صيغة لحساب حجم الجسم الذي يدور حول محور. كيفية حساب حجم جسم الثورة؟ ثانيا. تكرار المواد التي سبق دراستها
I. أحجام الأجسام الدورانية. دراسة أولية للفصل الثاني عشر، الفقرات 197، 198 من الكتاب المدرسي لـ G. M. Fikhtengolts * تحليل الأمثلة الواردة في الفقرة 198 بالتفصيل.
508. احسب حجم الجسم الذي يتكون من دوران الشكل الناقص حول محور الثور.
هكذا،
530. أوجد مساحة السطح الناتجة عن الدوران حول محور الثور للقوس الجيبي y = sin x من النقطة X = 0 إلى النقطة X = It.
531. احسب مساحة سطح المخروط بارتفاع h ونصف قطر r.
532. حساب مساحة السطح المشكلة
دوران الكويكب x3 -)- y* - a3 حول محور الثور.
533. احسب مساحة السطح الناتجة عن تدوير حلقة المنحنى 18 ug - x (6 - x) z حول محور الثور.
534. أوجد سطح الطارة الناتجة عن دوران الدائرة X2 - j - (y-3)2 = 4 حول محور الثور.
535. احسب مساحة السطح التي شكلتها دوران الدائرة X = التكلفة، y = asint حول محور الثور.
536. احسب مساحة السطح التي تشكلها دوران حلقة المنحنى x = 9t2، y = St - 9t3 حول محور الثور.
537. أوجد مساحة السطح التي تشكلها دوران قوس المنحنى x = e*sint, y = el التكلفة حول محور الثور
من ر = 0 إلى ر = —.
538. أظهر أن السطح الناتج عن دوران القوس الدائري x = a (q> -sin φ)، y = a (I - cos φ) حول محور Oy يساوي 16 u2 o2.
539. أوجد السطح الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير الشكل القلبي حول المحور القطبي.
540. أوجد مساحة السطح التي تشكلت من دوران lemniscate 
حول المحور القطبي.
مهام إضافية للفصل الرابع
مساحات الأشكال المستوية
541. أوجد المساحة الكاملة للمنطقة التي يحدها المنحنى 
ومحور الثور.
542. أوجد مساحة المنطقة التي يحدها المنحنى
ومحور الثور.
543. أوجد جزء مساحة المنطقة الواقعة في الربع الأول ويحدها المنحنى
ل تنسيق المحاور.
544. أوجد مساحة المنطقة الموجودة بالداخل
الحلقات: 
545. أوجد مساحة المنطقة التي يحدها حلقة واحدة من المنحنى:
546. أوجد مساحة المنطقة الموجودة داخل الحلقة: 
547. أوجد مساحة المنطقة التي يحدها المنحنى
ومحور الثور.
548. أوجد مساحة المنطقة التي يحدها المنحنى
ومحور الثور.
549. أوجد مساحة المنطقة التي يحدها محور Oxr
مستقيم ومنحنى 
يمكن حساب حجم جسم الثورة باستخدام الصيغة:
في الصيغة، يجب أن يكون الرقم موجودًا قبل التكامل. لقد حدث أن كل ما يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.
أعتقد أنه من السهل تخمين كيفية تعيين حدود التكامل "a" و"be" من الرسم المكتمل.
الوظيفة... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المسطح يحده الرسم البياني للقطع المكافئ في الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.
في المهام العملية، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - يتم تربيع التكامل في الصيغة: هكذا التكامل دائمًا غير سلبي وهو أمر منطقي للغاية.
دعونا نحسب حجم الجسم الدوار باستخدام هذه الصيغة: 
كما لاحظت بالفعل، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.
إجابة: 
في إجابتك، يجب أن تشير إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسم الدوران حوالي 3.35 "مكعبًا". لماذا مكعب وحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. من الممكن أن يكون هناك سنتيمترات مكعبة، أو أمتار مكعبة، أو كيلومترات مكعبة، وما إلى ذلك، هذا هو عدد الرجال الخضر الذين يمكن لخيالك أن يضعهم في طبق طائر.
مثال 2
أوجد حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل محدد بخطوط،
هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
دعونا نفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.
مثال 3
احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتدوير حول محور الإحداثي السيني للشكل الذي يحده الخطوط،، و
حل: لنرسم في الرسم شكلاً مسطحاً محاطاً بالخطوط،،،، دون أن ننسى أن المعادلة تحدد المحور:
الشكل المطلوب مظلل باللون الأزرق. وعندما تدور حول محورها، فإنها تتحول إلى كعكة سريالية ذات أربع زوايا.
