поверхности труб, при этом рост параметра шероховатости Ra при прокатке происходит более интенсивно, чем при волочении. Учитывая сделанные выводы и характер изменения толщины стенки в процессе деформации, можно утверждать, что для волочения труб в роликовых волоках измене-

ние параметра Ra будет менее интенсивным, чем для прокатки, и более интенсивным в сравнении с монолитным волочением.

Полученная информация о закономерностях процесса холодного редуцирования будет полезна при проектировании маршрутов изготовления хо-лоднодеформированных труб из коррозионностойких сталей. При этом перспективным для набора толщины стенки труб и сокращения количества проходов является использование процесса волочения в роликовых волоках.

Литература

1. Биск, М.Б. Холодная деформация стальных труб. В 2 ч. Ч.1: Подготовка к деформации и волочение / М.Б. Биск, И.А. Грехов, В.Б. Славин. -Свердловск: Средне-Урал. кн. изд-во, 1976. - 232 с.

2. Савин, Г.А. Волочение труб / Г.А. Савин. -М: Металлургия, 1993. - 336 с.

3. Швейкин, В.В. Технология холодной прокатки и редуцирования труб: учеб. пособие / В.В. Швейкин. - Свердловск: Изд-во УПИ им. С.М. Кирова, 1983. - 100 с.

4. Технология и оборудование трубного производства /В.Я. Осадчий, А. С. Вавилин, В.Г. Зимовец и др.; под ред. В.Я. Осадчего. - М.: Интермет Инжиниринг, 2007. - 560 с.

5. Баричко, Б.В. Основы технологических процессов ОМД: конспект лекций / Б.В. Баричко, Ф.С. Дубинский, В.И. Крайнов. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. - 131 с.

6. Потапов, И.Н. Теория трубного производства: учеб. для вузов / И.Н. Потапов, А.П. Коли-ков, В.М. Друян. - М.: Металлургия, 1991. - 424 с.

Яковлева Ксения Юрьевна, младший научный сотрудник, ОАО «Российский научно-исследовательский институт трубной промышленности» (г. Челябинск); [email protected].

Баричко Борис Владимирович, заместитель начальника отдела бесшовных труб, ОАО «Российский научно-исследовательский институт трубной промышленности» (г. Челябинск); [email protected].

Кузнецов Владимир Николаевич, начальник лаборатории холодной деформации центральной заводской лаборатории, ОАО «Синарский трубный завод» (г. Каменск-Уральский); [email protected].

Bulletin of the South Ural State University

Series "Metallurgy” ___________2014, vol. 14, no. 1, pp. 101-105

STUDY OF DYNAMIC CHANGES OF THE PIPE WALL THICKNESS IN THE REDUCTION PROCESS

K.Yu. Yakovleva, The Russian Research Institute of the Tube and Pipe Industries (RosNITI), Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected],

B.V. Barichko, The Russian Research Institute of the Tube and Pipe Industries (RosNITI), Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected],

V.N. Kuznetsov, JSC “Sinarsky Pipe Plant", Kamensk-Uralsky, Russian Federation, [email protected]

The results of the experimental study of dynamic changes for the pipe wall thickness during rolling, drawing both in single-piece and roller dies are described. The results show that with the deformation increasing the faster growth of the pipe wall thiknness is observed in rolling and drawing with the roller dies. The conclusion can be drawn that the usage of roller dies is the most promising one.

Keywords: cold-formed pipes, thick-wall pipes, pipe drawing, pipe wall thickness, quality of the inner surface of pipe.

1. Bisk M.B., Grekhov I.A., Slavin V.B. Kholodnaya deformatsiya stal"nykh trub. Podgotovka k deformatsii i volochenie . Sverdlovsk, Middle Ural Book Publ., 1976, vol. 1. 232 p.

2. Savin G.A. Volochenie trub . Moscow, Metallurgiya Publ., 1993. 336 p.

3. Shveykin V.V. Tekhnologiya kholodnoy prokatki i redutsirovaniya trub . Sverdlovsk, Ural Polytechn. Inst. Publ., 1983. 100 p.

4. Osadchiy V.Ya., Vavilin A.S., Zimovets V.G. et al. Tekhnologiya i obrudovanie trubnogo proizvodstva . Osadchiy V.Ya. (Ed.). Moscow, Intermet Engineering Publ., 2007. 560 p.

5. Barichko B.V., Dubinskiy F.S., Kraynov V.I. Osnovy tekhnologicheskikh protsessov OMD . Chelyabinsk, South Ural St. Univ. Publ., 2008. 131 p.

6. Potapov I.N., Kolikov A.P., Druyan V.M. Teoriya trubnogo proizvodstva . Moscow, Metallurgiya Publ., 1991. 424 p.

3.2 Расчет таблицы прокатки

Основной принцип построения технологического процесса в современных установках заключается в получении на непрерывном стане труб одного постоянного диаметра, что позволяет использовать заготовку и гильзу также постоянного диаметра. Получение труб требуемого диаметра обеспечивается редуцированием. Такая система работы значительно облегчает и упрощает настройку станов, снижает парк инструмента и, главное, позволяет сохранять высокую производительность всего агрегата даже при прокатке труб минимального (после редуцирования) диаметра.

Таблицу прокатки рассчитываем против хода прокатки по методике изложенной в . Наружный диаметр трубы после редуцирования определяется размерами последней пары валков.

D p 3 =(1,010..1,015) * D o =1,01 * 33,7=34 мм

где D p -диаметр готовой трубы после редукционного стана.

