كيفية التعبير عن متغير من اللوغاريتم. اللوغاريتمات: الأمثلة والحلول. لحل عدم المساواة من المفيد أن نعرف

17.01.2024

تعريف اللوغاريتم

لوغاريتم b للأساس a هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على b.

رقم همن المعتاد في الرياضيات الإشارة إلى الحد الذي يسعى التعبير إلى الوصول إليه

رقم هيكون عدد غير نسبي- رقم لا يمكن قياسه بالواحد، ولا يمكن التعبير عنه بدقة كعدد صحيح أو كسر عاقِلرقم.

خطاب ه- الحرف الأول من الكلمة اللاتينية exponere- للتباهي ومن هنا الاسم في الرياضيات متسارع- الدالة الأسية.

رقم هتستخدم على نطاق واسع في الرياضيات، وفي جميع العلوم التي تستخدم الحسابات الرياضية بطريقة أو بأخرى لتلبية احتياجاتها.

اللوغاريتمات. خصائص اللوغاريتمات

تعريف: لوغاريتم الرقم الموجب b لقاعدته هو الأس c الذي يجب رفع الرقم a إليه للحصول على الرقم b.

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

7) صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة:

lna = سجل ه ا، ه ≈ 2.718...

مشاكل واختبارات حول موضوع "اللوغاريتمات. خصائص اللوغاريتمات"

اللوغاريتمات - مواضيع مهمة لمراجعة امتحان الدولة الموحد في الرياضيات

لإكمال المهام في هذا الموضوع بنجاح، يجب عليك معرفة تعريف اللوغاريتم، وخصائص اللوغاريتمات، والهوية اللوغاريتمية الأساسية، وتعريفات اللوغاريتمات العشرية والطبيعية. الأنواع الرئيسية من المشاكل في هذا الموضوع هي المشاكل التي تنطوي على حساب وتحويل التعبيرات اللوغاريتمية. دعونا نفكر في حلها باستخدام الأمثلة التالية.

حل:وباستخدام خصائص اللوغاريتمات نحصل على

حل:باستخدام خصائص الدرجات، نحصل على

1) (2 2) سجل 2 5 =(2 سجل 2 5) 2 =5 2 =25

خصائص اللوغاريتمات والصياغات والبراهين.

اللوغاريتمات لها عدد من الخصائص المميزة. في هذه المقالة سوف ننظر إلى الرئيسي خصائص اللوغاريتمات. سنقدم هنا صيغها، ونكتب خصائص اللوغاريتمات في شكل صيغ، ونعرض أمثلة على تطبيقها، ونقدم أيضًا دليلاً على خصائص اللوغاريتمات.

التنقل في الصفحة.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات والصيغ

لسهولة التذكر والاستخدام، دعونا نتخيل الخصائص الأساسية للوغاريتماتفي شكل قائمة الصيغ. وفي الفقرة التالية سنقدم صيغها وأدلتها وأمثلة استخدامها والشروحات اللازمة.

خاصية لوغاريتم الوحدة: تسجيل 1=0 لأي a>0، a≠1.

لوغاريتم رقم يساوي الأساس: تسجيل a a=1 لـ a>0, a≠1.

خاصية لوغاريتم قوة القاعدة: log a a p =p، حيث a>0 وa≠1 وp هو أي رقم حقيقي.

لوغاريتم حاصل ضرب رقمين موجبين: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
وخاصية لوغاريتم حاصل ضرب n أرقام موجبة: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .

خاصية لوغاريتم الحاصل:

، حيث a>0، a≠1، x>0، y>0.

لوغاريتم قوة الرقم: log a b p =p·log a |b| ، حيث a>0 وa≠1 وb وp هي أرقام بحيث تكون الدرجة b p منطقية وb p >0.

عاقبة:

، حيث a>0، a≠1، n هو عدد طبيعي أكبر من واحد، b>0.

النتيجة الطبيعية 1:

, أ>0 , أ≠1 , ب>0 , ب≠1 .

النتيجة الطبيعية 2:

، a>0 ، a≠1 ، b>0 ، p و q أرقام حقيقية ، q≠0 ، على وجه الخصوص بالنسبة لـ b=a لدينا

الصياغة وإثبات الخصائص

ننتقل إلى صياغة وإثبات الخصائص المكتوبة للوغاريتمات. يتم إثبات جميع خصائص اللوغاريتمات بناءً على تعريف اللوغاريتم والهوية اللوغاريتمية الأساسية التي تتبعه، وكذلك خصائص الدرجة.

دعنا نبدء ب خصائص لوغاريتم واحد. وصياغتها هي كما يلي: لوغاريتم الوحدة يساوي صفراً، أي سجل 1=0لأي > 0، أ≠1. الإثبات ليس صعبًا: نظرًا لأن 0 =1 لأي a يفي بالشروط المذكورة أعلاه a>0 وa≠1، فإن سجل المساواة a 1=0 الذي سيتم إثباته يتبع مباشرة تعريف اللوغاريتم.

دعونا نعطي أمثلة لتطبيق الخاصية المدروسة: log 3 1=0, log1=0 و .

دعنا ننتقل إلى الخاصية التالية: لوغاريتم رقم يساوي الأساس يساوي واحدًا، إنه، سجل أ = 1لـ >0، أ≠1. في الواقع، نظرًا لأن 1 =a لأي a، فمن خلال تعريف سجل اللوغاريتم a a=1.

من أمثلة استخدام خاصية اللوغاريتمات هذه سجل المساواة 5 5=1، سجل 5.6 5.6 وlne=1.

لوغاريتم قوة عدد يساوي أساس اللوغاريتم يساوي الأس. تتوافق خاصية اللوغاريتم هذه مع صيغة النموذج سجل أ ع = ع، حيث a>0 وa≠1 وp – أي عدد حقيقي. تتبع هذه الخاصية مباشرة تعريف اللوغاريتم. لاحظ أنه يسمح لك بالإشارة على الفور إلى قيمة اللوغاريتم، إذا كان من الممكن تمثيل الرقم تحت علامة اللوغاريتم كقوة للقاعدة، سنتحدث أكثر عن هذا في مقال حساب اللوغاريتمات.

على سبيل المثال، سجل 2 2 7 =7، سجل 10 -4 = -4 و .

لوغاريتم منتج رقمين موجبين x و y يساوي منتج لوغاريتمات هذه الأرقام: سجل أ (س ص) = سجل س + سجل ص, أ>0 , أ≠1 . دعونا نثبت خاصية لوغاريتم المنتج. نظرًا لخصائص الدرجة، سجل a x+log a y =a log a x ·a log a y، وبما أنه من خلال الهوية اللوغاريتمية الرئيسية سجل a x =x وlog a y =y، ثم سجل a x ·a log a y = س · ص. وهكذا، سجل a x+log a y =x·y، ومنه، حسب تعريف اللوغاريتم، يتبع ذلك المساواة التي تم إثباتها.

لنعرض أمثلة على استخدام خاصية لوغاريتم المنتج: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 و .

يمكن تعميم خاصية لوغاريتم المنتج على منتج عدد محدود n من الأعداد الموجبة x 1 , x 2 , …, x n كـ سجل أ (س 1 · × 2 ·…·x ن)= سجل أ × 1 + سجل أ × 2 +…+ سجل أ × ن. ويمكن إثبات هذه المساواة دون مشاكل باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

على سبيل المثال، يمكن استبدال اللوغاريتم الطبيعي للمنتج بمجموع ثلاثة لوغاريتمات طبيعية للأرقام 4 وe و.