دعونا نحسب حجم جسم الثورة كما الفرق في أحجام الأجسام.
أولاً، دعونا نلقي نظرة على الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول محور، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع بواسطة.
خذ بعين الاعتبار الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر.
إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع، أصغر قليلاً فقط. دعونا نشير إلى حجمه بواسطة.
ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات" الخاصة بنا.
نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم الجسم الذي يدور:
1) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر يحده من الأعلى خط مستقيم، وبالتالي:
2) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم، وبالتالي:
إجابة:
3) حجم جسم الثورة المطلوب :
من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام الصيغة المدرسية لحساب حجم المخروط المقطوع.
والآن لنأخذ قسطًا من الراحة ونخبرك بالأوهام الهندسية.
غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات، وهو ما لاحظه بيرلمان (آخر) في الكتاب هندسة مسلية. انظر إلى الشكل المسطح في المسألة التي تم حلها - يبدو صغيرًا في المساحة، وحجم جسم الدوران يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. وبالمناسبة، فإن الشخص العادي يشرب ما يعادل غرفة مساحتها 18 مترًا مربعًا من السوائل طوال حياته، وهو على العكس من ذلك يبدو حجمًا صغيرًا جدًا.
بشكل عام، كان نظام التعليم في الاتحاد السوفياتي هو الأفضل حقا. نفس كتاب بيرلمان، الذي نشر في عام 1950، يتطور بشكل جيد للغاية، كما قال الفكاهي، والتفكير ويعلمك البحث عن حلول أصلية وغير قياسية للمشاكل. لقد قمت مؤخرًا بإعادة قراءة بعض الفصول باهتمام كبير، وأوصي بها، فهي في متناول حتى الإنسانيين. لا، لست بحاجة إلى أن تبتسم لأنني عرضت عليك وقت فراغ، فسعة الاطلاع وآفاق واسعة في التواصل شيء عظيم.
بعد الاستطراد الغنائي، من المناسب حل المهمة الإبداعية:
مثال 4
احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل مسطح محدد بخطوط،، حيث.
هذا مثال لك لحله بنفسك. يرجى ملاحظة أن جميع الحالات تحدث في النطاق، أي أن حدود التكامل الجاهزة معطاة بالفعل. ارسم الرسوم البيانية للدوال المثلثية بشكل صحيح، واسمحوا لي أن أذكركم بمادة الدرس حول التحولات الهندسية للرسوم البيانية : إذا تم تقسيم الوسيطة على اثنين:، فسيتم تمديد الرسوم البيانية على طول المحور مرتين. يُنصح بالعثور على 3-4 نقاط على الأقل وفقا للجداول المثلثية لإكمال الرسم بشكل أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية شديدة.
بجانب إيجاد مساحة الشكل المستوي باستخدام التكامل المحدد التطبيق الأكثر أهمية للموضوع هو حساب حجم جسم الثورة. المادة بسيطة، لكن يجب أن يكون القارئ مستعدًا: يجب أن تكون قادرًا على الحل التكاملات غير المحددة التعقيد المتوسط وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز تكامل محدد . كما هو الحال مع مشكلة العثور على المنطقة، فأنت بحاجة إلى مهارات رسم واثقة - وهذا هو الشيء الأكثر أهمية تقريبًا (نظرًا لأن التكاملات نفسها غالبًا ما تكون سهلة). يمكنك إتقان تقنيات الرسم البياني المختصة والسريعة بمساعدة المواد المنهجية . ولكن، في الواقع، لقد تحدثت بالفعل عن أهمية الرسومات عدة مرات في الفصل. .
بشكل عام، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل باستخدام تكامل محدد، يمكنك حساب مساحة الشكل، وحجم الجسم الدوران، وطول القوس، ومساحة السطح. الجسم وأكثر من ذلك بكثير. لذا سيكون الأمر ممتعًا، يرجى البقاء متفائلًا!
تخيل شكلًا مسطحًا على المستوى الإحداثي. قدَّم؟ ... وأتساءل من قدم ماذا... =))) لقد وجدنا مساحتها بالفعل. ولكن، بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تدوير هذا الشكل، وتدويره بطريقتين:
– حول المحور السيني. - حول المحور الإحداثي.
