المعادلات اللوغاريتمية استخدم المهمة 5. التعبيرات اللوغاريتمية. أمثلة

التعابير اللوغاريتمية، حل الأمثلة. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على المسائل المتعلقة بحل اللوغاريتمات. تطرح المهام سؤال العثور على معنى التعبير. تجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام وفهم معناه مهم للغاية. أما بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة، فيستخدم اللوغاريتم عند حل المعادلات، وفي المسائل التطبيقية، وأيضا في المهام المتعلقة بدراسة الدوال.

دعونا نعطي أمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمات التي يجب تذكرها دائمًا:

* لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم القسمة (الكسر) يساوي الفرق بين لوغاريتمات العوامل.

* * *

*لوغاريتم القوة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته.

* * *

*الانتقال إلى أساس جديد

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

يرتبط حساب اللوغاريتمات ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأسس.

دعونا قائمة بعض منهم:

جوهر هذه الخاصية هو أنه عندما ينتقل البسط إلى المقام والعكس، تتغير إشارة الأس إلى العكس. على سبيل المثال:

نتيجة طبيعية من هذه الخاصية:

* * *

عند رفع قوة إلى قوة، يظل الأساس كما هو، ولكن يتم ضرب الأسس.

* * *

كما رأيت، فإن مفهوم اللوغاريتم نفسه بسيط. الشيء الرئيسي هو أنك تحتاج إلى ممارسة جيدة، مما يمنحك مهارة معينة. وبطبيعة الحال، مطلوب معرفة الصيغ. إذا لم يتم تطوير مهارة تحويل اللوغاريتمات الأولية، فعند حل المهام البسيطة، يمكنك بسهولة ارتكاب خطأ.

تدرب على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً، ثم انتقل إلى الأمثلة الأكثر تعقيدًا. في المستقبل، سأوضح بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "القبيحة"؛ لن يكون هناك أي منها في امتحان الدولة الموحدة، لكنها مثيرة للاهتمام، لا تفوتها!

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع أطيب التحيات، ألكسندر كروتيتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

المعادلات اللوغاريتمية. نواصل النظر في المسائل الواردة في الجزء ب من امتحان الدولة الموحد في الرياضيات. لقد قمنا بالفعل بدراسة حلول بعض المعادلات في المقالات ""، "". في هذه المقالة سوف ننظر إلى المعادلات اللوغاريتمية. سأقول على الفور أنه لن تكون هناك تحويلات معقدة عند حل مثل هذه المعادلات في امتحان الدولة الموحدة. إنها بسيطة.

يكفي معرفة وفهم الهوية اللوغاريتمية الأساسية، لمعرفة خصائص اللوغاريتم. يرجى ملاحظة أنه بعد حلها، يجب عليك إجراء فحص - استبدال القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية وحسابها، في النهاية يجب أن تحصل على المساواة الصحيحة.

تعريف:

لوغاريتم الرقم للأساس b هو الأس،التي يجب رفع b إليها للحصول على a.

على سبيل المثال:

سجل 3 9 = 2، بما أن 3 2 = 9

خصائص اللوغاريتمات:

حالات خاصة من اللوغاريتمات:

دعونا نحل المشاكل. في المثال الأول سنقوم بإجراء فحص. قم بالفحص اللاحق بنفسك.

أوجد جذر المعادلة: log 3 (4–x) = 4

بما أن السجل b a = x b x = a، إذن

3 4 = 4 - س

س = 4 - 81

س = – 77

فحص:

سجل 3 (4–(–77)) = 4

سجل 3 81 = 4

3 4 = 81 صحيح.

الجواب: – 77

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 2 (4 - x) = 7

أوجد جذر سجل المعادلة 5(4 + س) = 2

نحن نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

بما أن السجل a b = x b x = a، إذن

5 2 = 4 + س

س = 5 2 - 4

س = 21

فحص:

سجل 5 (4 + 21) = 2

سجل 5 25 = 2

5 2 = 25 صحيح.

الجواب: 21

أوجد جذر المعادلة سجل 3 (14 - س) = سجل 3 5.

تحدث الخاصية التالية، معناها كما يلي: إذا كان لدينا على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة لوغاريتمات لها نفس الأساس، فيمكننا مساواة التعبيرات تحت علامات اللوغاريتمات.

14 - س = 5

س = 9

قم بالفحص.

الجواب: 9

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة سجل 5 (5 – س) = سجل 5 3.

أوجد جذر المعادلة: سجل 4 (س + 3) = سجل 4 (4س - 15).

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

س + 3 = 4س - 15

3س = 18

س = 6

قم بالفحص.