لوغاريتم حاصل ضرب رقمين موجبين x و y يساوي الفرق بين لوغاريتمات هذه الأرقام. تتوافق خاصية لوغاريتم الحاصل مع صيغة النموذج ، حيث a>0 وa≠1 وx وy هي بعض الأرقام الموجبة. تم إثبات صحة هذه الصيغة وكذلك صيغة لوغاريتم حاصل الضرب: منذ ، ثم حسب تعريف اللوغاريتم .

فيما يلي مثال على استخدام خاصية اللوغاريتم: .

دعنا ننتقل إلى خاصية لوغاريتم القوة. لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم معامل قاعدة هذه الدرجة. دعونا نكتب خاصية لوغاريتم القوة كصيغة: سجل أ ب ع =p·سجل أ |ب|، حيث a>0 وa≠1 وb وp هي أرقام بحيث تكون الدرجة b p منطقية وb p >0.

أولا نثبت هذه الخاصية لإيجابية ب. تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b في صورة a log a b ، ثم b p =(a log a b) p ، والتعبير الناتج، بسبب خاصية القوة، يساوي a p·log a b . لذلك نصل إلى المساواة b p =a p·log a b، والتي منها، من خلال تعريف اللوغاريتم، نستنتج أن log a b p =p·log a b.

يبقى إثبات هذه الخاصية لسلبية b. نلاحظ هنا أن التعبير log a b p للسالب b منطقي فقط بالنسبة للأسس الزوجية p (نظرًا لأن قيمة الدرجة b p يجب أن تكون أكبر من الصفر، وإلا فلن يكون اللوغاريتم منطقيًا)، وفي هذه الحالة b p =|b| ص. ثم ب ع =|ب| p =(سجل a |b|) p =a p·log a |b| ، من حيث سجل a b p =p·log a |b| .

على سبيل المثال، و ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

يتبع من الخاصية السابقة خاصية اللوغاريتم من الجذر: لوغاريتم الجذر n يساوي حاصل ضرب الكسر 1/n في لوغاريتم التعبير الجذري، أي حيث a>0، a≠1، n عدد طبيعي أكبر من واحد، b>0 .

ويستند الدليل على المساواة (انظر تعريف الأس مع الأس الكسر)، وهو صالح لأي موجب ب، وخاصية لوغاريتم الأس: .

فيما يلي مثال لاستخدام هذه الخاصية: .

الآن دعونا نثبت صيغة للانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدةعطوف . للقيام بذلك، يكفي إثبات صحة سجل المساواة c b=log a b·log c a. تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b كسجل a b ، ثم log c b=log c a log a b . يبقى استخدام خاصية لوغاريتم الدرجة: log c a log a b =log a b·log c a . وهذا يثبت سجل المساواة c b=log a b·log c a، وهو ما يعني إثبات صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم أيضًا .

دعونا نعرض بعض الأمثلة لاستخدام خاصية اللوغاريتمات هذه: و .

تتيح لك صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة الانتقال إلى العمل باستخدام اللوغاريتمات التي لها قاعدة "ملائمة". على سبيل المثال، يمكن استخدامه للتغيير إلى اللوغاريتمات الطبيعية أو العشرية بحيث يمكنك حساب قيمة اللوغاريتم من جدول اللوغاريتمات. تسمح صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة أيضًا، في بعض الحالات، بإيجاد قيمة لوغاريتم معين عندما تكون قيم بعض اللوغاريتمات ذات أسس أخرى معروفة.

غالبًا ما يتم استخدام حالة خاصة من صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة لـ c=b للنموذج. يوضح هذا أن السجل a b والسجل b a هما رقمان معكوسان بشكل متبادل. على سبيل المثال، .

غالبًا ما يتم استخدام الصيغة المناسبة للعثور على قيم اللوغاريتمات. ولتأكيد كلامنا، سنبين كيف يمكن استخدامه لحساب قيمة لوغاريتم النموذج. لدينا . لإثبات الصيغة، يكفي استخدام الصيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم أ: .

يبقى إثبات خصائص مقارنة اللوغاريتمات.

دعونا نستخدم الطريقة المعاكسة. لنفترض أنه بالنسبة لـ 1 >1، و2 >1، و1 2، ولـ 0 1، فإن تسجيل a 1 b≥log a 2 b صحيح. واستنادا إلى خصائص اللوغاريتمات، يمكن إعادة كتابة هذه المتباينات على النحو التالي: و على التوالي، ومنهم يتبع ذلك سجل ب أ 1 ≥ سجل ب أ 2 و سجل ب أ 1 ≥ سجل ب أ 2، على التوالي. بعد ذلك، وفقًا لخصائص القوى ذات الأساس نفسه، يجب أن تكون المعادلتان b log b a 1 ≥b log b a 2 و b log b a 1 ≥b log b a 2، أي a 1 ≥a 2 . لذلك وصلنا إلى تناقض الشرط أ 1 2. وهذا يكمل الدليل.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

مواد للدرس
تحميل جميع الصيغ

اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فهناك قواعد تسمى هنا الخصائص الرئيسية.

أنت بالتأكيد بحاجة إلى معرفة هذه القواعد - فبدونها لا يمكن حل أي مشكلة لوغاريتمية خطيرة. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: log a x وlog a y. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:

إذن، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب، والفرق يساوي لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي أسباب متطابقة. إذا كانت الأسباب مختلفة، فهذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى عندما لا يتم أخذ أجزائه الفردية في الاعتبار (راجع الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألقِ نظرة على الأمثلة وانظر:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: سجل 6 4 + سجل 6 9.

بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 − log 2 3.

القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل 2 48 - سجل 2 3 = سجل 2 (48: 3) = سجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3 135 − log 3 5.

مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
سجل 3 135 - سجل 3 5 = سجل 3 (135: 5) = سجل 3 27 = 3.

كما ترون، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة"، والتي لا يتم حسابها بشكل منفصل. ولكن بعد التحويلات يتم الحصول على أرقام طبيعية تماما. وتستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم، يتم تقديم التعبيرات الشبيهة بالاختبار بكل جدية (أحيانًا بدون أي تغييرات تقريبًا) في امتحان الدولة الموحدة.

استخراج الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت قاعدة أو وسيطة اللوغاريتم قوة؟ ومن ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من إشارة اللوغاريتم وفق القواعد التالية:

سجل أ س ن = ن · سجل أ س ;

ومن السهل أن نرى أن القاعدة الأخيرة تتبع القاعدة الأولى والثانية. ولكن من الأفضل أن تتذكرها على أي حال - ففي بعض الحالات سوف تقلل بشكل كبير من حجم العمليات الحسابية.

بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: a > 0, a ≠ 1, x > 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا العكس. ، أي. يمكنك إدخال الأرقام قبل تسجيل اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6 .

دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

[تعليق على الصورة]

لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. لدينا:

[تعليق على الصورة]

أعتقد أن المثال الأخير يتطلب بعض التوضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة نحن نعمل فقط مع القاسم. لقد قدمنا أساس ووسيطة اللوغاريتم الموجود هناك في شكل قوى وأزلنا الأسس - لقد حصلنا على كسر "من ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0، يمكننا تبسيط الكسر - سيبقى 2/4 في المقام. ووفقا للقواعد الحسابية، يمكن نقل الأربعة إلى البسط، وهذا ما تم. وكانت النتيجة الجواب: 2.

الانتقال إلى أساس جديد

عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. وماذا لو كانت الأسباب مختلفة؟ ماذا لو لم تكن صلاحيات محددة لنفس العدد؟

تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم يسجل x يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c بحيث يكون c > 0 و c ≠ 1، تكون المساواة صحيحة:

[تعليق على الصورة]

على وجه الخصوص، إذا وضعنا c = x، نحصل على:

[تعليق على الصورة]

ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل أساس ووسيطة اللوغاريتم، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ولكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: سجل 5 16 سجل 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2سجل 2 5;

الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:

[تعليق على الصورة]

وبما أن حاصل الضرب لا يتغير عند إعادة ترتيب العوامل، فقد ضربنا أربعة في اثنين بهدوء، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9 100 lg 3.

أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:

[تعليق على الصورة]

الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

[تعليق على الصورة]

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة، سوف تساعدنا الصيغ التالية:

ن = سجل أ ن
في الحالة الأولى، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون الرقم n أي شيء على الإطلاق، لأنه مجرد قيمة لوغاريتمية.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يطلق عليه: الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

في الواقع، ماذا يحدث إذا تم رفع الرقم b إلى قوة بحيث يعطي الرقم b إلى هذه القوة الرقم a؟ هذا صحيح: النتيجة هي نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.

مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.

[تعليق على الصورة]

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - لقد أخذنا ببساطة المربع من قاعدة اللوغاريتم ووسيطه. مع الأخذ بعين الاعتبار قواعد ضرب القوى ذات الأساس نفسه، نحصل على:

[تعليق على الصورة]

إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يظهرون باستمرار في المشاكل، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".
1. log a = 1 هي وحدة لوغاريتمية. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس a لهذا الأساس نفسه يساوي واحدًا.
2. سجل 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. الأساس a يمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كان الوسيط يحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفر! لأن 0 = 1 هو نتيجة مباشرة للتعريف.
هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.

اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتم (الجمع والطرح).

خصائص اللوغاريتمتابع من تعريفه. وهكذا لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيتم تعريفه على أنه الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).

ويترتب على هذه الصيغة أن الحساب س = سجل ب، يعادل حل المعادلة أ س = ب.على سبيل المثال، سجل 2 8 = 3لأن 8 = 2 3 . صياغة اللوغاريتم تجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب=أ ج، ثم لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيساوي مع. ومن الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتمات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بموضوع القوى.

مع اللوغاريتمات، كما هو الحال مع أي أرقام، يمكنك القيام بذلك عمليات الجمع والطرحوالتحول بكل الطرق الممكنة. ولكن نظرًا لحقيقة أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فإن قواعدها الخاصة تنطبق هنا، والتي تسمى الخصائص الرئيسية.

جمع وطرح اللوغاريتمات.

لنأخذ لوغاريتمين لهما نفس الأساس: سجل xو سجل ذ. ومن الممكن بعد ذلك إجراء عمليات الجمع والطرح:

كما نرى، مجموع اللوغاريتماتيساوي لوغاريتم المنتج، و اختلاف اللوغاريتمات- لوغاريتم الحاصل. وعلاوة على ذلك، وهذا صحيح إذا كانت الأرقام أ، اكسو فيإيجابي و أ ≠ 1.

من المهم أن نلاحظ أن الجانب الرئيسي في هذه الصيغ هو نفس القواعد. إذا كانت الأسباب مختلفة، لا تنطبق هذه القواعد!

تتم قراءة قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات ذات الأساس نفسه ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا بالعكس. ونتيجة لذلك، أصبح لدينا نظريات لوغاريتم حاصل الضرب ولوغاريتم خارج القسمة.

لوغاريتم المنتجرقمان موجبان يساوي مجموع لوغاريتماتهما ; إعادة صياغة هذه النظرية نحصل على ما يلي إذا كانت الأرقام أ, سو فيإيجابي و أ ≠ 1، الذي - التي:

لوغاريتم الحاصلرقمان موجبان يساوي الفرق بين لوغاريتمات المقسوم والمقسوم عليه. وبعبارة أخرى، إذا كانت الأرقام أ, Xو فيإيجابي و أ ≠ 1، الذي - التي:

دعونا نطبق النظريات المذكورة أعلاه لحلها أمثلة:

إذا كانت الأرقام سو فيهي سلبية إذن صيغة لوغاريتم المنتجيصبح بلا معنى. ولذلك يحرم الكتابة:

نظرًا لأن التعبيرات log 2 (-8) وlog 2 (-4) لم يتم تعريفها على الإطلاق (الدالة اللوغاريتمية في= سجل 2 Xمحددة فقط لقيم الوسيطة الإيجابية X).

نظرية المنتجلا ينطبق فقط على اثنين، ولكن أيضًا على عدد غير محدود من العوامل. وهذا يعني أنه لكل طبيعي كوأي أرقام إيجابية س 1 , س 2 , . . . ,س نهناك هوية:

من نظرية حاصل اللوغاريتمويمكن الحصول على خاصية أخرى للوغاريتم. ومن المعروف أن السجل أ 1=0، لذلك

وهذا يعني أن هناك مساواة:

لوغاريتمات رقمين متبادلينلنفس السبب سوف تختلف عن بعضها البعض فقط من خلال الإشارة. لذا:

اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتمات

اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتمات

دعونا ننظر في المساواة. اسمحوا لنا أن نعرف قيم و ونريد العثور على قيمة .

وهذا يعني أننا نبحث عن الأس الذي نحتاج إلى الحصول عليه.

يترك يمكن للمتغير أن يأخذ أي قيمة حقيقية، ومن ثم يتم فرض القيود التالية على المتغيرات: o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″ />

إذا عرفنا قيم و وأواجهنا مهمة إيجاد المجهول، فمن أجل هذا الغرض يتم تقديم عملية رياضية تسمى اللوغاريتم.

للعثور على القيمة التي نأخذها لوغاريتم الرقمبواسطة أساس :

لوغاريتم الرقم لأساسه هو الأس الذي يجب رفعه إليه للحصول عليه.

إنه الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

س» العنوان=»a>o»/> , 1″ العنوان=»a1″/>, 0″ العنوان=»b>0″/>

هو في الأساس تدوين رياضي تعريفات اللوغاريتم.

العملية الرياضية للوغاريتم هي عكس عملية الأس، لذلك خصائص اللوغاريتماتترتبط ارتباطًا وثيقًا بخصائص الدرجة.

دعونا قائمة الرئيسية خصائص اللوغاريتمات:

(o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

د>0″/>, 1″ عنوان=”d1″/>

4.

5.

تتيح لك مجموعة الخصائص التالية تمثيل أس التعبير تحت علامة اللوغاريتم، أو الوقوف عند قاعدة اللوغاريتم في شكل معامل أمام علامة اللوغاريتم:

6.

