Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами. Векторы для чайников. Действия с векторами. Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами Векторы теория формулы

15.11.2020

Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат - его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектор (от лат. «vector » – «несущий») – направленный отрезок прямой в пространстве или на плоскости.

Графически вектор изображается в виде направленного отрезка прямой определенной длины. Вектор, начало которого находится в точке , а конец – в точке , обозначается как (рис. 1). Также вектор можно обозначать одной маленькой буквой, например, .

Если в пространстве задана система координат, то вектор можно однозначно задать набором своих координат. То есть под вектором понимается объект, который имеет величину (длину), направление и точку приложения (начало вектора).

Начала векторного исчисления появились в работах в 1831 году в работах немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Иоганна Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Работы, посвященные операциям с векторами, опубликовал ирландский математик, механик и физик-теоретик, сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865) в рамках своего кватернионного исчисления. Ученый предложил термин «вектор» и описал некоторые операции над векторами. Векторное исчисление получило свое дальнейшее развитие благодаря работам по электромагнетизму британского физика, математика и механика Джеймса Клерка Максвелла (1831-1879). В 1880-х годах увидела свет книга «Элементы векторного анализа» американского физика, физикохимика, математика и механика Джозайя Уилларда Гиббса (1839-1903). Современный векторный анализ был описан в 1903 году в работах английского ученого-самоучки, инженера, математика и физика Оливера Хевисайда (1850-1925).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Длиной или модулем вектора называется длина направленного отрезка, определяющего вектор. Обозначается как .

Основные виды векторов

Нулевым вектором называется вектор , у которого начальная точка и конечная точка совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называют коллинеарными (рис. 2).

сонаправленными , если их направления совпадают.

На рисунке 2 – это векторы и . Сонаправленность векторов обозначается следующим образом: .

Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их направления противоположны.

На рисунке 3 – это векторы и . Обозначение: .

1. Что такое вектор?

2. Сложение векторов.

3. Равенство векторов.

4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

5. Свойства операций над векторами.

6. Доказательства и решение задач.

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной.Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: “Вектором называется всякий параллельный перенос”. Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.

Итак, вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1).

Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху, Той же буквой, но не жирной, а светлой (а в тетради и на доске- той же буквой без черточки) обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или Iа I, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или Iа I. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить, что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому.

Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор).

Весьма часто понятию вектора дается другое определение:вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными.

Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены.

Сложение векторов.

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную “геометрическую арифметику” – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

Суммой векторов а и в с координатами а 1 , а 2 и в 1 , в 2 называется вектор с с координатами а 1 + в 1 , а 2 + в 2 , т.е. а (а 1 ; а 2) + в (в 1 ;в 2) = с (а 1 + в 1 ; а 2 + в 2).

Следствие:

Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример. а и в – векторы (рис.5).

Пусть

1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.

Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем:АВ + ВС =АС.
откуда и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в ) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно (при некотором навыке) для решения задач при помощи векторов. Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой “вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот “вектор” изображается “отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

Равенство векторов.

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что разные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

И обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Действительно, пусть векторы АВ и С D – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис.6). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, то есть параллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ. Значит, векторы АВ и С D равны, что и требовалось доказать.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие вектора

Прежде чем Вы узнаете всё о векторах и операциях над ними, настройтесь на решение несложной задачи. Есть вектор Вашей предприимчивости и вектор Ваших инновационных способностей. Вектор предприимчивости ведёт Вас к Цели 1, а вектор инновационных способностей - к Цели 2. Правила игры таковы, что Вы не можете двигаться сразу по направлениям двух этих векторов и достигнуть сразу двух целей. Векторы взаимодействуют, или, если говорить математическим языком, над векторами производится некоторая операция. Результатом этой операции становится вектор "Результат", который приводит Вас к Цели 3.

А теперь скажите: результатом какой операции над векторами "Предприимчивость" и "Инновационные способности" является вектор "Результат"? Если не можете сказать сразу, не унывайте. По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.

Как мы уже увидели выше, вектор обязательно идёт от некоторой точки A по прямой к некоторой точке B . Следовательно, каждый вектор имеет не только числовое значение - длину, но также физическое и геометрическое - направленность. Из этого выводится первое, самое простое определение вектора. Итак, вектор - это направленный отрезок, идущий от точки A к точке B . Обозначается он так: .

А чтобы приступить к различным операциям с векторами , нам нужно познакомиться с ещё одним определением вектора.

Вектор - это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z ) . Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.

Все остальные термины - это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.

Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.

Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка . Это отрезок, у которого различают начало и конец.