Толщина стенки после непрерывного и редукционного станов должна быть равна толщине стенки готовой трубы, т.е. S н =Sp=S o =3,2 мм.

Поскольку после непрерывного стана выходит труба одного диаметра, то принимаем D н =94 мм. В непрерывных станах калибровка валков обеспечивает получение в последних парах валков внутреннего диаметра трубы больше диаметра оправки на 1-2 мм, так что диаметр оправки будет равен:

Н =d н -(1..2)=D н -2S н -2=94-2*3,2-2=85,6 мм.

Принимаем диаметр оправок равным 85 мм.

Внутренний диаметр гильзы должен обеспечивать свободное введение оправки и берется на 5-10 мм больше диаметра оправки

d г = н +(5..10)=85+10=95 мм.

Стенку гильзы принимаем:

S г =S н +(11..14)=3,2+11,8=15 мм.

Наружный диаметр гильз определяем исходя из величины внутреннего диаметра и толщины стенки:

D г =d г +2S г =95+2*15=125 мм.

Диаметр используемой заготовки D з =120 мм.

Диаметр оправки прошивного стана выбирается с учетом величины раскатки, т.е. подъема внутреннего диаметра гильзы, составляющего от 3% до 7% от внутреннего диаметра:

П =(0,92…0,97)d г =0,93*95=88 мм.

Коэффициенты вытяжки для прошивного, непрерывного и редукционного станов определяем по формулам:

,

Общий коэффициент вытяжки составляет:

Аналогичным образом рассчитана таблица прокатки для труб размером 48,3×4,0 мм и 60,3×5,0мм.

Таблица прокатки представлена в табл. 3.1.

Таблица 3.1 - Таблица прокатки ТПА-80

Размер готовых труб, мм

Диаметр заготовки, мм

Прошивной стан

Непрерывный стан

Редукционный стан

Общий коэффициент вытяжки

Наружный диаметр

Толщина стенки

Размер гильзы, мм

Диаметр оправки, мм

Коэффициент вытяжки

Размеры труб, мм

Диаметр оправки, мм

Коэффициент вытяжки

Размер труб, мм

Число клетей

Коэффициент вытяжки

Толщина стенки

Толщина стенки

Толщина стенки

3.3 Расчет калибровки валков редукционного стана

Калибровка валков является важной составной частью расчета режима работы стана. Она в значительной мере определяет качество труб, стойкость инструмента, распределение нагрузок в рабочих клетях и приводе.

Расчет калибровки валков включает:

    распределение частных деформаций в клетях стана и подсчет средних диаметров калибров;

    определение размеров калибров валков.

3.3.1 Распределение частных деформаций

По характеру изменения частных деформаций клети редукционного стана могут быть разделены на три группы: головную в начале стана, в которой обжатия интенсивно увеличиваются по ходу прокатки; калибрующую (в конце стана), в которой деформации уменьшаются до минимального значения, и группу клетей между ними (среднюю), в которой частные деформации максимальны или близки к ним.

При прокатке труб с натяжением величины частных деформаций принимают исходя из условия устойчивости профиля трубы при величине пластического натяжения обеспечивающего получение трубы заданного размера.

Коэффициент общего пластического натяжения можно определить по формуле :

,

где
- осевая и тангенциальная деформации взятые в логарифмическом виде; Т- величина определяемая в случае трехвалкового калибра по формуле

где (S/D) cp - среднее отношение толщины стенки к диаметру за период деформации трубы в стане; k-коэффициент учитывающий изменение степени толстостенности трубы.

,

,

где m– величина общей деформации трубы по диаметру.

.

Величина критического частного обжатия при таком коэффициенте пластического натяжения, согласно , может достигать 6% во второй клети, 7,5% в третьей клети и 10% в четвертой клети. В первой клети рекомендуется принимать в пределах 2,5–3%. Однако для обеспечения устойчивого захвата величину обжатия как правило снижают.

В предчистовых и чистовых клетях стана обжатие также снижают, но для снижения нагрузок на валки и повышения точности готовых труб. В последней клети калибрующей группы обжатие принимают равным нулю, предпоследней–до 0,2 от обжатия в последней клети средней группы.

В средней группе клетей практикуют равномерное и неравномерное распределение частных деформаций. При равномерном распределении обжатия во всех клетях этой группы принимают постоянными. Неравномерное распределение частных деформаций может иметь несколько вариантов и быть охарактеризовано следующими закономерностями:

обжатие в средней группе пропорционально уменьшают от первых клетей к последним – падающий режим;

в нескольких первых клетях средней группы частные деформации уменьшают, а остальных оставляют постоянными;

обжатие в средней группе сначала увеличивают, а затем уменьшают;

в нескольких первых клетях средней группы частные деформации оставляют постоянными, а в остальных уменьшают.

При падающих режимах деформаций в средней группе клетей уменьшаются различия в величине мощности прокатки и нагрузки на привод, вызываемые ростом сопротивления деформации металла по мере прокатки, вследствие снижения его температуры и повышения скорости деформации. Считается , что уменьшение обжатий к концу стана также позволяет улучшить качество наружной поверхности труб и снизить поперечную разностенность.

При расчете калибровки валков принимаем равномерное распределение обжатий.

Величины частных деформаций по клетям стана приведены на рис. 3.1.

Распределение обжатий

Исходя из принятых величин частных деформаций средние диаметры калибров можно рассчитать по формулепроизводстве труб , так и, непосредственно, ... сбои) в ходе производства пенобетона. При производстве пенобетона применяются различные... работников, непосредственно связанных с производством пенобетона, специальными одеждой, ...

