Factorizar un polinomio con dos incógnitas. Métodos para factorizar un polinomio de grado mayor que el segundo. Solución alternativa

Se dan 8 ejemplos de factorización de polinomios. Incluyen ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas y bicuadráticas, ejemplos con polinomios recurrentes y ejemplos de búsqueda de raíces enteras de polinomios de tercer y cuarto grado.

Ver también: Métodos para factorizar polinomios
Las raíces de una ecuación cuadrática
Solución de ecuaciones cúbicas

1. Ejemplos con la solución de una ecuación cuadrática

Ejemplo 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

sacar x 2 para corchetes:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Raíces de ecuaciones:
, .

.

Ejemplo 1.2

Factorización de un polinomio de tercer grado:
X 3 + 6x2 + 9x.

Sacamos x de los paréntesis:
.
Resolvemos la ecuación cuadrática x 2 + 6 x + 9 = 0:
Su discriminante es .
Como el discriminante es igual a cero, las raíces de la ecuación son múltiplos: ;
.

De aquí obtenemos la descomposición del polinomio en factores:
.

Ejemplo 1.3

Factorizando un polinomio de quinto grado:
X 5 - 2x4 + 10x3.

sacar x 3 para corchetes:
.
Resolvemos la ecuación cuadrática x 2 - 2 x + 10 = 0.
Su discriminante es .
Como el discriminante es menor que cero, las raíces de la ecuación son complejas: ;
, .

La factorización de un polinomio tiene la forma:
.

Si estamos interesados ​​en factorizar con coeficientes reales, entonces:
.

Ejemplos de factorización de polinomios usando fórmulas

Ejemplos con polinomios bicuadráticos

Ejemplo 2.1

Factoriza el polinomio bicuadrático:
X 4 + x 2 - 20.

Aplicar las fórmulas:
un 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
un 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Ejemplo 2.2

Factorización de un polinomio que se reduce a bicuadrático:
X 8 + x 4 + 1.

Aplicar las fórmulas:
un 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
un 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Ejemplo 2.3 con polinomio recursivo

Factorizando el polinomio recursivo:
.

El polinomio recursivo tiene un grado impar. Por lo tanto tiene una raíz x = - 1 . Dividimos el polinomio por x - (-1) = x + 1. Como resultado, obtenemos:
.
Hacemos una sustitución:
, ;
;


;
.

Ejemplos de factorización de polinomios con raíces enteras

Ejemplo 3.1

Factorización de un polinomio:
.

Supongamos que la ecuación

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Entonces, hemos encontrado tres raíces:
X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 3 .
Como el polinomio original es de tercer grado, no tiene más de tres raíces. Como hemos encontrado tres raíces, son simples. Entonces
.

Ejemplo 3.2

Factorización de un polinomio:
.

Supongamos que la ecuación

tiene al menos una raíz entera. entonces es el divisor del numero 2 (un miembro sin x). Es decir, la raíz entera puede ser uno de los números:
-2, -1, 1, 2 .
Sustituye estos valores uno por uno:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Entonces, hemos encontrado una raíz:
X 1 = -1 .
Dividimos el polinomio por x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Entonces,
.

Ahora tenemos que resolver la ecuación de tercer grado:
.
Si asumimos que esta ecuación tiene una raíz entera, entonces es un divisor del número 2 (un miembro sin x). Es decir, la raíz entera puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2 .
Sustituye x = -1 :
.

Así que hemos encontrado otra raíz x 2 = -1 . Sería posible, como en el caso anterior, dividir el polinomio por , pero agruparemos los términos:
.

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Factorizar una ecuación es el proceso de encontrar términos o expresiones que, cuando se multiplican, conducen a la ecuación inicial. La factorización es una habilidad útil para resolver problemas algebraicos básicos y se convierte en una necesidad práctica cuando se trabaja con ecuaciones cuadráticas y otros polinomios. La factorización se usa para simplificar ecuaciones algebraicas para que sean más fáciles de resolver. La factorización puede ayudarlo a descartar ciertas respuestas posibles más rápido de lo que puede resolver manualmente la ecuación.