Если A - начало вектора, а B - его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)

Длиной (или модулем ) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка

Два вектора называются равными , если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.

В физике часто рассматриваются закреплённые векторы , заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным . Мы договоримся рассматривать только свободные векторы .

Линейные операции над геометрическими векторами

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор, получающийся из вектора растяжением (при ) или сжатием (при ) в раз, причём направление вектора сохраняется, если , и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)

Из определения следует, что векторы и = всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными . (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить "коллинеарны".) Справедливо и обратное утверждение: если векторы и коллинеарны, то они связаны отношением

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

Сложение и вычитание векторов

При сложении векторов нужно знать, что суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . (Рис. 3)

Это определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n свободных векторов . При сложении нескольких векторов за их сумму принимают замыкающий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом последнего вектора. То есть, если к концу вектора приложить начало вектора , а к концу вектора - начало вектора и т.д. и, наконец, к концу вектора - начало вектора , то суммой этих векторов служит замыкающий вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора , а конец - с концом последнего вектора . (Рис. 4)

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило - правилом многоугольника . Этот многоугольник может и не быть плоским.

При умножении вектора на число -1 получается противоположный вектор . Векторы и имеют одинаковые длины и противоположные направления. Их сумма даёт нулевой вектор , длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора вектор означает прибавить к вектору противоположный вектор , т.е.

Пример 1. Упростить выражение:

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат - требуемые в условии задачи векторы:

Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах "Предприимчивость" и "Инновационные способности" в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится операция сложения.

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать - в уроке "Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов ".

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн "Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)" .

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки "Скалярное произведение векторов " и "Векторное и смешанное произведения векторов ".

Проекция вектора на ось

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть - произвольный вектор (Рис. 5), а и - проекции его начала (точки A ) и конца (точки B ) на ось l . (Для построения проекции точки A ) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.

Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец - с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l называется число

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l , и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим окончательную проекцию суммы векторов:

Связь вектора с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке , желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс , ось 0y – осью ординат , и ось 0z – осью аппликат .

С произвольной точкой М пространства свяжем вектор

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой , ординатой и аппликатой , и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором (или ортом ) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox , Oy , Oz

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

(2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Условие коллинеарности векторов в координатах

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 6. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Длина вектора и направляющие косинусы

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

(4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

Из равенства

Следует, что

или в координатной форме

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора . Формула (4) в этом случае примет вид

Направление вектора определяют направляющие косинусы . Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox , Oy и Oz . Обозначим эти углы соответственно α , β и γ . Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам

Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора

Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть

получаем следующее равенство для направляющих косинусов:

Пример 7. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 8. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Пример 9. Найти длину вектора и его направляющие косинусы, если .

Решение. Координаты вектора даны:

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:

Находим направляющие косинусы:

Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Операции над векторами, заданными в координатной форме

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

Укажем действия над этими векторами.

Время чтения 8 минут

Современная психология и психиатрия уже давно не ограничиваются только классическими научными теориями. Споры и дискуссии об истинности и объективности популярных концепций ведутся столетиями, постоянно проводятся психологические исследования, цель которых – прийти к единственному верному итогу. Но помимо этого все чаще появляются новые альтернативные течения, общеизвестные теории видоизменяются, трансформируются учения мировых умов психологии и психиатрии, таких как профессионал психоанализа Зигмунд Фрейд или его не менее известный коллега Карл Густав Юнг. В данной статье речь пойдет именно о подобном новом течении, которое произвело настоящую революцию в российской психологии носит название системно-векторная психология. Вы узнаете, что то это такое, какова основная идея этого направления, а также подробно сможете ознакомиться с каждым из 8 представленных векторов и даже самостоятельно определить свой собственный тип личности.

Идеи системно-векторной психологии

Для начала стоит сказать, что системно-векторная психология не является общепринятым направлением в современных научных кругах. Некоторые особо яростные приверженцы классических идей даже называют данное направление «сетевой псевдонаукой». Но, как и любая другая теория, психологическая концепция восьми векторов не только имеет возможность на существование, она даже успела приобрести свою армию приверженцев. Как сказал основатель системно-векторной теории В. К. Толкачев:

Вселенная достаточно велика и неисчерпаема, что и позволяет найти в ней подтверждение любой теории. ©

Системно-векторная психология не возникла с нуля. За основу были взяты теории Зигмунда Фрейда, впоследствии доработанные Владимиром Ганзеном и законченные его учеником Виктором Толкачевым.

