أولاً ، دعنا نتذكر ما هو تنسيق المحور, إسقاط نقطة على محورو إحداثيات نقطة على المحور.

تنسيق المحورهو خط مستقيم يعطي اتجاه. يمكنك اعتباره متجهًا بمعامل كبير بشكل لا نهائي.

تنسيق المحوريُشار إليها بأي حرف: X ، Y ، Z ، s ، t ... عادةً ، يتم تحديد نقطة (بشكل تعسفي) على المحور ، والتي تسمى الأصل ، وكقاعدة عامة ، يُشار إليها بالحرف O. يتم قياس النقاط التي تهمنا من هذه النقطة.

إسقاط نقطة على محور- هذه هي قاعدة العمود المتعامد المسقط من هذه النقطة إلى المحور المعطى (الشكل 8). أي أن إسقاط نقطة على المحور هو نقطة.

إحداثيات النقطة لكل محورهو رقم ، قيمته المطلقة تساوي طول مقطع المحور (في المقياس المحدد) المحاط بين بداية المحور وإسقاط النقطة على هذا المحور. يتم أخذ هذا الرقم بعلامة زائد إذا كان إسقاط النقطة يقع في اتجاه المحور من بدايته وبعلامة ناقص إذا كان في الاتجاه المعاكس.

الإسقاط القياسي لمتجه على محور- هذه رقم، القيمة المطلقة لها تساوي طول مقطع المحور (في المقياس المحدد) المحاط بين إسقاطات نقطة البداية ونقطة نهاية المتجه. الأهمية! عادة بدلا من التعبير الإسقاط القياسي لمتجه على محوريقولون فقط - إسقاط متجه على محوروهي الكلمة العدديةخفضت. إسقاط متجهيُشار إليه بنفس الحرف مثل المتجه المسقط (في الكتابة العادية غير الغامقة) ، مع حرف منخفض (عادةً) لاسم المحور الذي يُسقط عليه هذا المتجه. على سبيل المثال ، إذا تم إسقاط متجه على المحور x أ،ثم يُشار إلى إسقاطه بالحرف x. عند إسقاط نفس المتجه على محور آخر ، على سبيل المثال ، المحور Y ، سيتم الإشارة إلى إسقاطه على أنه y (الشكل 9).

لكي يحسب إسقاط متجه على المحور(على سبيل المثال ، المحور X) من الضروري طرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية ، أي

و x \ u003d x k - x n.

يجب أن نتذكر: الإسقاط القياسي لمتجه على محور (أو ، ببساطة ، إسقاط متجه على محور) هو رقم (وليس متجه)!علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون الإسقاط موجبًا إذا كانت قيمة x k أكبر من قيمة x n ، وسالبة إذا كانت قيمة x k أقل من قيمة x n وتساوي صفرًا إذا كانت x k تساوي x n (الشكل 10).

يمكن أيضًا إيجاد إسقاط المتجه على المحور من خلال معرفة معامل المتجه والزاوية التي يصنعها مع هذا المحور.

يوضح الشكل 11 أن أ س = أ كوس α

أي أن إسقاط المتجه على المحور يساوي حاصل ضرب مقياس المتجه وجيب الزاوية بين اتجاه المحور واتجاه المتجه. إذا كانت الزاوية حادة ، فإن Cos α> 0 و a x> 0 ، وإذا كانت منفرجة ، فإن جيب تمام الزاوية المنفرجة يكون سالبًا ، وسيكون إسقاط المتجه على المحور سالبًا أيضًا.

تعتبر الزوايا التي يتم عدها من المحور عكس اتجاه عقارب الساعة موجبة ، وفي الاتجاه - سلبية. ومع ذلك ، نظرًا لأن جيب التمام هو دالة زوجية ، أي Cos α = Cos (- α) ، فعند حساب الإسقاطات ، يمكن حساب الزوايا في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة.

عند حل المشكلات ، غالبًا ما يتم استخدام الخصائص التالية للتوقعات: if

أ = ب + ج +…+ د، ثم أ س = ب س + ج س + ... + د س (بالمثل للمحاور الأخرى) ،

أ= م ب، ثم x = mb x (بالمثل بالنسبة للمحاور الأخرى).