Pasos

Factorización de números y expresiones algebraicas básicas

1. Factorización de números. El concepto de factorización es simple, pero en la práctica la factorización puede ser engañosa (dada una ecuación compleja). Entonces, comencemos con el concepto de factorización usando números como ejemplo, continuemos con ecuaciones simples y luego pasemos a ecuaciones complejas. Los factores de un número dado son los números que, al multiplicarlos, dan el número original. Por ejemplo, los factores del número 12 son los números: 1, 12, 2, 6, 3, 4, ya que 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • De manera similar, puedes pensar en los factores de un número como sus divisores, es decir, los números por los que el número dado es divisible.
   • Encuentra todos los factores del número 60. A menudo usamos el número 60 (por ejemplo, 60 minutos en una hora, 60 segundos en un minuto, etc.) y este número tiene bastante un gran número de multiplicadores
     • 60 multiplicadores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.

2. Recordar: También se pueden factorizar los términos de una expresión que contiene un coeficiente (número) y una variable. Para hacer esto, encuentre los multiplicadores del coeficiente en la variable. Sabiendo cómo factorizar los términos de las ecuaciones, puedes simplificar fácilmente esta ecuación.

   • Por ejemplo, el término 12x se puede escribir como el producto de 12 y x. También puedes escribir 12x como 3(4x), 2(6x), etc. factorizando 12 en los factores que te funcionen mejor.
     • Puede diseñar 12x varias veces seguidas. En otras palabras, no debería detenerse en 3(4x) o 2(6x); continuar con la expansión: 3(2(2x)) o 2(3(2x)) (obviamente, 3(4x)=3(2(2x)) etc.)

3. Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación para factorizar ecuaciones algebraicas. Al saber cómo factorizar números y términos de una expresión (coeficientes con variables), puede simplificar ecuaciones algebraicas simples al encontrar el factor común de un número y un término de una expresión. Por lo general, para simplificar la ecuación, necesitas encontrar el máximo común divisor (mcd). Tal simplificación es posible debido a la propiedad distributiva de la multiplicación: para cualquier número a, b, c, la igualdad a (b + c) = ab + ac es verdadera.

   • Ejemplo. Factoriza la ecuación 12x + 6. Primero, encuentra el mcd de 12x y 6. 6 es el número más grande que divide tanto a 12x como a 6, así que puedes factorizar esta ecuación en: 6(2x+1).
   • Este proceso también se aplica a las ecuaciones que tienen términos negativos y fraccionarios. Por ejemplo, x/2+4 se puede descomponer en 1/2(x+8); por ejemplo, -7x+(-21) se puede descomponer en -7(x+3).

   Factorización de ecuaciones cuadráticas

   1. Asegúrate de que la ecuación esté en forma cuadrática (ax 2 + bx + c = 0). Las ecuaciones cuadráticas son: ax 2 + bx + c = 0, donde a, b, c son coeficientes numéricos distintos de 0. Si te dan una ecuación con una variable (x) y esta ecuación tiene uno o más términos con un segundo orden variable , puede mover todos los términos de la ecuación a un lado de la ecuación e igualarla a cero.

      • Por ejemplo, dada la ecuación: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Se puede convertir a la ecuación x 2 + 6x + 9 = 0, que es una ecuación cuadrática.
      • Ecuaciones con una variable x de órdenes grandes, por ejemplo, x 3 , x 4 , etc. no son ecuaciones cuadráticas. Estas son ecuaciones cúbicas, ecuaciones de cuarto orden, etc. (solo si dichas ecuaciones no pueden simplificarse a ecuaciones cuadráticas con la variable x elevada a 2).

   2. Las ecuaciones cuadráticas, donde a \u003d 1, se descomponen en (x + d) (x + e), donde d * e \u003d c y d + e \u003d b. Si la ecuación cuadrática que le dieron tiene la forma: x 2 + bx + c \u003d 0 (es decir, el coeficiente en x 2 es igual a 1), entonces dicha ecuación puede (pero no está garantizado) descomponerse en lo anterior factores Para hacer esto, debe encontrar dos números que, cuando se multiplican, den "c", y cuando se suman, "b". Una vez que encuentre estos dos números (d y e), sustitúyalos en la siguiente expresión: (x+d)(x+e), que, cuando se abren los corchetes, conduce a la ecuación original.