7.

8.

9.

تتيح لك المجموعة التالية من الصيغ الانتقال من لوغاريتم بأساس معين إلى لوغاريتم بأساس عشوائي، وتسمى صيغ للانتقال إلى قاعدة جديدة:

10.

12. (النتيجة الطبيعية للخاصية 11)

الخصائص الثلاثة التالية ليست معروفة جيدًا، ولكنها غالبًا ما تستخدم عند حل المعادلات اللوغاريتمية، أو عند تبسيط التعبيرات التي تحتوي على اللوغاريتمات:

13.

14.

15.

حالات خاصة:

— اللوغاريتم العشري

— اللوغاريتم الطبيعي

عند تبسيط التعبيرات التي تحتوي على اللوغاريتمات، يتم استخدام نهج عام:

1. نمثل الكسور العشرية على أنها كسور عادية.

2. نحن نمثل الأعداد الكسرية على أنها كسور غير حقيقية.

3. نقوم بتحليل الأعداد الموجودة في قاعدة اللوغاريتم وتحت إشارة اللوغاريتم إلى عوامل بسيطة.

4. نحاول اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس الأساس.

5. تطبيق خصائص اللوغاريتمات.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتبسيط التعبيرات التي تحتوي على اللوغاريتمات.

مثال 1.

احسب:

دعونا نبسط جميع الأسس: مهمتنا هي تحويلها إلى لوغاريتمات، أساسها هو نفس رقم أساس الأس.

==(حسب الخاصية 7)=(حسب الخاصية 6) =

لنستبدل المؤشرات التي حصلنا عليها في التعبير الأصلي. نحن نحصل:

الجواب: 5.25

مثال 2. احسب:

دعونا نختصر جميع اللوغاريتمات إلى الأساس 6 (في هذه الحالة، سوف "تهاجر" اللوغاريتمات من مقام الكسر إلى البسط):

دعونا نحلل الأرقام الموجودة تحت علامة اللوغاريتم إلى عوامل بسيطة:

دعونا نطبق الخصائص 4 و 6:

دعونا نقدم البديل

نحن نحصل:

الجواب: 1

اللوغاريتم . الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

خصائص اللوغاريتمات. اللوغاريتم العشري. اللوغاريتم الطبيعي.

اللوغاريتم الرقم الموجب N للقاعدة (ب > 0, ب 1) هو الأس x الذي يجب رفع b إليه للحصول على N .

هذا الإدخال يعادل ما يلي: ب س = ن .

أمثلة: سجل 3 81 = 4، حيث أن 3 4 = 81؛

سجل 1/3 27 = – 3، بما أن (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

يمكن كتابة تعريف اللوغاريتم أعلاه كهوية:

الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

2) سجل 1 = 0، منذ ذلك الحين ب 0 = 1 .

3) لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل:

4) لوغاريتم الحاصل يساوي الفرق بين لوغاريتمات المقسوم والمقسوم عليه:

5) لوغاريتم القوة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته:

نتيجة هذه الخاصية هي ما يلي: لوغاريتم الجذر يساوي لوغاريتم العدد الجذري مقسومًا على قوة الجذر:

6) إذا كان أساس اللوغاريتم درجة، فإن القيمة يمكن إخراج معكوس الأس كقافية سجل:

يمكن دمج الخاصيتين الأخيرتين في خاصية واحدة:

7) صيغة معامل الانتقال (أي الانتقال من قاعدة لوغاريتمية إلى قاعدة أخرى):

في حالة خاصة عندما ن = ألدينا:

اللوغاريتم العشري مُسَمًّى اللوغاريتم الأساسي 10. يشار إليه بـ lg، أي. سجل 10 ن= سجل ن. لوغاريتمات الأعداد 10، 100، 1000، . ع هي 1، 2، 3، ...، على التوالي، أي. لدينا الكثير من الإيجابية

الوحدات، كم عدد الأصفار الموجودة في العدد اللوغاريتمي بعد الواحد. لوغاريتمات الأعداد 0.1، 0.01، 0.001، . p هي على التوالي -1، -2، -3، ...، أي. تحتوي على عدد من الأعداد السالبة يساوي عدد الأصفار في الرقم اللوغاريتمي قبل الواحد (بما في ذلك الأعداد الصحيحة الصفرية). تحتوي لوغاريتمات الأرقام الأخرى على جزء كسري يسمى العشري. يسمى الجزء الصحيح من اللوغاريتم صفة مميزة. للاستخدام العملي، اللوغاريتمات العشرية هي الأكثر ملاءمة.

اللوغاريتم الطبيعي مُسَمًّى اللوغاريتم الأساسي ه. يتم الإشارة إليه بواسطة ln، أي. سجل ه ن= سجل ن. رقم هغير عقلانية، قيمتها التقريبية هي 2.718281828. هو الحد الذي يميل إليه العدد (1 + 1 / ن) نمع زيادة غير محدودة ن(سم. أول حد رائعفي صفحة "حدود التسلسل الرقمي").
من الغريب أن اللوغاريتمات الطبيعية أصبحت مريحة للغاية عند تنفيذ أنواع مختلفة من العمليات المتعلقة بتحليل الوظائف. حساب اللوغاريتمات للقاعدة هيتم تنفيذه بشكل أسرع بكثير من أي سبب آخر.

كيفية الحصول على شهادة تسجيل الدولة لملكية شقة؟ وفقًا لدستور الاتحاد الروسي، تُعهد إلى الدولة بوظيفة الضامن لحقوق الملكية الخاصة. تتمتع الدولة بصلاحياتها في هذا المجال […] عقوبة عدم تقديم التقارير SZV-M وRSV-1 إلى صندوق المعاشات التقاعدية للاتحاد الروسي في نهاية كل فترة إبلاغ وتسوية، يجب على حامل البوليصة تزويد صندوق المعاشات التقاعدية بـ الحساب اللازم في النموذج RSV-1. إذا لأي سبب من الأسباب […]
متى وكيف تحصل على الجزء الممول من معاشك التقاعدي من سبيربنك؟ سبيربنك هو بنك شريك لصندوق التقاعد الحكومي. وبناء على ذلك، يمكن للمواطنين المسجلين للحصول على معاش ممول تحويل الجزء الممول من […]
كيفية الحصول على دعم فواتير الخدمات (الإيجار)؟ يتم تقديم إعانات فواتير الخدمات لفئات معينة من المواطنين وفقًا لتشريعات الإسكان في الاتحاد الروسي. لمعرفة المزيد عن الإجراء [...]
معلومات مجانية عن TIN أو OGRN من السجل الضريبي في جميع أنحاء روسيا - عبر الإنترنت على بوابة الخدمات الضريبية الموحدة، معلومات عن تسجيل الدولة للكيانات القانونية، ورجال الأعمال الأفراد، [...]
Cesspool: قوانين وأنظمة الصرف الصحي والبناء لتثبيت نظام الصرف الصحي في داشا أو منطقة حضرية، لا تحتاج إلى اتباع البناء فحسب، بل أيضًا المعايير التشريعية. بالوعة: القواعد والقواعد لترتيبها [...]

لوغاريتم الرقم b (b > 0) للأساس a (a > 0, a ≠ 1)- الأس الذي يجب رفع الرقم a إليه للحصول على b.