الصيغة a x = a Cos α ستكون غالباًيجتمع عند حل المشاكل ، لذلك يجب أن يكون معروفا. تحتاج إلى معرفة قاعدة تحديد الإسقاط عن ظهر قلب!

يتذكر!

للعثور على إسقاط المتجه على محور ، يجب ضرب وحدة هذا المتجه بجيب تمام الزاوية بين اتجاه المحور واتجاه المتجه.

مرة أخرى - بسرعة!

المفاهيم الأساسية للجبر المتجه

الكميات العددية والمتجهة

من مقرر الفيزياء الابتدائية ، من المعروف أن بعض الكميات الفيزيائية ، مثل درجة الحرارة ، والحجم ، وكتلة الجسم ، والكثافة ، وما إلى ذلك ، يتم تحديدها فقط من خلال قيمة عددية. تسمى هذه الكميات عددي ، أو عددي.

لتحديد بعض الكميات الأخرى ، مثل القوة والسرعة والتسارع وما شابه ، بالإضافة إلى القيم العددية ، من الضروري أيضًا تحديد اتجاهها في الفضاء. الكميات التي ، بالإضافة إلى الحجم المطلق ، تتميز أيضًا بالاتجاه تسمى المتجه.

تعريفالمتجه هو مقطع موجه ، يتم تحديده بنقطتين: النقطة الأولى تحدد بداية المتجه ، والثانية - نهايتها. لذلك ، يقولون أيضًا أن المتجه هو زوج مرتب من النقاط.

في الشكل ، يُصوَّر المتجه على أنه جزء من خط مستقيم ، حيث يشير السهم إلى الاتجاه من بداية المتجه إلى نهايته. على سبيل المثال ، التين. 2.1.

إذا كانت بداية المتجه تتزامن مع النقطة ، وتنتهي بنقطة ، ثم يتم الإشارة إلى المتجه
. بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما يتم الإشارة إلى المتجهات بحرف صغير مع سهم فوقه. . في الكتب ، يتم حذف السهم أحيانًا ، ثم يتم استخدام الكتابة بالخط العريض للإشارة إلى المتجه.

النواقل ناقل فارغالتي لها نفس البداية والنهاية. يشار إليه أو ببساطة .

المسافة بين بداية ونهاية المتجه تسمى لها الطول أو الوحدة. يُشار إلى معامل المتجه بواسطة شريطين عموديين على اليسار:
أو بدون سهام
أو .

يتم استدعاء المتجهات الموازية لخط واحد علاقة خطية متداخلة.

يتم استدعاء المتجهات الموجودة في نفس المستوى أو الموازية لنفس المستوى متحد المستوى.

يعتبر المتجه الصفري خطيًا متواصلًا مع أي متجه. طوله 0.

تعريفمتجهان
و
تسمى متساوية (الشكل 2.2) إذا كانت:
1)علاقة خطية متداخلة؛ 2) إخراج مشترك 3) متساوية في الطول.

إنه مكتوب على هذا النحو:
(2.1)

من تعريف مساواة المتجهات ، يترتب على ذلك أنه مع النقل الموازي للمتجه ، يتم الحصول على متجه يساوي المتجه الأولي ، وبالتالي يمكن وضع بداية المتجه في أي نقطة في الفضاء. تسمى هذه النواقل (في الميكانيكا النظرية والهندسة) ، والتي يمكن وضع بدايتها في أي نقطة في الفضاء ، مجانا. وهذه المتجهات هي التي سننظر فيها.

تعريف نظام فيكتور
يسمى يعتمد خطيًا إذا كان هناك مثل هذه الثوابت
، من بينها واحد على الأقل بخلاف الصفر ، والذي ينطبق على المساواة.

تعريفثلاثة نواقل عشوائية غير متحد المستوى ، مأخوذة في تسلسل معين ، تسمى أساسًا في الفضاء.

تعريف اذا كان
- الأساس والمتجه ، ثم الأرقام
تسمى إحداثيات المتجه على هذا الأساس.