      • Por ejemplo, dada la ecuación cuadrática x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 y 3+2=5, puedes expandir la ecuación a (x+3)(x+2).
      • Para términos negativos, realice los siguientes cambios menores en el proceso de factorización:
        • Si la ecuación cuadrática tiene la forma x 2 -bx + c, entonces se descompone en: (x-_) (x-_).
        • Si la ecuación cuadrática tiene la forma x 2 -bx-c, entonces se descompone en: (x + _) (x-_).
      • Nota: los espacios se pueden reemplazar con fracciones o decimales. Por ejemplo, la ecuación x 2 + (21/2)x + 5 = 0 se descompone en (x + 10) (x + 1/2).

   3. Factorización por ensayo y error. Las ecuaciones cuadráticas simples se pueden factorizar simplemente sustituyendo números en posibles soluciones hasta que encuentre la solución correcta. Si la ecuación tiene la forma ax 2 +bx+c, donde a>1, las posibles soluciones se escriben como (dx +/- _)(ex +/- _), donde d y e son coeficientes numéricos distintos de cero, que, cuando se multiplica dan a. Tanto d como e (o ambos coeficientes) pueden ser iguales a 1. Si ambos coeficientes son iguales a 1, utilice el método descrito anteriormente.

      • Por ejemplo, dada la ecuación 3x 2 - 8x + 4. Aquí, 3 tiene solo dos factores (3 y 1), por lo que las posibles soluciones se escriben como (3x +/- _)(x +/- _). En este caso, sustituyendo -2 por espacios, encontrarás la respuesta correcta: -2*3x=-6x y -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x y -2*-2=4, es decir, tal expansión al abrir los paréntesis conducirá a los términos de la ecuación original.

   4. plaza completa. En algunos casos, las ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar rápida y fácilmente usando una identidad algebraica especial. Cualquier ecuación cuadrática de la forma x 2 + 2xh + h 2 = (x + h) 2 . Es decir, si en su ecuación el factor b es igual al doble de la raíz cuadrada del factor c, entonces su ecuación se puede descomponer en (x + (kV.root(c))) 2 .

      • Por ejemplo, dada la ecuación x 2 + 6x + 9. Aquí 3 2 =9 y 3*2=6. Por lo tanto, esta ecuación se puede descomponer en (x+3)(x+3) o (x + 3) 2 .

   5. Usa la factorización para resolver ecuaciones cuadráticas. Al factorizar la ecuación, puede establecer cada factor en cero y calcular el valor de x (al resolver la ecuación, nos referimos a encontrar los valores de x para los cuales la ecuación es temprana a cero).

      • Volvamos a la ecuación x 2 + 5x + 6 \u003d 0. Esta ecuación se descompone en factores (x + 3) (x + 2) \u003d 0. Si uno de los factores es 0, entonces toda la ecuación es 0. Por lo tanto, escribimos: (x+3)=0 y (x+2)=0 y encontramos x=-3 y x=-2 (respectivamente).

   6. Verifique la respuesta (algunas respuestas pueden ser incorrectas). Para hacer esto, sustituya los valores de x encontrados en la ecuación original. A veces al sustituir los valores encontrados, la ecuación original no es igual a cero; esto significa que tales valores de x son incorrectos.

      • Por ejemplo, sustituya x=-2 y x=-3 en x 2 + 5x + 6 = 0. Primero, sustituya x=-2:
        • (-2) 2 + 5(-2) + 6 = 0
        • 4 + -10 + 6 = 0
        • 0 \u003d 0. Es decir, x \u003d -2 es la respuesta correcta.
      • Ahora sustituya x=-3:
        • (-3) 2 + 5(-3) + 6 = 0
        • 9 + -15 + 6 = 0
        • 0 \u003d 0. Es decir, x \u003d -3 es la respuesta correcta.