هذه المقالة سوف تدرس كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص، فهي تسبب معظم الصعوبات، ولكن في الواقع الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. على سبيل المكافأة سأعود إلى مشكلة إيجاد مساحة الشكل وسأخبرك بكيفية العثور على المنطقة بالطريقة الثانية - على طول المحور. إنها ليست مكافأة بقدر ما تتناسب المادة جيدًا مع الموضوع.
لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التناوب.
حساب حجم الجسم المتكون من دوران شكل مسطح حول محور
مثال 1
احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل محدد بخطوط حول محور.
حل:كما هو الحال في مشكلة العثور على المنطقة، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل يحده الخطوط، ولا تنس أن المعادلة تحدد المحور. كيفية إكمال الرسم بشكل أكثر كفاءة وسرعة يمكن العثور عليها على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية و تكامل محدد. كيفية حساب مساحة الشكل . هذا تذكير صيني، ولن أطيل في الحديث عند هذه النقطة.
الرسم هنا بسيط للغاية:
الشكل المسطح المطلوب مظلل باللون الأزرق وهو الذي يدور حول المحور. وكنتيجة للدوران، تكون النتيجة طبقًا طائرًا بيضاويًا قليلًا ومتماثلًا حول المحور. في الواقع، الجسم له اسم رياضي، لكنني كسول جدًا بحيث لا أستطيع البحث في الكتاب المرجعي، لذلك نمضي قدمًا.
كيفية حساب حجم جسم الثورة؟
يمكن حساب حجم جسم الثورة باستخدام الصيغة:
في الصيغة، يجب أن يكون الرقم موجودًا قبل التكامل. لقد حدث أن كل ما يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.
أعتقد أنه من السهل تخمين كيفية تعيين حدود التكامل "a" و"be" من الرسم المكتمل.
الوظيفة... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المستوي محدد بالرسم البياني للقطع المكافئ في الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.
في المهام العملية، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - تم تربيع الدالة في الصيغة: وبالتالي إن حجم جسم الثورة يكون دائمًا غير سلبيوهو أمر منطقي للغاية.
دعونا نحسب حجم الجسم الدوار باستخدام هذه الصيغة: 
كما لاحظت بالفعل، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.
إجابة: 
في إجابتك، يجب أن تشير إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسم الدوران حوالي 3.35 "مكعبًا". لماذا مكعب وحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. من الممكن أن يكون هناك سنتيمترات مكعبة، أو أمتار مكعبة، أو كيلومترات مكعبة، وما إلى ذلك، هذا هو عدد الرجال الخضر الذين يمكن لخيالك أن يضعهم في طبق طائر.
مثال 2
أوجد حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل محدد بالخطوط،،
هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
دعونا نفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.
مثال 3
احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتدوير حول محور الإحداثي السيني للشكل الذي يحده الخطوط و و
حل:دعونا نرسم في الرسم شكلاً مسطحًا محاطًا بالخطوط , , , دون أن ننسى أن المعادلة تحدد المحور:
الشكل المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما تدور حول محورها، تتحول إلى كعكة سريالية ذات أربع زوايا.
دعونا نحسب حجم جسم الثورة كما الفرق في أحجام الأجسام.
أولاً، دعونا نلقي نظرة على الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول محور، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع بواسطة .
خذ بعين الاعتبار الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع، أصغر قليلاً فقط. دعونا نشير إلى حجمه بواسطة .
ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات" الخاصة بنا.
نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:
1) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر يحده من الأعلى خط مستقيم، وبالتالي:
2) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم، وبالتالي:
3) حجم جسم الثورة المطلوب :
إجابة:
من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام الصيغة المدرسية لحساب حجم المخروط المقطوع.
غالبًا ما يُكتب القرار نفسه بشكل أقصر، مثل هذا:
والآن لنأخذ قسطًا من الراحة ونخبرك بالأوهام الهندسية.
غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات، والتي لاحظها بيرلمان (وليس هذا) في الكتاب هندسة مسلية. انظر إلى الشكل المسطح في المسألة التي تم حلها - يبدو صغيرًا في المساحة، وحجم جسم الدوران يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. وبالمناسبة، فإن الشخص العادي يشرب ما يعادل غرفة مساحتها 18 مترًا مربعًا من السوائل طوال حياته، وهو على العكس من ذلك يبدو حجمًا صغيرًا جدًا.