سنكتب إحداثيات المتجه بين قوسين معقوفين بعد تعيين المتجه. علي سبيل المثال،
يعني أن المتجه في بعض الأسس المختارة له تحلل:
.

من خصائص ضرب المتجه بعدد وإضافة المتجهات ، يتبع التأكيد فيما يتعلق بالإجراءات الخطية على المتجهات المعطاة بواسطة الإحداثيات.

من أجل العثور على إحداثيات المتجه ، إذا كانت إحداثيات بدايته ونهايته معروفة ، فمن الضروري طرح إحداثيات البداية من الإحداثي المقابل لنهايته.

العمليات الخطية على النواقل

العمليات الخطية على المتجهات هي عمليات جمع (طرح) المتجهات وضرب المتجه برقم. دعونا نفكر فيها.

تعريف المنتج المتجه لكل رقم
يسمى متجه يتزامن في الاتجاه مع المتجه ، لو
، الذي له الاتجاه المعاكس ، إذا
نفي. طول هذا المتجه يساوي حاصل ضرب طول المتجه لكل رقم modulo
.

ص مثال . بناء ناقلات
، لو
و
(الشكل 2.3).

عندما يضرب المتجه برقم ، يتم ضرب إحداثياته ​​بهذا الرقم..

في الواقع ، إذا ، إذن

المنتج المتجه على ال
يسمى المتجه
;
- الاتجاه المعاكس .

لاحظ أن المتجه الذي طوله 1 يسمى غير متزوج(أو ortho).

باستخدام عملية ضرب المتجه برقم ، يمكن التعبير عن أي متجه من حيث متجه الوحدة من نفس الاتجاه. في الواقع ، تقسيم المتجه لطولها (أي الضرب على ال ) ، نحصل على متجه وحدة بنفس اتجاه المتجه . سوف نشير إليه
. ومن ثم يتبع ذلك
.

تعريف مجموع متجهين و يسمى المتجه ، والذي يأتي من أصلهم المشترك وهو قطري متوازي أضلاع تكون أضلاعه متجهات و (الشكل 2.4).

.

من خلال تعريف نواقل متساوية
لهذا
-حكم المثلث. يمكن تمديد قاعدة المثلث إلى أي عدد من المتجهات وبالتالي الحصول على قاعدة المضلع:
هو المتجه الذي يربط بداية المتجه الأول بنهاية آخر ناقل (الشكل 2.5).

لذلك ، من أجل بناء متجه المجموع ، من الضروري إرفاق بداية الثاني بنهاية المتجه الأول ، بنهاية الثاني لإرفاق بداية المتجه الثالث ، وهكذا. ثم سيكون متجه المجموع هو المتجه الذي يربط بداية أول المتجهات بنهاية الأخير.

عند إضافة المتجهات ، تتم أيضًا إضافة الإحداثيات المقابلة لها

في الواقع ، إذا كان و
,

إذا كانت النواقل
و ليست متحد المستوى ، فإن مجموعها قطري
خط متوازي مبني على هذه المتجهات (الشكل 2.6)

,

أين

ملكيات:

- التبادلية.

- الترابطية

- التوزيع بالنسبة للضرب بعدد

.

هؤلاء. يمكن تحويل المجموع المتجه وفقًا لنفس القواعد مثل القواعد الجبرية.

تعريفالفرق بين متجهين و يسمى هذا المتجه ، والتي عند إضافتها إلى المتجه يعطي متجه . هؤلاء.
لو
. هندسيا يمثل القطر الثاني من متوازي الأضلاع المبني على المتجهات و ببداية مشتركة وموجهة من نهاية المتجه إلى نهاية المتجه (الشكل 2.7).

إسقاط متجه على محور. خصائص الإسقاط

تذكر مفهوم خط الأعداد. المحور العددي هو خط مستقيم حيث:

الاتجاه (→) ؛

نقطة مرجعية (النقطة O) ؛

قطعة ، والتي تؤخذ كوحدة قياس.