يمكن كتابة اللوغاريتم ذو الأساس 10 لـ b كـ سجل (ب)، واللوغاريتم للأساس e (اللوغاريتم الطبيعي) هو قانون الجنسية (ب).

غالبًا ما يستخدم عند حل المشكلات المتعلقة باللوغاريتمات:

خصائص اللوغاريتمات

هناك أربعة رئيسية خصائص اللوغاريتمات.

دع a > 0، وa ≠ 1، وx > 0، وy > 0.

الخاصية 1. لوغاريتم المنتج

لوغاريتم المنتجيساوي مجموع اللوغاريتمات:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

الخاصية 2. لوغاريتم الحاصل

لوغاريتم الحاصليساوي فرق اللوغاريتمات:

سجل أ (س / ص) = سجل س - سجل ص

الخاصية 3. لوغاريتم القوة

لوغاريتم الدرجةيساوي منتج القوة واللوغاريتم:

إذا كان أساس اللوغاريتم هو الدرجة، فسيتم تطبيق صيغة أخرى:

الخاصية 4. لوغاريتم الجذر

يمكن الحصول على هذه الخاصية من خاصية لوغاريتم القوة، حيث أن الجذر النوني للقوة يساوي قوة 1/n:

صيغة للتحويل من لوغاريتم في قاعدة واحدة إلى لوغاريتم في قاعدة أخرى

تُستخدم هذه الصيغة أيضًا غالبًا عند حل المهام المختلفة على اللوغاريتمات:

حالة خاصة:

مقارنة اللوغاريتمات (عدم المساواة)

لدينا وظيفتان f(x) وg(x) تحت اللوغاريتمات لهما نفس الأساس ويوجد بينهما علامة عدم المساواة:

للمقارنة بينهما، عليك أولاً إلقاء نظرة على قاعدة اللوغاريتمات a:

إذا كان a > 0، فإن f(x) > g(x) > 0
إذا 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

كيفية حل المشاكل مع اللوغاريتمات: أمثلة

مشاكل مع اللوغاريتماتالمدرجة في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات للصف 11 في المهمة 5 والمهمة 7، يمكنك العثور على المهام مع الحلول على موقعنا في الأقسام المناسبة. كما يمكن العثور على المهام ذات اللوغاريتمات في بنك مهام الرياضيات. يمكنك العثور على جميع الأمثلة من خلال البحث في الموقع.

ما هو اللوغاريتم

لطالما اعتبرت اللوغاريتمات موضوعًا صعبًا في دورات الرياضيات المدرسية. هناك العديد من التعريفات المختلفة للوغاريتم، ولكن لسبب ما تستخدم معظم الكتب المدرسية التعريف الأكثر تعقيدًا وغير الناجح منها.

سوف نحدد اللوغاريتم ببساطة ووضوح. للقيام بذلك، دعونا إنشاء جدول:

لذلك، لدينا قوى اثنين.

اللوغاريتمات - الخصائص، الصيغ، كيفية حلها

إذا أخذت الرقم من السطر السفلي، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي سيتعين عليك رفع اثنين إليها للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال، للحصول على 16، عليك رفع اثنين إلى القوة الرابعة. وللحصول على 64، عليك رفع اثنين إلى القوة السادسة. ويمكن ملاحظة ذلك من الجدول.

والآن - في الواقع، تعريف اللوغاريتم:

الأساس a للوسيطة x هو القوة التي يجب رفع الرقم a إليها للحصول على الرقم x.

التعيين: log a x = b، حيث a هي القاعدة، x هي الوسيطة، b هو ما يساوي اللوغاريتم فعليًا.

على سبيل المثال، 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (اللوغاريتم ذو الأساس 2 للرقم 8 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). بنفس النجاح، سجل 2 64 = 6، حيث أن 2 6 = 64.

تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لأساس معين. لذا، دعونا نضيف سطرًا جديدًا إلى جدولنا:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
سجل 2 2 = 1	سجل 2 4 = 2	سجل 2 8 = 3	سجل 2 16 = 4	سجل 2 32 = 5	سجل 2 64 = 6

لسوء الحظ، لا يتم حساب جميع اللوغاريتمات بهذه السهولة. على سبيل المثال، حاول العثور على السجل 2 5. الرقم 5 غير موجود في الجدول، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سيكون في مكان ما في الفاصل الزمني. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

تسمى هذه الأرقام غير عقلانية: يمكن كتابة الأرقام بعد العلامة العشرية إلى ما لا نهاية، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فمن الأفضل ترك الأمر على هذا النحو: سجل 2 5، سجل 3 8، سجل 5 100.

من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم هو تعبير ذو متغيرين (الأساس والوسيطة). في البداية، يخلط الكثير من الناس بين مكان الأساس ومكان الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. يتذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي يجب بناء القاعدة فيها من أجل الحصول على وسيطة. هي القاعدة المرفوعة إلى قوة - وهي مظللة باللون الأحمر في الصورة. اتضح أن القاعدة تكون دائمًا في الأسفل! أخبر طلابي بهذه القاعدة الرائعة في الدرس الأول - ولا ينشأ أي ارتباك.

كيفية حساب اللوغاريتمات

لقد اكتشفنا التعريف - كل ما تبقى هو معرفة كيفية حساب اللوغاريتمات، أي. تخلص من علامة "السجل". في البداية، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين تنبثق من التعريف:

يجب أن تكون الحجة والقاعدة دائمًا أكبر من الصفر. يأتي هذا من تعريف الدرجة بواسطة الأس العقلاني، والذي يتم تقليل تعريف اللوغاريتم إليه.
يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الواحد، حيث أن الواحد يظل واحدًا بأي درجة. ولهذا السبب، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرتفع الإنسان للحصول على اثنين" لا معنى له. لا يوجد مثل هذه الدرجة!

تسمى هذه القيود نطاق القيم المقبولة(ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كما يلي: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم). على سبيل المثال، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1، لأن 0.5 = 2 −1.

ومع ذلك، نحن الآن نفكر فقط في التعبيرات الرقمية، حيث ليس من الضروري معرفة قيمة VA للوغاريتم. لقد تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مؤلفي المهام. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات حيز التنفيذ، ستصبح متطلبات DL إلزامية. بعد كل شيء، قد يحتوي الأساس والحجة على إنشاءات قوية جدًا لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.

الآن دعونا نلقي نظرة على المخطط العام لحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:

عبر عن الأساس a والوسيطة x كقوة بأقل قاعدة ممكنة أكبر من واحد. على طول الطريق، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية؛
حل معادلة المتغير b: x = a b ;
سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.

هذا كل شئ! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فسيكون هذا مرئيًا بالفعل في الخطوة الأولى. يعد شرط أن يكون الأساس أكبر من واحد أمرًا مهمًا للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط الحسابات إلى حد كبير. الأمر نفسه ينطبق على الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية، فسيكون هناك عدد أقل من الأخطاء.

دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط باستخدام أمثلة محددة:

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 5 25

دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 5 2 ;

لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 5 25 = ب ⇒(5 1) ب = 5 2 ⇒5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2;

تلقينا الجواب: 2.

مهمة. احسب اللوغاريتم:

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 4 64

دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة اثنين: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 4 64 = ب ⇒(2 2) ب = 2 6 ⇒2 2ب = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ ب = 3;
تلقينا الجواب: 3.