بشكل عام، كان نظام التعليم في الاتحاد السوفياتي هو الأفضل حقا. نفس كتاب بيرلمان، الذي كتبه في عام 1950، يتطور بشكل جيد للغاية، كما قال الفكاهي، والتفكير ويعلم البحث عن حلول أصلية وغير قياسية للمشاكل. لقد قمت مؤخرًا بإعادة قراءة بعض الفصول باهتمام كبير، وأوصي بها، فهي في متناول حتى الإنسانيين. لا، لا داعي لأن تبتسم لأنني عرضت عليك وقت فراغ، فسعة الاطلاع وآفاق واسعة في التواصل شيء عظيم.
بعد الاستطراد الغنائي، من المناسب حل المهمة الإبداعية:
مثال 4
احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل مسطح يحده الخطان , , حيث .
هذا مثال لك لحله بنفسك. يرجى ملاحظة أن كل الأشياء تحدث في النطاق، وبعبارة أخرى، يتم إعطاء حدود التكامل الجاهزة عمليا. حاول أيضًا رسم الرسوم البيانية للدوال المثلثية بشكل صحيح؛ إذا كانت الوسيطة مقسمة على اثنين: فسيتم تمديد الرسوم البيانية مرتين على طول المحور. حاول العثور على 3-4 نقاط على الأقل وفقا للجداول المثلثية وأكمل الرسم بدقة أكبر. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية شديدة.
يمكن حساب حجم جسم الثورة باستخدام الصيغة:
في الصيغة، يجب أن يكون الرقم موجودًا قبل التكامل. لقد حدث أن كل ما يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.
أعتقد أنه من السهل تخمين كيفية تعيين حدود التكامل "a" و"be" من الرسم المكتمل.
الوظيفة... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المستوي محدد بالرسم البياني للقطع المكافئ في الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.
في المهام العملية، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - تم تربيع الدالة في الصيغة: وبالتالي إن حجم جسم الثورة يكون دائمًا غير سلبيوهو أمر منطقي للغاية.
دعونا نحسب حجم الجسم الدوار باستخدام هذه الصيغة:
كما لاحظت بالفعل، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.
إجابة:
في إجابتك، يجب أن تشير إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسم الدوران حوالي 3.35 "مكعبًا". لماذا مكعب وحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. من الممكن أن يكون هناك سنتيمترات مكعبة، أو أمتار مكعبة، أو كيلومترات مكعبة، وما إلى ذلك، هذا هو عدد الرجال الخضر الذين يمكن لخيالك أن يضعهم في طبق طائر.
مثال 2
أوجد حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل محدد بالخطوط،،
هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
دعونا نفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.
مثال 3
احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتدوير حول محور الإحداثي السيني للشكل الذي يحده الخطوط و و
حل:دعونا نرسم في الرسم شكلاً مسطحًا محاطًا بالخطوط , , , دون أن ننسى أن المعادلة تحدد المحور:
الشكل المطلوب مظلل باللون الأزرق. وعندما تدور حول محورها، فإنها تتحول إلى كعكة سريالية ذات أربع زوايا.
دعونا نحسب حجم جسم الثورة كما الفرق في أحجام الأجسام.
أولاً، دعونا نلقي نظرة على الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول محور، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع بواسطة .
خذ بعين الاعتبار الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع، أصغر قليلاً فقط. دعونا نشير إلى حجمه بواسطة .
ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات" الخاصة بنا.
نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:
1) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر يحده من الأعلى خط مستقيم، وبالتالي:
2) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم، وبالتالي:
3) حجم جسم الثورة المطلوب :
إجابة:
من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام الصيغة المدرسية لحساب حجم المخروط المقطوع.
غالبًا ما يُكتب القرار نفسه بشكل أقصر، مثل هذا:
والآن لنأخذ قسطًا من الراحة ونخبرك بالأوهام الهندسية.
غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات، والتي لاحظها بيرلمان (وليس هذا) في الكتاب هندسة مسلية. انظر إلى الشكل المسطح في المسألة التي تم حلها - يبدو صغيرًا في المساحة، وحجم جسم الدوران يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. وبالمناسبة، فإن الشخص العادي يشرب ما يعادل غرفة مساحتها 18 مترًا مربعًا من السوائل طوال حياته، وهو على العكس من ذلك يبدو حجمًا صغيرًا جدًا.