يجب ألا يكون هناك ناقل
والمحور . من النقاط و دعنا نسقط الخطوط العمودية على المحور . دعنا نحصل على النقاط و - إسقاطات النقطة و (الشكل 2.8 أ).

تعريف إسقاط متجه
لكل محور يسمى طول المقطع
هذا المحور الذي يقع بين قواعد إسقاطات بداية ونهاية المتجه
لكل محور . يؤخذ بعلامة زائد إذا كان اتجاه المقطع
يتزامن مع اتجاه محور الإسقاط ، ومع علامة الطرح إذا كانت هذه الاتجاهات معاكسة. تعيين:
.

ا تعريف الزاوية بين المتجه
والمحور تسمى الزاوية ، حيث من الضروري قلب المحور بأقصر طريقة بحيث يتزامن مع اتجاه المتجه
.

لنجد
:

يوضح الشكل 2.8 أ:
.

على التين. 2.8 ب): .

يساوي إسقاط المتجه على المحور حاصل ضرب طول هذا المتجه وجيب تمام الزاوية بين المتجه ومحور الإسقاط:
.

خصائص الإسقاط:

اذا كان
، ثم نواقل تسمى متعامد

مثال . يتم إعطاء النواقل
,
.ثم

.

مثال. إذا كانت بداية المتجه
هو في هذه النقطة
، وتنتهي عند نقطة
، ثم المتجه
إحداثيات:

ا تعريف الزاوية بين متجهين و تسمى أصغر زاوية
(الشكل 2.13) بين هذه النواقل ، واختزالها إلى بداية مشتركة .

الزاوية بين النواقل و مكتوبًا بشكل رمزي مثل هذا: .

ويترتب على تعريف الزاوية بين النواقل يمكن أن تختلف في الداخل
.

اذا كان
، ثم نواقل تسمى متعامد.

.

تعريف.جيب تمام زوايا المتجه مع محاور الإحداثيات يسمى اتجاه جيب التمام للمتجه. إذا كان المتجه
تشكل زوايا بمحاور الإحداثيات

.

مقدمة ………………………………………………………………………………………… 3

1. قيمة المتجه والعددي ………………………………………………… .4

2. تعريف الإسقاط والمحور والإحداثيات .................. ... 5

3. إسقاط متجه على المحور ………………………………………………… ... 6

4. الصيغة الأساسية لجبر المتجهات …………………………… .. 8.

5. حساب وحدة المتجه من إسقاطاتها ………………… ... 9

الخلاصة …………………………………………………………………………… ... 11

الأدب ……………………………………………………………………… ... 12

مقدمة:

ترتبط الفيزياء ارتباطًا وثيقًا بالرياضيات. تعطي الرياضيات الفيزياء الوسائل والتقنيات للتعبير العام والدقيق للعلاقة بين الكميات الفيزيائية التي تم اكتشافها نتيجة للتجربة أو البحث النظري ، فبعد كل شيء ، فإن الطريقة الرئيسية للبحث في الفيزياء هي الطريقة التجريبية. هذا يعني أن العالم يكشف عن الحسابات بمساعدة القياسات. يدل على العلاقة بين الكميات الفيزيائية المختلفة. ثم يتم ترجمة كل شيء إلى لغة الرياضيات. يتم تشكيل نموذج رياضي. الفيزياء علم يدرس أبسط القوانين وأكثرها عمومية في نفس الوقت. تتمثل مهمة الفيزياء في إنشاء مثل هذه الصورة للعالم المادي في أذهاننا والتي تعكس بالكامل خصائصه وتوفر مثل هذه العلاقات بين عناصر النموذج الموجودة بين العناصر.

لذلك ، تخلق الفيزياء نموذجًا للعالم من حولنا وتدرس خصائصه. لكن أي نموذج محدود. عند إنشاء نماذج لظاهرة معينة ، لا تؤخذ في الاعتبار سوى الخصائص والوصلات الضرورية لمجموعة معينة من الظواهر. هذا هو فن العالم - من كل الأصناف لاختيار الشيء الرئيسي.