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 16 1

لنتخيل القاعدة والوسيطة كقوة لاثنين: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 16 1 = ب ⇒(2 4) ب = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ ب = 0;
لقد تلقينا الجواب: 0.

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 7 14

لنتخيل القاعدة والحجة كقوة لسبعة: 7 = 7 1 ؛ لا يمكن تمثيل 14 كقوة لسبعة، لأن 7 1< 14 < 7 2 ;
ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يحسب؛
الجواب هو لا تغيير: سجل 7 14.

ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف يمكنك التأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ الأمر بسيط جدًا، ما عليك سوى تحليله إلى عوامل أولية. إذا كان للتمدد عاملين مختلفين على الأقل، فإن الرقم ليس قوة محددة.

مهمة. معرفة ما إذا كانت الأرقام هي القوى الدقيقة: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - الدرجة الدقيقة، لأن هناك مضاعف واحد فقط؛
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ليست قوة دقيقة، حيث أن هناك عاملين: 3 و 2؛
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة؛
35 = 7 · 5 - مرة أخرى ليست قوة محددة؛
14 = 7 · 2 - مرة أخرى ليست درجة محددة؛

لاحظ أيضًا أن الأعداد الأولية نفسها هي دائمًا قوى دقيقة لذاتها.

اللوغاريتم العشري

بعض اللوغاريتمات شائعة جدًا بحيث يكون لها اسم ورمز خاصان.

الوسيطة x هي اللوغاريتم للأساس 10، أي. القوة التي يجب رفع الرقم 10 إليها للحصول على الرقم x. التسمية: إل جي إكس.

على سبيل المثال، سجل 10 = 1؛ إل جي 100 = 2; إل جي 1000 = 3 - إلخ.

من الآن فصاعدًا، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في كتاب مدرسي، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك، إذا لم تكن على دراية بهذا الترميز، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س

كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على اللوغاريتمات العشرية.

اللوغاريتم الطبيعي

هناك لوغاريتم آخر له تسمية خاصة به. في بعض النواحي، يكون أكثر أهمية من العلامة العشرية. نحن نتحدث عن اللوغاريتم الطبيعي.

الوسيطة x هي اللوغاريتم للأساس e، أي. القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: ln x.

سوف يتساءل الكثير من الناس: ما هو الرقم e؟ هذا رقم غير نسبي، ولا يمكن العثور على قيمته الدقيقة وكتابتها. سأقدم الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459…

لن نخوض في التفاصيل حول ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = سجل e x

وهكذا ln e = 1؛ لن ه 2 = 2؛ لن ه 16 = 16 - الخ ومن ناحية أخرى، ln 2 هو عدد غير نسبي. بشكل عام، اللوغاريتم الطبيعي لأي رقم نسبي هو غير منطقي. باستثناء واحد بالطبع: ln 1 = 0.

بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية، فإن جميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.

أنظر أيضا:

اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتم (قوة اللوغاريتم).

كيفية تمثيل رقم على شكل لوغاريتم؟

نستخدم تعريف اللوغاريتم.

اللوغاريتم هو الأس الذي يجب رفع الأساس إليه للحصول على الرقم تحت علامة اللوغاريتم.

وبالتالي، من أجل تمثيل رقم معين c باعتباره لوغاريتم للأساس a، تحتاج إلى وضع قوة لها نفس الأساس مثل قاعدة اللوغاريتم تحت علامة اللوغاريتم، وكتابة هذا الرقم c باعتباره الأس:

يمكن تمثيل أي رقم على الإطلاق لوغاريتم - موجب، سالب، عدد صحيح، كسري، عقلاني، غير عقلاني:

لكي لا تخلط بين أ و ج في ظل الظروف العصيبة للاختبار أو الامتحان، يمكنك استخدام قاعدة الحفظ التالية:

ما هو أدناه يهبط، وما هو فوق يرتفع.

على سبيل المثال، تحتاج إلى تمثيل الرقم 2 على هيئة لوغاريتم للأساس 3.

لدينا رقمان - 2 و 3. هذان الرقمان هما الأساس والأس، وسنكتبهما تحت علامة اللوغاريتم. ويبقى تحديد أي من هذه الأرقام يجب كتابته، إلى قاعدة الدرجة، وأي منها يجب كتابته، إلى الأس.

الأساس 3 في تدوين اللوغاريتم موجود في الأسفل، مما يعني أنه عندما نمثل اثنين كوغاريتم للأساس 3، سنكتب أيضًا 3 للأساس.

2 أعلى من الثلاثة. وفي إشارة إلى الدرجة الثانية نكتب فوق الثلاثة، أي كأساس:

اللوغاريتمات. مستوى اول.

اللوغاريتمات

اللوغاريتمرقم موجب، عدد إيجابي بمرتكز على أ، أين أ > 0، أ ≠ 1، يسمى الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أ، ليحصل ب.

تعريف اللوغاريتميمكن كتابتها باختصار مثل هذا:

هذه المساواة صالحة ل ب > 0، أ > 0، أ ≠ 1.وعادة ما يطلق عليه الهوية اللوغاريتمية.
تسمى عملية إيجاد لوغاريتم الرقم بواسطة اللوغاريتم.

خصائص اللوغاريتمات:

لوغاريتم المنتج:

لوغاريتم الحاصل:

استبدال قاعدة اللوغاريتم:

لوغاريتم الدرجة:

لوغاريتم الجذر:

اللوغاريتم مع قاعدة الطاقة:

اللوغاريتمات العشرية والطبيعية.

اللوغاريتم العشريالأرقام تسمي لوغاريتم هذا الرقم بالأساس 10 وتكتب lg ب
اللوغاريتم الطبيعيتسمى الأرقام لوغاريتم هذا الرقم للأساس ه، أين ه- رقم غير منطقي يساوي 2.7 تقريبًا. وفي نفس الوقت يكتبون ln ب.

ملاحظات أخرى على الجبر والهندسة

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

تحتاج بالتأكيد إلى معرفة هذه القواعد - بدونها، لا يمكن حل أي مشكلة لوغاريتمية خطيرة. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: log a x وlog a y. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:

سجل x + سجل y = سجل a (x y);
سجل أ س - سجل ص = سجل أ (س: ص).

سجل 6 4 + سجل 6 9.

بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 − log 2 3.

القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل 2 48 - سجل 2 3 = سجل 2 (48: 3) = سجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3 135 − log 3 5.

مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
سجل 3 135 - سجل 3 5 = سجل 3 (135: 5) = سجل 3 27 = 3.

استخراج الأس من اللوغاريتم

كيفية حل اللوغاريتمات

وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6 .

دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. لدينا:

الانتقال إلى أساس جديد

تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم يسجل x يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c بحيث يكون c > 0 و c ≠ 1، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص، إذا وضعنا c = x، نحصل على:

ولكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: سجل 5 16 سجل 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2سجل 2 5;

الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9 100 lg 3.

أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة.

في هذه الحالة، سوف تساعدنا الصيغ التالية:

في الحالة الأولى، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون الرقم n أي شيء على الإطلاق، لأنه مجرد قيمة لوغاريتمية.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يسمى : .

