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El valor más pequeño de la función f x. El mayor y el menor valor de la función. Esquema para encontrar los valores mayor y menor de la función $f(x)$ en el segmento $$

Las siguientes figuras muestran dónde la función puede alcanzar su valor más pequeño y más grande. En la figura de la izquierda, los valores más pequeños y más grandes se fijan en los puntos del mínimo y máximo locales de la función. En la figura de la derecha, en los extremos del segmento.

Si la función y = F(X) continua en el segmento [ un, b] , luego llega a este segmento menos y valores más altos . Esto, como ya se mencionó, puede ocurrir en puntos extremos o en los extremos del segmento. Por lo tanto, para encontrar menos y los valores más grandes de la función , continua en el segmento [ un, b] , necesitas calcular sus valores en todos puntos críticos y en los extremos del segmento, y luego elige el más pequeño y el más grande de ellos.

Supongamos, por ejemplo, que se requiere determinar el valor máximo de la función F(X) en el segmento [ un, b] . Para hacer esto, encuentre todos sus puntos críticos sobre [ un, b] .

punto crítico se llama el punto en el que función definida, y ella derivado es cero o no existe. Luego debes calcular los valores de la función en los puntos críticos. Y, finalmente, se deben comparar los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento ( F(un) y F(b) ). El mayor de estos números será el mayor valor de la función en el segmento [un, b] .

El problema de encontrar los valores más pequeños de la función .

Estamos buscando los valores más pequeños y más grandes de la función juntos

Ejemplo 1. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento [-1, 2] .

Decisión. Encontramos la derivada de esta función. Iguale la derivada a cero () y obtenga dos puntos críticos: y . Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, basta con calcular sus valores en los extremos del segmento y en el punto, ya que el punto no pertenece al segmento [-1, 2] . Estos valores de función son los siguientes: , , . Resulta que valor de función más pequeño(marcado en rojo en el gráfico siguiente), igual a -7, se alcanza en el extremo derecho del segmento - en el punto , y mayor(también rojo en el gráfico), es igual a 9, - en el punto crítico.

Si la función es continua en un cierto intervalo y este intervalo no es un segmento (pero es, por ejemplo, un intervalo; la diferencia entre un intervalo y un segmento: los puntos de la frontera del intervalo no están incluidos en el intervalo, pero el los puntos límite del segmento están incluidos en el segmento), entonces entre los valores de la función puede no haber el más pequeño y el más grande. Entonces, por ejemplo, la función representada en la siguiente figura es continua en ]-∞, +∞[ y no tiene el valor más grande.

Sin embargo, para cualquier intervalo (cerrado, abierto o infinito), se cumple la siguiente propiedad de las funciones continuas.

Para la autocomprobación durante los cálculos, puede utilizar calculadora de derivados en línea .

Ejemplo 4. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento [-1, 3] .

Decisión. Encontramos la derivada de esta función como la derivada del cociente:

.

Igualamos la derivada a cero, lo que nos da un punto crítico: . Pertenece al intervalo [-1, 3] . Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Comparemos estos valores. Conclusión: igual a -5/13, en el punto y el mayor valor igual a 1 en el punto .

Seguimos buscando juntos los valores más pequeños y más grandes de la función

Hay docentes que en el tema de encontrar los valores menor y mayor de una función, no dan a los alumnos ejemplos más complicados que los recién considerados, es decir, aquellos en los que la función es un polinomio o una fracción, el numerador. y denominador de los cuales son polinomios. Pero no nos limitaremos a tales ejemplos, ya que entre los profesores hay amantes de hacer pensar a los estudiantes en su totalidad (tabla de derivadas). Por lo tanto, se utilizará el logaritmo y la función trigonométrica.

Ejemplo 8. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento .

Decisión. Encontramos la derivada de esta función como derivado del producto :

Igualamos la derivada a cero, lo que da un punto crítico: . Pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

El resultado de todas las acciones: la función alcanza su valor mínimo, igual a 0, en un punto y en un punto y el mayor valor igual a mi², en el punto.

Para la autocomprobación durante los cálculos, puede utilizar calculadora de derivados en línea .