В 1908 году увидела мир статья психоаналитика Фрейда «Характер и анальная эротика», в которой психоаналитик делает умозаключение, что особенности характера напрямую связаны с эрогенными зонами человека. Публикация вызвала широкий резонанс, появились многочисленные последователи фрейдистской идеи. Одним из них в конце ХХ века стал Виктор Константинович Толкачев, психолог из Санкт-Петербурга. Он разработал типологию характеров, связанную с такими зонами, как глаза, рот, нос и уши. По словам В. К. Толкачева, на развитие и доработку теории Зигмунда Фрейда его вдохновила книга «Системные описания в психологии» академика Владимира Александровича Ганзена.

Зарождение и развитие учения Виктора Толкачева

В. К. Толкачев разработал целостную психологическую концепцию определения типа личности при помощи векторов. С помощью понятия «вектор» и подробного анализа 8 характерных типов на свет родилась теория под названием «Прикладной системно-векторный психоанализ». Толкачев более 30 лет проводил различные тренинги, семинары и лекции по данному вопросу. Благодаря одному из первых его учеников, Михаилу Бородянскому, был разработан специальный тест, оценивающий индивидуальный потенциал, имеющийся у каждого из векторов, и позволяющий определить личностный тип характера относительно системно–векторной психологии восьми векторов (тест Толкачева – Бородянского). Сейчас много последователей векторной системы, которые продолжают проводить психологические тренинги и семинары. Самым известным интернет-коучем в данной области является Юрий Бурлан.

В чем суть системно-векторной психологии

За время развития психологии, как науки, было разработано множество различных типологий личности. Это и типологии по Юнгу или по Ганнушкину, свою классификацию предлагал Эрих Фромм. Разработаны множественные тесты, определяющие психологический тип индивида, например, тест Сонди или распространенный 16Personalities. По сути, В. К. Толкачев, как и многие его предшественники, предложил свою собственную версию выявления типа личности.

Системно-векторная психология позиционируется не как отрасль классической психологии или определенное течение, а как отдельная наука изучения типологии личности. Вектор – это симбиоз физиологических и психологических качеств, таких как, например, характер, темперамент, здоровье, привычки индивида и другие подобные свойства. По сути, вектором является центр получения удовольствия. Векторы связаны с определенным отверстием на теле человека, являющимся одновременно эрогенной зоной. В каждой личности возможно наличие нескольких векторов (от 1 до 8, на практике самым большим количеством наличествующих векторов является число 5).

Наличием вектора определяется количество и степень человеческих стремлений и потребностей в самореализации, направленной на получение наслаждений. Неспособность реализовать существующий вектор, по мнению разработчиков теории, приводит к депрессии и чувству неудовлетворенности, что делает для человека невозможным достижение внутренней гармонии со своим «Я».

Векторные ступени (квартели) развития личности

Системно-векторная психология выделяет 8 основных векторов в типологии личности. А именно: зрительный, кожный, звуковой, мышечный, оральный, обонятельный, уретральный и анальный векторы. Они располагаются в четырех основных квартелях (ступенях), формирующих жизненный уклад человека.

Принцип расположения векторов:

Информационная ступень . Отвечают звуковой (внутренняя часть квартели) и зрительный (внешняя часть) векторы. На этой ступени происходит процесс развития и самопознания личности.
Энергетическая ступень . Отвечают оральный (внешняя часть) и обонятельный (внутренняя часть) векторы. Цель этой ступени – предопределить место индивида в социальном строю, построение четкой иерархии.
Временная ступень . Отвечают анальный (внутреннее пространство квартели) и уретральный (внешнее пространство) векторы. Временные разделения жизни на этапы: прошлое и будущее. На этой ступени происходит получение и обработка опыта от прошлых поколений, а также стремление к прогрессу и развитию общества.
Пространственная ступень . Отвечают мышечный (внутренняя часть) и кожный (внешняя часть пространства квартели) векторы. Ступень, отвечающая за физическую оболочку – трудовая реализации человека, использование физической силы и т.п.