   Cualquier polinomio algebraico de grado n se puede representar como un producto de n factores lineales de la forma y un número constante, que son los coeficientes del polinomio en el mayor grado x, es decir

   donde - son las raíces del polinomio.

   La raíz de un polinomio es un número (real o complejo) que convierte el polinomio en cero. Las raíces de un polinomio pueden ser tanto raíces reales como raíces conjugadas complejas, entonces el polinomio se puede representar de la siguiente forma:

   Considere métodos para expandir polinomios de grado "n" en el producto de factores de primer y segundo grado.

   Método número 1.Método de los coeficientes indefinidos.

   Los coeficientes de dicha expresión transformada se determinan por el método de coeficientes indefinidos. La esencia del método es que el tipo de factores en los que se descompone el polinomio dado se conoce de antemano. Al usar el método de coeficientes indeterminados, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

   P.1. Dos polinomios son idénticamente iguales si sus coeficientes son iguales a las mismas potencias de x.

   P.2. Cualquier polinomio de tercer grado se descompone en un producto de factores lineales y cuadrados.

   P.3. Cualquier polinomio de cuarto grado se descompone en el producto de dos polinomios de segundo grado.

   Ejemplo 1.1. Es necesario factorizar la expresión cúbica:

   P.1. De acuerdo con las declaraciones aceptadas, la igualdad idéntica es cierta para la expresión cúbica:

   P.2. El lado derecho de la expresión se puede representar como términos de la siguiente manera:

   P.3. Componemos un sistema de ecuaciones a partir de la condición de igualdad de los coeficientes para las correspondientes potencias de la expresión cúbica.

   

   Este sistema de ecuaciones se puede resolver mediante el método de selección de coeficientes (si se trata de un problema académico simple) o se pueden utilizar métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos que los coeficientes inciertos se definen de la siguiente manera:

   Así, la expresión original se descompone en factores de la siguiente forma:

   Este método se puede usar tanto en cálculos analíticos como en programación de computadoras para automatizar el proceso de encontrar la raíz de una ecuación.

   Método número 2.fórmulas vieta

   Las fórmulas de Vieta son fórmulas que relacionan los coeficientes de ecuaciones algebraicas de grado ny sus raíces. Estas fórmulas fueron presentadas implícitamente en los trabajos del matemático francés Francois Vieta (1540 - 1603). Debido al hecho de que Viet consideró solo raíces reales positivas, por lo tanto, no tuvo la oportunidad de escribir estas fórmulas en una forma general explícita.

   Para cualquier polinomio algebraico de grado n que tenga n raíces reales,

   son válidas las siguientes relaciones, que conectan las raíces de un polinomio con sus coeficientes:

   

   Las fórmulas de Vieta son convenientes para comprobar la exactitud de encontrar las raíces de un polinomio, así como para componer un polinomio a partir de raíces dadas.

   Ejemplo 2.1. Considere cómo se relacionan las raíces de un polinomio con sus coeficientes usando la ecuación cúbica como ejemplo

   De acuerdo con las fórmulas de Vieta, la relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes es la siguiente:

   

   Se pueden establecer relaciones similares para cualquier polinomio de grado n.

   Método número 3. Factorización de una ecuación cuadrática con raíces racionales

   De la última fórmula de Vieta se deduce que las raíces de un polinomio son divisores de su término libre y del coeficiente principal. En este sentido, si la condición del problema contiene un polinomio de grado n con coeficientes enteros

   entonces este polinomio tiene una raíz racional (fracción irreducible), donde p es el divisor del término libre yq es el divisor del coeficiente principal. En este caso, un polinomio de grado n se puede representar como (teorema de Bezout):

   Un polinomio cuyo grado es 1 menos que el grado del polinomio inicial se determina dividiendo el polinomio de grado n por un binomio, por ejemplo, usando el esquema de Horner o la mayoría de una manera sencilla- "columna".