النماذج الفيزيائية رياضية ، لكن الرياضيات ليست أساسها. يتم توضيح العلاقات الكمية بين الكميات المادية نتيجة للقياسات والملاحظات والدراسات التجريبية ويتم التعبير عنها فقط بلغة الرياضيات. ومع ذلك ، لا توجد لغة أخرى لبناء النظريات الفيزيائية.

1. قيمة المتجه والسلسلة.

في الفيزياء والرياضيات ، المتجه هو كمية تتميز بقيمتها العددية واتجاهها. في الفيزياء ، هناك العديد من الكميات المهمة التي هي نواقل ، مثل القوة والموضع والسرعة والتسارع وعزم الدوران والزخم والمجالات الكهربائية والمغناطيسية. يمكن مقارنتها بكميات أخرى ، مثل الكتلة والحجم والضغط ودرجة الحرارة والكثافة ، والتي يمكن وصفها برقم عادي ، وتسمى " العددية ".

وهي مكتوبة إما بأحرف ذات خط عادي أو بأرقام (a ، b ، t ، G ، 5 ، -7 ....). يمكن أن تكون المقاييس موجبة أو سلبية. في نفس الوقت ، قد يكون لبعض كائنات الدراسة مثل هذه الخصائص ، ل وصف كاملالتي تبين أن معرفة المقياس العددي فقط غير كافية ، فمن الضروري أيضًا وصف هذه الخصائص من خلال اتجاه في الفضاء. تتميز هذه الخصائص بكميات متجهة (نواقل). يتم الإشارة إلى المتجهات ، على عكس الحجميات ، بأحرف غامقة: a ، b ، g ، F ، C ....
في كثير من الأحيان ، يتم الإشارة إلى المتجه بحرف عادي (غير غامق) ، ولكن مع وجود سهم فوقه:

بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما يتم الإشارة إلى المتجه بزوج من الأحرف (عادةً بأحرف كبيرة) ، حيث يشير الحرف الأول إلى بداية المتجه ، ويشير الحرف الثاني إلى نهايته.

يتم الإشارة إلى وحدة المتجه ، أي طول مقطع الخط المستقيم الموجه ، بنفس الأحرف مثل المتجه نفسه ، ولكن في الكتابة المعتادة (غير الغامقة) وبدون سهم فوقها ، أو تمامًا مثل متجه (أي بخط عريض أو عادي ، ولكن مع سهم) ، ولكن بعد ذلك يتم وضع علامة المتجه في شرطات عمودية.
المتجه هو كائن معقد يتميز بكل من الحجم والاتجاه في نفس الوقت.

لا توجد نواقل إيجابية وسلبية. لكن المتجهات يمكن أن تكون متساوية مع بعضها البعض. يحدث هذا ، على سبيل المثال ، عندما يكون لكل من a و b نفس الوحدات ويتم توجيههما في نفس الاتجاه. في هذه الحالة ، السجل أ= ب. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أيضًا أن رمز المتجه يمكن أن يسبقه علامة ناقص ، على سبيل المثال ، -c ، ومع ذلك ، تشير هذه العلامة بشكل رمزي إلى أن المتجه -c له نفس المعامل مثل المتجه c ، ولكنه موجه في الاتجاه المعاكس.

المتجه -c يسمى عكس (أو معكوس) المتجه c.
ومع ذلك ، في الفيزياء ، يتم ملء كل متجه بمحتوى محدد ، وعند مقارنة ناقلات من نفس النوع (على سبيل المثال ، القوى) ، يمكن أن تكون نقاط تطبيقها أيضًا ذات أهمية كبيرة.

2. تحديد الإسقاط ومحور وتنسيق النقطة.

محورهو خط مستقيم يعطي اتجاه.
يشار إلى المحور بأي حرف: X ، Y ، Z ، s ، t ... عادة ، يتم اختيار نقطة (بشكل تعسفي) على المحور ، والتي تسمى الأصل ، وكقاعدة عامة ، يشار إليها بالحرف O يتم قياس المسافات إلى النقاط الأخرى التي تهمنا من هذه النقطة.

إسقاط نقطةعلى المحور يسمى قاعدة عمودي انخفض من هذه النقطة إلى المحور المحدد. أي أن إسقاط نقطة على المحور هو نقطة.