Ejemplo 9. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento .

Decisión. Encontramos la derivada de esta función:

Igualar la derivada a cero:

El único punto crítico pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Conclusión: la función alcanza su valor mínimo, igual a , en el punto y el mayor valor, igual a , en el punto .

En problemas extremos aplicados, encontrar los valores de función más pequeños (más grandes), por regla general, se reduce a encontrar el mínimo (máximo). Pero no son los mínimos o máximos en sí mismos los que tienen mayor interés práctico, sino los valores del argumento en el que se logran. Al resolver problemas aplicados, surge una dificultad adicional: la compilación de funciones que describen el fenómeno o proceso en consideración.

Ejemplo 10 Se debe estañar un tanque de capacidad para 4 personas, que tenga forma de paralelepípedo de base cuadrada y abierto en la parte superior. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para cubrirlo con la menor cantidad de material?

Decisión. Permitir X- lado base h- altura del tanque, S- su superficie sin cubierta, V- su volumen. El área de superficie del tanque se expresa mediante la fórmula, es decir. es una función de dos variables. Para expresar S como una función de una variable, usamos el hecho de que , de donde . Sustituyendo la expresión encontrada h en la fórmula para S:

Examinemos esta función para un extremo. Está definida y diferenciable en todas partes en ]0, +∞[ , y

.

Igualamos la derivada a cero () y encontramos el punto crítico. Además, en , la derivada no existe, pero este valor no está incluido en el dominio de definición y por lo tanto no puede ser un punto extremo. Entonces, - el único punto crítico. Comprobemos la presencia de un extremo usando el segundo signo suficiente. Encontremos la segunda derivada. Cuando la segunda derivada es mayor que cero (). Esto significa que cuando la función alcanza un mínimo . Porque esto mínimo - el único extremo de esta función, es su valor más pequeño. Entonces, el lado de la base del tanque debe ser igual a 2 my su altura.

Para la autocomprobación durante los cálculos, puede utilizar

A veces, en los problemas B15 hay funciones "malas" para las que es difícil encontrar la derivada. Anteriormente, esto era solo en las pruebas, pero ahora estas tareas son tan comunes que ya no se pueden ignorar al prepararse para este examen.

En este caso, funcionan otros trucos, uno de los cuales es: monótono.

La función f (x) se llama monótonamente creciente en el segmento si para cualquier punto x 1 y x 2 de este segmento se cumple lo siguiente:

x1< x 2 ⇒ f (x1) < f (x2).

La función f (x) se llama monótonamente decreciente en el segmento si para cualquier punto x 1 y x 2 de este segmento se cumple lo siguiente:

x1< x 2 ⇒ f (x1) > f ( x2).

En otras palabras, para una función creciente, cuanto mayor es x, mayor es f(x). Para una función decreciente, lo contrario es cierto: cuanto más x, más menor f(x).

Por ejemplo, el logaritmo crece monótonamente si la base a > 1 y decrece monótonamente si 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

La raíz cuadrada aritmética (y no solo cuadrada) aumenta monótonamente en todo el dominio de definición:

La función exponencial se comporta de manera similar al logaritmo: crece para a > 1 y decrece para 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Finalmente, grados con exponente negativo. Puedes escribirlos como una fracción. Tienen un punto de quiebre donde se rompe la monotonía.

Todas estas funciones nunca se encuentran en su forma pura. Se les agregan polinomios, fracciones y otras tonterías, por lo que se vuelve difícil calcular la derivada. Lo que sucede en este caso, ahora lo analizaremos.

Coordenadas del vértice de la parábola

Muy a menudo, el argumento de la función se reemplaza con trinomio cuadrado de la forma y = ax 2 + bx + c . Su gráfica es una parábola estándar, en la que nos interesa:

  1. Ramas de parábola: pueden subir (para a > 0) o bajar (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
  2. El vértice de la parábola es el punto extremo de una función cuadrática, en el cual esta función toma su menor (para a > 0) o su mayor (a< 0) значение.