  • Производство безнапорных железобетонных труб

    Дипломная работа >> Промышленность, производство

    Проката Производство труб методом центробежного проката. Железобетонные трубы изготовляют... при центробежном способе производства труб . Загрузку центрифуг бетонной... позволяет производить распалубку форм. Производство труб методом радиального прессования. Этот...

    • 480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

    Холкин Евгений Геннадьевич. Исследование местной устойчивости тонкостенных трапециевидных профилей при продольно-поперечном изгибе: диссертация... кандидата технических наук: 01.02.06 / Холкин Евгений Геннадьевич; [Место защиты: Ом. гос. техн. ун-т].- Омск, 2010.- 118 с.: ил. РГБ ОД, 61 10-5/3206

    Введение

    1. Обзор исследований устойчивости сжатых пластинчатых элементов конструкций 11

    1.1. Основные определения и методы исследования устойчивости механических систем 12

    1.1.1, Алгоритм исследования устойчивости механических систем статическим методом 16

    1.1.2. Статический подход. Методы: Эйлера, неидеальностей, энергетический 17

    1.2. Математическая модель и основные результаты аналитических исследований устойчивости по Эйлеру. Коэффициент устойчивости 20

    1.3. Методы исследования устойчивости пластинчатых элементов и конструкций из них 27

    1.4. Инженерные методы расчета пластин и составных пластинчатых элементов. Понятие о методе редуцирования 31

    1.5. Численные исследования устойчивости по Эйлеру методом конечных элементов: возможности, достоинства и недостатки 37

    1.6. Обзор экспериментальных исследований устойчивости пластин и составных пластинчатых элементов 40

    1.7. Выводы и задачи теоретических исследований устойчивости тонкостенных трапециевидных профилей 44

    2. Разработка матеметических моделей и алгоритмов расчета устойчивости тонкостенных пластинчатых элементов трапециевидных профилей :47

    2.1. Продольно-поперечный изгиб тонкостенных пластинчатых элементов трапециевидных профилей 47

    2.1.1. Постановка задачи, основные допущения 48

    2.1.2. Математическая модель в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Граничные условия, метод неидеальностей 50

    2.1.3. Алгоритм численного интегрирования, определения критических на

    пряжений и его реализация в MS Excel 52

    2.1.4. Результаты расчетов и их сравнение с известными решениями 57

    2.2. Расчет критических напряжений для отдельного пластинчатого элемента

    в составе профиля ^..59

    2.2.1. Модель, учитывающая упругое сопряжение пластинчатых элементов профиля. Основные допущения и задачи численного исследования 61

    2.2.2. Численное исследование жесткости сопряжений и аппроксимация результатов 63

    2.2.3. Численное исследование длины полуволны потери устойчивости при первой критической нагрузке и аппроксимация результатов 64

    2.2.4. Вычисление коэффициента к{/Зх,/32). Аппроксимация результатов расчета (A,/?2) 66

    2.3. Оценка адекватности расчетов сопоставлением с численными решениями методом конечных элементов и известными аналитическим решениями 70

    2.4. Выводы и задачи экспериментального исследования 80

    3. Экспериментальные исследования на местную устойчивость тонкостенных трапециевидных профилей 82

    3.1. Описание опытных образцов и экспериментальной установки 82

    3.2. Испытания образцов 85

    3.2.1. Методика и содержание испытаний Г..85

    3.2.2. Результаты испытаний образцов на сжатие 92

    3.3. Выводы 96

    4. Учет местной устойчивости в расчетах несущих конструкций из тонкостенных трапециевидных профилей при плоском продольно - поперечном изгибе 97

    4.1. Вычисление критических напряжений местной потери устойчивости пластинчатых элементов и предельной толщины тонкостенного трапециевидного профиля 98

    4.2. Область допустимых нагрузок без учета местной потери стойчивости 99

    4.3. Коэффициент редуцирования 101

    4.4. Учет местной потери устойчивости и редуцирования 101

    Выводы 105

    Библиографический список

    Введение к работе

    Актуальность работы.

    Создание легких, прочных и надежных конструкций является актуальной задачей. Одно из основных требований в машиностроении и строительстве -снижение металлоёмкости. Это приводит к тому, что элементы конструкций должны рассчитываться по более точным определяющим соотношениям, учитывающим опасность как общей, так и местной потери устойчивости.

    Один из путей решения задачи минимизации веса - применение высокотехнологичных тонкостенных трапециевидных прокатных профилей (ТТП). Профили изготавливаются путем прокатки тонколистовой стали толщиной 0,4... 1,5 мм в стационарных условиях или непосредственно на монтажной площадке как плоские или арочные элементы. Конструкции с применением несущих арочных покрытий из тонкостенного трапециевидного профиля отличаются легкостью, эстетичным видом, простотой монтажа и рядом других преимуществ по сравнению с традиционными видами покрытий.

