السطوح الجبرية من الدرجة الأولى. الأسطح الأساسية للفضاء وبنائها §2. أسطح أسطوانية ذات مولدات موازية لأحد محاور الإحداثيات

1.7.1. طائرة.

فكر على أساس ديكارتي في مستوى تعسفي P ومتجه عادي (عمودي) عليه `n (A، B، C). دعونا نأخذ نقطة ثابتة عشوائية M0(x0, y0, z0) ونقطة حالية M(x, y, z) في هذا المستوى.

من الواضح أن ?`n = 0 (1.53)

(انظر (1.20) لـ j = p /2). هذه هي معادلة المستوى في الشكل المتجه. وبالانتقال إلى الإحداثيات، نحصل على المعادلة العامة للمستوى

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Аh + Ву + Сz + D = 0 (1.54).

(د = –Аkh0– Ву0 – Сz0; А2 + B2 + С2 ?0).

يمكن إثبات أنه في الإحداثيات الديكارتية، يتم تحديد كل مستوى بمعادلة من الدرجة الأولى، وعلى العكس من ذلك، تحدد كل معادلة من الدرجة الأولى مستوى (أي أن المستوى هو سطح من الدرجة الأولى وسطح من الدرجة الأولى) الترتيب الأول هو الطائرة).

لنتأمل بعض الحالات الخاصة لموقع المستوى المحدد بالمعادلة العامة:

أ = 0 – بالتوازي مع محور الثور؛ ب = 0 – بالتوازي مع محور أوي؛ C = 0 – بالتوازي مع محور أوز. (تسمى هذه المستويات المتعامدة مع إحدى المستويات الإحداثية بالطائرات الإسقاطية)؛ D = 0 – يمر عبر نقطة الأصل؛ A = B = 0 – عمودي على محور Oz (موازي لمستوى xOy)؛ A = B = D = 0 – يتزامن مع مستوى xOy (z = 0). يتم تحليل جميع الحالات الأخرى بالمثل.

إذا د؟ 0، ثم بقسمة طرفي (1.54) على -D، يمكننا تحويل معادلة المستوى إلى الصورة: (1.55)،

أ = – د /أ، ب = –د/ ب، ج = –د /ج. العلاقة (1.55) تسمى معادلة المستوى بالقطاعات؛ أ، ب، ج – الإحداثي الإحداثي، الإحداثي وتطبيق نقاط تقاطع المستوى مع محاور الثور، أوي، أوز، و |أ|، |ب|، |ج| - أطوال المقاطع المقطوعة بالمستوى على المحاور المقابلة من أصل الإحداثيات.

ضرب كلا الجانبين (1.54) بعامل التطبيع (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

حيث cosa = Am، cosb = Bm، cosg = Cm هي جيب التمام الاتجاهي للمستوى الطبيعي، p هي المسافة إلى المستوى من الأصل.

دعونا ننظر في العلاقات الأساسية المستخدمة في الحسابات. الزاوية بين الطائرات A1x + B1y + C1z + D1 = 0 و A2x + B2y + C2z + D2 = 0 يمكن تعريفها بسهولة على أنها الزاوية بين المستويات الطبيعية لهذه المستويات `n1 (A1، B1، C1) و

`n2 (A2، B2، C2): (1.57)

ومن (1.57) يسهل الحصول على شرط التعامد

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1.58)

والتوازي (1.59) الطائرات وقواعدها.

المسافة من نقطة عشوائية M0(x0, y0, z0) إلى المستوى (1.54)

يتم تحديده بواسطة التعبير: (1.60)

معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط معينة M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) تتم كتابتها بسهولة أكبر باستخدام شرط المستوى المشترك (1.25) للمتجهات حيث M(x, y, z) – النقطة الحالية للمستوى.

(1.61)

دعونا نقدم معادلة مجموعة من الطائرات (أي.

مجموعات من الطائرات التي تمر عبر خط مستقيم واحد) - إنها ملائمة للاستخدام في عدد من المشكلات.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1.62)

حيث l О R، وبين قوسين توجد معادلات أي طائرتين من الحزمة.

أسئلة التحكم.

1) كيف يمكن التحقق من أن نقطة معينة تقع على السطح المحدد بهذه المعادلة؟

2) ما هي السمة المميزة التي تميز معادلة المستوى في نظام الإحداثيات الديكارتية عن معادلة الأسطح الأخرى؟

3) كيف يقع المستوى بالنسبة لنظام الإحداثيات إذا كانت معادلته لا تحتوي على: أ) مصطلح حر؛ ب) أحد الإحداثيات. ج) إحداثيان. د) أحد الإحداثيات ومصطلح حر؛ د) إحداثيان ومصطلح حر؟

1) بالنظر إلى النقاط M1(0,-1,3) وM2(1,3,5). اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة M1 والعمودي على المتجه اختر الاجابة الصحيحة:

أ) ; ب) .

2) أوجد الزاوية بين الطائرات و . اختر الاجابة الصحيحة:

أ) 135 درجة، ب) 45 درجة

1.7.2. مستقيم. الطائرات التي لا تكون خطوطها الطبيعية على خط مستقيم أو التقاطع، وتعريف الخط المستقيم بشكل لا لبس فيه هو خط تقاطعهما، وهو مكتوب على النحو التالي:

يمكن رسم عدد لا نهائي من المستويات عبر هذا الخط (حزمة المستويات (1.62))، بما في ذلك تلك التي تسقطها على مستويات إحداثية. للحصول على معادلاتها يكفي تحويل (1.63) وحذف مجهول واحد من كل معادلة وتقليلها على سبيل المثال إلى الشكل (1.63`).

دعونا نحدد المهمة - لرسم خط مستقيم عبر النقطة M0(x0,y0,z0) موازيًا للمتجه `S (l, m, n) (يسمى خط التوجيه). دعونا نأخذ نقطة عشوائية M(x,y,z) على الخط المطلوب. المتجهات و يجب أن تكون على خط مستقيم، ومن هنا نحصل على المعادلات القانونية للخط.