بشكل عام، كان نظام التعليم في الاتحاد السوفياتي هو الأفضل حقا. نفس كتاب بيرلمان، الذي كتبه في عام 1950، يتطور بشكل جيد للغاية، كما قال الفكاهي، والتفكير ويعلم البحث عن حلول أصلية وغير قياسية للمشاكل. لقد قمت مؤخرًا بإعادة قراءة بعض الفصول باهتمام كبير، وأوصي بها، فهي في متناول حتى الإنسانيين. لا، لست بحاجة إلى أن تبتسم لأنني عرضت عليك وقت فراغ، فسعة الاطلاع وآفاق واسعة في التواصل شيء عظيم.
بعد الاستطراد الغنائي، من المناسب حل المهمة الإبداعية:
مثال 4
احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل مسطح يحده الخطان , , حيث .
هذا مثال لك لحله بنفسك. يرجى ملاحظة أن كل الأشياء تحدث في النطاق، وبعبارة أخرى، يتم إعطاء حدود التكامل الجاهزة عمليا. حاول أيضًا رسم الرسوم البيانية للدوال المثلثية بشكل صحيح؛ إذا كانت الوسيطة مقسمة على اثنين: فسيتم تمديد الرسوم البيانية مرتين على طول المحور. حاول العثور على 3-4 نقاط على الأقل وفقا للجداول المثلثيةوأكمل الرسم بدقة أكبر. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية شديدة.
حساب حجم الجسم الناتج عن الدوران
شكل مسطح حول محور
ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم دوراني حول المحور الإحداثي هي أيضًا ضيف شائع إلى حد ما في أعمال الاختبار. على طول الطريق سيتم النظر فيها مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية هي التكامل على طول المحور، وهذا لن يسمح لك بتحسين مهاراتك فحسب، بل سيعلمك أيضًا كيفية العثور على مسار الحل الأكثر ربحية. هناك أيضًا معنى للحياة العملية في هذا! كما تذكرت معلمتي في أساليب تدريس الرياضيات بابتسامة، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "لقد ساعدنا موضوعك كثيرًا، والآن نحن مديرون فعالون وندير الموظفين على النحو الأمثل". وأغتنم هذه الفرصة، كما أعرب عن امتناني الكبير لها، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود =).
مثال 5
نظرا لشكل مسطح تحده الخطوط , .
1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح محدد بهذه الخطوط حول المحور.
انتباه!حتى لو كنت تريد فقط قراءة النقطة الثانية، أولا بالضرورةقراءة أول واحد!
حل:تتكون المهمة من جزأين. لنبدأ بالمربع.
1) لنقم بالرسم:
من السهل أن نرى أن الدالة تحدد الفرع العلوي من القطع المكافئ، والدالة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطع مكافئ تافه "يقع على جانبه".
الشكل المطلوب الذي سيتم العثور على مساحته مظلل باللون الأزرق.
كيفية العثور على مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "العادية" التي تمت مناقشتها في الفصل تكامل محدد. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك، يتم إيجاد مساحة الشكل كمجموع المساحات:
- على الجزء؛
- على الجزء.
لهذا السبب:
لماذا الحل المعتاد سيء في هذه الحالة؟ أولًا، حصلنا على تكاملين. ثانيا، التكاملات هي جذور، والجذور في التكاملات ليست هدية، وبالإضافة إلى ذلك، يمكنك الخلط بين استبدال حدود التكامل. في الواقع، التكاملات، بالطبع، ليست قاتلة، ولكن في الممارسة العملية، يمكن أن يكون كل شيء أكثر حزنًا، لقد اخترت للتو وظائف "أفضل" للمشكلة.
هناك حل أكثر عقلانية: يتكون من التبديل إلى الدوال العكسية والتكامل على طول المحور.
كيفية الوصول إلى وظائف عكسية؟ بشكل تقريبي، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولا، دعونا ننظر إلى القطع المكافئ:
هذا يكفي، ولكن دعونا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:
الأمر أسهل مع الخط المستقيم:
انظر الآن إلى المحور: من فضلك قم بإمالة رأسك بشكل دوري إلى اليمين بمقدار 90 درجة كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الرقم الذي نحتاجه يقع على القطعة، والتي يشار إليها بالخط الأحمر المنقط. في هذه الحالة، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل:. ما الذي تغير في الصيغة؟ مجرد خطاب وليس أكثر.