في الواقع، ماذا يحدث إذا تم رفع الرقم b إلى قوة بحيث يعطي الرقم b إلى هذه القوة الرقم a؟ هذا صحيح: النتيجة هي نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.

مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - ببساطة أخذ المربع من قاعدة اللوغاريتم ووسيطه. مع الأخذ بعين الاعتبار قواعد ضرب القوى ذات الأساس نفسه، نحصل على:

إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يظهرون باستمرار في المشاكل، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

سجل أ = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس a لهذا الأساس نفسه يساوي واحدًا.
سجل 1 = 0 هو. الأساس a يمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كان الوسيط يحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفر! لأن 0 = 1 هو نتيجة مباشرة للتعريف.

هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.

أحد عناصر جبر المستوى البدائي هو اللوغاريتم. يأتي الاسم من اللغة اليونانية من كلمة "رقم" أو "قوة" ويعني القوة التي يجب رفع الرقم الموجود في القاعدة إليها للعثور على الرقم النهائي.

أنواع اللوغاريتمات

سجل أ ب – لوغاريتم الرقم ب للأساس أ (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0);
السجل ب - اللوغاريتم العشري (اللوغاريتم للأساس 10، أ = 10)؛
ln b – اللوغاريتم الطبيعي (اللوغاريتم للأساس e، a = e).

كيفية حل اللوغاريتمات؟

لوغاريتم b للأساس a هو الأس الذي يتطلب رفع b إلى الأساس a. يتم نطق النتيجة التي تم الحصول عليها على النحو التالي: "لوغاريتم b إلى الأساس a." الحل للمشكلات اللوغاريتمية هو أنك تحتاج إلى تحديد القوة المعطاة بالأرقام من الأرقام المحددة. هناك بعض القواعد الأساسية لتحديد أو حل اللوغاريتم، وكذلك تحويل الترميز نفسه. وباستخدامها يتم حل المعادلات اللوغاريتمية وإيجاد المشتقات وحل التكاملات وتنفيذ العديد من العمليات الأخرى. في الأساس، حل اللوغاريتم نفسه هو تدوينه المبسط. فيما يلي الصيغ والخصائص الأساسية:

لأي ; أ> 0؛ أ ≠ 1 ولأي x ; ص> 0.

سجل أ ب = ب – الهوية اللوغاريتمية الأساسية
سجل 1 = 0
اللوغاريتم أ = 1
سجل أ (س ص) = سجل س + سجل ص
سجل x/ y = سجل x – سجل y
سجل 1/x = - سجل x
سجل أ س ع = ص سجل أ س
log a k x = 1/k log a x لـ k ≠ 0
سجل أ س = سجل أ ج س ج
log a x = log b x/ log b a - صيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة
سجل أ س = 1/سجل س أ

كيفية حل اللوغاريتمات - تعليمات خطوة بخطوة للحل

أولا، اكتب المعادلة المطلوبة.

يرجى ملاحظة: إذا كان اللوغاريتم الأساسي هو 10، فسيتم تقصير الإدخال، مما يؤدي إلى لوغاريتم عشري. إذا كان هناك عدد طبيعي e، فإننا نكتبه ونختصره إلى لوغاريتم طبيعي. وهذا يعني أن نتيجة جميع اللوغاريتمات هي القوة التي يتم رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

مباشرة الحل يكمن في حساب هذه الدرجة. قبل حل تعبير باستخدام اللوغاريتم، يجب تبسيطه وفقًا للقاعدة، أي باستخدام الصيغ. يمكنك العثور على الهويات الرئيسية من خلال الرجوع قليلاً في المقالة.

عند جمع وطرح لوغاريتمات تحتوي على رقمين مختلفين ولكن بنفس الأساس، استبدلها بلوغاريتم واحد مع حاصل ضرب أو قسمة الرقمين b وc، على التوالي. في هذه الحالة، يمكنك تطبيق صيغة الانتقال إلى قاعدة أخرى (انظر أعلاه).

إذا كنت تستخدم تعبيرات لتبسيط اللوغاريتم، فهناك بعض القيود التي يجب مراعاتها. وهو: أن أساس اللوغاريتم a هو عدد موجب فقط، لكنه لا يساوي واحدًا. الرقم ب، مثل أ، يجب أن يكون أكبر من الصفر.

هناك حالات لن تتمكن فيها، من خلال تبسيط التعبير، من حساب اللوغاريتم عدديًا. يحدث أن مثل هذا التعبير لا معنى له، لأن العديد من القوى هي أرقام غير عقلانية. في ظل هذه الحالة، اترك قوة الرقم لوغاريتمًا.

لوغاريتم الرقم الموجب b للأساس a (a>0, a لا يساوي 1) هو رقم c بحيث a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

لاحظ أن لوغاريتم الرقم غير الموجب غير محدد. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون أساس اللوغاريتم رقمًا موجبًا لا يساوي 1. فمثلًا، إذا قمنا بتربيع -2، نحصل على الرقم 4، لكن هذا لا يعني أن اللوغاريتم للأساس -2 لـ 4 يساوي 2.

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

سجل أ ب = ب (أ > 0، أ ≠ 1) (2)

من المهم أن يختلف نطاق تعريف الجانبين الأيمن والأيسر لهذه الصيغة. يتم تعريف الجانب الأيسر فقط لـ b>0 وa>0 وa ≠ 1. ويتم تعريف الجانب الأيمن لأي b، ولا يعتمد على a على الإطلاق. وبالتالي، فإن تطبيق "الهوية" اللوغاريتمية الأساسية عند حل المعادلات والمتباينات يمكن أن يؤدي إلى تغيير في OD.

نتيجتان واضحتان لتعريف اللوغاريتم

سجل أ = 1 (أ > 0، أ ≠ 1) (3)
سجل أ 1 = 0 (أ > 0، أ ≠ 1) (4)

وبالفعل، عند رفع العدد أ إلى القوة الأولى نحصل على نفس العدد، وعند رفعه إلى القوة صفر نحصل على واحد.

لوغاريتم المنتج ولوغاريتم الحاصل

سجل أ (ب ج) = سجل أ ب + سجل أ ج (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج > 0) (5)

سجل أ ب ج = سجل أ ب − سجل أ ج (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج > 0) (6)

أود أن أحذر تلاميذ المدارس من استخدام هذه الصيغ بلا تفكير عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. عند استخدامها "من اليسار إلى اليمين"، تضيق ODZ، وعند الانتقال من مجموع أو اختلاف اللوغاريتمات إلى لوغاريتم المنتج أو حاصل القسمة، تتوسع ODZ.

في الواقع، يتم تعريف التعبير log a (f (x) g (x)) في حالتين: عندما تكون كلتا الدالتين موجبتين تمامًا أو عندما يكون كل من f(x) وg(x) أقل من الصفر.

بتحويل هذا التعبير إلى مجموع السجل a f (x) + log a g (x)، فإننا مضطرون إلى قصر أنفسنا فقط على الحالة عندما يكون f(x)>0 و g(x)>0. هناك تضييق في نطاق القيم المقبولة، وهذا غير مقبول بشكل قاطع، لأنه يمكن أن يؤدي إلى فقدان الحلول. توجد مشكلة مماثلة للصيغة (6).