(1.64) أو (1.64`)

حيث cosa، cosb، cosg هي جيب تمام الاتجاه للمتجه `S. من (1.64) من السهل الحصول على معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين المعطاتين M1(x1, y1, z1) و M2(x2, y2, z2) (وهو موازي )

أو (1.64``)

(قيم الكسور في (1.64) متساوية لكل نقطة على السطر ويمكن الإشارة إليها بـ t، حيث t R. هذا يسمح لك بإدخال المعادلات البارامترية للخط

تتوافق كل قيمة للمعلمة t مع مجموعة من الإحداثيات x و y و z لنقطة على الخط أو (خلاف ذلك) - قيم المجهولة التي تلبي معادلات الخط).

باستخدام الخصائص المعروفة للمتجهات والعمليات عليها والمعادلات القانونية للخط المستقيم، من السهل الحصول على الصيغ التالية:

الزاوية بين الخطوط المستقيمة: (1.65)

حالة التوازي (1.66).

التعامد l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) خطوط مستقيمة.

الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى (يمكن الحصول عليها بسهولة عن طريق إيجاد الزاوية بين الخط المستقيم والعمودي للمستوى، والتي تضيف ما يصل إلى p/2 المطلوب)

(1.68)

ومن (1.66) نحصل على شرط التوازي Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

والعمودية (1.70) للخط المستقيم والمستوى. يمكن بسهولة الحصول على الشرط الضروري والكافي لوجود خطين في نفس المستوى من شرط المستوى المشترك (1.25).

(1.71)

أسئلة التحكم.

1) ما هي طرق تحديد الخط المستقيم في الفضاء؟

1) اكتب معادلات الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A(4,3,0) ويوازي المتجه اذكر الإجابة الصحيحة:

أ) ; ب) .

2) اكتب معادلات الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(2,-1,3) و B(2,3,3). الإشارة إلى الإجابة الصحيحة.

أ) ; ب) .

3) أوجد نقطة تقاطع الخط مع المستوى : , . اذكر الإجابة الصحيحة:

أ) (6،4،5)؛ ب) (6،-4،5).

1.7.3. أسطح الدرجة الثانية . إذا كانت المعادلة الخطية على أساس ديكارتي ثلاثي الأبعاد تحدد المستوى بشكل فريد، فإن أي معادلة غير خطية تحتوي على x، y، z تصف سطحًا آخر. إذا كانت المعادلة من الشكل

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0، ثم يصف سطحًا من الدرجة الثانية (معادلة عامة لسطح من الدرجة الثانية). من خلال اختيار أو تحويل الإحداثيات الديكارتية، يمكن تبسيط المعادلة قدر الإمكان، مما يؤدي إلى أحد الأشكال التالية التي تصف السطح المقابل.

1. المعادلات الأساسية للأسطوانات من الدرجة الثانية، والتي تكون مولداتها موازية لمحور أوز، ومنحنيات الدرجة الثانية المقابلة الموجودة في مستوى xOy بمثابة أدلة:

(1.72), (1.73)، ص2 = 2 بكسل (1.74)

الأسطوانات الإهليلجية والزائدة والمكافئة على التوالي.

(تذكر أن السطح الأسطواني هو سطح يتم الحصول عليه عن طريق تحريك خط مستقيم، يسمى المولد، موازيًا لنفسه. ويسمى خط تقاطع هذا السطح مع مستوى عمودي على المولد بالدليل - فهو يحدد شكل المولد السطح).

بالقياس، يمكننا كتابة معادلات نفس الأسطح الأسطوانية ذات المولدات الموازية لمحور أوي ومحور الثور. يمكن تعريف الدليل بأنه خط تقاطع سطح الأسطوانة ومستوى الإحداثيات المقابل، أي. نظام المعادلات من النموذج:

2. معادلات مخروط من الدرجة الثانية ذو قمة في الأصل:

(1.75)

(محاور المخروط هي محاور Oz وOy وOx على التوالي)

3. المعادلة القانونية للمجسم الإهليلجي: (1.76)؛

الحالات الخاصة هي الأشكال الناقصية للثورة، على سبيل المثال - السطح الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير القطع الناقص حول محور أوز (في

a > c يتم ضغط الشكل الناقص، باستخدام a x2 + y2+ z2 + = r2 - معادلة كرة نصف قطرها r ومركزها عند نقطة الأصل).

4. المعادلة القانونية للسطح الزائد ذو الورقة الواحدة

(يمكن أن تظهر علامة "-" أمام أي من الحدود الثلاثة على الجانب الأيسر - وهذا يغير فقط موضع السطح في الفضاء). الحالات الخاصة هي أسطح زائدة ذات ورقة واحدة للثورة، على سبيل المثال - السطح الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير القطع الزائد حول محور أوز (المحور الوهمي للقطع الزائد).

5. المعادلة القانونية للسطح الزائد ذو الصفحتين

(يمكن أن تظهر علامة "-" أمام أي من المصطلحات الثلاثة على الجانب الأيسر).

الحالات الخاصة هي قطع زائدة ذات صفحتين، على سبيل المثال، سطح تم الحصول عليه عن طريق تدوير القطع الزائد حول محور أوز (المحور الحقيقي للقطع الزائد).

6. المعادلة القانونية للقطع المكافئ الإهليلجي

(ع >0، ف >0) (1.79)

7. المعادلة القانونية للقطع المكافئ الزائدي

(ع >0، ف >0) (1.80)

(يمكن للمتغير z أن يغير أماكنه مع أي من المتغيرين x وy - سيتغير موضع السطح في الفضاء).

لاحظ أنه يمكن الحصول بسهولة على فكرة عن ميزات (شكل) هذه الأسطح من خلال النظر في أجزاء من هذه الأسطح بمستويات متعامدة مع محاور الإحداثيات.

أسئلة التحكم.

1) ما هي مجموعة النقاط في الفضاء التي تحدد المعادلة؟

2) ما هي المعادلات القانونية لأسطوانات الدرجة الثانية؟ مخروط من الدرجة الثانية؛ بيضاوي؛ سطح زائد ذو ورقة واحدة؛ سطح زائد ذو صفحتين؛ قطع مكافئ بيضاوي الشكل؛ القطع المكافئ القطعي؟

1) أوجد مركز الكرة ونصف قطرها وأشر إلى الإجابة الصحيحة:

أ) ج(1.5;-2.5;2)، ; ب) ج(1.5;2.5;2), ;

2) تحديد نوع السطح المعطاة بالمعادلات: . اذكر الإجابة الصحيحة:

أ) سطح زائد ذو ورقة واحدة؛ قطع مكافئ زائدي؛ قطع مكافئ بيضاوي الشكل؛ مخروط.