Характеристика векторов

Более детальная векторная характеристика выглядит так:

Кожный вектор . Люди с ярким проявлением данного типа – ярко выраженные экстраверты. Реализуют себя на пространственной ступени. Основным направлением кожников является охрана территорий.
Мышечный вектор . Интроверты. Тип мышления практический и наглядно-действенный. Основное направление – охота, участие в военных действиях.
Анальный вектор . Интроверты с системным мышлением. Характерными занятиями для обладателей анального вектора является охрана домашнего очага, накопление и передача информации от предыдущих поколений.
Уретральный вектор . Стопроцентные экстраверты. Обладают нестандартным мышлением. Прирожденные тактики. Жизненное предназначение людей с выраженным уретральным вектором - быть вождями, главнокомандующими, руководителями.
Зрительный вектор . Экстраверты с образным типом интеллекта. Находятся на информационной ступени развития. Основное направление деятельности: охрана территорий (днем).
Звуковой вектор . Абсолютные интроверты, обладающие абстрактным типом мышления. Деятельность: охрана территорий в темное время суток.
Оральный вектор . Представители этого типа – в основном, экстраверты. Им присущий вербальный метод мышления. Основной род занятий: организация мероприятий (в мирное время), предупреждение об опасности (во время военных действий).
Обонятельный вектор . Интроверты, отличающиеся интуитивным типом мышления, предпочитают невербальные способы передачи информации. Основное направление: разведка, составление стратегий.

Системно-векторная психология разделяет вектора на более важные, так сказать, основные, и те, которые имеют меньшую ценность в развитии личности. Обонятельный, уретральный и звуковой векторы являются главенствующими, они доминируют над остальными векторами. Эти три вектора не перекрываются другими имеющимися, а также не могут быть искоренены внешними социальными факторами, такими как воспитание или общественный строй.

Каждый индивид сам определяет, какие векторы являются основными в психотипе его личности. Для каждого вектора разработаны даже такие характеристики, как определенные внешние данные, особенности психики, присущие конкретному векторному архетипу. Каждому из восьми векторов присвоена определенная геометрическая форма и цвет.

Также вектора поделены на нижние (уретральный, анальный, мышечный и кожный) и верхние (зрительный, звуковой, обонятельный и оральный). Системно-векторная психология показывает то, что нижние векторы отвечают за либидо, сексуальные желания человека, в то время как верхние ищут сопряжение с духовным миром. Верхние вектора имеются в наличии абсолютно у каждого человека, в отличие от нижних, которыми наделены далеко не все личностные архетипы.

Системно-векторная психология: ее предназначение

Нет ни одного человека, способного отказаться от наслаждения; даже самой религии приходится обосновывать требование отказаться от удовольствий в ближайшее время обещанием несравненно больших и более ценных радостей в потустороннем мире. © Зигмунд Фрейд

Для чего же нужна восьми векторная психология? Какая ее функция и польза для человека?

Основной целью векторной психологии является познание себя и получение наслаждений от жизни, используя свои внутренние векторы. Данная система направлена на самопознание индивида, определение его роли в обществе, с целью избежать морального неудовлетворения собой и своей жизнью. Если человек не может реализовать себя в социуме, не знает своих истинных потребностей и желаний, то постоянно ощущение неудовлетворения может привести к депрессивному состоянию.

Системно-векторная психология также направлена на раскрытие сексуальных желаний и потребностей человека. Может применяться в качестве профессионально ориентированных тестов.

Психологическая теория, разработанная Виктором Толкачевым на основе постулатов Фрейда, позволяет открывать тайны подсознания, осознавать, что именно является двигательной силой человека, первопричиной всех его действий и поступков. Польза изучения векторов системно-векторной психологии также в построении коммуникативных связей с окружающими людьми: сотрудниками, родственниками, друзьями. Если два человека обладают одинаковыми векторами, то зачастую это является залогом дружественных отношений. И наоборот – контрастность векторов объясняет несовместимость в парах и неприязнь отдельных личностей друг к другу. Говоря словами невольного основоположника данного учения Зигмунда Фрейда:

Мы выбираем не случайно друг друга… Мы встречаем только тех, кто уже существует в нашем подсознании. ©

Системно-векторная психология не является доказанной или абсолютно верной. Это всего лишь одна из методологий выявления определенного типа личности. Количество критики опытных специалистов относительно учений В. К. Толкачева доказывает не совершенность данной психологической концепции. Дискуссии и споры не утихают между приверженцами классической психологии и учениками Толкачева.

Первые склонны считать векторный подход определения личности сектантским и гипнотически-навязчивым (якобы, тренинги по обучению данной методике проводятся исключительно с коммерческими целями). Вторые же искренне верят в объективность системно-векторной психологии и доказывают ее пользу для отдельных индивидов и человечества в целом. Чтобы подробнее ознакомиться с тезисами и понятиями данного учения, можно просмотреть видео вводных лекций Юрия Бурлуна относительно системы векторов. Только собрав воедино полную картину учения, каждый человек сможет самостоятельно сделать вывод об истинности выдвигаемых идей.