تنسيق النقطةعلى محور معين يسمى رقم قيمته المطلقة تساوي طول مقطع المحور (في المقياس المحدد) المحاط بين بداية المحور وإسقاط النقطة على هذا المحور. يتم أخذ هذا الرقم بعلامة زائد إذا كان إسقاط النقطة يقع في اتجاه المحور من بدايته وبعلامة ناقص إذا كان في الاتجاه المعاكس.

3-إسقاط متجه على محور.

إن إسقاط المتجه على المحور هو متجه يتم الحصول عليه بضرب الإسقاط القياسي لمتجه على هذا المحور ومتجه الوحدة لهذا المحور. على سبيل المثال ، إذا كان x هو الإسقاط القياسي للمتجه a على المحور X ، فإن a x i هو الإسقاط المتجه على هذا المحور.

دعنا نشير إلى إسقاط المتجه بنفس طريقة المتجه نفسه ، ولكن مع فهرس المحور الذي يُسقط عليه المتجه. لذلك ، يُشار إلى الإسقاط المتجه للمتجه a على المحور X بحرف x (حرف غامق يشير إلى المتجه والرقم السفلي لاسم المحور) أو

(حرف غير غامق يشير إلى متجه ، ولكن مع وجود سهم في الأعلى (!) ورمز منخفض لاسم المحور).

الإسقاط العدديالمتجه لكل محور يسمى رقم، القيمة المطلقة لها تساوي طول مقطع المحور (في المقياس المحدد) المحاط بين إسقاطات نقطة البداية ونقطة نهاية المتجه. عادة بدلا من التعبير الإسقاط القياسيقل ببساطة - تنبؤ. يُشار إلى الإسقاط بنفس الحرف مثل المتجه المسقط (في الكتابة العادية غير الغامقة) ، مع حرف منخفض (عادةً) لاسم المحور الذي يُسقط عليه هذا المتجه. على سبيل المثال ، إذا تم إسقاط متجه على المحور x أ،ثم يُشار إلى إسقاطه بالحرف x. عند إسقاط نفس المتجه على محور آخر ، إذا كان المحور Y ، فسيتم الإشارة إلى إسقاطه على أنه y.

لحساب الإسقاط المتجهعلى محور (على سبيل المثال ، المحور X) ، من الضروري طرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية ، أي

و x \ u003d x k - x n.

إسقاط المتجه على المحور هو رقم.علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون الإسقاط موجبًا إذا كانت قيمة x k أكبر من قيمة x n ،

سالب إذا كانت قيمة x k أقل من قيمة x n

ويساوي صفرًا إذا كانت x k تساوي x n.

يمكن أيضًا إيجاد إسقاط المتجه على المحور من خلال معرفة معامل المتجه والزاوية التي يصنعها مع هذا المحور.

يمكن أن نرى من الشكل أن أ س = أ كوس α

أي أن إسقاط المتجه على المحور يساوي حاصل ضرب مقياس المتجه وجيب الزاوية بين اتجاه المحور و اتجاه متجه. إذا كانت الزاوية حادة ، إذن
Cos α> 0 و a x> 0 ، وإذا كان منفرجًا ، فسيكون جيب تمام الزاوية المنفرجة سالبًا ، وسيكون إسقاط المتجه على المحور سالبًا أيضًا.

تعتبر الزوايا التي يتم عدها من المحور عكس اتجاه عقارب الساعة موجبة ، وفي الاتجاه - سلبية. ومع ذلك ، نظرًا لأن جيب التمام هو دالة زوجية ، أي Cos α = Cos (- α) ، عند حساب الإسقاطات ، يمكن حساب الزوايا في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة.

للعثور على إسقاط المتجه على محور ، يجب ضرب وحدة هذا المتجه بجيب تمام الزاوية بين اتجاه المحور واتجاه المتجه.

4. الصيغة الأساسية للجبر المتجه.

نقوم بإسقاط متجه أ على المحورين X و Y لنظام إحداثيات مستطيل. ابحث عن إسقاطات المتجه للمتجه أ على هذه المحاور:

و x = a x i و y = a y j.