    Основной вид нагружения профиля - продольно-поперечный изгиб. Тон-

    jfflF dMF" кие пластинчатые элементы

    профиля, испытывающие
    сжатие в срединной плос
    кости, могут терять мест
    ную устойчивость. Местная
    потеря устойчивости

    Рис. 1. Пример местной потери устойчивости

    Ям,

    ^J

    Рис. 2. Схема редуцированного сечения профиля

    (МПУ) наблюдается на ограниченных участках по длине профиля (рис. 1) при значительно меньших нагрузках, чем общая потеря устойчивости и напряжениях, соизмеримых с допускаемыми. При МПУ отдельный сжатый пластинчатый элемент профиля полностью или частично перестает воспринимать нагрузку, которая перераспределяется между остальными пластинчатыми элементами сечения профиля. При этом в сечении, где произошла МПУ, напряжения не обязательно превышают допустимые. Это явление называется редуцированием. Редуцирование

    заключается в уменьшении, по сравнению с реальной, площади поперечного сечения профиля при сведении к идеализированной расчетной схеме (рис.2). В этой связи разработка и внедрение инженерных методов учета местной потери устойчивости пластинчатых элементов тонкостенного трапециевидного профиля является актуальной задачей.

    Вопросами устойчивости пластин занимались видные ученые: Б.М. Бро-уде, Ф. Блейх, Я. Брудка, И.Г. Бубнов, В.З. Власов, А.С. Вольмир, А.А. Ильюшин, Майлс, Мелан, Я.Г. Пановко, СП. Тимошенко, Саутвелл, Э. Стоуэл, Уиндерберг, Хвалла и другие. Инженерные подходы к анализу критических напряжений при местной потере устойчивости разработаны в трудах Э.Л. Айрумяна, Бургграфа, А.Л. Васильева, Б.Я. Володарского, М.К. Глоумана, Калдвелла, В.И. Климанова, В.Г. Крохалева, Д.В. Марцинкевича, Е.А. Пав-линовой, А.К. Перцева, Ф.Ф. Тамплона, С.А. Тимашева.

    В указанных инженерных методиках расчета для профилей с сечением сложной формы опасность МПУ практически не учитывается. На стадии эскизного проектирования конструкций из тонкостенных профилей важно иметь простой аппарат для оценки несущей способности конкретного типоразмера. В связи с этим существует потребность в разработке инженерных методов расчета, позволяющих в процессе проектирования конструкций из тонкостенных профилей оперативно оценивать их несущую способность. Проверочный расчет несущей способности конструкции из тонкостенного профиля может быть произведен при помощи уточненных методов с применением существующих программных продуктов и при необходимости скорректирован. Такая двухступенчатая система расчета несущей способности конструкций из тонкостенных профилей наиболее рациональна. Поэтому разработка и внедрение инженерных методов расчета несущей способности конструкций из тонкостенных профилей с учетом местной потери устойчивости пластинчатых элементов является актуальной задачей.

    Цель диссертационной работы: исследование местной потери устойчивости в пластинчатых элементах тонкостенных трапециевидных профилей при их продольно-поперечном изгибе и разработка инженерной методики расчета несущей способности с учетом местной устойчивости.

    Для достижения цели поставлены следующие задачи исследования.

      Распространение аналитических решений устойчивости сжатых прямоугольных пластин на систему сопряженных пластин в составе профиля.

      Численное исследование математической модели местной устойчивости профиля и получение адекватных аналитических выражений для минимального критического напряжения МПУ пластинчатого элемента.

      Экспериментальная оценка степени редуцирования в сечении тонкостенного профиля при местной потере устойчивости.

      Разработка инженерной методики проверочного и проектного расчета тонкостенного профиля с учетом местной потери устойчивости.

    Научная новизна работы заключается в разработке адекватной математической модели местной потери устойчивости для отдельного пластинчатого

    элемента в составе профиля и получение аналитических зависимостей для расчета критических напряжений.

    Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается базированием на фундаментальных аналитических решениях задачи устойчивости прямоугольных пластин, корректным применением математического аппарата, достаточным для практических расчетов совпадением с результатами расчетов МКЭ и экспериментальными исследованиями.

    Практическая значимость заключается в разработке инженерной методики расчетов несущей способности профилей с учетом местной потери устойчивости. Результаты работы внедрены в ООО «Монтажпроект» в виде системы таблиц и графических представлений областей допустимых нагрузок для всего сортамента производимых профилей, учитывающих местную потерю устойчивости, и используются для предварительного выбора типа и толщины материала профиля для конкретных конструктивных решений и видов нагружения.

    Основные положения, выносимые на защиту.

      Математическая модель плоского изгиба и сжатия тонкостенного профиля как системы сопряженных пластинчатых элементов и методика определения на ее основе критических напряжений МПУ в смысле Эйлера.

      Аналитические зависимости для вычисления критических напряжений местной потери устойчивости для каждого пластинчатого элемента профиля при плоском продольно-поперечном изгибе.

      Инженерная методика проверочного и проектного расчета тонкостенного трапециевидного профиля с учетом местной потери устойчивости. Апробация работы и публикации.

    Основные положения диссертации доложены и обсуждены на научно-технических конференциях различного уровня: Международный конгресс «Машины, технологии и процессы в строительстве» посвященный 45-летию факультета «Транспортные и технологические машины» (Омск, СибАДИ, 6-7 декабря 2007г.); Всероссийская научно - техническая конференция, «РОССИЯ МОЛОДАЯ: передовые технологии - в промышленность» (Омск, Ом-ГТУ, 12-13 ноября 2008г.).

    Структура и объем работы. Диссертация изложена на 118 страницах текста, состоит из введения, 4 глав и одного приложения, содержит 48 рисунков, 5 таблиц. Список литературы включает 124 наименования.