De mayor interés es parte superior de una parábola, cuya abscisa se calcula mediante la fórmula:

Entonces, hemos encontrado el punto extremo de la función cuadrática. Pero si la función original es monótona, para ella el punto x 0 será también un punto extremo. Por lo tanto, formulamos la regla clave:

Los puntos extremos del trinomio cuadrado y la función compleja en la que entra coinciden. Por lo tanto, puedes buscar x 0 para un trinomio cuadrado y olvidarte de la función.

Del razonamiento anterior, no queda claro qué tipo de punto obtenemos: un máximo o un mínimo. Sin embargo, las tareas están diseñadas específicamente para que no importe. Juzga por ti mismo:

  1. No hay ningún segmento en la condición del problema. Por lo tanto, no es necesario calcular f(a) y f(b). Queda por considerar sólo los puntos extremos;
  2. Pero solo hay uno de esos puntos: esta es la parte superior de la parábola x 0, cuyas coordenadas se calculan literalmente de forma oral y sin derivadas.

Así, la solución del problema se simplifica enormemente y se reduce a tan solo dos pasos:

  1. Escribe la ecuación de la parábola y = ax 2 + bx + c y encuentra su vértice usando la fórmula: x 0 = −b /2a;
  2. Encuentra el valor de la función original en este punto: f (x 0). Si no hay condiciones adicionales, esta será la respuesta.

A primera vista, este algoritmo y su justificación pueden parecer complicados. Deliberadamente no publico un esquema de solución "desnudo", ya que la aplicación irreflexiva de tales reglas está plagada de errores.

Considere las tareas reales del examen de prueba en matemáticas: aquí es donde esta técnica es más común. Al mismo tiempo, nos aseguraremos de que de esta manera muchos problemas de B15 se vuelvan casi verbales.

Debajo de la raíz hay una función cuadrática y \u003d x 2 + 6x + 13. El gráfico de esta función es una parábola con ramas hacia arriba, ya que el coeficiente a \u003d 1\u003e 0.

Parte superior de la parábola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Dado que las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, en el punto x 0 \u003d −3, la función y \u003d x 2 + 6x + 13 toma el valor más pequeño.

La raíz es monótonamente creciente, por lo que x 0 es el punto mínimo de toda la función. Tenemos:

Tarea. Encuentre el valor más pequeño de la función:

y = registro 2 (x 2 + 2x + 9)

Debajo del logaritmo hay nuevamente una función cuadrática: y \u003d x 2 + 2x + 9. El gráfico es una parábola con ramas hacia arriba, porque a = 1 > 0.

Parte superior de la parábola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Entonces, en el punto x 0 = −1, la función cuadrática toma el valor más pequeño. Pero la función y = log 2 x es monótona, entonces:

y mín = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

El exponente es una función cuadrática y = 1 − 4x − x 2 . Reescribámoslo en forma normal: y = −x 2 − 4x + 1.

Obviamente, la gráfica de esta función es una parábola, se ramifica hacia abajo (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

La función original es exponencial, es monótona, por lo que el mayor valor estará en el punto encontrado x 0 = −2:

Un lector atento seguramente notará que no escribimos el área de valores permisibles de la raíz y el logaritmo. Pero esto no era obligatorio: dentro hay funciones cuyos valores son siempre positivos.

Consecuencias del alcance de una función

A veces, para resolver el problema B15, no basta con encontrar el vértice de la parábola. El valor deseado puede estar al final del segmento, pero no en el punto extremo. Si la tarea no especifica un segmento en absoluto, mire rango de tolerancia función original. A saber:

Presta atención de nuevo: el cero bien puede estar debajo de la raíz, pero nunca en el logaritmo o denominador de una fracción. Veamos cómo funciona con ejemplos específicos:

Tarea. Encuentre el mayor valor de la función:

Debajo de la raíz hay nuevamente una función cuadrática: y \u003d 3 - 2x - x 2. Su gráfica es una parábola, pero se ramifica hacia abajo ya que a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Escribimos el área de valores permisibles (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; uno]

Ahora encuentra el vértice de la parábola:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

El punto x 0 = −1 pertenece al segmento ODZ, y esto es bueno. Ahora consideramos el valor de la función en el punto x 0, así como en los extremos de la ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Entonces, obtuvimos los números 2 y 0. Se nos pide que encontremos el más grande: este es el número 2.

Tarea. Encuentre el valor más pequeño de la función:

y = registro 0,5 (6x - x 2 - 5)

Dentro del logaritmo hay una función cuadrática y \u003d 6x - x 2 - 5. Esta es una parábola con ramas hacia abajo, pero no puede haber números negativos en el logaritmo, por lo que escribimos la ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Tenga en cuenta: la desigualdad es estricta, por lo que los extremos no pertenecen a la ODZ. De esta forma, el logaritmo se diferencia de la raíz, donde los extremos del segmento nos vienen bastante bien.

Buscando el vértice de la parábola:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

La parte superior de la parábola se ajusta a lo largo de la ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Pero como los extremos del segmento no nos interesan, consideramos el valor de la función solo en el punto x 0:

y mín = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

En la tarea B14 de USE en matemáticas, debe encontrar el valor más pequeño o más grande de una función de una variable. Este es un problema bastante trivial del análisis matemático, y es por ello que todo bachiller puede y debe aprender a resolverlo con normalidad. Analicemos algunos ejemplos que los escolares resolvieron en el trabajo de diagnóstico en matemáticas, que tuvo lugar en Moscú el 7 de diciembre de 2011.

Según el intervalo en el que desee encontrar el valor máximo o mínimo de la función, se utiliza uno de los siguientes algoritmos estándar para resolver este problema.

I. Algoritmo para encontrar el valor mayor o menor de una función en un segmento:

  • Encuentra la derivada de una función.
  • Seleccione de los puntos sospechosos de un extremo aquellos que pertenecen a un segmento dado y al dominio de la función.
  • Calcular valores funciones(¡no un derivado!) en estos puntos.
  • Entre los valores obtenidos, elija el mayor o el menor, será el deseado.

Ejemplo 1 Encuentra el valor más pequeño de una función.
y = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 en el segmento .

Decisión: actuamos de acuerdo con el algoritmo para encontrar el valor más pequeño de una función en un segmento:

  • El alcance de la función no está limitado: D(año) = r
  • La derivada de la función es: tu = 3X 2 – 36X+ 81. El alcance de la derivada de una función tampoco está limitado: D(y') = r
  • Ceros de la derivada: tu = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, entonces X 2 – 12X+ 27 = 0, de donde X= 3 y X= 9, nuestro intervalo incluye solo X= 9 (un punto sospechoso para un extremo).
  • Encontramos el valor de la función en un punto sospechoso de un extremo y en los bordes del intervalo. Para facilitar los cálculos, representamos la función de la forma: y = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
    • y(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
    • y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
    • y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Entonces, de los valores obtenidos, el más pequeño es 23. Respuesta: 23.

II. El algoritmo para encontrar el valor más grande o más pequeño de una función:

  • Encuentre el alcance de la función.
  • Encuentra la derivada de una función.
  • Determine los puntos que son sospechosos de un extremo (aquellos puntos en los que la derivada de la función se anula y los puntos en los que no hay derivada finita bilateral).
  • Marca estos puntos y el dominio de la función en la recta numérica y determina los signos derivado(¡no funciones!) en los intervalos resultantes.
  • Definir valores funciones(¡no es una derivada!) en los puntos mínimos (aquellos puntos en los que el signo de la derivada cambia de menos a más), el menor de estos valores será el menor valor de la función. Si no hay puntos mínimos, entonces la función no tiene un valor mínimo.
  • Definir valores funciones(¡no es una derivada!) en los puntos máximos (aquellos puntos en los que el signo de la derivada cambia de más a menos), el mayor de estos valores será el mayor valor de la función. Si no hay puntos máximos, entonces la función no tiene un valor máximo.

Ejemplo 2 Encuentra el mayor valor de la función.

Con este servicio, puede encontrar el valor mayor y menor de una función una variable f(x) con el diseño de la solución en Word. Si se da la función f(x,y), por lo tanto, es necesario encontrar el extremo de la función de dos variables. También puedes encontrar los intervalos de aumento y disminución de la función.