ب) سطح زائد ذو ورقتين؛ قطع مكافئ زائدي؛ قطع مكافئ بيضاوي الشكل؛ مخروط.

ويتبين في الفقرات التالية أن الأسطح من الدرجة الأولى هي مستويات ومستويات فقط، ويتم النظر في الأشكال المختلفة لكتابة معادلات المستويات.

198. نظرية 24. في الإحداثيات الديكارتية، يتم تعريف كل مستوى بمعادلة من الدرجة الأولى.

دليل. بافتراض وجود نظام إحداثي ديكارتي مستطيل معين، فإننا نعتبر مستوى اعتباطيًا a ونثبت أن هذا المستوى يتم تحديده بمعادلة من الدرجة الأولى. لنأخذ نقطة ما M على المستوى أ 0 (د: 0؛ ص 0؛ ض0)؛ دعونا، بالإضافة إلى ذلك، نختار أي متجه (لا يساوي الصفر!) عموديًا على المستوى أ. نشير إلى المتجه المحدد بالحرف p، وإسقاطاته على محاور الإحداثيات- الحروف أ، ب، ج.

دع M(x; y; z) تكون نقطة تعسفية. إنه يقع على المستوى إذا وفقط إذا كان المتجه MQM عمودي على المتجه n. بمعنى آخر، النقطة Ж الواقعة على المستوى a تتميز بالشرط:

نحصل على معادلة المستوى a إذا عبرنا عن هذا الشرط بدلالة الإحداثيات x، y،ض. ولهذا الغرض، نكتب إحداثيات المتجهات M 0م و:

M 0M=(x-x 0; y-y 0; z-z0), P=(A; B; C).

وفقا للفقرة 165 علامة التعامد بين متجهين هي المساواة مع صفر لمنتجهما القياسي، أي مجموع المنتجات الزوجية للإحداثيات المقابلة لهذه المتجهات. لذلك م 0M ي_ ع إذا وفقط إذا

أ(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0.(1)

هذه هي المعادلة المطلوبة للمستوى a، حيث أنها محققة بالإحداثيات lz، y،ض النقطة M إذا وفقط إذا كانت M تقع على المستوى a (أي متىي_«).

بفتح الأقواس، نقدم المعادلة(١) كما

الفأس + بواسطة + Cz + (- أ × 0 - بواسطة 0-Cz0) = 0.

الفأس-\-بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0. (2)

نرى أن المستوى a يتحدد بالفعل بمعادلة من الدرجة الأولى. لقد تم إثبات النظرية.

199. كل متجه (غير صفري) متعامد على مستوى معين يسمى متجهًا عموديًا عليه. باستخدام هذا الاسم، يمكننا أن نقول أن المعادلة

أ(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0

هي معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة M 0 (س 0؛ ص 0؛ ض0) ولها ناقل عادي ن- (أ؛ ب؛ مع). معادلة النموذج

الفأس + بو-\- تشيكوسلوفاكيا + د = 0

تسمى المعادلة العامة للطائرة.

200. النظرية 25. في الإحداثيات الديكارتية، تحدد كل معادلة من الدرجة الأولى مستوى.

دليل. بافتراض وجود نظام إحداثي ديكارتي مستطيل، فكر في معادلة عشوائية من الدرجة الأولى

الفأس-\-بواسطة+Cz-\rD = 0. (2)

عندما نقول معادلة "تعسفية" فإننا نعني أن المعاملات A، B، C،د يمكن أن يكون أي أرقام، ولكن، بطبيعة الحال، باستثناء

حالة المساواة المتزامنة مع الصفر لجميع المعاملات الثلاثة A، B، C. يجب أن نثبت أن المعادلة(2) هي معادلة بعض الطائرة.

دع إل جي 0، ص 0، ص 0- بعض الحلول للمعادلة(2), أي ثلاثة أرقام تحقق هذه المعادلة*). استبدال الأرقام في 0، ض0 بدلاً من الإحداثيات الحالية على الجانب الأيسر من المعادلة(2), نحصل على الهوية الحسابية

Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)

اطرح من المعادلة(2) الهوية (3). نحصل على المعادلة

أ(س-س)+ب(ص-يو) + ج(ض-زو) = 0، (1)

وهي، حسب ما سبق، هي معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة M 0 (jc0؛ ص 0؛ ض0) ولها ناقل عادي ن - (أ؛ ب؛ ج). لكن المعادلة(2) يعادل المعادلة(1), منذ المعادلة(1) تم الحصول عليها من المعادلة(2) عن طريق طرح الهوية مصطلحًا تلو الآخر(3)، والمعادلة (2) بدوره يتم الحصول عليها من المعادلة(1) عن طريق إضافة مصطلح على حدة من الهوية(3). وبالتالي المعادلة(2) هي معادلة لنفس المستوى.

لقد أثبتنا أن معادلة اعتباطية من الدرجة الأولى تحدد المستوى؛ وهكذا تم إثبات النظرية.

201. إن الأسطح التي يتم تحديدها بمعادلات من الدرجة الأولى بالإحداثيات الديكارتية تسمى كما نعلم أسطح من الدرجة الأولى، وباستخدام هذا المصطلح يمكننا التعبير عن النتائج المثبتة على النحو التالي:

كل مستوى هو سطح من الدرجة الأولى؛ كل سطح من الدرجة الأولى هو مستوى.

مثال. اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقطةأفي (ل؛ 1؛ 1) عمودي على المتجه i*=( 2; 2; 3}.

الحل حسب الفقرة 199 المعادلة المطلوبة هي

2(*- 1)+2 (ص -1)+3(ص -1)=0,

أو

2x+2y+3g- 7 = 0.

*) المعادلة (2)، كأي معادلة من الدرجة الأولى ذات ثلاثة مجاهيل، لها عدد لا نهائي من الحلول. للعثور على أي منها، تحتاج إلى تعيين قيم عددية لمجهولين اثنين، ثم العثور على المجهول الثالث في المعادلة.

