Ecuaciones logarítmicas USO tarea 5. Expresiones logarítmicas. ejemplos
Expresiones logarítmicas, resolución de ejemplos. En este artículo veremos problemas relacionados con la resolución de logaritmos. Las tareas plantean la cuestión de encontrar el significado de una expresión. Cabe señalar que el concepto de logaritmo se utiliza en muchas tareas y comprender su significado es sumamente importante. En cuanto al Examen Estatal Unificado, el logaritmo se utiliza en la resolución de ecuaciones, en problemas aplicados y también en tareas relacionadas con el estudio de funciones.
Pongamos ejemplos para entender el significado mismo del logaritmo:
Identidad logarítmica básica:
Propiedades de los logaritmos que siempre hay que recordar:
*El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
* * *
*El logaritmo de un cociente (fracción) es igual a la diferencia entre los logaritmos de los factores.
* * *
*El logaritmo de un exponente es igual al producto del exponente por el logaritmo de su base.
* * *
*Transición a una nueva fundación
* * *
Más propiedades:
* * *
El cálculo de logaritmos está estrechamente relacionado con el uso de propiedades de los exponentes.
Enumeremos algunos de ellos:
La esencia de esta propiedad es que cuando el numerador se transfiere al denominador y viceversa, el signo del exponente cambia al opuesto. Por ejemplo:
Un corolario de esta propiedad:
* * *
Al elevar una potencia a una potencia, la base sigue siendo la misma, pero los exponentes se multiplican.
* * *
Como has visto, el concepto de logaritmo en sí es simple. Lo principal es que necesitas una buena práctica, que te dé cierta habilidad. Por supuesto, se requiere conocimiento de fórmulas. Si no se ha desarrollado la habilidad de convertir logaritmos elementales, al resolver problemas simples es fácil cometer un error.
Practica, resuelve primero los ejemplos más simples del curso de matemáticas y luego pasa a los más complejos. En el futuro definitivamente mostraré cómo se resuelven los logaritmos "feos"; no habrá ninguno de estos en el Examen Estatal Unificado, pero son interesantes, ¡no te lo pierdas!
¡Eso es todo! ¡Buena suerte para ti!
Saludos cordiales, Alexander Krutitskikh
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
Ecuaciones logarítmicas. Seguimos considerando problemas de la Parte B del Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Ya hemos examinado las soluciones de algunas ecuaciones en los artículos “”, “”. En este artículo veremos ecuaciones logarítmicas. Diré de inmediato que no habrá transformaciones complejas al resolver este tipo de ecuaciones en el Examen Estatal Unificado. Son simples.
Basta conocer y comprender la identidad logarítmica básica, para conocer las propiedades del logaritmo. Tenga en cuenta que después de resolverlo, DEBE hacer una verificación: sustituir el valor resultante en la ecuación original y calcular; al final, debería obtener la igualdad correcta.
Definición:
El logaritmo de un número en base b es el exponente,al cual se debe elevar b para obtener a.
Por ejemplo:
Log 3 9 = 2, ya que 3 2 = 9
Propiedades de los logaritmos:
Casos especiales de logaritmos:
Resolvamos problemas. En el primer ejemplo haremos una verificación. Haga usted mismo la siguiente comprobación.
Encuentra la raíz de la ecuación: log 3 (4–x) = 4
Dado que log b a = x b x = a, entonces
3 4 = 4 – x
x = 4 – 81
x = – 77
Examen:
registro 3 (4–(–77)) = 4
iniciar sesión 3 81 = 4
3 4 = 81 Correcto.
Respuesta: – 77
Decide por ti mismo:
Encuentra la raíz de la ecuación: log 2 (4 – x) = 7
Encuentra la raíz de la ecuación log 5.(4 + x) = 2
Usamos la identidad logarítmica básica.
Dado que log a b = x b x = a, entonces
5 2 = 4 + x
x=5 2 – 4
x = 21
Examen:
registro 5 (4 + 21) = 2
iniciar sesión 5 25 = 2
5 2 = 25 Correcto.
Respuesta: 21
Encuentra la raíz de la ecuación log 3 (14 – x) = log 3 5.
Se cumple la siguiente propiedad, su significado es el siguiente: si en los lados izquierdo y derecho de la ecuación tenemos logaritmos con la misma base, entonces podemos igualar las expresiones bajo los signos de los logaritmos.
14 – x = 5
x=9
Haz un control.
Respuesta: 9
Decide por ti mismo:
Encuentra la raíz de la ecuación log 5 (5 – x) = log 5 3.
Encuentra la raíz de la ecuación: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).
Si log c a = log c b, entonces a = b
x + 3 = 4x – 15
3x = 18
x = 6
Haz un control.
Respuesta: 6
Encuentra la raíz de la ecuación log 1/8 (13 – x) = – 2.
(1/8) –2 = 13 – x
8 2 = 13 – x
x = 13 – 64
x = – 51
Haz un control.
Una pequeña adición: la propiedad se utiliza aquí.
grados ().
Respuesta: – 51
Decide por ti mismo:
Encuentra la raíz de la ecuación: log 1/7 (7 – x) = – 2
Encuentra la raíz de la ecuación log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.
Transformemos el lado derecho. Usemos la propiedad:
log a b m = m∙log a b
registro 2 (4 – x) = registro 2 5 2
Si log c a = log c b, entonces a = b
4-x = 5 2
4-x = 25
x = – 21
Haz un control.
Respuesta: – 21
Decide por ti mismo:
Encuentra la raíz de la ecuación: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
Resuelve la ecuación log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)
Si log c a = log c b, entonces a = b
x2 + 4x = x2 + 11
4x = 11
x = 2,75
Haz un control.
Respuesta: 2,75
Decide por ti mismo:
Encuentra la raíz de la ecuación log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).
Resuelve la ecuación log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.
Es necesario obtener una expresión de la forma en el lado derecho de la ecuación:
registro 2 (......)
Representamos 1 como un logaritmo en base 2:
1 = registro 2 2
log c (ab) = log c a + log c b
registro 2 (2 – x) = registro 2 (2 – 3x) + registro 2 2
Obtenemos:
registro 2 (2 – x) = registro 2 2 (2 – 3x)
Si log c a = log c b, entonces a = b, entonces
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0,4
Haz un control.
Respuesta: 0,4
Decide por ti mismo: Lo siguiente que necesitas para resolver la ecuación cuadrática. Por cierto,
las raíces son 6 y – 4.
Raíz "-4" no es solución, ya que la base del logaritmo debe ser mayor que cero, y con "– 4" es igual a " – 5". La solución es la raíz 6.Haz un control.
Respuesta: 6.
R comer solo:
Resuelve la ecuación log x –5 49 = 2. Si la ecuación tiene más de una raíz, responde con la más pequeña.
Como has visto, no hay transformaciones complicadas con ecuaciones logarítmicas.No. Basta conocer las propiedades del logaritmo y poder aplicarlas. En los problemas de USE relacionados con la transformación de expresiones logarítmicas, se realizan transformaciones más serias y se requieren habilidades de resolución más profundas. Veremos estos ejemplos, ¡no te los pierdas!¡¡¡Te deseo éxito!!!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b *a c = a b+c). Esta ley matemática fue deducida por Arquímedes y, más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de exponentes enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para un mayor descubrimiento de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todos los lugares donde sea necesario simplificar una multiplicación engorrosa mediante una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. En un lenguaje sencillo y accesible.
Definición en matemáticas
Un logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) “b” a su base “a” se considera la potencia “c ” al cual se debe elevar la base “a” para finalmente obtener el valor “b”. Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar una potencia tal que de 2 a la potencia requerida obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos mentales, ¡obtenemos el número 3! Y eso es cierto, porque 2 elevado a 3 da la respuesta 8.
Tipos de logaritmos
Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero en realidad los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres tipos distintos de expresiones logarítmicas:
- Logaritmo natural en a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
- Decimal a, donde la base es 10.
- Logaritmo de cualquier número b en base a>1.
Cada uno de ellos se resuelve de forma estándar, incluyendo simplificación, reducción y posterior reducción a un solo logaritmo mediante teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, conviene recordar sus propiedades y la secuencia de acciones a la hora de resolverlos.
Reglas y algunas restricciones.
En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son la verdad. Por ejemplo, es imposible dividir números por cero y también es imposible extraer la raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puedes aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:
- La base “a” siempre debe ser mayor que cero, y no igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque “1” y “0” en cualquier grado siempre son iguales a sus valores;
- si a > 0, entonces a b >0, resulta que “c” también debe ser mayor que cero.
¿Cómo resolver logaritmos?
Por ejemplo, la tarea es encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Esto es muy fácil, debes elegir una potencia elevando el número diez a lo que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 = 100.
Ahora representemos esta expresión en forma logarítmica. Obtenemos log 10 · 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones prácticamente convergen para encontrar la potencia a la que es necesario ingresar la base del logaritmo para obtener un número determinado.
Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, es necesario aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:
Como puedes ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tienes una mente técnica y conocimientos de la tabla de multiplicar. Sin embargo, para valores mayores necesitarás una tabla de potencia. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no saben nada sobre temas matemáticos complejos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es el valor de la potencia c a la que se eleva el número a. En la intersección, las celdas contienen los valores numéricos que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y la elevamos al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más verdadero lo entenderá!
Ecuaciones y desigualdades
Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una igualdad logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo en base 3 de 81 igual a cuatro (log 3 81 = 4). Para potencias negativas las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Veremos ejemplos y soluciones de ecuaciones a continuación, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.
Se da la siguiente expresión: log 2 (x-1) > 3 - es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido “x” está bajo el signo logarítmico. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número deseado en base dos es mayor que el número tres.
La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (por ejemplo, el logaritmo 2 x = √9) implican uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que al resolver una desigualdad, tanto el rango de valores aceptables Los valores y los puntos se determinan rompiendo esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta a una ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.
Teoremas básicos sobre logaritmos
Al resolver problemas primitivos de encontrar los valores de un logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Veremos ejemplos de ecuaciones más adelante; primero veamos cada propiedad con más detalle.
- La identidad principal se ve así: a logaB =B. Se aplica sólo cuando a es mayor que 0, distinto de uno y B es mayor que cero.
- El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. En este caso, la condición obligatoria es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una prueba de esta fórmula logarítmica, con ejemplos y solución. Sean log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2, luego a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grados), y luego por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que es lo que había que demostrar.
- El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.
Esta fórmula se llama "propiedad del grado de logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados naturales. Veamos la prueba.
Sea log a b = t, resulta a t =b. Si elevamos ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;
pero como a tn = (a q) nt/q = b n, entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema está demostrado.
Ejemplos de problemas y desigualdades
Los tipos más comunes de problemas sobre logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también son una parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a una universidad o aprobar exámenes de ingreso en matemáticas, es necesario saber cómo resolver correctamente dichas tareas.
Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, pero se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, conviene averiguar si la expresión se puede simplificar o reducir a una forma general. Puedes simplificar expresiones logarítmicas largas si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos rápidamente.
A la hora de resolver ecuaciones logarítmicas debemos determinar qué tipo de logaritmo tenemos: una expresión de ejemplo puede contener un logaritmo natural o uno decimal.
A continuación se muestran ejemplos ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesitan determinar la potencia a la que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para resolver logaritmos naturales, es necesario aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.
Cómo utilizar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones
Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas básicos sobre logaritmos.
- La propiedad del logaritmo de un producto se puede utilizar en tareas donde es necesario descomponer un valor grande del número b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como puede ver, utilizando la cuarta propiedad de la potencia del logaritmo, logramos resolver una expresión aparentemente compleja e irresoluble. Sólo necesitas factorizar la base y luego quitar los valores del exponente del signo del logaritmo.
Asignaciones del Examen Estatal Unificado
Los logaritmos se encuentran a menudo en los exámenes de ingreso, especialmente muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la parte de prueba más sencilla del examen), sino también en la parte C (las tareas más complejas y voluminosas). El examen requiere un conocimiento preciso y perfecto del tema "Logaritmos naturales".
Se toman ejemplos y soluciones a problemas de las versiones oficiales del Examen Estatal Unificado. Veamos cómo se resuelven tales tareas.
Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2, por definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.
- Es mejor reducir todos los logaritmos a la misma base para que la solución no sea engorrosa ni confusa.
- Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, cuando se saca como multiplicador el exponente de una expresión que está bajo el signo del logaritmo y como base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.