يمكن إخراج الدرجة من علامة اللوغاريتم

سجل أ ب ص = ص سجل أ ب (أ > 0، أ ≠ 1، ب > 0) (7)

ومرة أخرى أود أن أدعو إلى الدقة. خذ بعين الاعتبار المثال التالي:

سجل أ (و (س) 2 = 2 سجل أ و (س)

من الواضح أن الجانب الأيسر من المساواة محدد لجميع قيم f(x) باستثناء الصفر. الجانب الأيمن مخصص فقط لـ f(x)>0! من خلال أخذ الدرجة من اللوغاريتم، نقوم مرة أخرى بتضييق نطاق ODZ. يؤدي الإجراء العكسي إلى توسيع نطاق القيم المقبولة. كل هذه الملاحظات لا تنطبق فقط على القوة رقم ٢، بل أيضًا على أي قوة زوجية.

صيغة للانتقال إلى أساس جديد

سجل أ ب = سجل ج ب سجل ج أ (أ > 0، أ ≠ 1، ب > 0، ج > 0، ج ≠ 1) (8)

هذه الحالة النادرة عندما لا يتغير ODZ أثناء التحويل. إذا اخترت الأساس c بحكمة (إيجابي ولا يساوي 1)، فإن صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة آمنة تمامًا.

إذا اخترنا الرقم b كقاعدة جديدة c، فسنحصل على حالة خاصة مهمة من الصيغة (8):

سجل أ ب = 1 سجل ب أ (أ > 0، أ ≠ 1، ب > 0، ب ≠ 1) (9)

بعض الأمثلة البسيطة مع اللوغاريتمات

مثال 1. احسب: log2 + log50.
حل. log2 + log50 = log100 = 2. استخدمنا صيغة مجموع اللوغاريتمات (5) وتعريف اللوغاريتم العشري.

مثال 2. احسب: lg125/lg5.
حل. log125/log5 = log 5 125 = 3. استخدمنا صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة (8).

جدول الصيغ المتعلقة باللوغاريتمات

سجل أ ب = ب (أ > 0، أ ≠ 1)

سجل أ = 1 (أ > 0، أ ≠ 1)

سجل أ 1 = 0 (أ > 0، أ ≠ 1)

سجل أ (ب ج) = سجل أ ب + سجل أ ج (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج > 0)

سجل أ ب ج = سجل أ ب − سجل أ ج (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج > 0)

سجل أ ب ص = ص سجل أ ب (أ > 0، أ ≠ 1، ب > 0)

سجل أ ب = سجل ج ب سجل ج أ (أ > 0، أ ≠ 1، ب > 0، ج > 0، ج ≠ 1)

سجل أ ب = 1 سجل ب أ (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1)

جمع وطرح اللوغاريتمات

فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: السجل أ سوسجل أ ذ. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:

سجل أ س+ سجل أ ذ=log أ (س · ذ);
سجل أ س- سجل أ ذ=log أ (س : ذ).

ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم أخذ أجزائه الفردية في الاعتبار (راجع الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألقِ نظرة على الأمثلة وانظر:

سجل 6 4 + سجل 6 9.

بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 − log 2 3.

القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل 2 48 - سجل 2 3 = سجل 2 (48: 3) = سجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3 135 − log 3 5.

مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
سجل 3 135 - سجل 3 5 = سجل 3 (135: 5) = سجل 3 27 = 3.

استخراج الأس من اللوغاريتم

بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: أ > 0, أ ≠ 1, س> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا بالعكس، أي. يمكنك إدخال الأرقام قبل تسجيل اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6 .

دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:
[تعليق على الصورة]

لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. لدينا:

[تعليق على الصورة]

الانتقال إلى أساس جديد

تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:

دع سجل اللوغاريتم يعطى أ س. ثم لأي رقم جمثل ذلك ج> 0 و ج≠ 1، المساواة صحيحة:
[تعليق على الصورة]
على وجه الخصوص، إذا وضعنا ج = س، نحن نحصل:
[تعليق على الصورة]

ولكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: سجل 5 16 سجل 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2سجل 2 5;

الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:

[تعليق على الصورة]

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9 100 lg 3.

أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:

[تعليق على الصورة]

الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

[تعليق على الصورة]

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

في الحالة الأولى العدد نيصبح مؤشرا على درجة الوقوف في الحجة. رقم نيمكن أن تكون أي شيء على الإطلاق، لأنها مجرد قيمة لوغاريتمية.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يطلق عليه: الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

في الواقع، ماذا سيحدث إذا كان العدد برفع إلى هذه القوة أن العدد بلهذه القوة يعطي الرقم أ؟ هذا صحيح: تحصل على نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.

مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:
[تعليق على الصورة]

[تعليق على الصورة]

إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

سجل أ أ= 1 هي وحدة لوغاريتمية. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: اللوغاريتم لأي قاعدة أمن هذه القاعدة ذاتها يساوي واحدًا.
سجل أ 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. قاعدة أيمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كانت الوسيطة تحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفرًا! لأن أ 0 = 1 هو نتيجة مباشرة للتعريف.

هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.

اللوغاريتمات. خصائص اللوغاريتمات

مشاكل واختبارات حول موضوع "اللوغاريتمات. خصائص اللوغاريتمات"

خصائص اللوغاريتمات والصياغات والبراهين.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات والصيغ

الصياغة وإثبات الخصائص

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

جمع وطرح اللوغاريتمات

استخراج الأس من اللوغاريتم

الانتقال إلى أساس جديد

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتم (الجمع والطرح).

جمع وطرح اللوغاريتمات.

اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتمات

خصائص اللوغاريتمات

الخاصية 1. لوغاريتم المنتج

الخاصية 2. لوغاريتم الحاصل

الخاصية 3. لوغاريتم القوة

الخاصية 4. لوغاريتم الجذر

صيغة للتحويل من لوغاريتم في قاعدة واحدة إلى لوغاريتم في قاعدة أخرى

مقارنة اللوغاريتمات (عدم المساواة)

كيفية حل المشاكل مع اللوغاريتمات: أمثلة

ما هو اللوغاريتم

اللوغاريتمات - الخصائص، الصيغ، كيفية حلها

كيفية حساب اللوغاريتمات

اللوغاريتم العشري

اللوغاريتم الطبيعي

اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتم (قوة اللوغاريتم).

اللوغاريتمات. مستوى اول.

اللوغاريتمات

اللوغاريتمات العشرية والطبيعية.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

جمع وطرح اللوغاريتمات

استخراج الأس من اللوغاريتم

كيفية حل اللوغاريتمات

الانتقال إلى أساس جديد

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

أنواع اللوغاريتمات

كيفية حل اللوغاريتمات؟

كيفية حل اللوغاريتمات - تعليمات خطوة بخطوة للحل

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

نتيجتان واضحتان لتعريف اللوغاريتم

لوغاريتم المنتج ولوغاريتم الحاصل

يمكن إخراج الدرجة من علامة اللوغاريتم

صيغة للانتقال إلى أساس جديد

بعض الأمثلة البسيطة مع اللوغاريتمات

جدول الصيغ المتعلقة باللوغاريتمات

جمع وطرح اللوغاريتمات

استخراج الأس من اللوغاريتم

الانتقال إلى أساس جديد

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي