КРУЧЕНИЕ

Последовательность решения задачи

1. Определить внешние скручивающие моменты по формуле

М= Р /ω

где Р - мощность,

ω - угловая скорость.

2. Так как при равномерном вращении вала алгебраическая сумма приложенных к нему внешних скручивающих (вращающих) моментов равна нулю определить уравновешивающий момент, используя уравнение равновесия

∑ М i z = 0

3. Пользуясь методом сечений, построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

4. Для участка вала, в котором возникает наибольший крутящий момент, определить диаметр вала круглого или кольцевого сечения из условия прочности и жесткости. Для кольцевого сечения вала принять соотношение диаметров

где d о - внутренний диаметр кольца;

d - наружный диаметр кольца.

Из условия прочности:

Из условия жесткости:

где M zmax - наибольший крутящий момент;

W p - полярный момент сопротивления кручению;

[τ кр ] - допускаемое касательное напряжение

где J p - полярный момент инерции сечения;

G - модуль упругости при сдвиге;

[φ о ] - допускаемый угол закручивания сечении

Сечение вала - круг

Необходимый по прочности диаметр вала:

Необходимый по жесткости диаметр вала:

Сечение вала - кольцо

Необходимый по прочности наружный диаметр кольца:

Необходимый по жесткости наружный диаметр кольца:

Пример 1 . Для стального вала (рис.1) постоянного по длине сечения требуется: 1) определить значения моментов М 2 и М 3 , соответствующие передаваемым мощностям Р 2 и Р 3 , а также уравновешивающий момент М 1 ; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить требуемый диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту (а) (б) - c =d 0 / d=0,8.

Принять: [ τ кр ] = 30 МПа ; [ φ 0 ] = 0,02 рад/м; Р 2 = 52 кВт; Р 3 = 50 кВт; ω = 20 рад/с; G = 8  10 4 МПа

Рис. 1 - Схема задачи

Решение:

1. Определяем внешние скручивающие моменты:

М 2 = Р 2 / ω = 52  10 3 / 20 = 2600 Н  м

М 3 = Р 3 / ω = 50  10 3 / 20 = 2500 Н  м

2. Определяем уравновешивающий момент М 1 :

∑ М i z = 0; М 1 – М 2 – М 3 =0

М 1 = М 2 + М 3 = 5100 Н  м

3. Определяем крутящий момент по участкам вала:

М z I = М 1 = 5100 Н  м

М z II = М 1 – М 2 = 5100 – 2600 = 2500 Н  м

Строим эпюру крутящих моментов М z (рис. 2).

Рис. 2 - Эпюра крутящих моментов

4. Определяем диаметр вала из условий прочности и жесткости, принимая М z max = 5100 Н  м (рис. 2).

а) Сечение вала – круг.

Из условия прочности:

Принимаемd = 96 мм

Из условия жесткости:

Принимаем d = 76 мм

Требуемый диаметр получился больше из расчета на прочность, поэтому его принимаем как окончательный d = 96 мм.

б) Сечение вала - кольцо.

Из условия прочности:

Принимаем d = 114 мм

Из условия жесткости:

Принимаем d = 86 мм

Требуемые диаметры окончательно принимаем из расчетов на прочность:

Наружный диаметр кольца d = 114 мм

Внутренний диаметр коль ца d о = 0,8  d = 0,8  114 = 91,2 мм. Принимаем d о =92 мм .

Задача 1. Для стального вала (рис.3) постоянного поперечного сечения требуется: 1) определить значения моментов М 1 , М 2 , М 3 и М 4 ; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту (а) поперечное сечение вала - круг; по варианту (б) - поперечное сечение вала - кольцо, имеющее соотношение диаметров c =d 0 / d=0,7. Мощность на зубчатых колесах принять Р 2 = 0,5Р 1 ; Р 3 = 0,3Р 1 ; Р 4 = 0,2Р 1 .

Принять: [ τ кр ] = 30 МПа ; [ φ 0 ] = 0,02 рад/м; G = 8  10 4 МПа

Окончательное значение диаметра округлить до ближайшего четного (или оканчивающегося на пять) числа.

Данные своего варианта взять из таблицы 1

Указание. Полученное расчётное значение диаметра (в мм) округлить до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0, 2, 5, 8.

Таблица 1 - Исходные данные

Номер схемы на рисунке 3.2.5

Р 1

Варианты

рад/с

кВт

Рис. 3 - Схема задачи

Определить из условий прочности необходимые размеры диаметров редукторного ступенчатого вала. Схема нагружения вала дана на рис. 1.

Исходные данные:

Мкр=0,2 кН·м.

a=30 мм.; b=60 мм.; c=100 мм.

D1=70 мм.; D2=120 мм.

[?]p=120 МПа.

Требуется:

1. Вычертить в масштабе заданную схему вала с указанием размеров и величин нагрузок.

2. Определить окружные Р и радиальные усилия Т, приняв соотношение между ними Т=0.36Р.

3. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

4. Построить эпюру суммарных изгибающих моментов.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Используя энергетическую теорию прочности, определить диаметры вала на отдельных участках и округлить их до стандартных размеров.

7. Вычертить эскиз.

1. Заданная схема вала представлена на рисунке 1.

2. Определим окружные Р и радиальные усилия Т.

Крутящий момент на валу вызывают силы Р1 и Р2.

Приведем силу P1 к центру тяжести сечения вала: тогда пара сил с моментом

вызывает кручение, а сила P - изгиб вала в вертикальной плоскости.

В свою очередь, пара сил с моментом М2 =Р2D2/2 вызывает кручение в противоположную сторону, а сила в центре тяжести сечения вызывает изгиб.

Найдем окружные силы Р1 и Р2:

Радиальные усилия Т определим по формуле:

3. Построим эпюры изгибающих моментов.

Эпюра от действия сил в горизонтальной плоскости.

Определим опорные реакции:

Проверка:

1-ый участок (0

при z=0,1 M=0,002 кН·м.

2-ой участок (0

M=RB·(0,1+z)+Т2·z.

при z=0 M=0,002 кН·м, при z=0,06 M=0,043 кН·м.

3-ий участок (0

при z=0,03 M=0,043 кН·м.

Эпюра от действия сил в вертикальной плоскости.

Проверка:

Строим эпюру изгибающих моментов.

1-ый участок (0

при z=0,1 M=0,25 кН·м.

2-ой участок (0

M=RB·(0,1+z)-Р2·z.

при z=0 M=0,25 кН·м

при z=0,06 M=0,2 кН·м.

3-ий участок (0

при z=0,03 M=0,2 кН·м.

Построим эпюру суммарных изгибающих моментов. Для этого нужно рассмотреть несколько сечений вала и определить в них суммарный изгибающий момент по формуле:

Отсюда получаем:

Моменты внутренних сил или крутящих моментов находят методом сечений. Сначала разбивают вал на участки (между соседними шкивами)

затем на каждом участке выбирают произвольное сечение. Крутящий момент в этом сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения. В пределах каждого участка крутящий момент постоянен. Знак крутящего момента определяют по знаку внешних моментов: положительным считается направление против движения часовой стрелки при взгляде на сечение вала вдоль его оси. При этом можно рассматривать любую часть вала по одну сторону от сечения.

1) Для вала на рис.2 крутящие моменты по участкам:

1-ый участок:

2-ой участок:

М=0,2 кН·м.

3-ий участок:

Полученные эпюры изображены на рисунке 2.

Рисунок 2 - Эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Для подбора сечения применяем энергетическую гипотезу прочности:

Принимаем d1=70 мм., d2=120 мм.

5.1 (Вариант 08)

Указания: мощность на зубчатых колесах принять Р 2 =0,5Р 1 , Р 3 =0,3Р 1 и Р 4 =0,2Р1. Полученное расчетное значение диаметра (в мм) округлить до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0, 2, 5, 8 или СТ СЭВ 208-75 [τ]=30 МПа.

Таблица 20 — Исходные данные

№ задачи и схемы на рис.35	Р, кВт	ω, рад/c	Расстояние между шкивами, м
			l 1	l 2	l 3
100,Х	28	26	0,2	0,1	0,3

Ответ: d 1 =45,2 мм, d 2 =53,0 мм, d 3 =57,0 мм, φ I =0,283º, φ II =0,080º, φ III =0,149º.

5.2

г) определить диаметр вала, приняв [σ]=60 Н/мм² (в задаче 117) и полагая F r =0,4F t . В задаче 117 расчет производить по гипотезе наибольших касательных напряжений.