202. وفي ختام هذا القسم نثبت الفرضية التالية: إذا كانت المعادلتان Axx-j- B^y -]- Cxz Dt = 0 و A 2x + B^y -f- C2z -]- £)2 = 0 تحديد المستوى نفسه، فإن معاملاتهما متناسبة.

في الواقع، في هذه الحالة فإن المتجهات nx = (A 1؛ بx\ و ص 2 - (/42؛ ب 2 ; Cr) متعامدان على نفس المستوى، وبالتالي، على خط واحد مع بعضهما البعض. ولكن بعد ذلك، وفقا للفقرة 154 رقم Аъ В 2, С 2 يتناسب مع الأرقام A1g B1gCx؛ بالدلالة على عامل التناسب بواسطة p، لدينا: أ 2-أ 1ts، B2 = Bx\i، C 2 =.Cj\i. دع M 0 (س 0؛ ص 0 ; ^-أي نقطة من الطائرة؛ يجب أن تلبي إحداثياتها كل المعادلات المعطاة، لذلك Axx 0 + فيكسو 0

Cxz0 = 0 وA2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. دعونا نضرب أول هذه المساواة بـ p. ويطرح من الثاني؛ نحن نحصل D2-Djp = 0. لذلك، D%-Dx\i و

ب ^ Cr_ D2

آه ب، Cx-B1 ^

وهكذا ثبت قولنا.

المعادلة من الدرجة الأولى التي تحتوي على ثلاثة مجاهيل لها الصيغة Ax + Ву + Cz + D = 0، ويجب أن يكون أحد المعاملات A وB وC على الأقل مختلفًا عن الصفر. ويحدد في الفضاء في نظام الإحداثيات المستطيل أوكيز سطح جبري من الدرجة الأولى.

إن خصائص السطح الجبري من الدرجة الأولى تشبه في كثير من النواحي خصائص الخط المستقيم على المستوى - صورة هندسية لمعادلة من الدرجة الأولى ذات مجهولين.

نظرية 5.1.أي مستوى في الفضاء هو سطح من الدرجة الأولى وأي سطح من الدرجة الأولى في الفضاء هو مستوى.

◄ بيان النظرية وبرهانها مشابهان للنظرية 4.1. في الواقع، دع المستوى π يتم تعريفه بنقطته M 0 و ناقلات غير صفرية n، وهو عمودي عليه. ثم يتم تقسيم مجموعة جميع النقاط في الفضاء إلى ثلاث مجموعات فرعية. الأول يتكون من نقطتين تنتميان إلى المستوى، والاثنتين الأخريين - من نقطتين تقعان على أحدهما وعلى الجانب الآخر من المستوى. أي من هذه المجموعات تنتمي إلى نقطة عشوائية M من الفضاء تعتمد على العلامة المنتج نقطةنانومتر 0 م . إذا كانت النقطة M تنتمي إلى المستوى (الشكل 5.1، أ)، فإن الزاوية بين المتجهات n وM 0 M مستقيمان، وبالتالي، وفقًا للنظرية 2.7، فإن منتجهما العددي يساوي الصفر:

نانومتر 0 م = 0

إذا كانت النقطة M لا تنتمي إلى المستوى، فإن الزاوية بين المتجهات n وM 0 M تكون حادة أو منفرجة، وبالتالي nM 0 M > 0 أو nM 0 M

دعونا نشير إحداثيات النقاطم 0 , م و المتجه n حتى (x 0 ; y 0 ; z 0) و (x; y; z) و (A; B; C) على التوالي. بما أن M 0 M = (x - x 0 0; y - y 0; z - z 0 )، إذن، كتابة المنتج القياسي من (5.1) في شكل إحداثي (2.14) كمجموع المنتجات الزوجية لنفس إحداثيات المتجهان n و M 0 M نحصل على شرط أن تنتمي النقطة M إلى المستوى قيد النظر في الصورة

أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + ج (ض - ض 0) = 0. (5.2)

فتح القوسين يعطي المعادلة

الفأس + وو + تشيكوسلوفاكيا + د = 0، (5.3)

حيث D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 وواحد على الأقل من المعاملات A أو B أو C يختلف عن الصفر، حيث أن المتجه n = (A; B; C) ليس صفراً. وهذا يعني أن المستوى هو الصورة الهندسية للمعادلة (5.3) أي. سطح جبري من الدرجة الأولى.

بتنفيذ البرهان أعلاه للبيان الأول للنظرية بترتيب عكسي، سنثبت أن الصورة الهندسية للمعادلة Ax + Ву + Cz + D = 0، A 2 + В 2 + C 2 = 0، هي مستوى . لنختار ثلاثة أرقام (x = x 0, y = y 0, z = z 0) تحقق هذه المعادلة. مثل هذه الأرقام موجودة. على سبيل المثال، عندما A ≠ 0 يمكننا أن نضع y 0 = 0، z 0 = 0 ثم x 0 = - D/A. تتوافق الأرقام المحددة مع النقطة M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) التي تنتمي إلى الصورة الهندسية للمعادلة المعطاة. من المساواة Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 يترتب على ذلك D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 . باستبدال هذا التعبير في المعادلة قيد النظر، نحصل على Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0، وهو ما يعادل (5.2). يمكن اعتبار المساواة (5.2). معيار التعامد المتجه n = (A; B; C) وM 0 M، حيث النقطة M لها إحداثيات (x; y; z). ويتحقق هذا المعيار لنقاط المستوى التي تمر بالنقطة M 0 المتعامدة مع المتجه n = (A; B; C)، ولا يستوفي لنقاط أخرى في الفضاء. وهذا يعني أن المعادلة (5.2) هي معادلة المستوى المشار إليه.

تسمى المعادلة Ax + Wu + Cz + D = 0 معادلة المستوى العام. المعاملات A، B، C للمجاهول في هذه المعادلة لها معنى هندسي واضح: المتجه n = (A; B; C) عمودي على المستوى. يسمى ناقلات الطائرة العادية. وهي، مثل المعادلة العامة للمستوى، تتحدد بعامل عددي (غير الصفر).

باستخدام الإحداثيات المعروفة لنقطة تنتمي إلى مستوى معين ومتجه غير صفري عمودي عليه، باستخدام (5.2)، تتم كتابة معادلة المستوى دون أي حسابات.