الجواب: 6

أوجد جذر سجل المعادلة 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) –2 = 13 – س

8 2 = 13 - س

س = 13 - 64

س = – 51

قم بالفحص.

إضافة صغيرة - يتم استخدام العقار هنا

درجات ().

الجواب: – 51

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: لوغاريتم 1/7 (7 - س) = - 2

أوجد جذر المعادلة سجل 2 (4 - س) = 2 سجل 2 5.

دعونا تحويل الجانب الأيمن. دعونا نستخدم الخاصية:

سجل أ ب م = م∙ سجل أ ب

سجل 2 (4 - س) = سجل 2 5 2

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

4 - س = 5 2

4 - س = 25

س = – 21

قم بالفحص.

الجواب :- 21

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

حل سجل المعادلة 5 (x 2 + 4x) = سجل 5 (x 2 + 11)

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

س 2 + 4س = س 2 + 11

4س = 11

س = 2.75

قم بالفحص.

الجواب: 2.75

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة سجل 5 (س 2 + س) = سجل 5 (س 2 + 10).

حل سجل المعادلة 2 (2 – س) = سجل 2 (2 – 3س) +1.

من الضروري الحصول على تعبير عن النموذج على الجانب الأيمن من المعادلة:

السجل 2 (......)

نحن نمثل 1 كقاعدة لوغاريتم 2:

1 = السجل 2 2

سجل ج (أب) = سجل ج أ + سجل ج ب

سجل 2 (2 - س) = سجل 2 (2 - 3س) + سجل 2 2

نحن نحصل:

سجل 2 (2 - س) = سجل 2 2 (2 - 3س)

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب، ثم

2 - س = 4 - 6س

5س = 2

س = 0.4

قم بالفحص.

الجواب: 0.4

تقرر لنفسك: بعد ذلك، عليك حل المعادلة التربيعية. بالمناسبة،

الجذور هي 6 و - 4.

جذر "-"4" ليس حلاً، لأن قاعدة اللوغاريتم يجب أن تكون أكبر من الصفر، ومع "– 4" يساوي " – 5". الحل هو جذر 6قم بالفحص.

الجواب: 6.

ر تناول الطعام بنفسك:

حل سجل المعادلة x –5 49 = 2. إذا كانت المعادلة لها أكثر من جذر واحد، أجب بالجذر الأصغر.

كما رأيت، لا توجد تحويلات معقدة مع المعادلات اللوغاريتميةلا. يكفي معرفة خصائص اللوغاريتم والقدرة على تطبيقها. في مشاكل الاستخدام المتعلقة بتحويل التعبيرات اللوغاريتمية، يتم إجراء تحويلات أكثر جدية ويتطلب الأمر مهارات أكثر تعمقًا في حلها. سننظر في مثل هذه الأمثلة، فلا تفوتها!أتمنى لك النجاح!!!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

كما تعلم، عند ضرب التعبيرات بالقوى، دائمًا ما يكون مجموع أسسها (a b *a c = a b+c). اشتق هذا القانون الرياضي من قبل أرخميدس، وفي وقت لاحق، في القرن الثامن، قام عالم الرياضيات فيراسين بإنشاء جدول من الأسس الصحيحة. لقد كانوا هم الذين خدموا في اكتشاف المزيد من اللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في كل مكان تقريبًا حيث تحتاج إلى تبسيط الضرب المرهق عن طريق الجمع البسيط. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال، فسنشرح لك ما هي اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. بلغة بسيطة وسهلة المنال.

التعريف في الرياضيات

اللوغاريتم هو تعبير بالشكل التالي: log a b=c، أي لوغاريتم أي رقم غير سالب (أي أي موجب) "b" إلى قاعدته "a" يعتبر أس "c" " والتي يجب رفع الأساس "أ" إليها للحصول على القيمة "ب" في النهاية. دعونا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة، لنفترض أن هناك سجل تعبير 2 8. كيف تجد الإجابة؟ الأمر بسيط للغاية، تحتاج إلى العثور على قوة بحيث تحصل على 8 من 2 إلى القوة المطلوبة. وبعد إجراء بعض الحسابات في رأسك، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح، لأن 2 أس 3 يعطي الإجابة 8.

أنواع اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب، يبدو هذا الموضوع معقدا وغير مفهوم، ولكن في الواقع اللوغاريتمات ليست مخيفة للغاية، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة أنواع منفصلة من التعبيرات اللوغاريتمية:

1. اللوغاريتم الطبيعي ln a، حيث الأساس هو رقم أويلر (e = 2.7).
2. العشري أ، حيث الأساس هو 10.
3. لوغاريتم أي رقم ب للأساس أ> 1.