ولكن وفقًا لقاعدة إضافة المتجه

أ \ u003d أ س + أ ص.

أ = أ س ط + أ ص ي.

وهكذا ، فقد عبرنا عن متجه من حيث إسقاطاته وأنواع نظام الإحداثيات المستطيل (أو من حيث إسقاطاته المتجهية).

تسمى إسقاطات المتجه a x و a y مكونات أو مكونات المتجه a. تسمى العملية التي أجريناها تحلل المتجه على طول محاور نظام إحداثيات مستطيل.

إذا تم إعطاء المتجه في الفضاء ، إذن

أ = أ س ط + أ ص ي + أ ع ض ك.

هذه الصيغة تسمى الصيغة الأساسية للجبر المتجه. بالطبع ، يمكن أيضًا كتابتها على هذا النحو.

أ. إسقاط النقطة A على المحور PQ (الشكل 4) هو القاعدة a للخط العمودي المنحدر من نقطة معينة إلى محور معين. يُطلق على المحور الذي نقوم بالإسقاط عليه اسم محور الإسقاط.

ب. دع محورين ومتجه A B ، كما هو موضح في الشكل. 5.

المتجه الذي بدايته هو إسقاط البداية والنهاية - إسقاط نهاية هذا المتجه ، يسمى إسقاط المتجه A B على محور PQ ، وهو مكتوب على هذا النحو ؛

في بعض الأحيان ، لا يتم كتابة مؤشر PQ في الجزء السفلي ، ويتم ذلك في الحالات التي لا يوجد فيها ، باستثناء PQ ، أي محور آخر يمكن الإسقاط عليه.

مع. النظرية الأولى: ترتبط قيم المتجهات الموجودة على نفس المحور بقيم إسقاطاتها على أي محور.

دعونا نعطي المحاور والمتجهات الموضحة في الشكل 6. من تشابه المثلثات ، يمكن ملاحظة أن أطوال المتجهات مرتبطة بأطوال إسقاطاتها ، أي

نظرًا لأن المتجهات في الرسم موجهة في اتجاهات مختلفة ، فإن مقاديرها لها قيم مختلفة ،

من الواضح أن قيم الإسقاط لها أيضًا علامة مختلفة:

استبدال (2) في (3) في (1) نحصل عليها

نقلب الإشارات نحصل عليها

إذا تم توجيه النواقل بالتساوي ، فسيكون هناك اتجاه واحد وتوقعاتها ؛ لن تكون هناك علامات ناقص في الصيغتين (2) و (3). استبدال (2) و (3) بالمساواة (1) ، نحصل على المساواة على الفور (4). وهكذا ، تم إثبات النظرية لجميع الحالات.

د. النظرية الثانية. تساوي قيمة إسقاط المتجه على أي محور قيمة المتجه مضروبة في جيب تمام الزاوية بين محور الإسقاطات ومحور المتجه. دع المتجه يُعطى للمحور كما هو موضح في الشكل . 7. لنقم ببناء متجه موجه بالتساوي مع محوره ومؤجل ، على سبيل المثال ، من نقطة تقاطع المحاور. دع طوله يساوي واحد. ثم قيمتها

في الفيزياء للصف التاسع (آي كي كيكوين ، إيه كيه كيكوين ، 1999) ،
مهمة №5
إلى الفصل " الفصل 1. معلومات عامة عن الحركة».

1. ما يسمى إسقاط المتجه على محور الإحداثيات؟

1. إسقاط المتجه a on تنسيق المحورقم باستدعاء طول المقطع بين إسقاطات بداية ونهاية المتجه a (الخطوط العمودية المنخفضة من هذه النقاط على المحور) على محور الإحداثيات هذا.

2. كيف يرتبط متجه الإزاحة للجسم بإحداثياته؟

2. إسقاطات متجه الإزاحة s على محاور الإحداثيات تساوي التغيير في الإحداثيات المقابلة للجسم.