مثال 5.1.دعونا نوجد المعادلة العامة للمستوى العمودي على ناقل نصف القطرالنقطة A(2; 5; 7) ويمر بالنقطة M 0 (3; - 4; 1).

بما أن المتجه غير الصفري OA = (2; 5; 7) متعامد على المستوى المطلوب، فإن معادلته من النوع (5.2) لها الصيغة 2(x - 3) + 5(y + 4) + 7(z-) 1) = 0. وبفتح القوسين نحصل على المعادلة العامة المطلوبة للمستوى 2x + 5y + 7z + 7 = 0.

§7. الطائرة كسطح من الدرجة الأولى. المعادلة العامة للطائرة. معادلة مستوى يمر عبر نقطة معينة عمودي على متجه معين، دعونا نقدم نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل Oxyz في الفضاء وننظر في معادلة من الدرجة الأولى (أو معادلة خطية) لـ x، y، z: (7.1) Ax  بواسطة  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . نظرية 7.1. يمكن تحديد أي مستوى في نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل بمعادلة بالشكل (7.1). بنفس الطريقة تمامًا كما في حالة وجود خط على المستوى، يكون عكس النظرية 7.1 صحيحًا. نظرية 7.2. أي معادلة على الشكل (7.1) تحدد مستوى في الفضاء. يمكن إجراء إثبات النظريتين 7.1 و7.2 بشكل مشابه لإثبات النظريتين 2.1 و2.2. من النظريتين 7.1 و7.2، يترتب على ذلك أن المستوى هو فقط سطح من الدرجة الأولى. تسمى المعادلة (7.1) بمعادلة المستوى العام. يتم تفسير معاملاتها  A، B، C هندسيًا على أنها إحداثيات المتجه n المتعامد مع المستوى المحدد بواسطة هذه المعادلة. هذا المتجه  n(A, B, C) يسمى المتجه العادي للمستوى المحدد. المعادلة (7.2) A(x - x0) + B(y - y0) + C (z  z0) = 0 لجميع القيم الممكنة للمعاملات A، B، C تحدد جميع المستويات التي تمر عبر النقطة M 0 ( x0، y0، z0). وتسمى معادلة مجموعة من الطائرات. إن اختيار قيم محددة لـ A، B، C في (7.2) يعني اختيار المستوى P من الرابط الذي يمر عبر النقطة M 0 عموديًا على المتجه المحدد n(A، B، C) (الشكل 7.1) ). مثال 7.1. اكتب معادلة المستوى P الذي يمر بالنقطة   A(1, 2, 0) الموازي للمتجهات a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    المتجه الطبيعي n إلى P متعامد مع المتجهات المعطاة a و b (الشكل 7.2)،   لذلك بالنسبة لـ n يمكننا أن نأخذ متجههم n الناتج: A    P i j k    2 1  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j  4 ك . لنعوض بإحداثيات الشكل 7.2. على سبيل المثال، 7.1 P M0  النقطة M 0 والمتجه n في المعادلة (7.2)، نحصل على الشكل. 7.1. إلى معادلة مستوى حزمة المستويات P: 2(x  1)  3(y  2)  4z = 0 أو P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 إذا كان اثنان من المعاملات A، B، C من المعادلة (7.1) تساوي صفراً، وتحدد مستوى موازياً لأحد المستويات الإحداثية. على سبيل المثال، عندما A = B = 0، C  0 – المستوى P1: Cz  D  0 أو P1: z   D / C (الشكل 7.3). وهو موازي لمستوى أوكسي، لأن متجهه الطبيعي  n1(0, 0, C) عمودي على هذا المستوى. بالنسبة لـ A = C = 0، B  0 أو B = C = 0، A  0، المعادلة (7. 1) يحدد المستويين P2: بواسطة  D = 0 وP3: Ax  D  0، بالتوازي مع المستويين الإحداثيين Oxz وOyz، حيث أن   متجهاتهما العادية n2(0, B, 0) وn3(A, 0) ، 0 ) متعامدة معهم (الشكل 7.3). إذا كان واحد فقط من المعاملات A، B، C للمعادلة (7.1) يساوي الصفر، فإنه يحدد مستوى موازيًا لأحد محاور الإحداثيات (أو يحتوي عليه إذا كان D = 0). وبالتالي، فإن المستوى P: Ax + By  D  0 موازي لمحور Oz، z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Fig. 7.4. المستوى P: Ax + B y + D = 0، موازيًا لمحور Oz (الشكل 1). 7.3. تكون المستويات موازية للمستويات الإحداثية ، حيث أن متجهها الطبيعي n(A, B, 0) متعامد مع المحور Oz. لاحظ أنه يمر عبر الخط المستقيم L: Ax + By + D = 0 الواقع في مستوى أوكسي (الشكل 7.4). بالنسبة إلى D = 0، تحدد المعادلة (7.1) المستوى الذي يمر عبر نقطة الأصل. مثال 7.2. ابحث عن قيم المعلمة  التي تحدد المعادلة x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 المستوى P: a) الموازي لواحد من طائرات الإحداثيات. ب) بالتوازي مع أحد محاور الإحداثيات. ج) المرور عبر أصل الإحداثيات. دعونا نكتب هذه المعادلة على الصورة x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) لأي قيمة ، تحدد المعادلة (7.3) مستوى معين، حيث أن معاملات x، y، z في (7.3) لا تختفي في وقت واحد. أ) بالنسبة إلى   0، تحدد المعادلة (7.3) مستوى P موازيًا للمستوى Oxy، P: z  3 / 2، وبالنسبة   2، تحدد مستوى P 2 موازيًا للمستوى Oyz، P: س = -5/2. في حالة عدم وجود قيم ، يكون المستوى P المحدد بالمعادلة (7.3) موازيًا للمستوى Oxz، نظرًا لأن معاملات x وz في (7.3) لا تختفي في وقت واحد. ب) بالنسبة إلى   1، تحدد المعادلة (7.3) المستوى P الموازي لمحور Oz، P: x  3y  2  0. بالنسبة للقيم الأخرى للمعلمة ، فإنها لا تحدد مستوى موازيًا لواحد فقط من محاور الإحداثيات. ج) بالنسبة إلى  = 3، تحدد المعادلة (7.3) المستوى P الذي يمر عبر نقطة الأصل، P: 3x + 15 y + 10 z = 0 . ◄ مثال 7.3. اكتب معادلة المستوى P الذي يمر عبر: أ) النقطة M (1،  3، 2) الموازية لمحور المستوى Oxy؛ ب) محور الثور والنقطة M (2، – 1، 3).   أ) بالنسبة للمتجه العادي n إلى P هنا يمكننا أخذ المتجه k (0, 0,1) - متجه الوحدة لمحور Oz، لأنه عمودي على مستوى Oxy. عوض بإحداثيات النقطة  M (1,  3, 2) والمتجه n في المعادلة (7.2)، نحصل على معادلة المستوى P: z 3  0.   b) المتجه العادي n إلى P متعامد مع المتجهات i (1, 0, 0) و OM (2,  1, 3) ،  لذلك يمكننا أن نأخذ منتجهم المتجه كـ n:    i j k      n  i  أوم = 1 0 0 =  ي 12 03 + ك 12 01   3 ي  ك . 2 1 3  عوض بإحداثيات النقطة O والمتجه n في المعادلة (7.2) نحصل على معادلة المستوى P:  3(y  0)  (z  0)  0 أو P: 3 y  ض = 0 .◄ 3