! ملاحظة: يجب تعيين حدود التكامل على طول المحور بدقة من الأسفل إلى الأعلى!
إيجاد المنطقة:
على هذا الجزء، لذلك:
يرجى ملاحظة كيف قمت بالتكامل، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون السبب واضحًا.
للقراء الذين يشككون في صحة التكامل، سأجد المشتقات:
تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أن التكامل قد تم بشكل صحيح.
إجابة:
2) دعونا نحسب حجم الجسم الذي يتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.
سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:
إذن، الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.
لإيجاد حجم جسم يدور، سنتكامل على طول المحور. أولا نحن بحاجة للذهاب إلى وظائف عكسية. وقد تم ذلك بالفعل ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.
الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أنه يجب إيجاد حجم الجسم الدوار بالفرق في الأحجام.
نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى هذا الحجم بواسطة .
نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر حول المحور ونشير إليه بحجم جسم الدوران الناتج.
حجم الفراشة يساوي الفرق في الحجوم.
نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة:
ما هو الفرق من الصيغة في الفقرة السابقة؟ فقط في الرسالة.
لكن العثور على ميزة التكامل، التي تحدثت عنها مؤخرًا، أسهل بكثير من رفع قيمة التكامل إلى القوة الرابعة أولاً.
إجابة:
ومع ذلك، ليست فراشة مريضة.
لاحظ أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور، فستحصل على جسم دوران مختلف تمامًا، بحجم مختلف، بشكل طبيعي.
مثال 6
إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.
1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط عن طريق التكامل على المتغير.
2) احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح يحده هذه الخطوط حول المحور.
هذا مثال لك لحله بنفسك. يمكن للمهتمين أيضًا العثور على مساحة الشكل بالطريقة "المعتادة"، وبالتالي التحقق من النقطة 1). ولكن، أكرر، إذا قمت بتدوير شكل مسطح حول المحور، فستحصل على جسم دوران مختلف تمامًا بحجم مختلف، بالمناسبة، الإجابة الصحيحة (أيضًا لأولئك الذين يحبون حل المشكلات).
الحل الكامل للنقطتين المقترحتين للمهمة موجود في نهاية الدرس.
نعم، ولا تنس أن تميل رأسك إلى اليمين لتفهم أجسام الدوران وحدود التكامل!
كنت على وشك الانتهاء من المقالة، لكنهم قدموا اليوم مثالًا مثيرًا للاهتمام فقط لإيجاد حجم جسم دوراني حول المحور الإحداثي. طازج:
مثال 7
احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل محدد بمنحنيات و. يتوافق الفرع الأيسر غير المستخدم من القطع المكافئ مع الدالة العكسية - يقع الرسم البياني للدالة على الجزء الموجود أعلى المحور؛
من المنطقي أن نفترض أن حجم الجسم الدوراني يجب أن يكون عبارة عن مجموع أحجام الأجسام الدورانية!
نحن نستخدم الصيغة:
في هذه الحالة:
إجابة:
في مشكلة إيجاد مساحة الشكلغالبًا ما يتم استخدام جمع المساحات، ولكن يبدو أن جمع أحجام الأجسام الدورانية أمر نادر، نظرًا لأن مثل هذا التنوع كاد أن يقع خارج مجال رؤيتي. ومع ذلك، من الجيد أن المثال الذي ناقشناه ظهر في الوقت المناسب، حيث تمكنا من استخلاص الكثير من المعلومات المفيدة.
الترويج الناجح للشخصيات!
يستثني إيجاد مساحة الشكل المستوي باستخدام تكامل محدد (انظر 7.2.3.)التطبيق الأكثر أهمية للموضوع هو حساب حجم جسم الثورة. المادة بسيطة، لكن يجب أن يكون القارئ مستعدًا: يجب أن تكون قادرًا على الحل التكاملات غير المحددةالتعقيد المتوسط وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز التكامل المحدد، نأنت أيضًا بحاجة إلى مهارات رسم قوية. بشكل عام، هناك العديد من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل باستخدام تكامل محدد، يمكنك حساب مساحة الشكل، وحجم الجسم الدوران، وطول القوس، ومساحة سطح الجسم؛ وأكثر من ذلك بكثير. تخيل شكلًا مسطحًا على المستوى الإحداثي. قدَّم؟ ... الآن يمكن أيضًا تدوير هذا الشكل، وتدويره بطريقتين:
– حول المحور السيني ;
- حول المحور الإحداثي .