   Ejemplo 3.1. Es necesario factorizar el polinomio

   P.1. Debido al hecho de que el coeficiente en el término más alto es igual a uno, las raíces racionales de este polinomio son divisores del término libre de la expresión, es decir pueden ser numeros enteros . Sustituyendo cada uno de los números presentados en la expresión original, encontramos que la raíz del polinomio presentado es .

   Dividamos el polinomio original por un binomio:

   Usemos el esquema de Horner

   

   Los coeficientes del polinomio original se establecen en la línea superior, mientras que la primera celda de la línea superior permanece vacía.

   La raíz encontrada se escribe en la primera celda de la segunda línea (en este ejemplo se escribe el número "2"), y los siguientes valores en las celdas se calculan de cierta manera y son los coeficientes de el polinomio, que resultará de dividir el polinomio por el binomio. Los coeficientes desconocidos se definen como sigue:

   El valor de la celda correspondiente de la primera fila se transfiere a la segunda celda de la segunda fila (en este ejemplo, se escribe el número "1").

   La tercera celda de la segunda fila contiene el valor del producto de la primera celda y la segunda celda de la segunda fila más el valor de la tercera celda de la primera fila (en este ejemplo, 2 ∙ 1 -5 = -3) .

   

   La cuarta celda de la segunda fila contiene el valor del producto de la primera celda y la tercera celda de la segunda fila más el valor de la cuarta celda de la primera fila (en este ejemplo 2 ∙ (-3) +7 = 1 ).

   

   Así, el polinomio original se factoriza:

   

   Método número 4.Usar fórmulas de multiplicación abreviadas

   Se utilizan fórmulas de multiplicación abreviadas para simplificar los cálculos, así como la descomposición de polinomios en factores. Las fórmulas de multiplicación abreviadas permiten simplificar la solución de problemas individuales.

   Fórmulas utilizadas para el factoraje

   Para factorizar, es necesario simplificar las expresiones. Esto es necesario para poder reducir aún más. La descomposición de un polinomio tiene sentido cuando su grado no es inferior al segundo. Un polinomio de primer grado se llama lineal.

   El artículo revelará todos los conceptos de descomposición, bases teóricas y métodos para factorizar un polinomio.

   Teoría

   Teorema 1

   Cuando cualquier polinomio de grado n tiene la forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , se representan como un producto con un factor constante con el mayor grado a n y n factores lineales (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , luego P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , donde x i , i = 1 , 2 , … , n - estas son las raíces del polinomio.

   El teorema está destinado a raíces de tipo complejo x i , i = 1 , 2 , ... , ny para coeficientes complejos a k , k = 0 , 1 , 2 , ... , n . Esta es la base de cualquier descomposición.

   Cuando los coeficientes de la forma a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n son números reales, entonces las raíces complejas aparecerán en pares conjugados. Por ejemplo, las raíces x 1 y x 2 relacionadas con un polinomio de la forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 se consideran complejos conjugados, luego las demás raíces son reales, por lo tanto obtenemos que el polinomio toma la forma P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, donde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

   Comentario

   Las raíces de un polinomio se pueden repetir. Considere la demostración del teorema del álgebra, las consecuencias del teorema de Bezout.

   Teorema fundamental del álgebra

   Teorema 2

   Todo polinomio de grado n tiene al menos una raíz.

   teorema de bezout

   Después de dividir un polinomio de la forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 en (x - s), luego obtenemos el resto, que es igual al polinomio en el punto s, luego obtenemos

   PAGS norte X = un norte X norte + un norte - 1 X norte - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , donde Q n - 1 (x) es un polinomio de grado n - 1 .

   Corolario del teorema de Bezout

   Cuando se considera que la raíz del polinomio P n (x) es s , entonces P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + un 1 X + un 0 = (x - s) Q norte - 1 (x) . Este corolario es suficiente cuando se usa para describir la solución.

   Factorización de un trinomio cuadrado

   Un trinomio cuadrado de la forma a x 2 + b x + c se puede factorizar en factores lineales. luego obtenemos que a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , donde x 1 y x 2 son raíces (complejas o reales).

   Esto muestra que la descomposición en sí misma se reduce a resolver la ecuación cuadrática más tarde.