يتم حل كل منها بطريقة قياسية، بما في ذلك التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات، يجب أن تتذكر خصائصها وتسلسل الإجراءات عند حلها.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات، هناك العديد من القيود والقواعد التي يتم قبولها كبديهية، أي أنها لا تخضع للمناقشة وهي الحقيقة. على سبيل المثال، من المستحيل قسمة الأعداد على صفر، ومن المستحيل أيضًا استخراج الجذر الزوجي للأعداد السالبة. تحتوي اللوغاريتمات أيضًا على قواعدها الخاصة، والتي يمكنك من خلالها تعلم كيفية العمل بسهولة حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

• يجب أن يكون الأساس "أ" دائمًا أكبر من الصفر، ولا يساوي 1، وإلا فسيفقد التعبير معناه، لأن "1" و"0" بأي درجة متساويان دائمًا لقيمتهما؛
• إذا كانت a > 0، ثم b >0، يتبين أن "c" يجب أن تكون أيضًا أكبر من الصفر.

كيفية حل اللوغاريتمات؟

على سبيل المثال، تم تكليفك بمهمة العثور على إجابة المعادلة 10 × = 100. هذا سهل للغاية، تحتاج إلى اختيار قوة عن طريق رفع الرقم عشرة الذي نحصل عليه 100. وهذا بالطبع هو 10 2 = 100.

الآن دعونا نمثل هذا التعبير في صورة لوغاريتمية. نحصل على سجل 10 100 = 2. عند حل اللوغاريتمات، تتلاقى جميع الإجراءات عمليا للعثور على القوة التي من الضروري إدخال قاعدة اللوغاريتم من أجل الحصول على رقم معين.

لتحديد قيمة درجة غير معروفة بدقة، عليك أن تتعلم كيفية العمل مع جدول الدرجات. تبدو هكذا:

كما ترون، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقل تقني ومعرفة بجدول الضرب. ومع ذلك، لقيم أكبر سوف تحتاج إلى جدول الطاقة. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يعرفون شيئًا على الإطلاق عن الموضوعات الرياضية المعقدة. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (الأساس أ)، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع تحتوي الخلايا على القيم الرقمية التي هي الجواب (أ ج = ب). لنأخذ، على سبيل المثال، الخلية الأولى التي تحتوي على الرقم 10 ونقوم بتربيعها، نحصل على القيمة 100، والتي تتم الإشارة إليها عند تقاطع الخليتين لدينا. كل شيء بسيط وسهل لدرجة أن حتى أكثر الإنسانيين صدقًا سوف يفهمونه!

المعادلات والمتباينات

اتضح أنه في ظل ظروف معينة يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك، يمكن كتابة أي تعبيرات عددية رياضية على هيئة مساواة لوغاريتمية. على سبيل المثال، 3 4 = 81 يمكن كتابتها على أنها اللوغاريتم ذو الأساس 3 للرقم 81 يساوي أربعة (log 3 81 = 4). القواعد هي نفسها بالنسبة للقوى السالبة: 2 -5 = 1/32 نكتبها على شكل لوغاريتم، ونحصل على log 2 (1/32) = -5. أحد أروع أقسام الرياضيات هو موضوع "اللوغاريتمات". سننظر في أمثلة وحلول المعادلات أدناه مباشرة بعد دراسة خصائصها. الآن دعونا نلقي نظرة على الشكل الذي تبدو عليه المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.

يتم إعطاء التعبير التالي: log 2 (x-1) > 3 - وهي متباينة لوغاريتمية، لأن القيمة غير المعروفة "x" تقع تحت العلامة اللوغاريتمية. وأيضًا في التعبير تتم مقارنة كميتين: لوغاريتم الرقم المطلوب للأساس اثنين أكبر من الرقم ثلاثة.

الفرق الأكثر أهمية بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات هو أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (على سبيل المثال، اللوغاريتم 2 x = √9) تتضمن قيمة عددية واحدة أو أكثر محددة في الإجابة، بينما عند حل المتراجحة، يكون كل من نطاق المقبول يتم تحديد القيم والنقاط بكسر هذه الوظيفة. ونتيجة لذلك، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية، كما هو الحال في الإجابة على المعادلة، ولكن سلسلة مستمرة أو مجموعة من الأرقام.

النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية لإيجاد قيم اللوغاريتم، قد لا تكون خصائصه معروفة. ومع ذلك، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة، أولا وقبل كل شيء، من الضروري أن نفهم بوضوح ونطبق في الممارسة العملية جميع الخصائص الأساسية للوغاريتمات. سننظر في أمثلة المعادلات لاحقًا، فلننظر أولاً إلى كل خاصية بمزيد من التفصيل.