Reglas de entrada de funciones:

Una condición necesaria para un extremo de una función de una variable

La ecuación f" 0 (x *) = 0 es condición necesaria extremo de una función de una variable, es decir, en el punto x * la primera derivada de la función debe desaparecer. Selecciona puntos estacionarios x c en los que la función no crece ni decrece.

Una condición suficiente para un extremo de una función de una variable

Sea f 0 (x) dos veces diferenciable con respecto a x perteneciente al conjunto D . Si en el punto x* se cumple la condición:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*) > 0

Entonces el punto x * es el punto del mínimo local (global) de la función.

Si en el punto x* se cumple la condición:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0

Ese punto x * es un máximo local (global).

Ejemplo 1. Encuentra los valores mayor y menor de la función: en el segmento.
Decisión.

El punto crítico es uno x 1 = 2 (f'(x)=0). Este punto pertenece al segmento . (El punto x=0 no es crítico, ya que 0∉).
Calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto crítico.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Respuesta: f min = 5 / 2 para x=2; f máx = 9 en x = 1

Ejemplo #2. Usando derivadas de orden superior, encuentra el extremo de la función y=x-2sin(x) .
Decisión.
Encuentra la derivada de la función: y’=1-2cos(x) . Encontremos los puntos críticos: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Hallamos y''=2sin(x), calculemos , entonces x= π / 3 +2πk, k∈Z son los puntos mínimos de la función; , entonces x=- π / 3 +2πk, k∈Z son los puntos máximos de la función.

Ejemplo #3. Investiga la función extrema en la vecindad del punto x=0.
Decisión. Aquí es necesario encontrar los extremos de la función. Si el extremo x=0, averigüe su tipo (mínimo o máximo). Si entre los puntos encontrados no hay x = 0, entonces calcule el valor de la función f(x=0).
Cabe señalar que cuando la derivada a cada lado de un punto dado no cambia de signo, las situaciones posibles no se agotan ni siquiera para funciones diferenciables: puede ocurrir que para una vecindad arbitrariamente pequeña a un lado del punto x 0 o en ambos lados, la derivada cambia de signo. En estos puntos, uno tiene que aplicar otros métodos para estudiar funciones hasta el extremo.

Ejemplo #4. Divide el número 49 en dos términos, cuyo producto será el mayor.
Decisión. Sea x el primer término. Entonces (49-x) es el segundo término.
El producto será máximo: x (49-x) → max

En julio de 2020, la NASA lanza una expedición a Marte. La nave espacial entregará a Marte un soporte electrónico con los nombres de todos los miembros registrados de la expedición.


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Otra víspera de Año Nuevo... clima helado y copos de nieve en el vidrio de la ventana... Todo esto me llevó a escribir de nuevo sobre... fractales, y lo que Wolfram Alpha sabe al respecto. En esta ocasión, hay un artículo interesante en el que hay ejemplos de estructuras fractales bidimensionales. Aquí consideraremos ejemplos más complejos de fractales tridimensionales.

Un fractal puede representarse (describirse) visualmente como una figura o cuerpo geométrico (lo que significa que ambos son un conjunto, en este caso, un conjunto de puntos), cuyos detalles tienen la misma forma que la figura original. Es decir, es una estructura autosimilar, teniendo en cuenta los detalles de los cuales, cuando se amplía, veremos la misma forma que sin aumento. Mientras que en el caso de lo habitual figura geometrica(no es un fractal), al hacer zoom, veremos detalles que tienen una forma más simple que la figura original en sí. Por ejemplo, con un aumento suficientemente alto, parte de una elipse parece un segmento de línea recta. Esto no sucede con los fractales: con cualquier aumento en ellos, volveremos a ver la misma forma compleja, que con cada aumento se repetirá una y otra vez.

Benoit Mandelbrot, el fundador de la ciencia de los fractales, en su artículo Fractals and Art for Science escribió: "Los fractales son formas geométricas que son tan complejas en sus detalles como en su forma general. Es decir, si parte del fractal ampliado al tamaño del conjunto, se verá como el conjunto, o exactamente, o tal vez con una ligera deformación.