Таблица 22 — Исходные данные

№ задачи и схемы на рис.37	Вариант	Р, кВт	ω 1 , рад/c
117,VII	08	8	35

Ответ: R By =7145 H, R Ay =3481 H, d=51 мм.

5.3 Для стального вала постоянного поперечного сечения (рис.7.17), передающего мощность Р (кВт) при угловой скорости ω (рад/c) (числовые значения этих величин для своего варианта взять из табл.7.4):

а) определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакции подшипников;

б) построить эпюру крутящих моментов;

в) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях;

г) определить диаметр вала, приняв [σ]=70 МПа (в задачах 41, 43, 45, 47, 49) или [σ]=60 МПа (в задачах 42, 44, 46, 48, 50). Для усилий, действующих на зубчатое колесо, принять F r =0,36F t , для натяжения ремней S 1 =2S 2 . В задачах 42, 44, 46, 48, 50 расчет производить по гипотезе потенциальной энергии формоизменения, а в задачах 41, 43, 45, 47, 49 по гипотезе наибольших касательных напряжений.

Таблица 22 — Исходные данные

Номер задачи и схемы на рис.7.17	Вариант	Р, кВт	ω, рад/c
Задача 45, схема V	47	30	24

Ответ: R By =4000 H, R Ay =14000 H, d=64 мм.

5.4 Для одной из схем (рис.35, табл.20) построить эпюру крутящих моментов; определить диаметр вала на каждом участке и полный угол закручивания.

Указания: мощность на зубчатых колесах принять Р 2 =0,5Р 1 , Р 3 =0,3Р 1 и Р 4 =0,2Р 1 . Полученное расчетное значение диаметра (в мм) округлить до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0, 2, 5, 8 или СТ СЭВ 208-75 [τ]=30 МПа.

Таблица 20

№ задачи и схемы на рис.35	Вариант	Р, кВт	ω, рад/c	Расстояние между шкивами, м
				l 1	l 2	l 3
91,I	29	20	30	0,2	0,9	0,4

Ответ: d 1 =28,5 мм, d 2 =43,2 мм, d 3 =48,5 мм, φ I =0,894º, φ II =0,783º, φ III =0,176º.

5.5 Для стального вала постоянного поперечного сечения с одним зубчатым колесом (рис.37), передающего мощность Р (кВт) при угловой скорости ω 1 (рад/c) (числовые значения этих величин для своего варианта взять из табл.22):

а) определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакции подшипников;

б) построить эпюру крутящих моментов;

в) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях;

г) определить диаметр вала, приняв [σ]=70 Н/мм² (в задаче 112) и полагая F r =0,4F t . В задаче 112 расчет производить по гипотезе потенциальной энергии формоизменения.

Таблица 22

№ задачи и схемы на рис.37	Вариант	Р, кВт	ω 1 , рад/c
112,II	29	20	50

Ответ: R By =1143 H, R Ay =457 H, d=40,5 мм.

Подобрать размеры поперечного сечения вала (рис. 1) по условию прочности . На участках от сечения 1 до сечения 3 и от сечения 5 до сечения 6 наружный диаметр вала по конструктивным соображениям должен иметь одинаковый размер.

На участке от сечения 1 до сечения 2 вал кольцевого поперечного сечения с n=d B /d=0,4. На участках от сечения 3 до сечения 5 вал подбирается только по условию прочности .

М = 1 кН∙м, [τ ] = 80 МПа.

Решение

Разбиваем вал на силовые участки , строим эпюру крутящего момента (рис. 1,б).

Определяем диаметры вала. На I, II и V участках наружный диаметр вала одинаков. Для них не возможно заранее указать сечение с наибольшим значением касательного напряжения, так как различные участки имеют различные типы поперечного сечения: I участок – кольцевое, II и V – сплошное круглое.

Приходится определять отдельно по условию прочности диаметры для каждого типа поперечного сечения по наиболее нагруженному силовому участку (то есть тому, на котором действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент). Окончательно примем наибольший полученный диаметр.

Для участка с кольцевым сечением:

Для вала сплошного поперечного сечения

Окончательно принимаем наибольшее значение полученного диаметра, округленное до целого значения в большую сторону:

d 1 = d 2 = d 5 = 61 мм;

d B1 = n∙d 1 = 0,4∙61 = 24,4 мм.

Наибольшее действующее на этих участках напряжение:

Диаметр вала на III участке (М К3 = 5М = 5 кНм).