    Математическая модель и основные результаты аналитических исследований устойчивости по Эйлеру. Коэффициент устойчивости

    Любой инженерный проект опирается на решение дифференциальных уравнений математической модели движения и равновесия механической системы. Составление проекта конструкции, механизма, машины сопровождается некоторыми допусками на изготовление, в дальнейшем - неидеально-стями. Неидеальности могут возникать и при эксплуатации в виде вмятин, зазоров вследствие износа и других факторов. Все варианты внешних воз--действий невозможно предусмотреть. Конструкция вынуждена работать под воздействием случайных возмущающих сил, которые не учтены в дифференциальных уравнениях.

    Не учтенные в математической модели факторы - неидеальности, случайные силы или возмущения могут вносить серьезные коррективы в полученные результаты.

    Различаются невозмущенное состояние системы - расчетное состояние при нулевых возмущениях, и возмущенное - образовавшееся вследствие возмущений.

    В одном случае вследствие возмущения не происходит существенного изменения равновесного положения конструкции или ее движение мало от личается от расчетного. Такое состояние механической системы называют устойчивым. В других случаях равновесное положение или характер движения существенно отличается от расчетного, такое состояние называется неустойчивым.

    Теория устойчивости движения и равновесия механических систем занимается установлением признаков, позволяющих судить, будет ли рассматриваемое движение или равновесие устойчивым или неустойчивым.

    Типичным признаком перехода системы из устойчивого состояния в неустойчивое является достижение некоторым параметром значения, называемого критическим - критическая сила, критическая скорость и т.д.

    Появление неидеальностей или воздействия неучтенных сил неизбежно приводят к движению системы. Поэтому в общем случае следует исследовать устойчивость движения механической системы при возмущениях. Такой подход к исследованию устойчивости называется динамическим, а соответствующие методы исследования - динамическими.

    В практике часто бывает достаточно ограничиться статическим подходом, т.е. статическими методами исследования устойчивости. В этом случае исследуется конечный результат возмущения - новое установившееся положение равновесия механической системы и степень его отклонения от расчетного, невозмущенного положения равновесия.

    Статическая постановка задачи предполагает не рассматривать силы инерции и параметр времени. Такая постановка задачи часто позволяет перевести модель из уравнений математической физики в обыкновенные дифференциальные уравнения. Это существенно упрощает математическую модель и облегчает аналитическое исследование устойчивости.

    Положительный результат анализа устойчивости равновесия статическим методом не всегда гарантирует динамическую устойчивость. Однако для консервативных систем статический подход при определении критиче ских нагрузок и новых состояний равновесия приводит точно к таким же результатам, что и динамический .

    В консервативной системе работа внутренних и внешних сил системы, совершаемая при переходе из одного состояния в другое, определяется только этими состояниями и не зависит от траектории движения.

    Понятие «система» объединяет деформируемую конструкцию и нагрузки, поведение которых должно быть задано. Отсюда следуют два необходимых и достаточных условия консервативности системы: 1) упругость деформируемой конструкции, т.е. обратимость деформаций; 2) консервативность нагрузки, т.е. независимость совершаемой ей работы от траектории. В некоторых случаях статический метод дает удовлетворительные результаты и для неконсервативных систем.

    Для наглядности вышесказанного рассмотрим несколько примеров из теоретической механики и сопротивления материалов.

    1. Шар весом Q находится в углублении опорной поверхности (рис. 1.3). При действии возмущающей силы 5Р Q sina положение равновесия шара не меняется, т.е. оно устойчиво.

    При кратковременном действии силы 5Р Q sina без учета трения качения возможен переход в новое положение равновесия либо колебания вокруг исходного положения равновесия. При учете трения колебательное движение будет затухающим, то есть устойчивым. Статический подход позволяет определить только критическое значение возмущающей силы, которая равна: Ркр = Q sina. Характер же движения при превышении критического значения возмущающего воздействия и критическую длительность воздействия можно анализировать только динамическими методами.

    2. Стержень длиной / сжат силой Р (рис. 1.4). Из сопротивления материалов на базе статического метода известно, что при нагружении в пределах упругости существует критическое значение сжимающей силы.

    Решение этой же задачи со следящей силой, направление которой совпадает с направлением касательной в точке приложения, статическим методом приводит к выводу об абсолютной устойчивости прямолинейной формы равновесия.

    Математическая модель в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Граничные условия, метод неидеальностей

    Инженерный анализ делится на две категории: классические и численные методы. Классическими методами пытаются решать задачи распределения полей напряжений и деформаций напрямую, формируя системы дифференциальных уравнений на основании фундаментальных принципов. Точное решение, если удается получить уравнения в замкнутой форме, возможно только для простейших случаев геометрии, нагрузок и граничных условий. Довольно широкий круг классических задач может быть решен с использованием приближенных решений систем дифференциальных уравнений. Эти решения имеют форму рядов, в которых младшие члены отбрасываются после исследования сходимости. Как и точные решения, приближенные требуют регулярной геометрической формы, простых граничных условий и удобного приложения нагрузок. Соответственно, данные решения не могут быть применены к большинству практических задач . Принципиальное преимущество классических методов состоит в том, что они обеспечивают глубокое понимание исследуемой проблемы. С помощью численных методов может быть исследован более широкий круг проблем. К численным методам относятся: 1) энергетический метод; 2) метод граничных элементов; 3) метод конечных разностей; 4) метод конечных элементов.

    Энергетические методы позволяют отыскивать минимум выражения для полной потенциальной энергии конструкции на всей заданной области. Этот подход хорошо работает только при решении определенных задач.

    Метод граничных элементов аппроксимирует функции, удовлетворяющие решаемой системе дифференциальных уравнений, но не граничные условия. Размерность задачи понижается, поскольку элементы представляют только границы моделируемой области. Однако применение этого метода требует знания фундаментального решения системы уравнений, которое бывает трудно получить.