دعونا ننظر في كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص، فهي تسبب معظم الصعوبات، ولكن في الواقع الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التناوب.
حساب حجم الجسم المتكون من دوران شكل مسطح حول محور ثور
مثال 1
احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل محدد بخطوط حول محور.
حل:كما هو الحال في مشكلة العثور على المنطقة، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. وهذا هو، على متن الطائرة XOYفمن الضروري بناء شكل يحده الخطوط، ولا ننسى أن المعادلة تحدد المحور. الرسم هنا بسيط للغاية:
الشكل المسطح المطلوب مظلل باللون الأزرق وهو الذي يدور حول المحور. ونتيجة للدوران، تكون النتيجة طبقًا طائرًا بيضاويًا قليلًا مع قمتين حادتين على المحور ثور، متناظرة حول المحور ثور. في الواقع، الجسم له اسم رياضي، انظر في الكتاب المرجعي.
كيفية حساب حجم جسم الثورة؟ إذا تشكل جسم نتيجة دورانه حول محورثور، وهي مقسمة عقليًا إلى طبقات متوازية ذات سماكة صغيرة dx، والتي تكون متعامدة مع المحور ثور. من الواضح أن حجم الجسم بأكمله يساوي مجموع أحجام هذه الطبقات الأولية. كل طبقة، مثل شريحة مستديرة من الليمون، هي عبارة عن أسطوانة منخفضة الارتفاع dxومع نصف القطر الأساسي و(س). ثم حجم طبقة واحدة هو نتاج مساحة القاعدة π و 2 لكل ارتفاع الاسطوانة ( dx)، أو π∙ و 2 (س)∙dx. ومساحة جسم الدوران بأكمله هي مجموع الأحجام الأولية، أو التكامل المحدد المقابل. يمكن حساب حجم جسم الثورة باستخدام الصيغة:
.
يمكن تخمين كيفية تعيين حدود التكامل "a" و"be" بسهولة من الرسم المكتمل. الوظيفة... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المستوي محدد بالرسم البياني للقطع المكافئ في الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة. في المهام العملية، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور ثور. هذا لا يغير شيئًا - تم تربيع الدالة في الصيغة: و 2 (س)، هكذا، إن حجم جسم الثورة يكون دائمًا غير سلبيوهو أمر منطقي للغاية. دعونا نحسب حجم الجسم الدوار باستخدام هذه الصيغة:
.
كما لاحظنا بالفعل، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.
إجابة: 
في إجابتك، يجب أن تشير إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسم الدوران حوالي 3.35 "مكعبًا". لماذا مكعب وحدات؟ لأن هذه هي الصيغة الأكثر عالمية. من الممكن أن يكون هناك سنتيمترات مكعبة، أو أمتار مكعبة، أو كيلومترات مكعبة، وما إلى ذلك، هذا هو عدد الرجال الخضر الذين يمكن لخيالك أن يضعهم في طبق طائر.
مثال 2
أوجد حجم الجسم الناتج عن دورانه حول محور ثورشكل يحده خطوط , .
هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
مثال 3
احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير الشكل الذي يحده الخطوط، و، وحول محور الإحداثي السيني.
حل:دعونا نصور في الرسم شكلاً مسطحاً يحده الخطوط , , , دون أن ننسى أن المعادلة س= 0 يحدد المحور أوي:
الشكل المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما يدور حول محور ثوروالنتيجة هي كعكة مسطحة وزاوية (غسالة ذات سطحين مخروطيين).
دعونا نحسب حجم جسم الثورة كما الفرق في أحجام الأجسام. أولاً، دعونا نلقي نظرة على الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول محور ثوروالنتيجة هي مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع بواسطة V 1 .
خذ بعين الاعتبار الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الرقم حول المحور ثور، ثم تحصل على نفس المخروط المقطوع، فقط أصغر قليلاً. دعونا نشير إلى حجمه بواسطة V 2 .
ومن الواضح أن الفرق في الكميات V = V 1 - V 2 هو حجم "الدونات" لدينا.
نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:
1) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر يحده من الأعلى خط مستقيم، وبالتالي:
2) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم، وبالتالي:
3) حجم جسم الثورة المطلوب : 
إجابة: 
من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام الصيغة المدرسية لحساب حجم المخروط المقطوع.
غالبًا ما يُكتب القرار نفسه بشكل أقصر، مثل هذا:
