1 kolmé čáry. Kolmost přímek - podmínky kolmosti. Shromažďování a používání osobních údajů
Článek se zabývá problematikou kolmých čar v rovině a trojrozměrného prostoru. Na uvedených příkladech podrobně rozebereme definici kolmých čar a jejich označení. Zvažte podmínky pro uplatnění nutné a postačující podmínky pro kolmost dvou přímek a podrobně zvažte na příkladu.
Úhel mezi protínajícími se čarami v prostoru může být správný. Potom se říká, že dané čáry jsou kolmé. Když je úhel mezi zkosenými čarami přímka, pak jsou čáry také kolmé. Z toho vyplývá, že kolmice na rovině se protínají a kolmé čáry prostoru se mohou protínat a zkosit.
To znamená, že pojmy „přímky a a b jsou kolmé“ a „přímky b a a jsou kolmé“ jsou považovány za stejné. Odtud pochází koncept vzájemně kolmých čar. Shrneme-li výše uvedené, zvažte definici.
Definice 1
Dvě přímky se nazývají kolmé, pokud je úhel v jejich průsečíku 90 stupňů.
Kolmost je označena „⊥“ a zápis se změní na a ⊥ b, což znamená, že přímka a je kolmá k přímce b.
Například kolmé čáry v rovině mohou být stranami čtverce se společným vrcholem. V trojrozměrném prostoru jsou přímky O x, Oz, Oy kolmé ve dvojicích: O x a O z, O x a O y, O y a Oz.
Kolmost přímek - podmínky kolmosti
Musíte znát vlastnosti kolmosti, protože většina problémů spočívá v její kontrole pro následné řešení. Jsou případy, kdy o kolmosti v otázce ještě ve stavu zadání nebo když je potřeba použít důkaz. K prokázání kolmosti stačí, aby úhel mezi přímkami byl správný.
Pro určení jejich kolmosti se známými rovnicemi pravoúhlého souřadnicového systému je nutné uplatnit nezbytnou a postačující podmínku pro kolmost přímek. Podívejme se na formulaci.
Věta 1
Aby přímky a a b byly kolmé, je nutné a postačující, aby směrový vektor přímky byl kolmý vůči směrovému vektoru dané přímky b.
Vlastní důkaz je založen na definici směrového vektoru přímky a na definici kolmosti přímek.
Důkaz 1
Nechť zavedeme pravoúhlý kartézský souřadnicový systém O x y s danými rovnicemi přímky v rovině, která definuje přímky a a b. Označme směrové vektory přímek a a b jako a → a b → . Z rovnice přímek a a b je nutnou a postačující podmínkou kolmost vektorů a → a b → . To je možné pouze tehdy, když je skalární součin vektorů a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) roven nule a zápis je a → , b → = a x b x + a y b y = 0 . Dostaneme, že nezbytnou a postačující podmínkou pro kolmost přímek a a umístěných v pravoúhlém souřadném systému O x y v rovině je a → , b → = a x b x + a y b y = 0 , kde a → = (a x , a y) a b → = b x , b y jsou směrové vektory přímek a a b .
Podmínka platí, když je potřeba najít souřadnice směrových vektorů nebo při přítomnosti kanonických nebo parametrických rovnic přímek na rovině daných přímek a a b .
Příklad 1
Tři body A (8 , 6) , B (6 , 3) , C (2, 10) jsou dány v pravoúhlém souřadnicovém systému O x y. Určete, zda jsou úsečky A B a A C kolmé nebo ne.
Rozhodnutí
Přímky A B a A C mají směrové vektory A B → a A C → v tomto pořadí. Nejprve spočítejme A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Z vlastnosti skalárního součinu vektorů rovných nule získáme, že vektory A B → a A C → jsou kolmé.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Je zřejmé, že nutná a postačující podmínka je splněna, což znamená, že A B a A C jsou kolmé.
Odpovědět:čáry jsou kolmé.
Příklad 2
Určete, zda jsou dané přímky x - 1 2 = y - 7 3 a x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ kolmé či nikoliv.
Rozhodnutí
a → = (2 , 3) je směrový vektor dané přímky x - 1 2 = y - 7 3,
b → = (1 , - 2) je směrový vektor přímky x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ .
Přistoupíme k výpočtu skalárního součinu vektorů a → a b → . Výraz bude napsán:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Výsledek součinu není roven nule, můžeme usoudit, že vektory nejsou kolmé, což znamená, že přímky také nejsou kolmé.
Odpovědět:čáry nejsou kolmé.
Nutná a postačující podmínka pro kolmost přímek a a b platí pro trojrozměrný prostor, zapsaný jako a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z = 0 , kde a → = (a x , a y, a z) a b → = (b x , b y , b z) jsou směrové vektory přímek a a b .
Příklad 3
Zkontrolujte kolmost čar v pravoúhlém souřadnicovém systému trojrozměrného prostoru, danou rovnicí x 2 \u003d y - 1 \u003d z + 1 0 a x \u003d λ y \u003d 1 + 2 λ z = 4 λ
Rozhodnutí
Za jmenovatele z kanonických rovnic přímek se považují souřadnice směrového vektoru přímky. Souřadnice směrového vektoru z parametrické rovnice jsou koeficienty. Z toho vyplývá, že a → = (2 , - 1 , 0) a b → = (1 , 2 , 4) jsou směrové vektory daných čar. Abychom identifikovali jejich kolmost, najdeme skalární součin vektorů.
Výraz se změní na a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0 .
Vektory jsou kolmé, protože součin je nula. Nutná a postačující podmínka je splněna, to znamená, že čáry jsou také kolmé.
Odpovědět:čáry jsou kolmé.
Kontrolu kolmosti lze provést na základě dalších nutných a postačujících podmínek pro kolmost.
Věta 2
Přímky a a b v rovině jsou považovány za kolmé, když normálový vektor přímky a je kolmý na vektor b, je to nutná a postačující podmínka.
Důkaz 2
Tato podmínka platí, když rovnice přímek dávají rychlé zjištění souřadnic normálových vektorů daných přímek. To znamená, že pokud existuje obecná rovnice přímky ve tvaru A x + B y + C \u003d 0, rovnice přímky v segmentech tvaru x a + y b \u003d 1, rovnice přímky čára se sklonem ve tvaru y \u003d k x + b, lze najít souřadnice vektorů.
Příklad 4
Zjistěte, zda jsou přímky 3 x - y + 2 = 0 a x 3 2 + y 1 2 = 1 kolmé.
Rozhodnutí
Na základě jejich rovnic je nutné najít souřadnice normálových vektorů přímek. Dostaneme, že n α → = (3 , - 1) je normálový vektor pro přímku 3 x - y + 2 = 0 .
Zjednodušme rovnici x 3 2 + y 1 2 = 1 na tvar 2 3 x + 2 y - 1 = 0 . Nyní jsou dobře viditelné souřadnice normálového vektoru, který zapíšeme v tomto tvaru n b → = 2 3 , 2 .
Vektory n a → = (3 , - 1) a n b → = 2 3 , 2 budou kolmé, protože jejich skalární součin nakonec dá hodnotu rovnou 0 . Dostaneme n a → , n b → = 3 2 3 + (- 1) 2 = 0 .
Nutná a postačující podmínka byla splněna.
Odpovědět:čáry jsou kolmé.
Když je přímka a v rovině definována pomocí rovnice sklonu y = k 1 x + b 1 a přímka b - y = k 2 x + b 2 , vyplývá, že normálové vektory budou mít souřadnice (k 1 , - 1) a (k2,-1). Samotná podmínka kolmosti se redukuje na k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1 .
Příklad 5
Zjistěte, zda jsou přímky y = - 3 7 x a y = 7 3 x - 1 2 kolmé.
Rozhodnutí
Přímka y = - 3 7 x má sklon rovný - 3 7 a přímka y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 .
Součin sklonových koeficientů dává hodnotu - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, to znamená, že čáry jsou kolmé.
Odpovědět: dané čáry jsou kolmé.
K určení kolmosti čar v rovině se používá ještě jedna podmínka.
Věta 3
Aby přímky a a b byly v rovině kolmé, je nutnou a postačující podmínkou kolinearita směrového vektoru jedné z přímek s normálovým vektorem druhé přímky.
Důkaz 3
Podmínka platí, když je možné najít směrový vektor jedné přímky a souřadnice normálového vektoru druhé. Jinými slovy, jedna přímka je dána kanonickou nebo parametrickou rovnicí a druhá obecná rovnice přímka, rovnice v segmentech nebo rovnice přímky se sklonem.
Příklad 6
Určete, zda jsou dané přímky x - y - 1 = 0 a x 0 = y - 4 2 kolmé.
Rozhodnutí
Dostaneme, že normálový vektor přímky x - y - 1 = 0 má souřadnice n a → = (1 , - 1) , a b → = (0 , 2) je směrový vektor přímky x 0 = y - 4 2.
To ukazuje, že vektory n a → = (1, - 1) a b → = (0, 2) nejsou kolineární, protože není splněna podmínka kolinearity. Neexistuje takové číslo t, aby platila rovnost n a → = t · b →. Z toho plyne závěr, že čáry nejsou kolmé.
Odpovědět:čáry nejsou kolmé.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Kolmost je vztah mezi různými objekty v euklidovském prostoru – čarami, rovinami, vektory, podprostory a tak dále. V tomto materiálu se blíže podíváme na kolmé čáry a charakteristické znaky s nimi související. Dvě přímky lze nazvat kolmými (nebo vzájemně kolmými), pokud všechny čtyři úhly svírají jejich průsečík přesně devadesát stupňů.
Kolmé čáry realizované v rovině mají určité vlastnosti:
Konstrukce kolmých čar
Kolmé čáry jsou postaveny na rovině pomocí čtverce. Každý kreslíř by měl mít na paměti, že důležitou vlastností každého čtverce je, že musí mít nutně pravý úhel. Abychom vytvořili dvě kolmé čáry, musíme jednu ze dvou stran sladit pravý úhel náš
nakreslete čtverec s danou přímkou a nakreslete druhou přímku podél druhé strany tohoto pravého úhlu. Tím vytvoříte dvě na sebe kolmé čáry.
trojrozměrný prostor
Zajímavostí je, že kolmé úsečky lze realizovat a v tomto případě se dvě přímky budou nazývat takové, pokud jsou rovnoběžné, respektive s libovolnými dvěma dalšími úsečkami ležícími ve stejné rovině a také v ní kolmé. Pokud navíc mohou být na rovinu kolmé pouze dvě přímky, pak v trojrozměrném prostoru jsou již tři. Navíc lze dále zvýšit počet kolmých čar (nebo rovin).
Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci konkrétní osoby nebo k jejímu kontaktování.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují vás kontaktovat a informovat vás o tom jedinečné nabídky, propagační akce a další akce a nadcházející události.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
- Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
- Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.
Zpřístupnění třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zpřístupnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiného veřejného zájmu.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.
Přímá čára (úsečka) je označena dvěma velkými písmeny latinské abecedy nebo jedním malým písmenem. Bod je označen pouze velkým latinským písmenem.
Čáry se nesmí protínat, protínat ani splývat. Protínající se čáry mají pouze jeden společný bod, neprotínající se čáry nemají žádný společný bod a shodné čáry mají všechny body společné.
Definice. Dvě přímky, které se protínají v pravém úhlu, se nazývají kolmé. Kolmost přímek (nebo jejich segmentů) se značí znaménkem kolmosti "⊥".
Například:
Vaše AB a CD(obr. 1) protínají v bodě Ó a ∠ AOC = ∠WOS = ∠AOD = ∠BOD= 90°, tedy AB ⊥ CD.
Pokud AB ⊥ CD(obr. 2) a protínají se v bodě V, pak ∠ ABC = ∠ABD= 90°
Vlastnosti kolmých čar
1. Skrz tečku ALE(obr. 3) lze nakreslit pouze jednu kolmou čáru AB na přímku CD; další čáry procházející bodem ALE a přejezd CD, se nazývají šikmé čáry (obr. 3, přímky AE a AF).
2. Z bodu A můžete pustit kolmici na přímku CD; délka kolmice (délka segmentu AB) tažené z bodu ALE přímo CD, je nejkratší vzdálenost od A před CD(obr. 3).
Dvě přímky se nazývají kolmé, pokud se protínají v pravém úhlu.
Přímka a protíná přímku b v pravém úhlu v bodě A. Pomocí ikony kolmice se můžete pohybovat: a ⊥ b. Zní to takto: přímka a je kolmá k přímce b.
Je třeba poznamenat, že sousední úhel a svislý úhel s pravým úhlem jsou také pravé úhly.
Každým bodem úsečky lze nakreslit čáru, která je k němu kolmá, a to pouze jednu.
Důkaz.
Nechť b je daná přímka a bod A této přímce náleží. Vezměme nějaký paprsek b1 na přímce b s počátečním bodem v A. Odložme od paprsku b1 úhel (a1b1) rovný 90°. Podle definice bude přímka obsahující paprsek a1 kolmá k přímce b.
Předpokládejme, že existuje další přímka kolmá k přímce b a procházející bodem A. Vezměte na tuto přímku paprsek c1 vycházející z bodu A a ležící ve stejné polorovině jako paprsek a1. Potom ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Ale podle axiomu 8 lze v této polorovině vyčlenit pouze jeden úhel rovný 90°. Proto je nemožné nakreslit další přímku kolmou k přímce b bodem A do dané poloroviny. Věta byla prokázána. 
Kolmice k dané přímce je segment přímky kolmý k dané přímce, který má jeden z jejich konců v průsečíku. Tento konec segmentu se nazývá základna kolmice. AB je kolmice k přímce a. Bod A je základna kolmice.