    Метод конечных разностей преобразует систему дифференциальных уравнений и граничные условия в соответствующую систему алгебраических -уравнений. Этот метод позволяет решать задачи анализа конструкций со сложной геометрией, граничными условиями и комбинированными нагрузками. Однако метод конечных разностей часто оказывается слишком медленным из-за того, что требование регулярной сетки на всей исследуемой области приводит к системам уравнений очень высоких порядков.

    Метод конечных элементов может распространяться практически на неограниченный класс задач благодаря тому, что он позволяет использовать элементы простых и различных форм для получения разбиений . Размеры конечных элементов, которые могут быть скомбинированы для получения приближения к любым нерегулярным границам, в разбиении иногда различаются в десятки раз. Допускается приложение нагрузки произвольного вида к элементам модели, а также и наложение закрепления любого типа на них. Основной проблемой становится увеличение издержек для получения результата. За общность решения приходится платить потерей интуиции, поскольку конечно-элементное решение - это, по сути, множество чисел, которые применимы только к конкретной задаче, поставленной с помощью конечно-элементной модели. Изменение любого существенного аспекта в модели обычно требует полного повторного решения задачи. Однако, это несущественная цена, поскольку метод конечных элементов часто является единственно возможным способом ее решения. Метод применим ко всем классам проблем распределения полей, которые включают в себя анализ конструкций, перенос тепла, течение жидкости и электромагнетизм. К недостаткам численных методов можно отнести: 1) высокая стоимость программ конечноэлементного анализа; 2) долгое обучение работе с программой и возможность полноценной работы только высококвалифицированного персонала; 3) довольно часто невозможно проверить путем физического эксперимента правильность результата решения, полученного методом конечных элементов, в том числе, в нелинейных задачах. т Обзор экспериментальных исследований устойчивости пластин и составных пластинчатых элементов

    Применяемые в настоящее время для строительных конструкций профили изготавливают из металлических листов толщиной от 0,5 до 5 мм и поэтому считаются тонкостенными. Их грани могут быть как плоскими, так и криволинейными.

    Главная особенность работы тонкостенных профилей заключается в том, что грани с высоким значением отношения ширины к толщине испытывают при нагружении большие деформации выпучивания. Особенно интенсивный рост прогибов наблюдается тогда, когда величина действующих в грани напряжений приближается к критическому значению. Происходит потеря местной устойчивости, прогибы становятся сравнимы с толщиной грани. В результате этого поперечное сечение профиля сильно искажается.

    В литературе об устойчивости пластинок особое место занимают работы русского ученого СП. Тимошенко . Ему принадлежит заслуга в разработке энергетического метода решения задач упругой устойчивости. Используя этот метод, СП. Тимошенко дал теоретическое решение задач устойчивости пластинок нагруженных в срединной плоскости при разных граничных условиях. Теоретические решения были проверены серией испытаний свободно опертых пластинок при равномерном сжатии. Испытания подтвердили теорию.

    Оценка адекватности расчетов сопоставлением с численными решениями методом конечных элементов и известными аналитическим решениями

    Для проверки достоверности полученных результатов были проведены численные исследования методом конечных элементов (МКЭ). В последнее время численные исследования МКЭ находят всё более широкое применение в силу объективных причин, таких как, отсутствие тестовых задач, невозможность соблюдения всех условий при испытаниях на образцах. Численные методы позволяют проводить исследования при «идеальных» условиях, имеют минимальную погрешность, что практически не реализуемо при реальных испытаниях. Численные исследования проводились в программе ANSYS.

    Численные исследования проводились с образцами: прямоугольная пластина; П-образный и трапециевидный элемент профиля, имеющий продольный зиг и без зига; лист профиля (рис.2.11). Рассматривались образцы толщиной 0,7; 0,8; 0,9 и 1мм.

    К образцам (рис.2.11) по торцам прикладывалась равномерная сжимающая нагрузка сгсж с последующим увеличением на шаг Дет. Нагрузке, соответствующей местной потере устойчивости плоской формы, соответствовала величина критического сжимающего напряжения сгкр. Затем по формуле (2.24) вычислялся коэффициент устойчивости &(/?і,/?г) и сравнивался со значением из таблицы 2.

    Рассмотрим прямоугольную пластинку длиной а=100 мм и шириной 6=50 мм, сжатую по торцам равномерной сжимающей нагрузкой. В первом случае пластинка имеет шарнирное закрепление по контуру, во втором - жесткую заделку по боковым граням и шарнирное закрепление по торцам (рис.2.12).

    В программе ANSYS к торцевым граням прикладывалась равномерная сжимающая нагрузка, определялась критическая нагрузка, напряжение и коэффициент устойчивости &(/?],/?2) пластинки. При шарнирном закреплении по контуру пластинка теряла устойчивость по второй форме (наблюдалось две выпучины) (рис. 2.13). Затем сравнивались коэффициенты устойчивости к,/32) пластинки, найденные численным и аналитическим путем. Результаты расчетов представлены в таблице 3.

    Из таблицы 3 видно, что разница результатов аналитического и численного решения составила менее 1%. Отсюда сделали вывод, что предложенный алгоритм исследования на устойчивость можно применять при расчете критических нагрузок для более сложных конструкций.

    Для распространения предлагаемой методики расчета местной устойчивости тонкостенных профилей на общий случай нагружения в программе ANSYS проведены численные исследования для выяснения, как влияет характер сжимающей нагрузки на коэффициент к{у). Результаты исследований представлены графиком (рис. 2.14).