3. إذا زاد إحداثي نقطة ما بمرور الوقت ، فما علامة إسقاط متجه الإزاحة على محور الإحداثيات؟ ماذا لو انخفض؟

3. إذا زاد تنسيق نقطة بمرور الوقت ، فسيكون إسقاط متجه الإزاحة على محور الإحداثيات موجبًا ، لأن في هذه الحالة ، سننتقل من إسقاط البداية إلى إسقاط نهاية المتجه في اتجاه المحور نفسه.

إذا انخفض تنسيق النقطة بمرور الوقت ، فسيكون إسقاط متجه الإزاحة على محور الإحداثيات سالبًا ، لأن في هذه الحالة ، سننتقل من إسقاط البداية إلى إسقاط نهاية المتجه مقابل محور التوجيه نفسه.

4. إذا كان متجه الإزاحة موازيًا للمحور X ، فما هي وحدة إسقاط المتجه على هذا المحور؟ ماذا عن وحدة الإسقاط لنفس المتجه على المحور ص؟

4. إذا كان متجه الإزاحة موازيًا للمحور X ، فإن وحدة الإسقاط المتجه على هذا المحور تساوي وحدة المتجه نفسه ، ويكون إسقاطها على المحور Y هو صفر.

5. حدد علامات الإسقاطات على المحور X لمتجهات الإزاحة الموضحة في الشكل 22. كيف تتغير إحداثيات الجسم أثناء عمليات النزوح هذه؟

5. في جميع الحالات التالية ، لا يتغير الإحداثي Y للجسم ، وسيتغير الإحداثي X للجسم على النحو التالي:

أ) ق 1 ؛

يكون إسقاط المتجه s 1 على المحور X سالبًا ويساوي طول المتجه s 1. مع هذا الإزاحة ، سينخفض ​​إحداثي X للجسم بطول المتجه s 1.

ب) ق 2 ؛

إسقاط المتجه s 2 على المحور X موجب ومتساو في القيمة المطلقة لطول المتجه s 1. مع هذا الإزاحة ، سيزداد إحداثي X للجسم بطول المتجه s 2.

ج) ق 3 ؛

إسقاط المتجه s 3 على المحور X سلبي ويساوي في القيمة المطلقة طول المتجه s 3. مع هذا الإزاحة ، سينخفض ​​إحداثي X للجسم بطول المتجه s 3.

د) ق 4 ؛

إسقاط المتجه s 4 على المحور X موجب ويساوي في القيمة المطلقة طول المتجه s 4. مع هذا الإزاحة ، سيزداد إحداثي X للجسم بطول المتجه s 4.

هـ) 5 ؛

إسقاط المتجه s 5 على المحور X سلبي ويساوي في القيمة المطلقة طول المتجه s 5. مع هذا الإزاحة ، سينخفض ​​إحداثي X للجسم بطول المتجه s 5.

6. إذا كانت المسافة المقطوعة كبيرة ، فهل يمكن أن يكون معامل الإزاحة صغيرًا؟

6. ربما. هذا يرجع إلى حقيقة أن الإزاحة (ناقل الإزاحة) هي كمية متجهة ، أي عبارة عن مقطع خط مستقيم موجه يربط الموضع الأولي للجسم بمواقعه اللاحقة. ويمكن أن يكون الموضع النهائي للجسم (بغض النظر عن المسافة المقطوعة) قريبًا بشكل تعسفي من الموضع الأولي للجسم. إذا تطابق الموضعان النهائي والمبدئي للجسم ، فإن مقياس الإزاحة سيساوي صفرًا.

7. لماذا يعتبر متجه إزاحة الجسم أكثر أهمية في الميكانيكا من المسار الذي سلكه؟

7. المهمة الرئيسية للميكانيكا هي تحديد موضع الجسم في أي وقت. بمعرفة متجه إزاحة الجسم ، يمكننا تحديد إحداثيات الجسم ، أي موقع الجسم في أي وقت ، ومعرفة المسافة المقطوعة فقط ، لا يمكننا تحديد إحداثيات الجسم ، لأن ليس لدينا معلومات حول اتجاه الحركة ، ولكن يمكننا فقط الحكم على طول المسار الذي تم قطعه في وقت معين.