المحاضرة الثانية: الطائرة كسطح من الدرجة الأولى. المعادلات المستوية ودراستها. الخط المستقيم في الفضاء، والموضع النسبي للخطوط المستقيمة في الفضاء، والمستوى والخط المستقيم في الفضاء. خط مستقيم على المستوى، معادلات الخط المستقيم على المستوى، المسافة من نقطة إلى خط مستقيم على المستوى. منحنيات الدرجة الثانية؛ اشتقاق المعادلات القانونية ودراسة المعادلات وبناء المنحنيات. أسطح الدرجة الثانية، دراسة المعادلات القانونية للأسطح. طريقة القسم. 1

عناصر الهندسة التحليلية § 1. الطائرة. لدينا OXYZ وبعض السطوح S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y التعريف 1: المعادلة ذات ثلاثة متغيرات تسمى معادلة السطح S في الفضاء إذا تحققت هذه المعادلة بإحداثيات كل منها نقطة تقع على السطح وغير راضية عن الإحداثيات ولا توجد نقطة واحدة تقع عليها. 2

مثال. المعادلة (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) نحدد كرة مركزها عند النقطة C(a, b, c) ونصف قطرها R. M M (x , y, z) – نقطة متغيرة M ϵ (S) |CM| = آر سي 3

التعريف 2: يسمى السطح S سطحًا من الرتبة n إذا تم إعطاؤه في بعض أنظمة الإحداثيات الديكارتية بواسطة معادلة جبرية من الدرجة n F(x, y, z) = 0 (1) في المثال (S) - دائرة سطح من الدرجة الثانية . إذا كان S سطحًا من الدرجة n، فإن F(x, y, z) هو متعدد الحدود من الدرجة n بالنسبة إلى (x, y, z). ضع في اعتبارك السطح الوحيد من الدرجة الأولى - المستوى. لنقم بإنشاء معادلة لمستوى يمر بالنقطة M (x, y, z) بمتجه عادي 4

اجعل M(x, y, z) نقطة تعسفية (حالية) للمستوى. M M 0 O α أو في الشكل الإحداثي: (2) المعادلة (2) هي معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة M بمتجه عادي معين. 5

د (*) (3) - معادلة كاملة للمستوى معادلة غير كاملة للمستوى. إذا كان في المعادلة (3) عدة معاملات (ولكن ليس A، B، C في نفس الوقت) = 0، فإن المعادلة تسمى غير كاملة والمستوى α له ميزات في موقعه. على سبيل المثال، إذا كان D = 0، فإن α يمر عبر نقطة الأصل. 6

المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 يتم تطبيقها على النقطة M 0 K 7

- المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى α معادلة المستوى "في المقاطع" لنقم بإنشاء معادلة للمستوى الذي يقطع الأجزاء غير الصفرية على محاور الإحداثيات بقيم C(0, 0, c) a, b, ج. لنأخذ B(0, b, 0) كقيمة. لننشئ معادلة للنقطة A مع A(a, 0, 0) 8

- معادلة المستوى α "في المقاطع" - معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة A، عموديًا على المتجه العادي 9

§ 2. المعادلة العامة للخط المستقيم. يمكن تحديد الخط المستقيم في الفضاء من خلال تقاطع مستويين. (1) معادلة الخط المستقيم يحدد نظام من النوع (1) خطًا مستقيمًا في الفضاء إذا كانت المعاملات A 1، B 1، C 1 غير متناسبة في نفس الوقت مع A 2، B 2، C 2. 10

المعادلات البارامترية والقانونية للخط المستقيم - النقطة التعسفية لنقطة الخط المستقيم M M 0 المعادلة البارامترية t - المعلمة 11

بحذف t نحصل على: - نظام المعادلة القانونية (3) يحدد حركة نقطة مادية مستقيمة وموحدة من موضعها الأولي M 0 (x 0, y 0, z 0) مع السرعة في اتجاه المتجه. 12

الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة في الفضاء. شروط التوازي والتعامد. ليكن هناك خطين L 1, L 2 في الفضاء المعطاة بمعادلاتهما القانونية: ثم تتلخص مهمة تحديد الزاوية بين هذين الخطين في تحديد الزاوية

متجهاتها الاتجاهية: باستخدام تعريف المنتج القياسي والتعبير بإحداثيات المنتج القياسي المحدد وأطوال المتجهين q 1 و q 2 نحصل على: 15

شرط التوازي للخطوط المستقيمة l 1 و l 2 يتوافق مع العلاقة الخطية المتداخلة بين q 1 و q 2، ويكمن في تناسب إحداثيات هذه المتجهات، أي أن لها الشكل: شرط التعامد يتبع من تعريف المنتج العددي ومساواته بالصفر (عند cos = 0) وله الشكل : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

الزاوية بين خط مستقيم ومستوى: شروط التوازي والتعامد بين خط مستقيم ومستوى خذ المستوى P، المحدد بواسطة المعادلة العامة: Ax + By + Cz + D = 0، والخط المستقيم L، المحدد بواسطة المعادلة القانونية: 17