1. الهوية الرئيسية تبدو كالتالي: a logaB =B. وينطبق هذا فقط عندما تكون a أكبر من 0، ولا تساوي واحدًا، وتكون B أكبر من الصفر.
2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج بالصيغة التالية: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. في هذه الحالة، الشرط الإلزامي هو: d, s 1 and s 2 > 0; أ≠1. يمكنك تقديم دليل على هذه الصيغة اللوغاريتمية، مع الأمثلة والحل. دعونا سجل a s 1 = f 1 ونسجل a s 2 = f 2، ثم a f1 = s 1، a f2 = s 2. نحصل على أن s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خصائص درجات )، ومن ثم حسب التعريف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2، وهو ما يحتاج إلى إثبات.
3. يبدو لوغاريتم الحاصل كما يلي: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. تأخذ النظرية في شكل صيغة الشكل التالي: log a q b n = n/q log a b.

تسمى هذه الصيغة "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية، وهذا ليس مفاجئا، لأن كل الرياضيات مبنية على مسلمات طبيعية. دعونا ننظر إلى الدليل.

دعونا سجل أ ب = ر، اتضح أن ر = ب. إذا رفعنا كلا الجزأين للأس m: a tn = b n ;

ولكن بما أن a tn = (a q) nt/q = b n، لذلك سجل a q b n = (n*t)/t، ثم سجل a q b n = n/q سجل a b. لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع المسائل شيوعًا في اللوغاريتمات هي أمثلة المعادلات والمتباينات. وهي موجودة في جميع كتب المسائل تقريبًا، وهي أيضًا جزء مطلوب من اختبارات الرياضيات. للدخول إلى الجامعة أو اجتياز امتحانات القبول في الرياضيات، عليك أن تعرف كيفية حل هذه المهام بشكل صحيح.

لسوء الحظ، لا توجد خطة أو مخطط واحد لحل وتحديد القيمة المجهولة للوغاريتم، ولكن يمكن تطبيق قواعد معينة على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. أولًا، يجب عليك معرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط التعبير أو اختزاله إلى صيغة عامة. يمكنك تبسيط التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة إذا كنت تستخدم خصائصها بشكل صحيح. دعونا نتعرف عليهم بسرعة.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية، يجب علينا تحديد نوع اللوغاريتم الذي لدينا: قد يحتوي تعبير المثال على لوغاريتم طبيعي أو عشري.

وفيما يلي أمثلة ln100، ln1026. يتلخص حلهم في حقيقة أنهم بحاجة إلى تحديد القدرة التي سيكون لها الأساس 10 مساويًا لـ 100 و1026 على التوالي. لحل اللوغاريتمات الطبيعية، تحتاج إلى تطبيق الهويات اللوغاريتمية أو خصائصها. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لحل المشاكل اللوغاريتمية بأنواعها المختلفة.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع الأمثلة والحلول

لذلك، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات.

1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام التي يكون فيها من الضروري تحليل قيمة كبيرة للرقم b إلى عوامل أبسط. على سبيل المثال، سجل 2 4 + سجل 2 128 = سجل 2 (4*128) = سجل 2 512. الإجابة هي 9.
2. سجل 4 8 = سجل 2 2 2 3 = 3/2 سجل 2 2 = 1.5 - كما ترون، باستخدام الخاصية الرابعة لقوة اللوغاريتم، تمكنا من حل تعبير يبدو معقدًا وغير قابل للحل. كل ما عليك فعله هو تحليل الأساس ثم إخراج القيم الأسية من علامة اللوغاريتم.

واجبات من امتحان الدولة الموحدة

غالبا ما توجد اللوغاريتمات في امتحانات القبول، وخاصة العديد من المسائل اللوغاريتمية في امتحان الدولة الموحدة (امتحان الدولة لجميع خريجي المدارس). عادةً ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أسهل جزء اختبار من الامتحان)، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر تعقيدًا وحجمًا). يتطلب الامتحان معرفة دقيقة وكاملة بموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

يتم أخذ الأمثلة والحلول للمشاكل من الإصدارات الرسمية لامتحان الدولة الموحدة. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام.

بالنظر إلى السجل 2 (2x-1) = 4. الحل:
دعونا نعيد كتابة التعبير، ونبسطه قليلًا log 2 (2x-1) = 2 2، ومن خلال تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1 = 2 4، وبالتالي 2x = 17؛ س = 8.5.

• من الأفضل اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس الأساس حتى لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
• تتم الإشارة إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها إيجابية، لذلك، عندما يتم إخراج أس التعبير الموجود تحت علامة اللوغاريتم وقاعدته كمضاعف، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.