   Ejemplo 1

   Factorizar un trinomio cuadrado.

   Decisión

   Es necesario encontrar las raíces de la ecuación 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Para hacer esto, debe encontrar el valor del discriminante de acuerdo con la fórmula, luego obtenemos D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Por lo tanto tenemos que

   x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

   De aquí obtenemos que 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

   Para realizar la verificación, debe abrir los corchetes. Entonces obtenemos una expresión de la forma:

   4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

   Después de la verificación, llegamos a la expresión original. Es decir, podemos concluir que la expansión es correcta.

   Ejemplo 2

   Factoriza un trinomio cuadrado de la forma 3 x 2 - 7 x - 11 .

   Decisión

   Obtenemos que es necesario calcular la ecuación cuadrática resultante de la forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

   Para encontrar las raíces, necesitas determinar el valor del discriminante. eso lo conseguimos

   3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

   De aquí obtenemos que 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

   Ejemplo 3

   Factoriza el polinomio 2 x 2 + 1.

   Decisión

   Ahora necesitas resolver la ecuación cuadrática 2 x 2 + 1 = 0 y encontrar sus raíces. eso lo conseguimos

   2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 yo x 2 = - 1 2 = - 1 2 yo

   Estas raíces se denominan conjugadas complejas, lo que significa que la descomposición en sí se puede representar como 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

   Ejemplo 4

   Desarrolla el trinomio cuadrado x 2 + 1 3 x + 1 .

   Decisión

   Primero necesitas resolver una ecuación cuadrática de la forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 y encontrar sus raíces.

   x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

   Habiendo obtenido las raíces, escribimos

   x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 yo x - - 1 6 - 35 6 yo = = x + 1 6 - 35 6 yo x + 1 6 + 35 6 yo

   Comentario

   Si el valor del discriminante es negativo, los polinomios seguirán siendo polinomios de segundo orden. De ahí se sigue que no los descompondremos en factores lineales.

   Métodos para factorizar un polinomio de grado mayor que el segundo

   La descomposición asume un método universal. La mayoría de los casos se basan en un corolario del teorema de Bezout. Para hacer esto, debe seleccionar el valor de la raíz x 1 y reducir su grado dividiendo por un polinomio por 1 dividiendo por (x - x 1) . El polinomio resultante necesita encontrar la raíz x 2 y el proceso de búsqueda es cíclico hasta que obtengamos una descomposición completa.

   Si no se encuentra la raíz, se utilizan otros métodos de factorización: agrupación, términos adicionales. Este tema asume la solución de ecuaciones con potencias más altas y coeficientes enteros.

   Sacando el factor común fuera de paréntesis

   Considere el caso cuando el término libre es igual a cero, entonces la forma del polinomio se convierte en P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + un 1x.

   Se puede ver que la raíz de dicho polinomio será igual a x 1 \u003d 0, luego puede representar el polinomio en forma de expresión P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + un 1 x = = x (un norte x norte - 1 + un norte - 1 x norte - 2 + . . . + un 1)

   Se considera que este método saca el factor común fuera de paréntesis.

   Ejemplo 5

   Factoriza el polinomio de tercer grado 4 x 3 + 8 x 2 - x.

   Decisión

   Vemos que x 1 \u003d 0 es la raíz del polinomio dado, luego podemos sacar x entre paréntesis de la expresión completa. Obtenemos:

   4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

   Pasemos a encontrar las raíces del trinomio cuadrado 4 x 2 + 8 x - 1. Encontremos el discriminante y las raíces:

   re = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + re 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - re 2 4 = - 1 - 5 2

   Entonces se sigue que

   4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

   Para empezar, consideremos un método de descomposición que contiene coeficientes enteros de la forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , donde el coeficiente de la potencia más alta es 1 .

   Cuando el polinomio tiene raíces enteras, entonces se consideran divisores del término libre.

   Ejemplo 6

   Expande la expresión f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

   Decisión

   Considere si hay raíces enteras. Es necesario escribir los divisores del número - 18. Obtenemos que ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . De ello se deduce que este polinomio tiene raíces enteras. Puede comprobar según el esquema de Horner. Es muy conveniente y le permite obtener rápidamente los coeficientes de expansión de un polinomio:

   De ello se deduce que x \u003d 2 y x \u003d - 3 son las raíces del polinomio original, que se puede representar como un producto de la forma:

   f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x2 + 2x + 3)

   Pasamos a la descomposición de un trinomio cuadrado de la forma x 2 + 2 x + 3 .

   Como el discriminante es negativo, significa que no hay raíces reales.

   Responder: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

   Comentario

   Se permite utilizar la selección de raíces y la división de un polinomio por un polinomio en lugar del esquema de Horner. Procedamos a considerar la expansión de un polinomio que contiene coeficientes enteros de la forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , el mayor de los cuales no es igual a uno.

   Este caso tiene lugar para fracciones racionales fraccionarias.

   Ejemplo 7

   Factoriza f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

   Decisión

   Es necesario cambiar la variable y = 2 x , se debe pasar a un polinomio con coeficientes iguales a 1 en el grado más alto. Tienes que empezar multiplicando la expresión por 4. eso lo conseguimos

   4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

   Cuando la función resultante de la forma g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 tiene raíces enteras, entonces su hallazgo se encuentra entre los divisores del término libre. La entrada se verá así:

   ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

   Procedamos al cálculo de la función g (y) en estos puntos para obtener como resultado cero. eso lo conseguimos

   g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

   Obtenemos que y \u003d - 5 es la raíz de la ecuación de la forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, lo que significa que x \u003d y 2 \u003d - 5 2 es la raíz de la función original.

   Ejemplo 8

   Es necesario dividir por una columna 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 por x + 5 2.

   Decisión

   Escribimos y obtenemos:

   2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

   Verificar los divisores llevará mucho tiempo, por lo que es más rentable tomar la factorización del trinomio cuadrado resultante de la forma x 2 + 7 x + 3. Al igualar a cero, encontramos el discriminante.

   x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

   De ahí se sigue que

   2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

   Trucos artificiales al factorizar un polinomio

   Las raíces racionales no son inherentes a todos los polinomios. Para hacer esto, necesita usar métodos especiales para encontrar factores. Pero no todos los polinomios se pueden descomponer o representar como un producto.

   método de agrupación

   Hay casos en los que es posible agrupar los términos de un polinomio para encontrar un factor común y sacarlo de paréntesis.

   Ejemplo 9

   Factoriza el polinomio x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

   Decisión

   Debido a que los coeficientes son números enteros, es de suponer que las raíces también pueden ser números enteros. Para comprobar, tomamos los valores 1 , - 1 , 2 y - 2 para poder calcular el valor del polinomio en estos puntos. eso lo conseguimos

   1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

   Esto demuestra que no hay raíces, es necesario usar un método diferente de descomposición y solución.

   Se requiere agrupación:

   x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

   Luego de agrupar el polinomio original, es necesario representarlo como producto de dos trinomios cuadrados. Para hacer esto, necesitamos factorizar. lo conseguimos

   x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - re 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - re 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

   x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

   Comentario

   La simplicidad de la agrupación no significa que sea suficientemente fácil elegir los términos. No existe una forma definitiva de resolverlo, por lo que es necesario utilizar teoremas y reglas especiales.

   Ejemplo 10

   Factoriza el polinomio x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

   Decisión

   El polinomio dado no tiene raíces enteras. Los términos deben agruparse. eso lo conseguimos

   x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

   Después de factorizar, obtenemos que

   x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

   Usar la multiplicación abreviada y las fórmulas binomiales de Newton para factorizar un polinomio

   La apariencia a menudo no siempre deja claro qué forma usar durante la descomposición. Después de que se hayan realizado las transformaciones, puede construir una línea que consiste en el triángulo de Pascal, de lo contrario, se denominan binomios de Newton.

   Ejemplo 11

   Factoriza el polinomio x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

   Decisión

   Es necesario convertir la expresión a la forma

   x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

   La secuencia de coeficientes de la suma entre paréntesis se indica mediante la expresión x + 1 4 .

   Entonces tenemos x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

   Después de aplicar la diferencia de cuadrados, obtenemos

   x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

   Considere la expresión que está en el segundo paréntesis. Está claro que allí no hay caballos, por lo que se debe volver a aplicar la fórmula de la diferencia de cuadrados. Obtenemos una expresión como

   x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

   Ejemplo 12

   Factoriza x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

   Decisión

   Cambiemos la expresión. eso lo conseguimos

   x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

   Es necesario aplicar la fórmula para la multiplicación abreviada de la diferencia de cubos. Obtenemos:

   x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

   Un método para reemplazar una variable al factorizar un polinomio

   Al cambiar una variable, se reduce el grado y se factoriza el polinomio.

   Ejemplo 13

   Factoriza un polinomio de la forma x 6 + 5 x 3 + 6 .

   Decisión

   Por la condición, es claro que es necesario hacer un reemplazo y = x 3 . Obtenemos:

   x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

   Las raíces de la ecuación cuadrática resultante son y = - 2 y y = - 3, entonces

   x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

   Es necesario aplicar la fórmula para la multiplicación abreviada de la suma de cubos. Obtenemos expresiones de la forma:

   x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

   Es decir, hemos obtenido la expansión deseada.

   Los casos discutidos anteriormente ayudarán a considerar y factorizar un polinomio de varias maneras.

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   Un polinomio es una expresión que consiste en la suma de monomios. Estos últimos son el producto de una constante (número) y la raíz (o raíces) de la expresión elevada a la k. En este caso, se habla de un polinomio de grado k. La descomposición de un polinomio implica la transformación de la expresión, en la que los términos se sustituyen por factores. Consideremos las principales formas de llevar a cabo este tipo de transformación.

   Método para expandir un polinomio extrayendo un factor común

   Este método se basa en las leyes de la ley de distribución. Entonces, mn + mk = m * (n + k).

   • Ejemplo: ampliar 7y 2 + 2uy y 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

   7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

   2m3 - 12m2 + 4lm = 2m(m2 - 6m + 2l).

   Sin embargo, es posible que no siempre se encuentre el factor que está necesariamente presente en cada polinomio, por lo que este método no es universal.

   Método de expansión de polinomios basado en fórmulas de multiplicación abreviada

   Las fórmulas de multiplicación abreviadas son válidas para un polinomio de cualquier grado. En general, la expresión de transformación se ve así:

   u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), donde k es un representante de numeros naturales

   En la práctica, con mayor frecuencia, se utilizan fórmulas para polinomios de segundo y tercer orden:

   u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

   u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

   u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 - ul + l 2).

   • Ejemplo: expanda 25p 2 - 144b 2 y 64m 3 - 8l 3 .

   25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

   64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

   
   

   Método de descomposición polinomial: agrupación de términos de una expresión

   Este método de alguna manera se hace eco de la técnica de derivar un factor común, pero tiene algunas diferencias. En particular, antes de aislar el factor común, se deben agrupar los monomios. La agrupación se basa en las reglas de las leyes asociativas y conmutativas.

   Todos los monomios presentados en la expresión se dividen en grupos, en cada uno de los cuales significado general tal que el segundo factor será el mismo en todos los grupos. En general, dicho método de descomposición se puede representar como una expresión:

   pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

   pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

   • Ejemplo: ampliar 14mn + 16ln - 49m - 56l.

   14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l)(2n - 7).

   
   

   Método de descomposición polinomial: formación de cuadrados completos

   Este método es uno de los más eficientes en el curso de la descomposición de polinomios. En la etapa inicial, es necesario determinar los monomios que se pueden "doblar" en el cuadrado de la diferencia o suma. Para ello, se utiliza una de las siguientes relaciones:

   (p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

   • Ejemplo: expande la expresión u 4 + 4u 2 – 1.

   Entre sus monomios, destacamos los términos que forman un cuadrado completo: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

   \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

   Completa la transformación usando las reglas de la multiplicación abreviada: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

   Ese. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5)(u 2 + 2 + √5).