    Следующим этапом проверки предлагаемой методики расчета стало исследование отдельного элемента профиля (рис.2.11, б, в). Он имеет шарнирное закрепление по контуру и сжат по торцам равномерной сжимающей нагрузкой УСЖ (рис. 2.15). Образец исследовали на устойчивость в программе ANSYS и по предлагаемой методике. После этого сравнивали полученные результаты.

    При создании модели в программе ANSYS для равномерности распределения сжимающей нагрузки по торцу, тонкостенный профиль помещали между двумя толстыми пластинами и к ним прикладывали сжимающую нагрузку.

    Результат исследования в программе ANSYS элемента П-образного профиля изображен на рисунке 2.16, на котором видно что, в первую очередь потеря местной устойчивости наступает у самой широкой пластинки.

    Область допустимых нагрузок без учета местной потери стойчивости

    Для несущих конструкций из высокотехнологичных тонкостенных трапециевидных профилей расчет ведется по методам допускаемых напряжений. Предлагается инженерная методика учета местной потери устойчивости при расчетах несущей способности конструкций из тонкостенного трапециевидного профиля. Методика реализована в MS Excel, доступна для широкого применения и может служить основой для соответствующих дополнений в нормативные документы в части расчета тонкостенных профилей. Она строится на базе исследований и полученных аналитических зависимостей для расчета критических напряжений местной потери устойчивости пластинчатых элементов тонкостенного трапециевидного профиля. Задача разделяется на три составляющие: 1) определение минимальной толщины профиля (предельной t \ при которой нет необходимости учитывать местную потерю устойчивости в данном типе расчета; 2) определение области допустимых нагрузок тонкостенного трапециевидного профиля, внутри которой обеспечивается несущая способность без местной потери устойчивости; 3) определение области допустимых значений NuM, внутри которой обеспечивается несущая способность при местной потере устойчивости одного или нескольких пластинчатых элементов тонкостенного трапециевидного профиля (с учетом редуцирования сечения профиля).

    При этом считается, что методами сопротивления материалов или строительной механики получена зависимость изгибающего момента от продольной силы M=f(N) для рассчитываемой конструкции (рис.2.1). Известны допускаемые напряжения [ т] и предел текучести материала сгт, а также ос таточные напряжения сгості в пластинчатых элементах. В расчетах после местной потери устойчивости применен метод «редуцирования». При потере устойчивости исключается 96% ширины соответствующего пластинчатого элемента.

    Вычисление критических напряжений местной потери устойчивости пластинчатых элементов и предельной толщины тонкостенного трапециевидного профиля Тонкостенный трапециевидный профиль разбивается на совокупность пластинчатых элементов как показано на рис.4.1. При этом , угол взаимного расположения соседних элементов не влияет на величину критического напряжения местной

    Профиль Н60-845 CURVED потери устойчивости. Допускается замена криволинейных гофров прямолинейными элементами. Критические сжимающие напряжения местной потери устойчивости в смысле Эйлера для отдельного /-го пластинчатого элемента тонкостенного трапециевидного профиля шириной bt при толщине t, модуле упругости материала Е и коэффициенте Пуассона ju в упругой стадии нагружения определяются по формуле

    Коэффициенты к{рх,Р2) и k(v) учитывают соответственно влияние жесткости прилегающих пластинчатых элементов и характер распределения сжимающих напряжений по ширине пластинчатого элемента. Значение коэффициентов: к{рх,Р2) определяется по таблице 2, либо вычисляется по формуле

    Нормальные напряжения в пластинчатом элементе определяются в центральных осях известной формулой сопротивления материалов. Область допустимых нагрузок без учета местной потери устойчивости (рис. 4.2) определяется выражением и представляет собой четырехугольник, где J - момент инерции сечения периода профиля при изгибе, F- площадь сечения периода профиля, утах и Утіп - координаты крайних точек сечения профиля (рис. 4.1).

    Здесь площадь сечения профиля F и момент инерции сечения J вычисляются для периодического элемента длиной L, а продольная сила iV и изгибающий момент Мъ профиле относятся к L.

    Несущая способность обеспечивается при попадании кривой фактических нагрузок M=f(N) в область значений допустимых нагрузок за вычетом области местной потери устойчивости (рис.4.3). Рис 4.2. Область допустимых нагрузок без учета местной потери устойчивости

    Потеря местной устойчивости одной из полок приводит к ее частичному исключению из восприятия рабочих нагрузок - редуцированию. Степень редуцирования учитывается коэффициентом редуцирования

    Несущая способность обеспечивается при попадании кривой фактических нагрузок в область значений допустимых нагрузок за вычетом области нагрузок местной потери устойчивости. При меньших толщинах линия местной потери устойчивости уменьшает область допустимых нагрузок. Местная потеря устойчивости не возможна в случае, если кривая фактических нагрузок размещается в уменьшенной области. При выходе кривой фактических нагрузок за линию минимального значения критического напряжения местной потери устойчивости необходимо перестроить область допустимых нагрузок с учетом редуцирования профиля, которая определяется выражением

    Ильяшенко А.В. – Доцент кафедры «Строительная механика»
    Московского государственного строительного университета,
    кандидат технических наук

    Исследование несущей способности сжатых упругих тонкостенных стержней, имеющих начальную погибь и претерпевших местную потерю устойчивости, связано с определением редуцированного поперечного сечения стержня. Основные положения, принятые для исследования напряжённо-деформированного состояния в закритической стадии сжатых неидеальных тонкостенных стержней, приведены в работах . В данной статье рассматривается закритическое поведение стержней, которые представляются в виде совокупности совместно работающих элементов – пластинок с начальной погибью, имитирующих работу полок уголковых, тавровых и крестообразных профилей. Это так называемые полки-пластинки с одним упруго защемлённым краем и другим свободным (см.рисунок). В работах такая пластинка относится к типу II.

    Было установлено , что разрушающая нагрузка, характеризующая несущую способность стержня, значительно превышает нагрузку Р кр (м) , при которой происходит местная потеря устойчивости несовершенного профиля. Из графиков, представленных в , видно, что деформации продольных волокон по периметру поперечного сечения в закритической стадии становятся крайне неодинаковыми. В волокнах, удалённых от рёбер, деформации сжатия при увеличении нагрузки уменьшаются, а при нагрузках, близких к предельным, из-за резкого искривления этих волокон вследствие начальных погибей и всё возрастающих стрелок продольных полуволн, образовавшихся после местной потери устойчивости, появляются и интенсивно растут деформации растяжения.

    Участки поперечного сечения с искривлёнными продольными волокнами сбрасывают напряжения, как бы выключаются из работы стержня, ослабляя эффективное сечение и уменьшая его жёсткость. Итак, несущая способность тонкостенного профиля не ограничивается местной потерей устойчивости. Полная нагрузка, воспринимаемая более жёсткими (менее искривлёнными) участками поперечного сечения, может значительно превосходить величину Р кр (м) .

    Получим эффективное, редуцированное сечение, исключив неработающие участки профиля. Для этого используем выражение для функции напряжений Ф k (х,у), описывающей напряжённое состояние k-ой пластинки типа II (см. ).

    Перейдём к закритическим напряжениям σ kх (в направлении действия внешней сжимающей силы), определяемым в наиболее неблагоприятном сечении стержня (х=0). Запишем их в общем виде:

    σ kx =∂ 2 Ф k (A km ,y, f kj , f koj , β c,d , β c,d,j ,ℓ, s) ∕ ∂ y 2 , (1)

    где постоянные интегрирования А km (m=1,2,…,6) и стрелки составляющих приобретённых прогибов f kj (j=1,2) определяются из решения системы разрешающих уравнений . Эта система уравнений включает в себя нелинейные вариационные уравнения и граничные условия, описывающие совместную работу неидеальных пластинок профиля. Стрелки f koj (j=1,2,…,5) составляющих начального прогиба k-й пластинки определяются для каждого типа профиля экспериментально;
    ℓ – длина образующейся при местной потере устойчивости полуволны ;
    s – ширина пластинки;

    β c,d =cs 2 + dℓ 2 ;

    β c,d,j = cs 4 + dℓ 2 s 2 + gℓ 4 ;

    c, d, j – целые положительные числа.

    Приведённую или эффективную ширину редуцированного сечения пластинки-полки (типа II) обозначим через s п. Для её определения выпишем условия перехода от действительного поперечного сечения стержня к редуцированному:

    1. Напряжения в продольных волокнах у начальной грани пластинки (при у=0), примыкающей к ребру (см.рисунок), остаются такими же, как и полученные по нелинейной теории (1):

    где F 2 kr =f 2 kr +2f k0r f kr .

    Для определения напряжения σ k2 =σ k max необходимо подставить в (1) ординату наиболее загруженного продольного волокна, которая находится из условия: ∂σ kx /∂y=0.

    2. Сумма внутренних усилий в пластинке при переходе к редуцированному сечению в направлении действия сжимающей силы не меняется:

    3. Момент внутренних усилий относительно оси, проходящей через начальную грань (у=0) перпендикулярно плоскости пластинки, остаётся прежним:

    Из рисунка очевидно, что

    σ ′ k2 = σ k1 + y п (σ k2 -σ k1) / (y п + s п). (5)

    Запишем систему уравнений для определения приведённой ширины пластинки s п. Для этого подставим (1) и (5) в (3) и (4):

    где α=πs/ℓ ; F kr,ξ =f kr f koξ +f kr f kξ +f kor f kξ ;
    r, ξ – целые положительные числа.

    Полученная система уравнений (6) и (7) даёт возможность определить приведённую ширину s п каждой из пластинок-полок, составляющих сжатый претерпевший местную потерю устойчивости тонкостенный стержень. Таким образом, действительное поперечное сечение профиля заменили на редуцированное.

    Предлагаемая методика представляется полезной как в теоретическом, так и в практическом плане при расчётах на несущую способность сжатых предварительно искривлённых тонкостенных стержней, в которых по эксплуатационным требованиям допустимо местное волнообразование.

    Библиографический список
    1. Ильяшенко А.В., Ефимов И.Б. Напряжённо-деформированное состояние после местной потери устойчивости сжатых тонкостенных стержней с учётом начальной погиби // Строительные конструкции и материалы. Защита от коррозии. – Уфа: Тр.ин-та НИИпромстрой, 1981. – С.110-119.
    2. Ильяшенко А.В. К расчёту тонкостенных тавровых, уголковых и крестообразных профилей с начальной погибью // Свайные фундаменты. – Уфа: Сб. науч. тр. Ниипромстроя, 1983. – С. 110-122.
    3. Ильяшенко А.В., Ефимов И.Б. Экспериментальное исследование тонкостенных стежней с искривлёнными пластинчатыми элементами // Организация и производство строительных работ. – М.: Центр.Бюро н.-т. информации Минпромстроя, 1983.