بما أن الزاوية بين الخط المستقيم L والمستوى P مكملة للزاوية بين المتجه الموجه للخط المستقيم q = (l, m, n) والمتجه العمودي للمستوى n = (A, B, C) ثم من تعريف المنتج القياسي q n = q n cos والمساواة cos = sin (= 90 -) نحصل على: 18

حالة التوازي للخط المستقيم L والمستوى П (بما في ذلك حقيقة أن L ينتمي إلى П) تعادل حالة التعامد بين المتجهات q و n ويتم التعبير عنها بواسطة = 0 منتج قياسي لهذه المتجهات: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. حالة التعامد بين الخط المستقيم L والمستوى P تعادل حالة التوازي بين المتجهات n و q ويتم التعبير عنها بتناسب إحداثيات هذه المتجهات: 19

شروط أن ينتمي خطان إلى نفس المستوى: يمكن أن يكون الخطان الموجودان في الفضاء L 1 و L 2: 1) يتقاطعان؛ 2) تكون متوازية. 3) التهجين. في الحالتين الأوليين، يقع الخطان L 1 و L 2 في نفس المستوى. دعونا نحدد الشرط الذي يشير إلى أن الخطين المستقيمين المحددين بواسطة المعادلات القانونية ينتميان إلى نفس المستوى: 20

من الواضح أنه لكي ينتمي الخطان المشار إليهما إلى نفس المستوى، فمن الضروري والكافي أن تكون هناك ثلاثة متجهات = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1)؛ q 1 = (l 1, m 1, n 1) و q 2 = (l 2, m 2, n 2) كانت مستوية، والتي بدورها ضرورية وكافي أن المنتج المختلط لهذه المتجهات الثلاثة = 0.21

عند كتابة حاصل الضرب المختلط للمتجهات المشار إليها في الإحداثيات، نحصل على الشرط الضروري والكافي لانتماء الخطين المستقيمين L 1 و L 2 إلى نفس المستوى: 22

شرط أن ينتمي الخط المستقيم إلى مستوى فليكن هناك خط مستقيم ومستوى Ax + Bi + Cz + D = 0. هذه الشروط لها الصيغة: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 و Al + Bm + Cn = 0، أولها يعني أن النقطة M 1(x1, y1, z 1) التي يمر بها الخط تنتمي إلى المستوى، والثانية هي شرط توازي الخط والمستوى. 23

منحنيات الدرجة الثانية. § 1. مفهوم معادلة الخط على المستوى. تسمى المعادلة f (x, y) = 0 بمعادلة الخط L في نظام الإحداثيات المختار إذا كانت محققة بإحداثيات أي نقطة تقع على الخط وغير راضية بإحداثيات أي نقطة لا تقع عليه. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="مثال: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R >) 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

يُطلق على الخط L خطًا من الرتبة n إذا تم إعطاؤه في بعض أنظمة الإحداثيات الديكارتية بواسطة معادلة جبرية من الدرجة n فيما يتعلق بـ x و y. نحن نعرف الخط الوحيد من الدرجة الأولى - خط مستقيم: Ax + By + D = 0 سننظر في منحنيات من الدرجة الثانية: القطع الناقص، القطع الزائد، القطع المكافئ. المعادلة العامة لخطوط الرتبة الثانية هي: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

تعريف القطع الناقص (E). القطع الناقص هو مجموعة جميع نقاط المستوى، ومجموع المسافات إلى نقطتين ثابتتين من المستوى F 1 و F 2، تسمى البؤرتان، وهي قيمة ثابتة ومسافة كبيرة بين البؤرتين. دعونا نشير إلى الثابت بـ 2 a، والمسافة بين البؤرتين بـ 2 c. ارسم المحور X من خلال البؤرتين (a > c، a > 0، c > 0). المحور Y من خلال منتصف البعد البؤري. لتكن M نقطة اعتباطية في القطع الناقص، t M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1)، حيث r 1, r 2 هما نصف القطر البؤري 27 لـ E.

لنكتب (1) بالشكل الإحداثي: (2) هذه معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات المختار. بتبسيط (2) نحصل على: b 2 = a 2 - c 2 (3) – المعادلة القانونية للقطع الناقص. يمكن إثبات أن (2) و (3) متساويان: 28

دراسة شكل القطع الناقص باستخدام المعادلة القانونية 1) القطع الناقص هو منحنى من الدرجة الثانية 2) تماثل القطع الناقص. نظرًا لأن x وy مدرجان في (3) فقط في القوى الزوجية، فإن القطع الناقص له محوران ومركز تناظر واحد، والذي يتطابق في نظام الإحداثيات المحدد مع محاور الإحداثيات المحددة والنقطة O.29

3) موقع القطع الناقص أي أن E بأكمله يقع داخل مستطيل، أضلاعه x = ± a و y = ± b. 4) التقاطع مع المحاور. أ 1(-أ; 0); أ 2(أ; 0); C OX: رؤوس القطع الناقص C OU: B 1(0; b); ب 2(0; -ب); ونظرًا لتماثل القطع الناقص، فإننا سننظر في سلوكه (↓) فقط في الربع الأول. ثلاثين

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" حل (3) فيما يتعلق بـ y نحصل على: في الربع الأول x > 0 والقطع الناقص يتناقص."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

الزائد (Г) التعريف: Г هي مجموعة جميع نقاط المستوى، ومعامل الفرق في المسافات إلى نقطتين ثابتتين من المستوى F 1، و F 2 هي قيمة ثابتة و

التبسيط (1): (2) هي المعادلة الأساسية لـ G. (1) و (2) متكافئتان. دراسة القطع الزائد باستخدام المعادلة الأساسية 1) Г هو خط من الدرجة الثانية 2) Г له محورين ومركز تناظر واحد، والذي يتطابق في حالتنا مع محاور الإحداثيات والأصل. 3) موقع القطع الزائد. 34

يقع القطع الزائد خارج الشريط بين السطور x = a، x = -a. 4) نقاط التقاطع مع المحاور. OX: OY: لا يوجد لديه حلول A 1(-a; 0); أ 2(أ; 0) – الرؤوس الحقيقية Г ب 1(0; ب); ب 2(0; -ب) – القمم الوهمية Г 2 أ – المحور الحقيقي Г 2 ب – المحور التخيلي Г 35

5) الخطوط المقاربة للقطع الزائد. نظرًا لتماثل Г، فإننا نعتبر دوره في الربع الأول. بعد حل (2) فيما يتعلق بـ y، نحصل على: المعادلة Г في الربع الأول x ≥ 0 خذ بعين الاعتبار الخط المستقيم: لأنه في الربع الأول x>0، أي في الربع الأول بنفس الإحداثي الإحداثي من الخط > ينسق النقطة المقابلة Г، أي في الربع الأول Г يقع أسفل هذا الخط المستقيم. يقع حرف G بالكامل داخل زاوية رأسية طول أضلاعها 36

6) يمكن إثبات أنه في الجزء الأول G يزيد 7) خطة لبناء G أ) بناء مستطيل 2 أ، 2 ب ب) ارسم أقطاره ج) علامة أ 1، أ 2 - القمم الحقيقية لـ G و 38 اكتب هذه الفروع

القطع المكافئ (P) خذ بعين الاعتبار d (الدليل) وF (التركيز) على المستوى. تعريف. П - مجموعة جميع نقاط المستوى المتساوية البعد من الخط d والنقطة F (التركيز) 39

d-directrix F-focus XOY point М П ثم |MF| = |MN| (1) معادلة P المختارة في النظام الإحداثي، وبالتبسيط (1) نحصل على y 2 = 2 بيكسل (2) – المعادلة الأساسية لـ P. (1) و(2) تعادل 40

دراسة P باستخدام المعادلة الأساسية x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. الاسطوانات. الأسطح الأسطوانية ذات المولدات الموازية للمحاور الإحداثية من خلال النقطة x من الخط L نرسم خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور OZ. ويسمى السطح المتكون من هذه الخطوط المستقيمة بالسطح الأسطواني أو الأسطوانة (C). أي خط مستقيم موازي لمحور OZ يسمى مصفوفة توليدية. l هو دليل السطح الأسطواني لمستوى XOY. ض(س، ص) = 0 (1) 42

دع M(x, y, z) تكون نقطة تعسفية لسطح أسطواني. دعونا نسقطها على L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 أي ، فإن الإحداثيات M ترضي (1)، فمن الواضح أنه إذا كانت M C، فلن يتم إسقاطها إلى النقطة M 0 ϵ L وبالتالي فإن إحداثيات M لن تلبي المعادلة (1)، التي تحدد C بتوازي المولد إلى محور OZ في الفضاء. وبالمثل، يمكن إثبات أن: Ф(x, z) = 0 في الفضاء Г || OY 43 (y, z) = 0 يحدد في الفضاء C || ثور

إسقاط خط مكاني على مستوى إحداثي يمكن تعريف الخط في الفضاء بارامتريًا ومن خلال تقاطع الأسطح. يمكن تعريف نفس الخط على أنه ∩ لأسطح مختلفة. دع الخط المكاني L يُعطى ∩ لسطحين α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 معادلة L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 دعونا نجد إسقاط L على المستوى XOY من المعادلة (1) ونستبعد Z. نحصل على المعادلة: Z(x, y) = 0 – في الفضاء هذه هي المعادلة Ε مع المولد || أوز ودليل L.46

الإسقاط: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 أسطح من الدرجة الثانية مجسم إهليلجي - المعادلة الأساسية للسطح لها الشكل: 1) مجسم إهليلجي - سطح من الدرجة الثانية. 2) X، Y، Z أدخل المعادلة فقط في القوى الزوجية => يحتوي السطح على 3 مستويات ومركز تناظر واحد، والذي يتطابق في نظام الإحداثيات المحدد مع مستويات الإحداثيات والأصل. 47

3) موقع الشكل الناقص: السطح محاط بين || الطائرات ذات المعادلات x = a، x = -a. وبالمثل، أي أن السطح بأكمله موجود داخل متوازي مستطيلات. س = ± أ، ص = ± ب، ض = ± ج. سوف نقوم بفحص السطح باستخدام طريقة المقاطع - تقاطع السطح مع المستويات الإحداثية || تنسيق. في القسم سنحصل على خطوط نحكم من خلالها على شكل السطح. 48

لنتقاطع السطح مع مستوى XOY. في القسم نحصل على خط. - القطع الناقص أ و ب - أنصاف المحاور مشابه لمستوى YOZ - القطع الناقص مع أنصاف المحاور ب و ج المستوى || XOY إذا h(0, c)، فإن محاور القطع الناقص تتناقص من a وb إلى 0. 49

a = b = c - المجال الأجسام المكافئة أ) القطع المكافئ الزائدي - سطح بمعادلة قانونية: 1) سطح من الدرجة الثانية 2) بما أن x وy يدخلان في المعادلة فقط في القوى الزوجية، فإن السطح له مستويات من التماثل، والتي تتطابق لاختيار معين من الإحداثيات مع 50 طائرة XOZ، YOZ.

3) نقوم بفحص السطح باستخدام طريقة قسم السرج. XOZ في المقطع العرضي، يكون القطع المكافئ متناظرًا مع محور OZ، تصاعديًا. رر. يوز 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" منطقة ||XOY لـ h > 0 قطع زائدة، مع نصف محور حقيقي على طول OX، لـ h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

ب) سطح زائد مكون من ورقتين 1) سطح من الدرجة الثانية 2) به 3 مستويات ومركز تماثل واحد 3) موقع السطح x 2 ≥ a 2؛ |س| ≥ أ؛ (a, b, c > 0) يتكون السطح من جزأين يقعان خارج الشريط بين المستويات ذات المعادلات x = a, x = -a 4) ندرس طريقة الأقسام (بمفردنا!) 57

مخروط من الدرجة الثانية مخروط من الدرجة الثانية هو سطح تكون معادلته القانونية على الشكل: 1) سطح من الدرجة الثانية 2) له 3 مستويات ومركز تماثل واحد 3) ندرس طريقة الأقسام المربعة. اكس أوي 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" مربع ||XOY |h| –>∞ من 0 إلى ∞ مربع YOZ زوج من الخطوط المستقيمة، عابر طريق"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60